专题03 二次函数、一元二次不等式与其他常见不等式的解法及应用（期中复习讲义）高一数学上学期人教A版

专题03 二次函数、一元二次不等式 与其他常见不等式的解法及应用（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 3.1 二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、单调性） 能根据解析式快速画出草图，并分析其在给定区间上的最值。 所有二次问题的基础，必须熟练掌握。 3.2 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 能利用韦达定理解决与两根相关的对称式求值问题。 常与函数、不等式综合考查。 3.3 解一元二次不等式（不含参） 能熟练运用“化正→求根→画图→写解集”的步骤求解。 必考技能，解集的规范书写是易错点。 3.4 解含参数的一元二次不等式 能根据二次项系数、判别式Δ、根的大小进行分类讨论。 期中压轴题常见考点，对分类讨论思想要求高。 3.5 解分式不等式 能通过移项、通分化为商的形式，再利用符号法则转化为整式不等式组求解。 易错点是直接去分母或忘记分母不为零的限制。 3.6 不等式的恒成立与有解问题 能准确将“恒成立”与“有解”问题转化为函数最值问题，并求解参数范围。 期中压轴题核心题型。易错点是混淆“恒成立”（求最值）与“有解”（求最值）的转化逻辑 3.7 一元二次不等式的实际应用 能解决与利润、面积、升降趋势相关的实际问题。 体现数学应用价值，是命题方向 知识点01 二次函数及其性质 一元二次函数有如下性质： （1）函数的图象是一条 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ． （2）当时，抛物线开口向上．在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大．函数在处有最小值，即 ． 当时，抛物线开口向下．在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小．函数在处有最大值，即 ． 知识点02 解一元二次不等式 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根，（） 有两个相等实根 没有实根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件． （1），恒成立的充要条件是且． （2），恒成立的充要条件是 且． （3），恒成立的充要条件是且． （4），恒成立的充要条件是且． 知识点03 解分式不等式 ① ② ③ ④ 知识点04 解根式、高次不等式 根式不等式可平方求解，高次不等式可用数轴穿根法求解. 知识点05 解指对数不等式（跨章节） 指对数不等式结合单调性求解，特别注意底数对于函数单调性的影响及对数的真数大于0. 题型一 解不含参的一元二次不等式 【典例1】解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 【变式2】（24-25高一上·新疆·期中） 解下列不等式： (1) (2) 题型二 一元二次不等式的解求参数问题 【典例1】（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 【变式2】（24-25高一上·湖南怀化·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是或 题型三 解分式不等式 【典例1】（24-25高一上·广东茂名·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·吉林延边·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型四 解根式、高次不等式 【典例1】关于的不等式的解集为 . 【变式1】（24-25高一上·贵州·期中）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五 解含参的一元二次不等式 【典例1】（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【变式1】解关于的不等式. 【变式2】（24-25高一上·山东淄博·期中）（1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 题型六 一元二次不等式在区间上的恒成立与有解问题 【典例1】（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七 一元二次方程根的分布问题 【典例1】（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【变式2】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八 实际应用 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【变式1】（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）现要在阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m）为x.    (1)已知阁楼屋顶为高2m，底边长5m的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ (2)一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 期中基础通关练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一上·海南儋州·期中）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 三、填空题 6．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 四、解答题 7．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数的图象与x轴交于，两点，求的最小值. 8．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）解关于的不等式. (1)； (2)； (3). 2.（2024七年级上·重庆期中） 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 9．（24-25高一上·江西赣州·期中）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 10．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（24-25高一上·四川成都·期中）如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（   ） A． B． C．时的解集为或 D．方程有且仅有一个实数解 三、解答题 13．（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 14．（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 15．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 16．（24-25高一上·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 17．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 18．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 19．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 20．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数、一元二次不等式 与其他常见不等式的解法及应用（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 3.1 二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、单调性） 能根据解析式快速画出草图，并分析其在给定区间上的最值。 所有二次问题的基础，必须熟练掌握。 3.2 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 能利用韦达定理解决与两根相关的对称式求值问题。 常与函数、不等式综合考查。 3.3 解一元二次不等式（不含参） 能熟练运用“化正→求根→画图→写解集”的步骤求解。 必考技能，解集的规范书写是易错点。 3.4 解含参数的一元二次不等式 能根据二次项系数、判别式Δ、根的大小进行分类讨论。 期中压轴题常见考点，对分类讨论思想要求高。 