精品解析：河北省沧州市献县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期学业水平检测三 九年级数学 人教版 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 注意事项： 1．使用考试专用扁头2B涂卡铅笔填涂，或将普通2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂． 2．修改时，请先用橡皮擦干净，再重新填涂，不得条形码粘贴处使用修正带或涂改液． 3．填涂的正确方法： 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（ ） A. 3倍 B. 6倍 C. 9倍 D. 18倍 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数，在图象的每一支上，随的增大而减小，则的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（ ） A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组 5. 二次函数与反比例函数的交点个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 两个相似三角形的最长边分别为和，它们的周长之差为，那么小三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象．嘉嘉：当时，、均随的增大而减小；琪琪：若，，则．对于他俩的说法，正确的是（ ） A. 嘉嘉正确，琪琪错误 B. 嘉嘉错误，琪琪正确 C. 他俩都正确 D. 他俩都错误 8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）．是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图，当时，气体的密度是（ ） A. B. C. D. 10. 将两个等腰直角三角尺如图摆放，其中在中，，，三角尺的顶点在上，、两点分别在、上，．当时，的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．结论Ⅰ：；结论Ⅱ：．对于以上两个结论，判断正确的是（ ） A. 结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误 B. 结论Ⅱ正确，结论Ⅰ错误 C. 两个结论都正确 D. 两个结论都错误 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是__________．（填上一个认为正确的答案即可） 14. 已知，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是__________． 15. 如图，一次函数分别与轴、轴交于、两点，为反比例函数图象上一动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴，与反比例函数交于点．若，则点的坐标为__________． 16. 如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．若，，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． （1），，，，，； （2），，，． 18. 如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）． （1）求反比例函数解析式； （2）点为轴上一点，在图中用直尺作出（不写作法），要求这个三角形满足下列条件：①三角形顶点在格点上，且其中两个顶点为点和；②三角形面积为． （3）写出（2）中点的坐标． 19. “计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）是中国古代制作地图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时；人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，照板平行于测杆，照板“内芯”的高度为．观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上，已知，，． （1）求的长； （2）设为测杆上一点，且，将测杆向右平移，当与、、在同一直线上时，求的值． 20. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，一次函数与轴交于点． （1）求，的值； （2）求的面积； （3）若，是反比例函数图象上的两点，且，指出点，分别位于哪个象限，并比较，的大小． 21. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． （1）画出绕原点顺时针旋转得到的，并写出的坐标； （2）在给定的网格中，以点为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到，画出并写出的坐标； （3）的长度为__________． 22. 如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点． （1）找出图中一对相似三角形（不全等）并加以证明； （2）当时． ①求（1）中相似三角形的相似比； ②为中点，动点沿从点向点运动，当__________时，以、、为顶点的三角形与相似． 23. 某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 （1）写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； （2）在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； （3）设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 24. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度运动，2秒后点以相同速度从点开始沿边向点运动，同时，动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动，过点作，交于点，过点作，交于点，连接，与交于点．当、、中有一点到达端点时，另两点也随之停止运动，设点运动时间为秒（）． （1）直接用含的代数式分别表示：__________，__________． （2）是否存在的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （3）请直接写出当__________秒时，与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期学业水平检测三 九年级数学 人教版 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 注意事项： 1．使用考试专用扁头2B涂卡铅笔填涂，或将普通2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂． 2．修改时，请先用橡皮擦干净，再重新填涂，不得条形码粘贴处使用修正带或涂改液． 3．填涂的正确方法： 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（ ） A. 3倍 B. 6倍 C. 9倍 D. 18倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的面积比是相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵将一个三角形放大为与它相似的三角形，面积扩大为原来的9倍， ∴面积的比为：， ∴相似比为， ∴周长扩大为原来的3倍， 故选：A． 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断点是否在给出的反比例函数的图象上，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．将各点坐标代入解析式即可求解． 【详解】， ，即反比例函数图象上的点横纵坐标乘积为， A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D符合题意． 故选：D． 3. 已知反比例函数，在图象的每一支上，随的增大而减小，则的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数随的增大而减小，可得，即可得到答案． 【详解】解：反比例函数，在图象的每一支上，随的增大而减小， ， 满足条件， 故选：B． 4. 下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（ ） A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似的性质，熟练掌握相似的性质是解题的关键． 根据相似的性质即可判断． 【详解】解：根据相似的性质可判断出①、②、③、⑤是相似图形， 故选：A． 5. 二次函数与反比例函数的交点个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数图象和性质，熟练掌握二次函数和反比例函数图象和性质是解题的关键． 根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 【详解】解：∵二次函数的图象在第一、二象限，开口向上，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第一、三象限， 故两个函数的交点只有一个，且在第一象限， 故选：A． 6. 两个相似三角形的最长边分别为和，它们的周长之差为，那么小三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意求出两个三角形的相似比，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的最长边分别为和， ∴两个三角形的相似比为， 设大三角形的周长为，则小三角形的周长为， 由题意得， 解得， 即小三角形的周长为， 故选：C． 7. 如图，是二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象．嘉嘉：当时，、均随的增大而减小；琪琪：若，，则．对于他俩的说法，正确的是（ ） A. 嘉嘉正确，琪琪错误 B. 嘉嘉错误，琪琪正确 C. 他俩都正确 D. 他俩都错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的交点，熟练掌握反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据反比例函数和二次函数的图象与性质可判断嘉嘉；分别将和代入反比例函数，再进行计算即可． 【详解】解：由图像可知，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，故嘉嘉正确； ∵点A、B均在反比例函数图像上， ∴当时，，当时，， ∴， 故琪琪正确； 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，熟练掌握位似图形对应点坐标的变化规律是解题的关键．根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将缩小到原来的得到， ∴点与点的坐标关系为点的坐标是点坐标乘以的相反数（与在位似中心两侧）． ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：D． 9. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）．是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图，当时，气体的密度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先利用待定系数法求出密度与体积的函数关系式，再把代入即可求出答案，正确求出反比例函数的关系式是解题的关键． 【详解】解：∵密度是体积的反比例函数， ∴设， 由题意可得：点在反比例函数图象上， ∴，即， ∴， ∴当时，气体的密度； 故选：B． 10. 将两个等腰直角三角尺如图摆放，其中在中，，，三角尺的顶点在上，、两点分别在、上，．当时，的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查等腰直角三角形与相似三角形的知识点．掌握等腰直角三角形与相似三角形是解本题的关键． 首先根据题目等腰直角三角形罗列已知信息（在两个等腰直角三角形和中，，，，），根据相似三角形判定原则（若两个三角形中有两个角对应相等，则它们为相似三角形），可以找到两个相似三角形，从而根据相似三角形性质（对应边成比例）找到各边的关系，计算得出结果． 【详解】在两个等腰直角三角形和中， ，，，， 在中，， 即 又因为， ， 在和中， ， ， ， ， 在等腰直角三角形中， ， 则， 设，则， ， 而在等腰直角三角形中， ， ， 又， ， 又， ． 故选：D． 11. 如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证出四边形是矩形，进而推得，求出，再证得，求出，，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：过点C作轴交于点N，过点B作交延长线于点M， 由题意可知，，， ∵轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，如图， ∴，，， 过点F作轴，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点恰好在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握位似的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 12. 如图，在中，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．结论Ⅰ：；结论Ⅱ：．对于以上两个结论，判断正确的是（ ） A. 结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误 B. 结论Ⅱ正确，结论Ⅰ错误 C. 两个结论都正确 D. 两个结论都错误 【答案】C 【解析】 【分析】先证出，再证出四边形是矩形，即可判断Ⅰ；根据正方形和矩形的性质证出，即可判断Ⅱ． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故结论Ⅰ正确； ∵四边形是矩形，四边形为正方形， ∴，， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故结论Ⅱ正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是__________．（填上一个认为正确的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限．根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案． 【详解】解： 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， ∴的值可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方、对应角平分线的比等于相似比即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，和是它们的对应角平分线， ∴与的相似比为， ∴与的面积比是， 故答案为： 15. 如图，一次函数分别与轴、轴交于、两点，为反比例函数图象上一动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴，与反比例函数交于点．若，则点的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求出点的坐标，得，进而得，设，，由点在反比例函数上，，得关于b、m的方程组，解方程组得m的值，进而可得点的坐标． 【详解】解：∵点在反比例函数上，轴， ∴设，则， ∵点在一次函数上， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，点在一次函数上， ∴可设，， ∵点在反比例函数上，， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 16. 如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．若，，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内心，圆周角定理推论，相似三角形的判定与性质，涉及了等腰三角形的判定，三角形的外角定理，关键是正确理解三角形的内心定义． 根据三角形的内心，先证出，再借助圆周角定理证明，然后进行计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵E是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． （1），，，，，； （2），，，． 【答案】（1） ，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． （2） ，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，通过计算得出两角对应相等即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）． （1）求反比例函数解析式； （2）点为轴上一点，在图中用直尺作出（不写作法），要求这个三角形满足下列条件：①三角形顶点在格点上，且其中两个顶点为点和；②三角形面积为． （3）写出（2）中点的坐标． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求； （3）， 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，求解反比例函数解析式； （1）把代入即可得到答案； （2）由的几何意义可得轴，再结合三角形中线的性质可得的位置，再画图即可； （3）结合（2）中的位置可得其坐标． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过格点（网格线的交点）． ∴， ∴反比例函数． 【小问2详解】 解：∵ 【小问3详解】 解：由的几何意义可得： 轴， ∴， 由三角形的中线的性质可得：， ∴， 综上：的坐标为：或． 19. “计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）是中国古代制作地图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时；人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，照板平行于测杆，照板“内芯”的高度为．观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上，已知，，． （1）求的长； （2）设为测杆上一点，且，将测杆向右平移，当与、、在同一直线上时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）证得，代入计算求解即可； （2）证得，代入计算求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴ ∴， 即， 解得． 【小问2详解】 解：如下图所示， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 20. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，一次函数与轴交于点． （1）求，的值； （2）求的面积； （3）若，是反比例函数图象上的两点，且，指出点，分别位于哪个象限，并比较，的大小． 【答案】（1） （2） （3）点在第三象限，点在第一象限， 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是灵活运用反比例函数和一次函数的图象与性质解决问题． （1）先求出点，，再利用待定系数法即可求解； （2）先求得，再利用铅锤法求面积即可； （3）结合图象即可判断． 【小问1详解】 解：把点代入，得：， ∴， 再把点代入，得：， ∴， ∴点，， ∵点，在的图象上， ∴，解得． 【小问2详解】 解：由（1）可知：，， ∴一次函数解析式为：， 当时，， ∴点， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由图像可知，点在第三象限，点在第一象限，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． （1）画出绕原点顺时针旋转得到的，并写出的坐标； （2）在给定的网格中，以点为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到，画出并写出的坐标； （3）的长度为__________． 【答案】（1） 如图所示， （2） 如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图一位似变换，旋转变换，坐标系中借助勾股定理求线段长，熟练掌握旋转和位似的性质是解题的关键． （1）按要求作图即可； （2）按要求作图即可； （3）利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知，． 22. 如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点． （1）找出图中一对相似三角形（不全等）并加以证明； （2）当时． ①求（1）中相似三角形的相似比； ②为中点，动点沿从点向点运动，当__________时，以、、为顶点的三角形与相似． 【答案】（1） 解： ． 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知：， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①；②5或8.2 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质： （1）由矩形的性质得出，由折叠得出，通过导角证明，结合，可证； （2）①由折叠可知，用勾股定理解求出，进而求出，相似三角形对应边长度之比即为相似比；②分和两种情况，根据相似三角形对应边长度成比例求出，进而可求的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知， 在中， ∴， 由（1）可知， ∴相似比为， （由（1）可知，∴相似比为：） ②或．理由如下： ∵为中点， ， 分两种情况:当时，如图， ， ， ； 当时，如图， ，即， 解得， ； 综上可知，或． 23. 某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 （1）写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； （2）在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； （3）设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 【答案】（1） （2）8天 （3）能 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键． （1）设出反比例函数解析数，找一点代入即可； （2）根据题意计算即可； （3）根据，可表示出与之间的函数关系式，再根据求出最大利润，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：（天）， ∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出． 【小问3详解】 解：依题意， 整理得：， ∵， ∴当时，最大， ∴当时，， ∴（天）， ∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品． 24. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度运动，2秒后点以相同速度从点开始沿边向点运动，同时，动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动，过点作，交于点，过点作，交于点，连接，与交于点．当、、中有一点到达端点时，另两点也随之停止运动，设点运动时间为秒（）． （1）直接用含的代数式分别表示：__________，__________． （2）是否存在的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （3）请直接写出当__________秒时，与相似． 【答案】（1）； （2）存在, （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意可确定，再证明即可求出； （2）根据四边形为平行四边形，可证出四边形为平行四边形，即，再进行求解即可； （3）先证出，得到，再分为和两种情况，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ∵，， ∴， 若四边形为平行四边形，则， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 若，则， ∴， 解得； 若，则， ∴， 解得； 综上所述，当为或时，与相似， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $