专题01 集合及其运算13考点复习讲义（讲+练）-【题海探秘】2025-2026学年高一上学期数学期中复习（人教A版必修第一册）

2025-2026高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题01 集合及其运算13考点复习指南 知识1：元素与集合 （1）集合元素的三大特性：确定性、互异性（解题注意回代检验集合元素互异性）、无序性. （2）元素与集合的关系：属于（）或不属于（） （3）集合的表示方法：列举法、描述法、（韦恩图法）；注意描述法书写格式，一般元素代表，共同特征； 知识2：集合间的基本关系 （1）子集：若对任意，都有，则或. 图表示： （2）真子集：若，且集合中至少有一个元素不属于集合，则_. 图表示： （3）相等：若，且，则. （4）空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识3：集合的基本运算 （1）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 （2）交集：一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 （3）全集与补集：全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识4：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 常用解题技巧 1.解决元素与集合关系问题的关键点 (1)确定构成集合的元素特征． (2)掌握常见数集的记法及数的分类． (3)注意区分0，，∅的关系． 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 3.用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要知道三者是不同的.弄清代表元素的含义后，再依据元素特征构造关系式解决问题. 4.①判断集合关系主要有两种方法：一是化简集合，二是列举或数形结合.②已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集.一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性，当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到. 5.①若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论. ②已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解. 6.(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 7.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 8.根据集合的运算求参问题，首先化简所给集合，其次根据集合的交并补运算借助数轴等工具数形结合辅助求解. 9.①韦恩图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩图所呈现的集合关系进行运算.较复杂集合关系的分析，常借助韦恩图完成，既是直观想象素养的体现，又蕴含了数学建模思维. ②进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. ③数形结合思想的应用： (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心. 考点一 判断元素与集合的关系 1．（2025高二·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的意义进行判断. 【详解】根据的意义,, 故选：C. 2．（2025高一·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 3．【多选】（2025高一·江苏无锡·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件得，从而有为奇数或4的倍数，即可判断选项A和B的正误；根据，可判断选项C的正误；由条件知为奇数或4的倍数，分中至少有一个为4的倍数和都为奇数两种情况讨论，结合条件，即可求解. 【详解】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，从而得出为奇数或4的倍数，即可求解. 4．（2025高一·湖南·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算出每项中、的对应的值后，检验其是否符合即可得解. 【详解】对A：有，解得，由时，，故，故A错误； 对B：有，解得，由时，，故，故B正确； 对C：有，解得，由时，，故，故C错误； 对D：有，解得，由时，，故，故D错误. 故选：B. 5．（2025高一·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 6．【多选】（2025高一·安徽·阶段练习）已知集合，则下列各项为中的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】元素与集合的关系，就是看元素是否符合集合的要求，逐个验证即可. 【详解】A选项：，且，∴，故A正确； B选项：，且，∴，故B正确； C选项：，且，∴，故C不正确； D选项：，且，∴，故D正确. 故选：ABD 考点二 根据元素与集合的关系求参数 7．（2025高一·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C 8．（2025高一·全国·课后作业）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得或或，分别求解后再验证即可. 【详解】解：因为， 当，即时，此时，不满足元素的互异性； 当，即时，此时，满足题意； 当，即时，此时无解； 综上，. 故答案为： 9．（2025高一·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 ． 【答案】5 【分析】由得或，求出m，再求出A并结合集合中元素的互异性检验即可得解. 【详解】因为，所以或，解得或或， 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，符合. 所以实数m的值为5. 故答案为：5. 10．（2025高一·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 11．（2025高一·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 12．（2025高一·四川达州·期中）若 ，则集合 中所有元素之和为 【答案】3 【分析】由题意知是方程的解，代入方程可求出a，从而可求出方程的解，即可得解. 【详解】，则有，解得， 方程即为，解得或， 所以，所有元素之和为3. 故答案为：3 考点三 根据集合中元素的个数求参数 13．（2025高一·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 14．（2025高一·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据题意分情况讨论即可求得结果，当时，满足题意；时，只需让判别式等于零即可. 【详解】当时，解得，满足题意； 当时，此时，解得， 所以的值构成的集合为， 故答案为：. 15．（2025高一·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得. 【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A 16．（2025高一·上海虹口·阶段练习）若集合的子集只有两个，则实数 ． 【答案】0或 【分析】根据题意知道A有一个元素，然后讨论a是否为0，然后得出a的值即可． 【详解】的子集只有两个，有一个元素， ①时，，满足题意； ②时，，解得， 或． 故答案为：0或． 17．（2025高一·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 考点四 集合中元素的特性 18．（2025高一·云南昆明·期中）英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【答案】A 【分析】根据集合中的元素满足互异性即可求解. 【详解】interesting的所有字母组成的集合为，共有7个元素． 故选：A 19．（2025高三·上海浦东新·阶段练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 20．（2025高一·全国·课后作业）若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形， 根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等， 以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形. 故选：C. 考点五 列举法，描述法 21．（2025高一·辽宁·阶段练习）方程组的解集为 . 【答案】 【分析】解原方程组，可得其解集. 【详解】解方程组得，故原方程组的解集为. 故答案为：. 22．（2025高一·四川成都·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】. 【分析】利用列举法的集合表示直接可得结果. 【详解】根据整数集即可得. 故答案为： 23．（2025高一·四川南充·期中）把集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】当取时，对应的值为，再根据列举法即可求解. 【详解】当取时，对应的值为， 所以. 故答案为：. 24．（2025高一·湖南邵阳·期中）若，则集合可用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法表示集合，可得结果. 【详解】因为，则. 故选：D. 25．（2025高一·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设，应用列举法、描述法分析正确的集合表示方式，即可得答案. 【详解】方程的解为， 所以，，都可以表示该方程的解集， 表示的是含有点的集合． 故选：C 26．（2025高一·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 考点六 子集（真子集）个数 27．（2025高一·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 28．（2025高一·甘肃白银·期中）已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据真子集个数计算公式即可得到答案. 【详解】由题意得集合真子集的个数为. 故选：C. 29．（2025高一·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案. 【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个. 故选：B. 30．（2025高一·福建福州·期中）满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】首先要解出方程的根，得到集合的元素.然后根据子集关系确定满足条件的集合的个数. 【详解】解方程的根，，则. 因为  . 那么A中一定含有元素和，可能含有元素，，（但不全有）， 所以集合的个数即为集合的真子集个数，共有个. 故选：C. 31．（2025高一·福建漳州·期中）已知集合满足⫋，则集合的个数为 ． 【答案】3 【分析】根据题目中的包含关系，可得集合的构成，可得答案. 【详解】设集合的真子集为，由题意可得， 集合的真子集个数为，集合的个数为. 故答案为：. 32．（2025高一·山东泰安·期中）已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先根据题意求出集合，然后利用公式可求出其子集的个数. 【详解】因为，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B 33．（2025高一·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【答案】B 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 34．（2025高一·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【答案】C 【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可. 【详解】已知集合， “孤立元”为1的集合为，，，； “孤立元”为2的集合为，； “孤立元”为3的集合为； “孤立元”为4的集合为，； “孤立元”为5的集合为，，，； 综上，满足题意的集合有13个. 故选：C. 考点七 判断两个集合的包含关系 35．（2025高一·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【分析】根据，再利用是整数，是奇数即可判断集合间的关系. 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 36．【多选】（2025高一·浙江衢州·期中）已知集合，则下列符号语言表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先求出集合，然后逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为0是元素，，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：AD 37．【多选】（2025高一·海南三亚·期中）以下写法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合的元素与集合，集合与集合之间的关系，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为表示集合，所以，故B错误； 对于C，由，故C正确； 对于D，根据集合与集合的关系，，故D错误. 故选：AC. 38．（2025高一·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 考点八 根据集合的包含关系求参数 39．（2025高二·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 40．（2025高二·北京东城·期中）已知集合．若，则a的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用集合的包含关系求出的取值范围即可. 【详解】集合，又， 则，所以a的最大值为. 故答案为： 41．（2025高一·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围. 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 42．【多选】（2025高一·四川眉山·期中）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为⫋，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是或或. 故选：BCD. 43．（2025高一·广东湛江·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系，利用数轴分析，即可求得结果. 【详解】因为，，，所以利用数轴分析法，可知. . 故答案为：. 44．（2025高一·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据集合的包含关系，讨论、求对应参数范围，即可得答案. 【详解】若时，满足，此时只需； 若时，则，可得； 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 45．（2025高一·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 46．（2025高一·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2) 【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 考点九 集合相等及其应用 47．（2025高一·湖南永州·期中）已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据集合相等即元素相同解出，再根据集合元素互异性求出值. 【详解】由有，解得或3， 当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去. 当时，，满足题意. 故选：C. 48．（2025高一·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得，所以， 故选：A 49．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用集合相等列出方程组，结合集合的互异性求解. 【详解】集合，由， 得，解得，此时集合中与矛盾； 或，解得，此时，符合题意， 所以. 故选：D 50．（2025高一·全国·课堂例题）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以， 故选：A 51．（2025高一·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据集合相等的概念列式求解即可. 【详解】∵集合， 当且时，结合，解得， 经检验，不符合元素的互异性，舍去； 当且时，结合，解得，经检验，符合题意， 故. 故选：C. 52．（2025高一·全国·课后作业）若集合A中有三个元素1，，a；集合B中有三个元素0，，b，集合A与集合B相等，则等于（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据集合相等的定义，可推出的值，得解. 【详解】由题意可知且， ，， ，， 故. 故选：C. 考点十 集合的交并补及其综合运算 53．（25-26高一·黑龙江·期中）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】因为，， 所以． 故选：C 54．（25-26高一·辽宁·期中）集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义判断． 【详解】因为，，所以. 故选：C 55．（25-26高一·新疆·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C．, D．, 【答案】B 【分析】应用并集定义计算求解. 【详解】集合， ,,， ． 故选：B． 56．（25-26高一·山东·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：A. 57．（2025高一·北京延庆·期中）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：C. 58．（2025高三·云南·期中）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合并集的定义求，再根据交集的定义求结论. 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 故选：A． 59．（2025·北京顺义·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为， 又， 所以. 故选：C 60．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再结合补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为或， 所以，故. 故选：D. 61．（2025·吉林·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集、补集运算即可求解. 【详解】由， 可得：， ， ， 故选：A． 62．（2025高一·广东江门·期中）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集和交集的运算可得结果. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 63．（2025高一·广东广州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的交集和补集运算可得结果. 【详解】由，可得或，则. 故选：B． 64．（2025高二·河北·期中）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求全集，进而求，最后根据集合的交集运算即可求解. 【详解】依题意得，，，所以． 故选：C. 65．（2025高一·浙江绍兴·期中）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合运算直接求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以. 故选：D 66．（2025高一·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以或， 故选：. 考点十一 根据集合的运算结果求参数 67．（2025高二·湖南郴州·期中）已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，进而可得. 【详解】由题意，观察选项只有选项符合题意， 故选：C 68．（2025高一·湖北恩施·期中）集合，，若，则实数的值为（   ） A． B．或 C． D．0或或 【答案】D 【分析】由，则，分和进行讨论，从而确定的取值. 【详解】由，则， 又， 当时，则，此时符合题意； 当时，即，则， 当，即，此时，，符合题意； 当，即，此时，，符合题意； 故选：D. 69．（2025高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集结果得出集合间的包含关系，由包含关系可得的不等关系，从而得的范围. 【详解】由题意， 在，中， ， ∴解得. 故选：C. 70．（2025高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系可得，再分与时解不等式可得. 【详解】由条件得，又因为， 所以，即有． 当，有，解得：； 当，有，解得：． 综上，实数的取值范围为：． 故选：C． 71．（2025高三·江苏·开学考试）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的并集运算即可求解. 【详解】，，， ∴结合数轴可知：. 故选：A. 72．（2025高三·山东临沂·期末）已知集合，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到，分和两种情况讨论，即可求解 【详解】等价于， 当时，，此时，符合； 当时，，因为，故或，即或． 所以符合条件的实数组成的集合是． 故选：D 73．（2025高三·山西·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的定义以及并集的运算性质即可求得. 【详解】集合，，， 所以， 故实数的取值范围为. 故选：D 74．（2025·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 【答案】B 【分析】根据补集的定义可得，即可求解. 【详解】由可得，若，则,故， 故选：B 75．（2025高三·北京海淀·期中）已知全集，集合，，则集合可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集与并集的定义可得，，即可得解. 【详解】由，，故， 又，则，，故或. 故选：C. 76．（2025高三·辽宁沈阳·期中）设全集，集合，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可确定，求得m的值，检验后确定答案. 【详解】由题意全集，集合， 可得，解得或， 当时，，则不合题意， 时，， ，符合题意，故， 故选：B. 77．（2025高一·贵州遵义·阶段练习）已知A，B均为集合的子集，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图求出集合A． 【详解】因为，所以A，B的公共元素只有3， 由图知表示图中的阴影部分，故不属于B且属于A的元素只有7， 所以.    故选：D 78．（2025高一·山东青岛·期中）已知全集，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的子集的个数为1024个 C． D．的非空真子集的个数为6个 【答案】D 【分析】由集合的运算确定集合,再由子集定义判断BD. 【详解】， 又，，所以， ， 的子集个数为， 的子集有8个，非空真子集有6个， 只有D正确． 故选：D． 79．（2025高一·湖北襄阳·阶段练习）设全集，集合，若，则的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．1或2 【答案】B 【分析】由可知，由此即可解出，则可求出，再由可知，由此即可求出答案. 【详解】因为 所以 所以解得：， 或 所以， 所以， 所以解得：或， 且解得：且 所以. 故选：B 考点十二 韦恩图的应用 80．（2025高一·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 81．（2025高一·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 82．（2025高一·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（   ） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 【答案】D 【分析】由集合的运算即可得出结果. 【详解】因为高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加， 所以这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有名． 故选：D. 83．（2025高一·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 84．（2025高一·江苏南通·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合韦恩图的表示方法，利用集合的运算法则，结合选项，即可求解. 【详解】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为或或. 故选：D. 85．（2025高三·福建·期中）图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知，阴影部分为集合与的公共部分，且不在集合中，再用集合表示出. 【详解】由韦恩图知，阴影部分集合为与的交集，再与集合的补集的交集， 所以表示的集合为. 故选：D 86．（2025高一·广东韶关·期中）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以图中阴影部分表示或. 故选：A. 87．（2025高一·辽宁·阶段练习）已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的并集和补集的定义，结合韦恩图，即可求解. 【详解】因为集合，则， 所以图中阴影部分表示的集合是， 故选：A. 88．（2025高三·浙江·期中）已知全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图表示法确定阴影部分，然后利用集合运算求解即可． 【详解】由已知， 阴影部分为. 故选：A． 考点十三 集合的新定义问题 89．（2025高一·山东·期中）在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】方法一：根据可分比集合，再通过时成立，时不成立得到正整数的最大值为7；方法二：分析出，再证明满意题意. 【详解】解法一：一方面，取满足题意，则； 另一方面，若，不妨设，则，则，此时，且，矛盾！ 综上所述，正整数的最大值为7. 解法二：，则，又，即若，内的数均不属于， 若，则，则，又，矛盾， 所以，当时，符合，所以． 故选：B. 90．（2025高二·北京·期中）设集合，，，中至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；则集合可以是（   ） （1）    （2）    （3）    （4） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 【答案】C 【分析】对选项逐个进行判断，出现矛盾的可排除，正确的证明即可. 【详解】对于（1），易知，所以应有，矛盾，即（1）错误； 对于（2），易知，且， 则可取满足题意，即（2）正确； 对于（3），易知，所以应有，矛盾，即（3）错误； 对于（4），易知，且 ， 则可取满足题意，即（4）正确； 故选：C. 91．（2025高一·重庆·期中）定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】结合集合新定义，讨论中元素个数即可； 【详解】由题意， 又非空集合A和B，且，若， 当中有一个元素时： ，；，； 当中有两个元素时： ，；，；，；，； 当中有三个元素时： ，； 当中有四个元素时： ，； 当中有五个元素时，集合不存在， 所以满足条件的不同的B的个数为8个， 故选：D. 92．（2025高一·北京·期中）设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（   ） A．0对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0，然后分9种情况讨论即可. 【详解】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0， 除以3的余数是0，除以3的余数是0； 除以3的余数是1，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是2； 除以3的余数是2，除以3的余数是0； 除以3的余数是0，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是1； 除以3的余数是0，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是0； 所以满足条件的数对有，共3对， 故选：C. 93．（2025高一·河南平顶山·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 94．（2025高一·福建莆田·期中）非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可. 【详解】对于①，设集合，显然，符合性质一， 同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； 对于②，根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述正确； 对于③，设， 若，一定有，， 因为、都是“群”， 所以，， 因此，若，所以，，，故本叙述正确. 故选：C. 【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键. 95．（2025高一·湖北·期中）设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ② ③； ④ 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】利用定义结合集合间的基本关系与运算计算即可. 【详解】① 故①不是集合X上的拓扑的集合； ③， 故③不是集合X上的拓扑的集合； 对于选项②④ 满足：（1）X属于，属于； （2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于， 综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是②④ 故选：C 【点睛】思路点睛：新定义问题关键在于理解题意，将问题转化为集合间的基本关系即可. 96．（2025高一·四川成都·期中）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为平衡集．记．若集合是平衡集，并且存在为奇数，则集合中元素个数的奇偶性（   ） A．与相关，既可以是奇数，又可以是偶数 B．与无关，既可以是奇数，又可以是偶数 C．与无关，必为偶数 D．与无关，必为奇数 【答案】D 【分析】根据平衡集的定义得，因此的奇偶性相同，又因为存在为奇数，所以根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性的规律，即可判断. 【详解】由已知得，因为集合是平衡集， 设去掉元素，根据题意得，其中， 不妨设集合和中的元素之和均为，所以，其中， 则，所以为偶数，其中， 因此的奇偶性相同； 因为存在为奇数，所以均为奇数， 由知也为奇数，且，所以也为奇数. 所以必为奇数 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查了新定义下的集合问题，需要正确理解定义，根据定义正确推理即可. 97．（2025高一·江苏南通·阶段练习）两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 【答案】D 【分析】根据直积的定义可判断AD的正误，根据反例可判断BC的正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设，，则，的元素个数为，不是3，故B错误； 对于C，结合B的实例，，而，两者不相同，故C错误； 对于D，任意，则存在， 使得，因为且，故且， 故，故 任意，则存在，使得， 故，故，故， 故， 故选：D 【点睛】关键点睛：证明两个集合相等，关键是证明它们彼此包含，后者依据定义证明. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题01 集合及其运算13考点复习指南 知识1：元素与集合 （1）集合元素的三大特性：确定性、互异性（解题注意回代检验集合元素互异性）、无序性. （2）元素与集合的关系：属于（）或不属于（） （3）集合的表示方法：列举法、描述法、（韦恩图法）；注意描述法书写格式，一般元素代表，共同特征； 知识2：集合间的基本关系 （1）子集：若对任意，都有，则或. 图表示： （2）真子集：若，且集合中至少有一个元素不属于集合，则_. 图表示： （3）相等：若，且，则. （4）空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识3：集合的基本运算 （1）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 （2）交集：一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 （3）全集与补集：全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识4：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 常用解题技巧 1.解决元素与集合关系问题的关键点 (1)确定构成集合的元素特征． (2)掌握常见数集的记法及数的分类． (3)注意区分0，，∅的关系． 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 3.用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要知道三者是不同的.弄清代表元素的含义后，再依据元素特征构造关系式解决问题. 4.①判断集合关系主要有两种方法：一是化简集合，二是列举或数形结合.②已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集.一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性，当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到. 5.①若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论. ②已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解. 6.(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 7.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 8.根据集合的运算求参问题，首先化简所给集合，其次根据集合的交并补运算借助数轴等工具数形结合辅助求解. 9.①韦恩图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩图所呈现的集合关系进行运算.较复杂集合关系的分析，常借助韦恩图完成，既是直观想象素养的体现，又蕴含了数学建模思维. ②进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. ③数形结合思想的应用： (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心. 考点一 判断元素与集合的关系 1．（2025高二·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 3．【多选】（2025高一·江苏无锡·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·湖南·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025高一·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 6．【多选】（2025高一·安徽·阶段练习）已知集合，则下列各项为中的元素的是（   ） A． B． C． D． 考点二 根据元素与集合的关系求参数 7．（2025高一·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 8．（2025高一·全国·课后作业）若，则的值为 ． 9．（2025高一·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 ． 10．（2025高一·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 12．（2025高一·四川达州·期中）若 ，则集合 中所有元素之和为 考点三 根据集合中元素的个数求参数 13．（2025高一·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 14．（2025高一·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为 ． 15．（2025高一·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（2025高一·上海虹口·阶段练习）若集合的子集只有两个，则实数 ． 17．（2025高一·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 考点四 集合中元素的特性 18．（2025高一·云南昆明·期中）英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 19．（2025高三·上海浦东新·阶段练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 20．（2025高一·全国·课后作业）若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形 考点五 列举法，描述法 21．（2025高一·辽宁·阶段练习）方程组的解集为 . 22．（2025高一·四川成都·期中）集合用列举法表示为 . 23．（2025高一·四川南充·期中）把集合用列举法表示为 . 24．（2025高一·湖南邵阳·期中）若，则集合可用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 25．（2025高一·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（2025高一·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 考点六 子集（真子集）个数 27．（2025高一·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 28．（2025高一·甘肃白银·期中）已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 29．（2025高一·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 30．（2025高一·福建福州·期中）满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 31．（2025高一·福建漳州·期中）已知集合满足⫋，则集合的个数为 ． 32．（2025高一·山东泰安·期中）已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 33．（2025高一·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 34．（2025高一·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 考点七 判断两个集合的包含关系 35．（2025高一·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 36．【多选】（2025高一·浙江衢州·期中）已知集合，则下列符号语言表述正确的是（   ） A． B． C． D． 37．【多选】（2025高一·海南三亚·期中）以下写法正确的是（   ） A． B． C． D． 38．（2025高一·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 考点八 根据集合的包含关系求参数 39．（2025高二·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．（2025高二·北京东城·期中）已知集合．若，则a的最大值为 ． 41．（2025高一·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 42．【多选】（2025高一·四川眉山·期中）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 43．（2025高一·广东湛江·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 44．（2025高一·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是 45．（2025高一·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 46．（2025高一·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 考点九 集合相等及其应用 47．（2025高一·湖南永州·期中）已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 48．（2025高一·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 49．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 50．（2025高一·全国·课堂例题）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 51．（2025高一·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 52．（2025高一·全国·课后作业）若集合A中有三个元素1，，a；集合B中有三个元素0，，b，集合A与集合B相等，则等于（   ） A．1 B． C．2 D． 考点十 集合的交并补及其综合运算 53．（25-26高一·黑龙江·期中）集合，，则（    ） A． B． C． D． 54．（25-26高一·辽宁·期中）集合，，则（ ） A． B． C． D． 55．（25-26高一·新疆·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C．, D．, 56．（25-26高一·山东·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 57．（2025高一·北京延庆·期中）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 58．（2025高三·云南·期中）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 59．（2025·北京顺义·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 60．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 61．（2025·吉林·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 62．（2025高一·广东江门·期中）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 63．（2025高一·广东广州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 64．（2025高二·河北·期中）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 65．（2025高一·浙江绍兴·期中）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 66．（2025高一·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点十一 根据集合的运算结果求参数 67．（2025高二·湖南郴州·期中）已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 68．（2025高一·湖北恩施·期中）集合，，若，则实数的值为（   ） A． B．或 C． D．0或或 69．（2025高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 70．（2025高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 71．（2025高三·江苏·开学考试）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 72．（2025高三·山东临沂·期末）已知集合，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（   ） A． B． C． D． 73．（2025高三·山西·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 74．（2025·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 75．（2025高三·北京海淀·期中）已知全集，集合，，则集合可能是（   ） A． B． C． D． 76．（2025高三·辽宁沈阳·期中）设全集，集合，则（    ） A． B．2 C． D． 77．（2025高一·贵州遵义·阶段练习）已知A，B均为集合的子集，且，，则（    ） A． B． C． D． 78．（2025高一·山东青岛·期中）已知全集，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的子集的个数为1024个 C． D．的非空真子集的个数为6个 79．（2025高一·湖北襄阳·阶段练习）设全集，集合，若，则的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．1或2 考点十二 韦恩图的应用 80．（2025高一·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 81．（2025高一·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 82．（2025高一·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（   ） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 83．（2025高一·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 84．（2025高一·江苏南通·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 85．（2025高三·福建·期中）图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 86．（2025高一·广东韶关·期中）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 87．（2025高一·辽宁·阶段练习）已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 88．（2025高三·浙江·期中）已知全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（   ） A． B． C． D． 考点十三 集合的新定义问题 89．（2025高一·山东·期中）在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 90．（2025高二·北京·期中）设集合，，，中至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；则集合可以是（   ） （1）    （2）    （3）    （4） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 91．（2025高一·重庆·期中）定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 92．（2025高一·北京·期中）设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（   ） A．0对 B．2对 C．3对 D．4对 93．（2025高一·河南平顶山·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 94．（2025高一·福建莆田·期中）非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 95．（2025高一·湖北·期中）设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ② ③； ④ 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 96．（2025高一·四川成都·期中）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为平衡集．记．若集合是平衡集，并且存在为奇数，则集合中元素个数的奇偶性（   ） A．与相关，既可以是奇数，又可以是偶数 B．与无关，既可以是奇数，又可以是偶数 C．与无关，必为偶数 D．与无关，必为奇数 97．（2025高一·江苏南通·阶段练习）两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $