精品解析：河北献县第五中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段学情分析数学试题（25～26章）

九年级数学学情分析（RJ） ·九上25~26章· 注意事项：共8页，三个大题，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A的方程，整理得，未知数最高次数为1，不符合一元二次方程定义； 选项B的方程含有2个未知数，不符合一元二次方程定义； 选项C的方程不是整式方程，不符合一元二次方程定义； 选项D的方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程定义． 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【详解】一元二次方程的一般形式为， ∵给定方程为，符合一般形式， ∴对比可得，，． 3. 抛物线的对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质求解即可． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为， ∴ 对称轴为y轴，即直线． 4. 设是方程的一个实数根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2028 C. 2030 D. 2032 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，即， 对所求代数式变形得： ， 将代入得： 原式 ， 故选C 5. 将抛物线向左平移5个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律：向左平移5个单位长度，顶点横坐标减5，即可得到新抛物线的顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴向左平移5个单位长度后，新抛物线的顶点坐标为，即． 6. 将方程用配方法化为的形式，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】将原方程用配方法化为的形式，求出、的值后计算． 【详解】解：移项，得， 配方，得，即， ∴，， ∴． 7. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点的横坐标是和 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得二次项系数为正，则可判定A；根据顶点式得抛物线的对称轴，故可判断B；令，可求得抛物线与x轴的交点坐标，从而判定C；根据抛物线的对称轴及增减性可判定D，最后可确定答案． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 图象开口向上，选项A错误； ∵顶点式为， ∴对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得，， ∴与轴交点的横坐标是和，选项C错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 8. 我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，第三个月进馆432人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据增长率的增长规律表示出第三个月的进馆人次，结合已知条件即可列出方程． 【详解】解：∵第一个月进馆人次为300，月平均增长率为x， ∴第二个月进馆人次为， 第三个月进馆人次为， ∵题目已知第三个月进馆432人次， ∴可列方程为． 9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设两根满足倍数关系，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根，进而计算的值． 【详解】解：∵方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍， ∴设方程的两个根分别为和， 由根与系数的关系可得， 解得， 两根为和， ． 10. 如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 11. 某同学尝试借助人工智能辅助学习，对话如图所示，该人工智能程序经过思考后给出的正确答案是（ ） A. 存在，这个数是 B. 存在，这个数是2 C. 存在，这个数是 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】设这个数为 ，根据“平方加3倍等于相反数减4”列出关于  的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 移项、合并同类项得， 配方得， 解得， ∴存在这样的数，这个数是． 12. 已知，是二次函数图象上的两点，当时，均有；当时，的最小值是8，则的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出二次函数的对称轴为直线，然后判断出抛物线开口向下，即，然后根据对称性得到当时，y取得最小值8，然后代入表达式求解即可． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线， ∵当时，均有， ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向下，即， ∵当时，，，， ∴当时，y取得最小值8， ∴， 解得或（舍去）， ∴的值为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 抛物线与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为，将代入抛物线解析式计算的值即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标为， ∴将代入，得， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 14. 已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设矩形两条邻边长为方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和，矩形周长等于邻边和的倍，代入计算即可得到结果. 【详解】解：设矩形的两条邻边长分别为，， ∵ ，是方程的两个根， ∴ 由根与系数的关系得， ∴ 矩形的周长为. 15. 二次函数的图象如图所示，在平面直角坐标系中，点所在的象限是第___________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，进而确定点所在的象限． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴左侧， ， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ，， 点在第二象限． 16. 在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长和矩形的长，再根据矩形和正方形的面积相等，列方程，求解检验即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，， ∴矩形的长为， 根据矩形和正方形的面积相等，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图像经过点． （1）求的值； （2）将化成的形式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，将二次函数解析式化为顶点式，正确配方是解题的关键． （1）把代入即可求解； （2）利用配方法即可把一般式转化为顶点式． 【小问1详解】 解：将点代入，得：， 解得：； 【小问2详解】 解：． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根和，且． （1）求的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】（1） （2）的整数值为， 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，利用判别式大于列不等式求解； （2）利用根与系数的关系得到两根和与两根积，代入已知不等式，结合（1）的取值范围确定整数解． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 解得． 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得，， ， ， ， 解得． 结合（1）的结论，得， 的整数值为，． 20. 如图，砗磲是地球上最大的双壳类动物，被称为“贝王”，其幼年生长较快，随年龄增加生长速率持续放缓．某海洋研究院对南海地区的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率（单位：微米/天）与年龄（单位：岁）近似满足关系：，其中． （1）若该砗磲样本的年龄为18岁，求它的平均日生长速率； （2）现测得该砗磲样本的平均日生长速率为20微米/天，求它的年龄． 【答案】（1） （2）30岁 【解析】 【分析】（1）将代入即可求出答案． （2）将代入，转化成一元二次方程，然后将其因式分解即可求出的值，需要注意利用取值范围求出唯一的的值． 【小问1详解】 解：砗磲样本的年龄为18岁，， ． 【小问2详解】 解：砗磲样本的平均日生长速率为20微米/天，， ， 去分母得， 移项得， ， ，． ， （舍去）． ． 它的年龄为30岁． 21. 在学习了二次函数的相关知识后，某同学开展了一项综合实践活动，下面是他尚未完成的活动报告． 主题 探究生活中的抛物线 研究内容 如图1是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞顶部与水面的最大竖直距离是，其中为桥洞与水面的接触点，为抛物线的顶点，夏季暴雨频繁，现要根据降水量计算水面宽度． 研究方法 根据拱桥桥洞上沿所在的抛物线建立适当的平面直角坐标系，有图2-图4三个不同的方案（其中方案一点均在轴上，且关于轴对称，方案二点与原点重合，且点在轴上，方案三顶点与原点重合）． 方案一 方案二 方案三 方案设计 实践成果 ．．．．．． （1）根据方案设计，你选择的方案是___________（填“方案一”“方案二”或“方案三”）．则点的坐标为___________； （2）根据（1）所选的方案，求出拱桥桥洞上沿所在抛物线的解析式； （3）因夏季暴雨水位上升，求出此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】（1）方案一，；方案二，；方案三， （2）选方案一，解析式为；选方案二，解析式为；选方案三，解析式为； （3） 【解析】 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【小问1详解】 解：选择方案一： 由题意得， ； 选择方案二： 由题意得， ； 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，， ， 又桥洞与水面的最大距离是， ， ； 【小问2详解】 解：选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为； 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为； 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：选择方案一中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为； 选择方案二中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为； 选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 22. 河北赵县素有“中国雪花梨之乡”的美誉，雪花梨的种植面积约25万亩，年产值超40亿元，水果商从赵县购进一批优质雪花梨进行销售，进价为每千克10元．市场调研发现：售价为每千克18元时，每日可售出60千克；售价每降低1元，每日的销售量增加30千克．设每千克雪花梨的售价降低元（）． （1）用含的式子表示：现在每千克雪花梨的售价为（___________）元，每日的销售量为（___________）千克； （2）若该水果商每日销售这种雪花梨获利630元，为了尽快减少库存，求此时雪花梨的售价； （3）结合水果商的营销方案：这种雪花梨每千克的利润不少于1元，且每日销售量超过200千克，直接写出符合条件的整数的个数． 【答案】（1）， （2）雪花梨的售价为13元 （3）符合条件的整数有3个 【解析】 【分析】（1）根据题意即可得结论； （2）根据题意列出方程为，解方程得，，再根据尽快减少库存，即可求解； （3）根据题意列出不等式组，再根据是整数，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知，现在每千克雪花梨的售价元，每日的销售量为千克． 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴每日销售量为千克必须是更多的， ∴， ∴雪花梨的售价为（元）． 答：此时雪花梨的售价为13元． 【小问3详解】 解：由题意得， 解得， ∵是整数， ∴， ∴符合条件的整数有3个． 答：符合条件的整数有3个． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数（其中）的图象与轴交于点． （1）若抛物线经过点，求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）若点的坐标为，当取得最小值时，求的值； （3）当时，函数的最大值为，直接写出的值． 【答案】（1）当时，二次函数解析式为，顶点坐标为；当时，二次函数解析式为，顶点坐标为 （2）的值为 （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）把已知点的坐标代入二次函数的解析式，求解参数，再根据顶点式确定顶点坐标； （2）先确定点的坐标，用表示出的长度，再转化为二次函数，利用顶点式求出最小值； （3）先确定开口方向是向上的，而开口向上的二次函数在闭区间上的最大值在离对称轴较远的端点处取得，所以后面分情况讨论对称轴的位置即可求出结论． 【小问1详解】 解：因为抛物线经过点，将点的坐标代入得：， 整理得：， 解得：或，都满足， 当时，解析式为，顶点坐标为； 当时，解析式为，顶点坐标为 【小问2详解】 解：设抛物线与轴的交点的坐标为，则， 因为点的坐标为， ， 当时，取得最小值． 当取得最小值时，的值为． 【小问3详解】 解：把化为顶点式得：， 所以开口向上，对称轴为，在范围内，最大值在端点处取得， 在处，函数值； 在处，函数值， 当时，处离对称轴的距离大于等于处离对称轴的距离， 在处的函数值大于等于在处的函数值， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，处离对称轴的距离小于等于处离对称轴的距离， 在处的函数值小于在处的函数值， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 的值为或． 24. 如图，在矩形中，，点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点后，运动立即停止．设点，运动的时间为秒（）． （1）用含的式子表示：___________，___________； （2）当的长为时，求的值； （3）淇淇说：“在运动的过程中，的面积不可能是25．”你是否同意淇淇的说法？说明理由； （4）取的中点，在运动的过程中，当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2） （3）不能；理由如下： 设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （4）6或 【解析】 【分析】（1）利用路程速度时间，进一步列代数式即可； （2）利用勾股定理列方程求解即可； （3）设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （4）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，可得，，根据两点间的距离公式，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 解： ∵点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点运动即停止，， ∴，，，． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ∴当的长为时，． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ∴，，，， 是的中点， ， ，， ，， ， ， 整理得：， 解得：，． 的值为6或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情分析（RJ） ·九上25~26章· 注意事项：共8页，三个大题，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 抛物线的对称轴为（ ） A. B. C. D. 4. 设是方程的一个实数根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2028 C. 2030 D. 2032 5. 将抛物线向左平移5个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 将方程用配方法化为的形式，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 13 7. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点的横坐标是和 D. 当时，随的增大而增大 8. 我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，第三个月进馆432人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（ ） A. B. C. D. 11. 某同学尝试借助人工智能辅助学习，对话如图所示，该人工智能程序经过思考后给出的正确答案是（ ） A. 存在，这个数是 B. 存在，这个数是2 C. 存在，这个数是 D. 不存在 12. 已知，是二次函数图象上的两点，当时，均有；当时，的最小值是8，则的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 抛物线与轴的交点坐标是___________． 14. 已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是___________． 15. 二次函数的图象如图所示，在平面直角坐标系中，点所在的象限是第___________象限． 16. 在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图像经过点． （1）求的值； （2）将化成的形式． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根和，且． （1）求的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 20. 如图，砗磲是地球上最大的双壳类动物，被称为“贝王”，其幼年生长较快，随年龄增加生长速率持续放缓．某海洋研究院对南海地区的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率（单位：微米/天）与年龄（单位：岁）近似满足关系：，其中． （1）若该砗磲样本的年龄为18岁，求它的平均日生长速率； （2）现测得该砗磲样本的平均日生长速率为20微米/天，求它的年龄． 21. 在学习了二次函数的相关知识后，某同学开展了一项综合实践活动，下面是他尚未完成的活动报告． 主题 探究生活中的抛物线 研究内容 如图1是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞顶部与水面的最大竖直距离是，其中为桥洞与水面的接触点，为抛物线的顶点，夏季暴雨频繁，现要根据降水量计算水面宽度． 研究方法 根据拱桥桥洞上沿所在的抛物线建立适当的平面直角坐标系，有图2-图4三个不同的方案（其中方案一点均在轴上，且关于轴对称，方案二点与原点重合，且点在轴上，方案三顶点与原点重合）． 方案一 方案二 方案三 方案设计 实践成果 ．．．．．． （1）根据方案设计，你选择的方案是___________（填“方案一”“方案二”或“方案三”）．则点的坐标为___________； （2）根据（1）所选的方案，求出拱桥桥洞上沿所在抛物线的解析式； （3）因夏季暴雨水位上升，求出此时水面的宽度（结果保留根号）． 22. 河北赵县素有“中国雪花梨之乡”的美誉，雪花梨的种植面积约25万亩，年产值超40亿元，水果商从赵县购进一批优质雪花梨进行销售，进价为每千克10元．市场调研发现：售价为每千克18元时，每日可售出60千克；售价每降低1元，每日的销售量增加30千克．设每千克雪花梨的售价降低元（）． （1）用含的式子表示：现在每千克雪花梨的售价为（___________）元，每日的销售量为（___________）千克； （2）若该水果商每日销售这种雪花梨获利630元，为了尽快减少库存，求此时雪花梨的售价； （3）结合水果商的营销方案：这种雪花梨每千克的利润不少于1元，且每日销售量超过200千克，直接写出符合条件的整数的个数． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数（其中）的图象与轴交于点． （1）若抛物线经过点，求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）若点的坐标为，当取得最小值时，求的值； （3）当时，函数的最大值为，直接写出的值． 24. 如图，在矩形中，，点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点后，运动立即停止．设点，运动的时间为秒（）． （1）用含的式子表示：___________，___________； （2）当的长为时，求的值； （3）淇淇说：“在运动的过程中，的面积不可能是25．”你是否同意淇淇的说法？说明理由； （4）取的中点，在运动的过程中，当为直角三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $