第2章 整式及其加减 单元小测 2026-2027学年沪科版数学七年级上册

沪科版七年级上册 · 第2章　整式及其加减 单元小测 沪科版 七年级数学上册 第2章　整式及其加减 单元小测（含知识点梳理、答案及解析） 文档结构 内容说明 第一部分 知识点梳理 用字母表示数、代数式及其值、单项式与多项式、整式、同类项、合并同类项、去括号与添括号、整式的加减、探索规律（含典型例题与易错提醒） 第二部分 单元小测 选择题10道、填空题8道、解答题7道，满分100分，建议用时90分钟 第三部分 参考答案及解析 逐题给出答案、详细解题过程与易错点分析 第四部分 课后巩固练习 A组基础巩固、B组能力提升，附参考答案 单元学习目标 1．能用字母表示数，会列代数式并求代数式的值； 2．理解单项式、多项式及整式的概念，能确定单项式的系数、次数和多项式的项、次数； 3．理解同类项的概念，掌握合并同类项法则； 4．掌握去括号、添括号法则，能熟练进行整式的加减运算； 5．能用代数式表示简单的变化规律，体会归纳推理的思想。 使用建议 1．先复习“知识点梳理”，理解概念、法则并完成其中的例题； 2．在规定时间内独立完成“单元小测”，完成后再对照“参考答案及解析”批改订正； 3．根据错题情况选做“课后巩固练习”，A组人人必做，B组选做提升。 第一部分 知识点梳理 知识结构图 板块 核心内容 对应课节 代数式 用字母表示数；代数式的书写规范；代数式的值 2.1 整式 单项式（系数、次数）；多项式（项、次数）；整式 2.1 整式的加减 同类项；合并同类项；去括号与添括号；整式加减运算 2.2 探索规律 用代数式表示数量关系与变化规律；归纳推理 数学活动 知识点1　用字母表示数与代数式 （1）用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式，如5，a，2x+1，等。注意：含有“=”“>”“<”等符号的式子（如x+1=3）不是代数式。 （2）代数式的书写规范： ① 数字与字母、字母与字母相乘时，乘号“×”通常写成“·”或省略不写，如3×a写成3a，a×b写成ab； ② 数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如a×5写成5a； ③ 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数，如1×x写成x； ④ 除法运算一般写成分数形式，如a÷b写成（b≠0）； ⑤ 结果是和或差的形式且后面有单位时，要把代数式用括号括起来，如(a+b)元。 【例1】 用代数式表示：(1) 比a的2倍少3的数；(2) a与b的和的平方；(3) 一个两位数，十位数字是x，个位数字是y。 解：(1) 2a-3；(2) (a+b)2；(3) 10x+y。 易错提醒 “a与b的和的平方”是(a+b)2，而“a与b的平方和”是a2+b2，要注意运算顺序的描述。 两位数不能写成xy，因为xy表示x×y。 知识点2　代数式的值 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 求代数式的值的步骤：一“代入”，二“计算”。代入负数时要加括号，代入分数进行乘方运算时也要加括号。 【例2】 当a=-2，b=时，求代数式a2-4ab+b2的值。 解：a2-4ab+b2=(-2)2-4×(-2)×+()2=4+4+=8。 【例3】（整体代入） 已知x+2y=3，求代数式2x+4y-7的值。 解：2x+4y-7=2(x+2y)-7=2×3-7=-1。 知识点3　单项式 （1）由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式，如-3x，ab2，a，-5。 （2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 单项式 -5x2y -a 3×102m 系数 -5 -1 3×102 次数 3 2 1 1 易错提醒 ① π是常数，不是字母，的系数是，次数是2。 ② 单项式a的系数是1，次数是1；-a的系数是-1。单独的非零数（如-5）的次数是0。 ③ 不是单项式（分母中含有字母）。 知识点4　多项式与整式 （1）几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 例如：多项式3x2y-2xy+5中，有3项，分别是3x2y，-2xy，5，最高次项3x2y的次数为3，所以它是三次三项式，常数项是5。 （2）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做按这个字母降幂排列；从小到大排列，叫做升幂排列。移动项时要连同前面的符号一起移动。 （3）单项式与多项式统称为整式。 【例4】 把多项式5x-3x3+1-2x2按x的降幂排列，并指出它的次数和项数。 解：按x的降幂排列为-3x3-2x2+5x+1，它是三次四项式。 知识点5　同类项与合并同类项 （1）所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。所有的常数项都是同类项。判断同类项要抓住“两相同”，与系数、字母顺序无关。如3x2y与-yx2是同类项。 （2）把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 【例5】 合并同类项：4a2b-3ab2+2-5a2b+ab2-7。 解：原式=(4-5)a2b+(-3+1)ab2+(2-7)=-a2b-2ab2-5。 【例6】 若xmy3与-3x2yn+1是同类项，求m，n的值。 解：由同类项定义得m=2，n+1=3，所以m=2，n=2。 易错提醒 ① 3a+2b不能合并为5ab；5y2-2y2=3y2，而不是3；2a+3a=5a，而不是5a2。 ② 合并同类项时系数相加，字母和指数都不变。 知识点6　去括号与添括号 去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。 即：a+(b-c)=a+b-c；a-(b-c)=a-b+c。括号前有数字因数时，要用乘法分配律，把数与括号内的每一项相乘：-3(x-2y)=-3x+6y。 添括号法则：所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。如a-b+c=a-(b-c)。 知识点7　整式的加减 整式加减的一般步骤：（1）如果遇到括号，先去括号；（2）合并同类项。整式加减的结果仍是整式。 【例7】 先化简，再求值：5(3a2b-ab2)-4(-ab2+3a2b)，其中a=-2，b=3。 解：原式=15a2b-5ab2+4ab2-12a2b=3a2b-ab2。 当a=-2，b=3时，原式=3×(-2)2×3-(-2)×32=36+18=54。 知识点9　整式加减的实际应用 利用整式表示实际问题中的数量关系，再通过整式加减化简，可以使问题的解决更简洁。常见类型有：周长与面积问题、价格与利润问题、数字问题、行程问题等。 【例9】 一个长方形的长为(3a+2b)cm，宽比长少(a-b)cm，求这个长方形的周长。 解：宽为(3a+2b)-(a-b)=3a+2b-a+b=2a+3b（cm）， 周长为2[(3a+2b)+(2a+3b)]=2(5a+5b)=10a+10b（cm）。 【例10】 任意写一个两位数，交换它的十位数字与个位数字，得到一个新的两位数，求这两个两位数的差，你发现了什么规律？ 解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原数为10a+b，新数为10b+a。 (10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)，所以这两个两位数的差一定是9的倍数。 本章易错题集锦 易错点1　混淆单项式的系数与次数 【题】单项式-的系数是________，次数是________。 【错解】系数是-，次数是5。【正解】系数是-，次数是3。 【分析】32是数字，属于系数部分，不计入次数；次数只看字母x、y的指数和1+2=3。 易错点2　去括号时漏乘或漏变号 【题】化简：2a-3(a-2b+1)。 【错解】2a-3a-2b+1=-a-2b+1。【正解】2a-3a+6b-3=-a+6b-3。 【分析】括号前是“-3”，括号内每一项都要乘-3，既不能漏乘，也不能漏变号。 易错点3　合并同类项时把指数相加 【题】计算：3x2+2x2。 【错解】5x4。【正解】5x2。 【分析】合并同类项只把系数相加，字母和字母的指数不变。 易错点4　“不含某项”问题理解不清 【题】若多项式x2-3kxy-3y2+6xy-8中不含xy项，求k的值。 【正解】含xy的项为-3kxy+6xy=(6-3k)xy，由6-3k=0得k=2。 【分析】先合并同类项，再令该项系数为0，不能只看其中一项。 知识点10　探索规律 探索规律的一般思路：观察特例→寻找变化规律→用含n的代数式表示→验证。 图1　点阵图形 【例8】 如图1，按规律摆放圆点，第1个图形有1个点，第2个图形有3个点，第3个图形有6个点，第4个图形有10个点……第n个图形有多少个点？第20个图形呢？ 解：第1个：1；第2个：1+2=3；第3个：1+2+3=6；第4个：1+2+3+4=10；…… 所以第n个图形有1+2+3+…+n=（个）点。第20个图形有=210（个）点。 第二部分 单元小测 （满分：100分　　时间：90分钟） 姓名：__________　班级：__________　学号：________　得分：________ 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。每小题只有一个选项符合题意） 1．下列代数式书写规范的是（　　） A．a×3 B．1x C． D．a÷b 2．单项式-的系数和次数分别是（　　） A．-，3 B．-，3 C．-，4 D．，3 3．下列各组中，是同类项的是（　　） A．2a2b与-3ab2 B．3x2y与-yx2 C．2xy与2xz D．52与a2 4．多项式3x2y-2xy3+x-5是（　　） A．三次四项式 B．三次三项式 C．四次三项式 D．四次四项式 5．下列计算正确的是（　　） A．3a+2b=5ab B．5y2-2y2=3 C．4x2y-5yx2=-x2y D．2a+3a=5a2 6．下列去括号正确的是（　　） A．a-(b-c)=a-b-c B．-(a+b)=-a+b C．a-2(b-c)=a-2b+2c D．3(a-b)=3a-b 7．某商品原价为a元，先提价10%，再降价10%，则现价为（　　） A．0.99a元 B．a元 C．1.01a元 D．0.9a元 8．若x-2y=3，则2x-4y+1的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．若-2amb3与5a2bn是同类项，则m+n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．a是一个两位数，b是一个一位数，把b放在a的左边组成一个三位数，这个三位数可以表示为（　　） A．ba B．10b+a C．b+a D．100b+a 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，这个两位数可以表示为________。 12．当x=-2时，代数式x2-3x+1的值是________。 13．把多项式3x-5+2x3-x2按x的降幂排列为________________。 14．若3xm+1y2与-x3yn的和仍是单项式，则mn=________。 15．化简：3(2a-b)-2(a-3b)=________。 16．若多项式x2+(k-1)xy-3y2+5中不含xy项，则k=________。 17．如图，在长为2a+b、宽为a的长方形中挖去一个边长为b的正方形（b<a），则阴影部分的面积为________。 18．已知a+b=4，c-d=-3，则(b+c)-(d-a)的值为________。 三、解答题（本大题共7小题，满分46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）化简： (1) 5x2-3x+2x-4x2+1；　　(2) 3(2a2b-ab2)-2(ab2-3a2b)。 20．（8分）先化简，再求值： (1) 2(3x2y-xy2)-3(x2y-xy2+1)，其中x=-1，y=2； (2) 3x2y-[2xy2-2(xy-x2y)+xy]+3xy2，其中|x+1|+(y-)2=0。 21．（6分）已知A=2x2-3xy+y2，B=x2+xy-2y2。 (1) 求A-2B；(2) 当x=2，y=-1时，求A-2B的值。 22．（6分）某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，计算A+B。他误将“A+B”看成“A-B”，求得的结果是9x2-2x+7。已知B=x2+3x-2，求A+B的正确答案。 23．（6分）某文具店钢笔每支x元，笔记本每本y元。小明买了3支钢笔和5本笔记本，小亮买了2支钢笔和7本笔记本。 (1) 小明和小亮一共花了多少元？(2) 小明比小亮多花了多少元？(3) 当x=8，y=3时，求(2)中的值。 24．（6分）用火柴棒按如图所示的方式搭正方形。 (1) 填写下表：正方形个数为1，2，3，4，…，n时，所需火柴棒根数分别为4，7，10，____，…，____； (2) 搭100个正方形需要多少根火柴棒？ (3) 用2026根火柴棒能否恰好搭成一排这样的正方形？若能，能搭多少个？ 25．（6分）已知代数式(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x+5y-1)的值与字母x的取值无关，求a，b的值，并求代数式3(a2-2ab-b2)-(4a2+ab+b2)的值。 第三部分 参考答案及解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D C C A D A D 1．【答案】C 【解析】A应写成3a；B中带分数应化为假分数，写成x；D应写成；只有C书写规范。 2．【答案】B 【解析】π是常数，属于系数的一部分，系数是-；次数是字母x、y的指数和：2+1=3。 3．【答案】B 【解析】A中相同字母的指数不同；C中所含字母不同；D中52是常数，a2含字母；B中字母相同且相同字母的指数相同，是同类项（与字母顺序无关）。 4．【答案】D 【解析】该多项式共4项，各项次数分别为3，4，1，0，最高次项-2xy3的次数是4，所以是四次四项式。 5．【答案】C 【解析】A中3a与2b不是同类项，不能合并；B应为3y2；D应为5a；C中4x2y与-5yx2是同类项，合并得-x2y，正确。 6．【答案】C 【解析】A应为a-b+c；B应为-a-b；D应为3a-3b（分配律要乘每一项）；C正确。 7．【答案】A 【解析】提价10%后为(1+10%)a=1.1a（元），再降价10%后为1.1a×(1-10%)=0.99a（元）。 8．【答案】D 【解析】2x-4y+1=2(x-2y)+1=2×3+1=7。用整体代入法。 9．【答案】A 【解析】由同类项的定义，相同字母的指数相同，得m=2，n=3，所以m+n=5。 10．【答案】D 【解析】b放在两位数a的左边，b在百位上，表示b个百，即100b，所以这个三位数为100b+a。 二、填空题 11．【答案】10a+b 【解析】十位上的数字表示几个十，所以这个两位数为10a+b。 12．【答案】11 【解析】x2-3x+1=(-2)2-3×(-2)+1=4+6+1=11。代入负数要加括号。 13．【答案】2x3-x2+3x-5 【解析】按x的指数从大到小排列，移动时带着符号：2x3-x2+3x-5。 14．【答案】4 【解析】两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，所以m+1=3，n=2，得m=2，mn=22=4。 15．【答案】4a+3b 【解析】原式=6a-3b-2a+6b=4a+3b。 16．【答案】1 【解析】不含xy项，即xy项的系数为0，所以k-1=0，k=1。 17．【答案】2a2+ab-b2 【解析】阴影部分面积=长方形面积-正方形面积=a(2a+b)-b2=2a2+ab-b2。 18．【答案】1 【解析】(b+c)-(d-a)=b+c-d+a=(a+b)+(c-d)=4+(-3)=1。 三、解答题 19．（8分） 解：(1) 原式=(5-4)x2+(-3+2)x+1=x2-x+1。 (2) 原式=6a2b-3ab2-2ab2+6a2b 　　　　=(6+6)a2b+(-3-2)ab2 　　　　=12a2b-5ab2。 20．（8分） 解：(1) 原式=6x2y-2xy2-3x2y+2xy2-3=3x2y-3。 当x=-1，y=2时，原式=3×(-1)2×2-3=6-3=3。 (2) 原式=3x2y-[2xy2-2xy+3x2y+xy]+3xy2 　　　　=3x2y-2xy2+xy-3x2y+3xy2 　　　　=xy2+xy。 因为|x+1|≥0，(y-)2≥0，且和为0，所以x=-1，y=。 原式=(-1)×()2+(-1)×=--=-。 易错分析 去中括号时，括号前是“-”号，括号内每一项都要变号；先去小括号再去中括号，每一步都要注意符号。 21．（6分） 解：(1) A-2B=(2x2-3xy+y2)-2(x2+xy-2y2) =2x2-3xy+y2-2x2-2xy+4y2 =-5xy+5y2。 (2) 当x=2，y=-1时，A-2B=-5×2×(-1)+5×(-1)2=10+5=15。 22．（6分） 解：由题意得A-B=9x2-2x+7， 所以A=(9x2-2x+7)+(x2+3x-2)=10x2+x+5。 A+B=(10x2+x+5)+(x2+3x-2)=11x2+4x+3。 答：A+B的正确答案为11x2+4x+3。 23．（6分） 解：(1) (3x+5y)+(2x+7y)=5x+12y（元）。 (2) (3x+5y)-(2x+7y)=3x+5y-2x-7y=x-2y（元）。 (3) 当x=8，y=3时，x-2y=8-2×3=2（元）。 答：(1) 一共花了(5x+12y)元；(2) 小明比小亮多花(x-2y)元；(3) 值为2元。 24．（6分） 解：(1) 第1个图形需4根，此后每多搭1个正方形增加3根火柴棒。 正方形个数 1 2 3 4 … n 火柴棒根数 4 7 10 13 … 3n+1 (2) 当n=100时，3n+1=3×100+1=301（根）。 (3) 令3n+1=2026，则3n=2025，n=675，是正整数，所以能恰好搭成，可以搭675个正方形。 25．（6分） 解：原式=2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1 =(2-2b)x2+(a+3)x-6y+7。 因为代数式的值与x无关，所以含x项的系数都为0： 2-2b=0，a+3=0，解得b=1，a=-3。 3(a2-2ab-b2)-(4a2+ab+b2)=3a2-6ab-3b2-4a2-ab-b2=-a2-7ab-4b2。 当a=-3，b=1时，原式=-(-3)2-7×(-3)×1-4×12=-9+21-4=8。 第四部分 课后巩固练习（附答案） 说明：A组为基础巩固题，B组为能力提升题，供学生课后分层练习使用。 A组　基础巩固 1．写出下列单项式的系数和次数：(1) -5ab2c；(2) ；(3) -m。 2．合并同类项：3x2-2xy+y2-x2+5xy-3y2。 3．化简：-(2a-3b)+3(a-b)。 4．某商品进价为a元，商店将标价定为比进价高30%，后又按标价的八折出售，求该商品的售价（用含a的代数式表示）。 B组　能力提升 5．已知A=3a2-2ab+b2，B=-a2+ab-3b2，求2A-3B。 6．若关于x，y的多项式mx3-3nxy2+2x3-xy2+y不含三次项，求2m+3n的值。 7．已知a2+2a=3，求代数式2a2+4a-5的值。 8．观察一列数：1，-3，5，-7，9，-11，……，按此规律，写出第n个数，并求第2026个数。 巩固练习参考答案 1．(1) 系数-5，次数4；(2) 系数，次数3；(3) 系数-1，次数1。 2．原式=(3-1)x2+(-2+5)xy+(1-3)y2=2x2+3xy-2y2。 3．原式=-2a+3b+3a-3b=a。 4．标价为(1+30%)a=1.3a（元），售价为1.3a×0.8=1.04a（元）。 5．2A-3B=2(3a2-2ab+b2)-3(-a2+ab-3b2) =6a2-4ab+2b2+3a2-3ab+9b2 =9a2-7ab+11b2。 6．原式=(m+2)x3-(3n+1)xy2+y。 不含三次项，所以m+2=0，3n+1=0，得m=-2，n=-。 2m+3n=-4+(-1)=-5。 7．2a2+4a-5=2(a2+2a)-5=2×3-5=1。 8．这列数的绝对值是连续的奇数2n-1，奇数位为正，偶数位为负，所以第n个数为(-1)n+1(2n-1)。 第2026个数为(-1)2027×(2×2026-1)=-4051。 附：本单元学习自我评价 评价内容 掌握情况（在相应栏打“✓”） 能按规范书写代数式并求代数式的值 □熟练　□基本掌握　□需加强 能准确说出单项式的系数、次数及多项式的项、次数 □熟练　□基本掌握　□需加强 能正确判断同类项并合并同类项 □熟练　□基本掌握　□需加强 能正确去括号并进行整式加减、化简求值 □熟练　□基本掌握　□需加强 能从具体情境中发现规律并用代数式表示 □熟练　□基本掌握　□需加强 第 页（共 页） 学科网（北京）股份有限公司 $