3.5 解分式不等式 能通过移项、通分化为商的形式，再利用符号法则转化为整式不等式组求解。 易错点是直接去分母或忘记分母不为零的限制。 3.6 不等式的恒成立与有解问题 能准确将“恒成立”与“有解”问题转化为函数最值问题，并求解参数范围。 期中压轴题核心题型。易错点是混淆“恒成立”（求最值）与“有解”（求最值）的转化逻辑 3.7 一元二次不等式的实际应用 能解决与利润、面积、升降趋势相关的实际问题。 体现数学应用价值，是命题方向 知识点01 二次函数及其性质 一元二次函数有如下性质： （1）函数的图象是一条 抛物线 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ． （2）当时，抛物线开口向上．在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大．函数在处有最小值，即 ． 当时，抛物线开口向下．在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小．函数在处有最大值，即 ． 知识点02 解一元二次不等式 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根，（） 有两个相等实根 没有实根 一元二次不等式的解集 或 R 一元二次不等式的解集 写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件． （1），恒成立的充要条件是 且 ． （2），恒成立的充要条件是 且 ． （3），恒成立的充要条件是 且 ． （4），恒成立的充要条件是 且 ． 知识点03 解分式不等式 ① ② ③ ④ 知识点04 解根式、高次不等式 根式不等式可平方求解，高次不等式可用数轴穿根法求解. 知识点05 解指对数不等式（跨章节） 指对数不等式结合单调性求解，特别注意底数对于函数单调性的影响及对数的真数大于0. 题型一 解不含参的一元二次不等式 【典例1】解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】利用一元二次不等式的解法来求解即可. 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是． （3）不等式可化为，∴不等式的解集是． （4）不等式可化为，∴不等式的解集是或． 【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式2】（24-25高一上·新疆·期中） 解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可． （2）利用一元二次不等式的解法求解即可． 【详解】（1）方程的解为，， 不等式可化为， ∴或 所以的解集为：或. （2）方程的解为，， ∵不等式可化为， ∴ 所以的解集为：. 题型二 一元二次不等式的解求参数问题 【典例1】（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用三个二次的关系，将条件转化成方程的根的情况，判断的符号，利用韦达定理得到的数量关系，再根据选项一一判断或求解不等式即得. 【详解】对于A，由题意，方程有两根为和2，且，故A正确； 由韦达定理，即. 对于B，由， 即解得或，故B错误； 对于C，因，且， 故，故C正确； 对于D，， 因，故该函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 【变式2】（24-25高一上·湖南怀化·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是或 【答案】AB 【分析】A由解的形式可确定a的符号； B由不等式的解可确定方程的解，即可判断选项正误； C由不等式解集可判断符号； D由B结合韦达定理可得a与b，c间关系，即可判断选项正误. 【详解】对于A，因，不等式解集为两根之间型，则，故A正确； 对于B，由题的解为或，则，故B正确； 对于C，因关于x的不等式的解集是， 则当时，，故C错误； 对于D，由B，结合韦达定理，， 则， 则的解集是或，故D错误. 故选：AB 题型三 解分式不等式 【典例1】（24-25高一上·广东茂名·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用将分式不等式转化成整式不等式求解. 【详解】，解得或 ∴不等式的解集为. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·吉林延边·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解分式不等式及绝对值不等式，根据解集的关系及充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】由，解之得或， 记不等式的解对应集合， 由或，解之得或， 记不等式的解对应集合， 显然A是B的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式化简集合，再根据并集运算即可求解. 【详解】， ， 所以. 故选:A. 题型四 解根式、高次不等式 【典例1】关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用不等式的等价变形可得，再利用数轴标根法可求得不等式的解集. 【详解】由， 可得， 所以 方程的根为， 由数轴标根法可得. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·贵州·期中）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解根式不等式求集合，再由交运算求集合. 【详解】由题设，又， 所以. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式化简得，将分式不等式转化成整式不等式即可解. 【详解】由，得， 所以， 所以，即， 解得或， 故的取值范围为． 故选：D． 题型五 解含参的一元二次不等式 【典例1】（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式1】解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】由题意可知，可化为，再对进行分类讨论，比较根的大小，即可得答案. 【详解】由题意可知，可化为 （1）当时，不等式化为，解得， （2）当时，不等式化为，解得， （3）当时，不等式化为，解得或， （4）当时，不等式化为，解得， （5）当时，不等式化为，解得或， 综上所述， 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为; 【变式2】（24-25高一上·山东淄博·期中）（1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）令，先求出方程的根，然后分、、三种情况讨论不等式解的情况即可； （2）先考虑是否符合题意，再考虑时，二次函数开口向下，与轴有一个或者没有交点，从而得到方程组，解方程组即可. 【详解】令，， 整理有，解得或， 当，即时，不等式的解集为或， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为或. （2）当时，解得， 若，原式化为，满足题意，若，原式化为，不合题意； 当时，由题意得，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围为：. 题型六 一元二次不等式在区间上的恒成立与有解问题 【典例1】（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可知，要一元二次不等式对一切实数恒成立，则，解不等式组可得答案 【详解】由已知可知，所以要一元二次不等式对一切实数恒成立， 则，即，解得， 所以的取值范围为. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离参数，结合对勾函数单调性可求得参数范围. 【详解】因为不等式对一切恒成立， 所以在区间上恒成立， 由对勾函数性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，，当时，， 所以，故， 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题，，，即，即在上有解， 设，则，， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， ，则，所以. 故选：B. 题型七 一元二次方程根的分布问题 【典例1】（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 【变式1】（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 【变式2】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由二次函数根的分布性质有，，，求得的取值范围. 【详解】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内， 另一根在区间（3，4）内， 只需，即， 解不等式组可得，即的取值范围为， 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数根的分布性质，属于中档题. 题型八 实际应用 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 【变式1】（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)40元； (2)至少应达到10.2万件，每件定价30元. 【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值； （2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论. 【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得， 则，解得， 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元 （2）依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为30元， 当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）现要在阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m）为x.    (1)已知阁楼屋顶为高2m，底边长5m的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ (2)一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 【答案】(1)（i）；（ii）当为米或米时，窗户面积最小，为平方米； (2)变好，理由见解析. 【分析】（1）（i）应用表示出窗户面积，求解一元二次不等式即可；（ii）设地板面积为，则有，解不等式求窗户面积最小值并确定对应值即可； （2）设分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【详解】（1）（i）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且， 所以，又矩形窗户面积，解得， 故的取值范围为. （ii）设地板面积为，解不等式组， 所以，即，解得，故窗户面积最小为， 令，可得，解得或. 故当为米或米时，窗户面积最小，为平方米. （2）设分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，则. 因为，所以，即， 所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了. 期中基础通关练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．（24-25高一上·海南儋州·期中）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判别式即可求解. 【详解】不等式的解集为， 则需满足，解得， 故选：B 3．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且； 因此，解得； 所以不等式可化为，即， 解得或，即不等式的解集为 故选：A 4．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可知，要一元二次不等式对一切实数恒成立，则，解不等式组可得答案 【详解】由已知可知，所以要一元二次不等式对一切实数恒成立， 则，即，解得， 所以的取值范围为. 故选：A 二、多选题 5．（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误. 【详解】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD 三、填空题 6．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 四、解答题 7．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数的图象与x轴交于，两点，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解； （2）利用韦达定理表示，再利用二次函数，即可求最值. 【详解】（1）时，，解得或， 原不等式的解集为或； （2）令，由得， 故，， 故， 当时，取得最小值，最小值为. 8．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）解关于的不等式. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）应用不含参的一元二次不等式解法求解集； （2）由分式不等式有，进而求解集； （3）由题设有，讨论大小求对应解集. 【详解】（1），故解集为； （2），故解集为； （3），即， 当，解集为； 当，解集为； 当，解集为. 2.（2024七年级上·重庆期中） 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 9．（24-25高一上·江西赣州·期中）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， ， 因为，所以，解得或1（舍去）. 故选：B. 10．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 11．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数的取值范围. 【详解】不等式可化为， 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得； 当时，原不等式等价于， 其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍． 二、多选题 12．（24-25高一上·四川成都·期中）如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（   ） A． B． C．时的解集为或 D．方程有且仅有一个实数解 【答案】BCD 【分析】对于A，由对称轴可判断；对于B，由图象与轴交于，两点即可判断；对于C，由韦达定理得到，，代入即可解不等式；对于D，将函数式设成，取，由判别式判断. 【详解】对于A，因为函数的对称轴为，所以，整理得.故A正确； 对于B，因为二次函数图象与轴交于，两点， 所以，故B错误； 对于C，因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为， 所以和是方程的两根， 所以，， 所以，， 所以可化为， 由于，所以，解得.故C错误； 对于D，由C可设，， 当时，方程即为， 所以， 由于，此时方程有两个不等实数根，故D错误. 故选：BCD 三、解答题 13．（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 14．（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)2 (2)： (3)答案见解析 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 15．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由. 得，所以， 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， 因为，所以，所以， 所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）不等式，即， 所以， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设，令，则， 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，当且仅当时取等号. 所以综上可知：的取值范围为. 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 16．（24-25高一上·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 17．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 18．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 二、填空题 19．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 20．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $