期中模拟卷（第一至三章•A／B 双卷）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

八年级上册 期中模拟 期中模拟·A／B双卷 保密★启用前 期中模拟卷（第一至三章•A／B 双卷） 考试范围：第一章 勾股定理、第二章 实数、第三章 位置与坐标 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第一章 勾股定理、第二章 实数、第三章 位置与坐标） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：北师大版（2024）八年级上册第一章 勾股定理、第二章 实数、第三章 位置与坐标。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．结果中的二次根式要化成最简二次根式；请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效。 命题说明本卷考查：第一章、第二章、第三章（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分） 考点清单 这份期中卷的范围是勾股定理、实数、位置与坐标三章。下表左两栏是章与考点，右两栏分别是这个考点在A卷、B卷中的题号，跨章综合题同时记在两个考点下。A卷以通法和基本题型为主，B卷多了分类讨论、折叠展开与动点；讲评时按行汇总全班失分，就能看出哪个考点需要回炉。 章 考点 A卷题号 B卷题号 第一章 勾股定理（求边与面积） 2，8，9，13，14，22 2，5，8，9，12，19 第一章 勾股定理的逆定理 5，19，20 13，23 第一章 勾股定理的应用（最短路径、折叠、方程思想） 18，23 15，18，20，22 第二章 认识实数（无理数、估算、数轴） 4，15，21 1，9，10 第二章 平方根与立方根 1，10，11 11，16 第二章 二次根式（化简与运算） 7，16，19，20，21，22，23 4，7，19，20，21，23 第三章 确定位置（方向与距离） 14 6 第三章 平面直角坐标系（点的坐标与距离） 3，6，9，12，20，21，23 3，8，12，17，23 第三章 轴对称与坐标变化 17 14，17 第一至三章知识要点速览 三章的核心结论列在下表中。考前可以只看“知识要点”一栏，先口述结论，再对照右栏补全；做完A卷后，把失分题对应的结论圈出来重读，再做B卷检验。 章 知识要点 掌握要求 第一章 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方：a²＋b²＝c²；已知两边求第三边前先认准直角和斜边 第一章 勾股定理的逆定理 三边满足a²＋b²＝c²的三角形是直角三角形，最长边所对的角是直角；满足这个等式的三个正整数叫作勾股数 第一章 勾股定理的应用 立体表面的最短路径先展开成平面；折叠、测量问题找出相等的线段，设未知数用勾股定理列方程 第二章 无理数与实数 无限不循环小数叫作无理数；有理数和无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应 第二章 平方根与立方根 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；每个数都有唯一的立方根 第二章 估算 用相邻的两个完全平方数夹住被开方数确定整数部分；小数部分＝这个数－整数部分 第二章 二次根式 ×＝（a≥0，b≥0）；化成最简二次根式后，被开方数相同的才能合并 第三章 确定位置 平面内确定一个点的位置需要两个数据：方向角和距离、两个距离，或一对有序数 第三章 平面直角坐标系 第一至第四象限内点的坐标符号依次为正正、负正、负负、正负；点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值 第三章 坐标系中的距离 平行于坐标轴的线段长是坐标之差的绝对值；不平行时以坐标差为两条直角边，用勾股定理求距离 第三章 轴对称与坐标变化 关于x轴对称的两点横坐标相同、纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同、横坐标互为相反数 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）用面积为0.36 m²的一块正方形布料做桌垫，这块布料的边长是(____)m。 A．0.06 B．0.18 C．0.6 D．0.09 2．（本题3分）如图，公园草坪上摆放着一块三角形景观石台，它的底面是△ABC，其中∠C＝90°，工人量得AC＝4 m，BC＝7.5 m，那么最长边AB的长（单位：m）为(____)。 A．8.5 B．11.5 C．72.25 D．3.5 3．（本题3分）在平面直角坐标系中，把x轴看作一段笔直的河岸，一只小船停在点P(－7，4)处，小船到这段河岸（x轴）的距离是(____)。 A．4 B．7 C． D．11 4．（本题3分）小林在用计算器计算－1之前，先估算了它的整数部分，正确的估算结果是(____)。 A．6 B．4 C．19 D．5 5．（本题3分）一块三角形木板ABC的三边长分别为AB＝10.6 dm，BC＝9 dm，AC＝5.6 dm，那么△ABC中的直角是(____)。 A．∠A B．∠C C．∠B D．△ABC中没有直角 6．（本题3分）学校开展定向越野活动，在平面直角坐标系中，打卡点甲的坐标为(－3，2)，打卡点乙与甲的纵坐标相同，乙在甲的右侧，且两点相距9个单位长度，则打卡点乙的坐标是(____)。 A．(－12，2) B．(－3，11) C．(6，2) D．(9，2) 7．（本题3分）小刚先算出与的差，再把这个差乘，他应当得到的正确结果是(____)。 A． B．3 C．9－ D．15 8．（本题3分）如图，校门口立着一块等腰三角形的指示标志牌ABC，它的两腰AB，AC都长8.9 dm，底边BC长7.8 dm，这块标志牌的面积是(____)dm²。 A．62.4 B．8 C．34.71 D．31.2 9．（本题3分）如图，两座信号塔分别位于点A(－1，5)和点B(7，1)，要在x轴所表示的公路上建一个维修站P，使它到两座信号塔的距离相等，维修站P的坐标是(____)。 A．(3，0) B．(0，－3) C．(1.5，0) D．(－1.5，0) 10．（本题3分）老师给出两个条件：①(2x+1)²＝81；②y的立方根等于－2。同时满足这两个条件时，x－y的算术平方根是(____)。 A． B．或 C．或1 D．±或± 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，学校屋顶上有一个正方体形状的储水箱，它最多能装水3.375 m³（箱壁厚度不计），则储水箱的棱长是________m。 12．（本题3分）在一张气象站分布图上建立平面直角坐标系，某气象站位于第三象限，它的坐标是(－5，y)，且它到x轴的距离是7，则y＝________。 13．（本题3分）如图，一张直角三角形彩纸PQR中，∠Q＝90°，量得最长的边PR＝9.1 cm，边PQ＝3.5 cm，那么边QR的长为________cm。 14．（本题3分）如图，货轮A在灯塔O的北偏东28°方向，距灯塔130 n mile；渔船B在灯塔O的南偏东62°方向，距灯塔144 n mile，则货轮A与渔船B之间的距离是________n mile。 15．（本题3分）用m表示的整数部分，用n表示－m，则代数式＋m)的值为________。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）小亮做完了下面两道实数计算题，请你也写出计算过程并算出结果： (1)+∛(-0.027)-； (2)×÷－。 17．（本题9分）如图，△PQR的三个顶点P，Q，R都落在平面直角坐标系的格点上（坐标系中每一小格的边长表示1个单位长度）。 (1)写出点P，Q，R的坐标； (2)画出△PQR关于x轴对称的△P′Q′R′，并写出点P′，Q′，R′的坐标； (3)求△PQR的面积。 18．（本题9分）如图，一根圆柱形石柱立在广场中央，石柱的高AB为6 m，底面一周的长为3.2 m。工人要从石柱底部的点A出发，沿侧面缠绕一周装饰灯带，灯带的另一端恰好到达点A正上方石柱顶部的点B。 (1)求所需灯带的最短长度； (2)若灯带每米售价25元，按最短长度购买，需要多少元？ 19．（本题9分）木工师傅锯出三根木条，长度分别是 cm， cm和 cm，用它们首尾相接钉成一个三角形框架。 (1)求这个三角形框架的周长； (2)求这个三角形框架围成的面积。 20．（本题9分）如图，小慧在平面直角坐标系中选了三个格点A(－2，4)，B(－4，0)，C(0，－2)，想再找一个格点D，与它们拼成一个正方形ABCD。 (1)求证：AB＝BC； (2)求证：∠ABC＝90°； (3)写出点D的坐标，并求正方形ABCD的面积。 21．（本题10分）如图，在一张景区导览图上，以游客中心O为原点、正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，1个单位长度代表50 m。观景台A在游客中心O东面100 m、北面200 m处；售票亭B在游客中心O西面200 m、南面100 m处。 (1)写出点A，B的坐标； (2)求观景台A与游客中心O之间的实际距离（结果化成最简二次根式）； (3)求观景台A与售票亭B之间的实际距离（结果化成最简二次根式）； (4)取≈1.414，估算(3)中的距离约为多少米（精确到1 m）。 22．（本题10分）已知x＝＋2，y＝－2。 (1)求x＋y与xy的值； (2)求x²－xy＋y²的值； (3)以x，y为两条直角边的长作一个直角三角形，求它的斜边长和面积。 23．（本题13分）如图，台风中心现在位于点O，气象台以点O为原点，x轴指向正东、y轴指向正北建立平面直角坐标系（单位：km）。台风中心正以20 km/h的速度沿x轴向正东方向移动，沿海城市A的坐标为(288，72)，距台风中心222 km及以内的地区会受到台风影响。 (1)求城市A与台风中心当前位置O之间的距离（结果化成最简二次根式）； (2)求台风中心在移动过程中与城市A的最近距离； (3)城市A受台风影响的时间有多长？ (4)台风中心从O出发多少小时后，城市A开始受到影响？这时台风中心的坐标是什么？ B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，数轴上的点P表示，在比大的数中，最小的整数是(____)。 A．－4 B．3 C．－10 D．－3 2．（本题3分）如图，商场里一段自动扶梯AB长14.8 m，扶梯的水平跨度BC为14 m，AC⊥BC，则乘扶梯从B到A上升的高度AC（单位：m）为(____)。 A．0.8 B．4.8 C．23.04 D．28.8 3．（本题3分）以码头O为原点建立平面直角坐标系，一只浮标P位于第二象限，它与x轴相距个单位长度，与y轴相距2个单位长度，则浮标P的坐标是(____)。 A．(－2， B．，2) C．(－2， D．(2， 4．（本题3分）一根铝合金型材长 dm，工人从一端锯下 dm长的一段，剩下部分的长为(____)dm。 A． B． C． D．3 5．（本题3分）如图，一只文具盒的底面ABCD是长14.4 cm、宽4.2 cm的长方形。把一根细木棒平放在盒底，木棒最长可以是多少厘米？（木棒粗细忽略不计）(____) A．15 B．18.6 C．225 D．10.2 6．（本题3分）如图，灯塔A在码头O的北偏东38°方向，与码头O相距15 n mile，那么码头O在灯塔A的(____)。 A．南偏东38°方向，15 n mile处 B．南偏西52°方向，15 n mile处 C．北偏东38°方向，15 n mile处 D．南偏西38°方向，15 n mile处 7．（本题3分）已知m＝＋1，则代数式m²－2m＋3的值为(____)。 A．5－ B．6 C．5 D．2 8．（本题3分）在平面直角坐标系中，y轴上的点B与点A(2，－1)之间的距离恰好为，那么点B的坐标是(____)。 A．(0，2) B．(0，2)或(0，－4) C．(0，4)或(0，－2) D．(2＋，0)或(2－，0) 9．（本题3分）一个直角三角形的斜边长为5，两条直角边的长分别为和，其中a，b都是正整数，并且两条直角边中至少有一条的长是无理数。不计两条直角边的顺序，这样的直角三角形共有(____)种。 A．11 B．12 C．22 D．24 10．（本题3分）猜数游戏中，老师心里想了一个正整数n，并给出两条提示：“的整数部分是5”和“的整数部分是6”。老师想的数可能有(____)种。 A．11 B．13 C．10 D．8 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）已知x的平方等于1.44，y的立方等于－0.343，那么x与y的和为________。 12．（本题3分）如图，在海图上建立平面直角坐标系，港口位于原点O处，小岛P的位置是(－3.6，10.5)（单位：km），则小岛P与港口O的距离为________km。 13．（本题3分）工人要给一块三角形铁皮的一面刷防锈漆，量得铁皮三条边的长分别为15 cm，112 cm，113 cm，需要刷漆的面积为________cm²。 14．（本题3分）点M(2a－1，a－5)关于x轴的对称点N的横坐标与纵坐标相等，则a＝________，点M的坐标为________。 15．（本题3分）如图，把长方形纸片ABCD（AB＝10，BC＝14.5）的一角沿过顶点A的折痕AE折过去（点E在边CD上），顶点D恰好落在边BC上，落点记为F，那么△ECF的面积为________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）期中复习时，同桌两人各出了一道实数运算题，请你分别算出结果： (1)同桌甲的题：－2²+∛(-125)×； (2)同桌乙的题：+-＋÷。 17．（本题9分）如图，小丽在格点图上画了一个四边形ABCD（图中每一小格都是边长为1的正方形），A，B，C，D都在格点上。已知点A的坐标为(－5，2)，点C的坐标为(－1，4)。 (1)在图中画出平面直角坐标系，并写出点B，D的坐标； (2)把四边形ABCD各顶点的纵坐标保持不变、横坐标都乘－1，依次连接所得各点，画出四边形A′B′C′D′； (3)求四边形ABCD的面积。 18．（本题9分）如图，一个等腰三角形屋顶支撑框ABC（AB＝AC），工人在点B处加装一根支撑杆BD，BD⊥AC，点D在AC上，量得BC＝，BD＝9（单位：dm）。 (1)求CD的长； (2)求腰AB的长； (3)求△ABC的面积。 19．（本题9分）三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则三角形的面积S＝（海伦公式）。 (1)一个三角形的三边长分别为4，7，9，用这个公式求它的面积（结果化成最简二次根式）； (2)另一个三角形的三边长分别为10，17，21，求它的面积及最长边上的高。 20．（本题9分）如图，一条河的两岸互相平行，小船从岸边的点A出发，想驶向正对岸的点C（AC垂直于河岸），由于水流影响，实际到达了点C下游51 m的点B处，小船实际行驶的路程AB比河宽AC多9 m。 (1)求河宽AC； (2)另一艘小船也从点A出发驶向点C，结果到达点C下游70 m的点D处，求这艘小船行驶的路程AD（结果化成最简二次根式）。 21．（本题10分）观察下列等式： 第1个：＝3；第2个：＝7；第3个：＝13。 (1)按此规律，写出第4个等式； (2)猜想第n个等式（n是正整数），并加以证明； (3)利用你发现的规律计算：。 22．（本题10分）如图，长方体礼品盒的三条棱AB，BC，CG分别长63 cm，9 cm，7 cm。停在顶点A处的一只小甲虫想沿盒子外表面爬到顶点G处吃糖粒。 (1)小甲虫经过盒子的两个相邻表面爬到点G，按经过的棱不同有三种展开方式，分别求出每种方式下从A到G的最短路程的平方； (2)求小甲虫爬行的最短路程； (3)若小甲虫每秒爬行5 cm，它沿最短路线从A爬到G需要多少秒？ 23．（本题13分）如图，x轴上有两点A(－4，0)，B(9，0)，y轴上有一点C(0，6)，顺次连接A，C，B。一个动点P以每秒1个单位长度的速度，从A点出发沿x轴朝B点方向匀速前进，抵达B点后不再移动。设运动时间为t秒（t＞0）。 (1)分别求出线段AC，BC的长，结果化成最简二次根式； (2)求证：∠ACB＝90°； (3)若△PBC为直角三角形，求此时t的值； (4)若△PAC为等腰三角形，求所有满足条件的t值。 附：A卷命题双向细目表 A卷定位为基础达标，题目以教材中的通法为主：求边、判直角、估算、开方、二次根式运算、写坐标、对称作图都设了专门的题，末题用坐标系描述台风移动，把勾股定理、垂线段最短与二次根式串在一起。全卷基础11题、中档7题、较难5题；三章分值依次为43分、43分、34分，三章的题交替编排。 题号 题型 分值 章节 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 第二章 算术平方根的意义（正方形边长） 基础 运算能力 2 选择题 3 第一章 已知两直角边求斜边（景观石台） 基础 几何直观 3 选择题 3 第三章 点到坐标轴的距离 基础 几何直观 4 选择题 3 第二章 估算无理数的整数部分 基础 数感 5 选择题 3 第一章 勾股定理的逆定理（找直角） 基础 推理能力 6 选择题 3 第三章 平行于x轴的直线上点的坐标 基础 几何直观 7 选择题 3 第二章 二次根式的化简与混合运算 中档 运算能力 8 选择题 3 第一章 等腰三角形的面积（勾股定理求高） 中档 运算能力 9 选择题 3 第三章 坐标系中的等距点（勾股定理） 难 几何直观 10 选择题 3 第二章 平方根与立方根的综合（开方解方程） 难 运算能力 11 填空题 3 第二章 立方根的实际意义（正方体棱长） 基础 运算能力 12 填空题 3 第三章 象限内点的坐标特征 基础 几何直观 13 填空题 3 第一章 已知斜边与直角边求另一直角边 基础 几何直观 14 填空题 3 第三章 方向角与距离确定位置（两船相距） 中档 空间观念 15 填空题 3 第二章 无理数的整数部分与小数部分 难 数感 16 解答题 6 第二章 实数的混合运算 基础 运算能力 17 解答题 9 第三章 关于x轴对称的点的坐标（作图） 基础 推理能力 18 解答题 9 第一章 圆柱侧面上的最短路径（灯带） 中档 模型观念 19 解答题 9 第二章 二次根式的加减与乘法（三角形周长与面积） 中档 运算能力 20 解答题 9 第一章 坐标系中的勾股定理与逆定理 中档 推理能力 21 解答题 10 第三章 用坐标表示位置与实际距离 中档 几何直观 22 解答题 10 第二章 二次根式的整体代入与勾股定理综合 难 运算能力 23 解答题 13 第一章 勾股定理的实际应用（台风影响范围） 难 模型观念 附：B卷命题双向细目表 B卷定位为能力提升，考点与A卷相同，但中档、较难题每道都多一步思考：勾股定理与无理数意义结合计数、两个整数部分条件取公共部分、长方形折叠后再算面积、长方体三种展开比较、动点使三角形成为等腰三角形的三种情况。难度结构与A卷相同（11／7／5），三章分值依次为43分、40分、37分。 题号 题型 分值 章节 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 第二章 用数轴估计无理数的范围 基础 数感 2 选择题 3 第一章 已知斜边与直角边求高（自动扶梯） 基础 几何直观 3 选择题 3 第三章 由到坐标轴的距离确定点的坐标 基础 几何直观 4 选择题 3 第二章 二次根式的加减 基础 运算能力 5 选择题 3 第一章 长方形的对角线（木盒放木棒） 基础 几何直观 6 选择题 3 第三章 方向角与距离（互换观测点） 基础 空间观念 7 选择题 3 第二章 二次根式的整体代入求值（配方） 中档 运算能力 8 选择题 3 第三章 坐标系中由两点距离求点的坐标 中档 几何直观 9 选择题 3 第一章 勾股定理与无理数的综合（计数） 难 推理能力 10 选择题 3 第二章 由整数部分确定被开方数的范围 难 数感 11 填空题 3 第二章 开平方与开立方求未知数 基础 运算能力 12 填空题 3 第三章 坐标系中点到原点的距离 基础 几何直观 13 填空题 3 第一章 勾股定理的逆定理（铁皮面积） 基础 推理能力 14 填空题 3 第三章 含参数的关于x轴对称的点 中档 推理能力 15 填空题 3 第一章 长方形折叠中的勾股定理（面积） 难 模型观念 16 解答题 6 第二章 实数的运算（含乘方与开方） 基础 运算能力 17 解答题 9 第三章 建立坐标系与横坐标乘－1的图形变化（作图） 基础 推理能力 18 解答题 9 第一章 等腰三角形腰上的高（方程思想） 中档 模型观念 19 解答题 9 第二章 二次根式的应用（海伦公式） 中档 运算能力 20 解答题 9 第一章 方程思想求河宽（小船渡河） 中档 模型观念 21 解答题 10 第二章 二次根式中的规律探究（证明） 中档 运算能力 22 解答题 10 第一章 长方体表面的最短路径（三种展开） 难 模型观念 23 解答题 13 第三章 坐标系中的动点与等腰三角形分类讨论 难 几何直观 　参考答案与解析 　客观题答案速查 A卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A D B C B D A卷题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 C B 1.5 －7 8.4 194 12 B卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C A D C B B卷题号 9 10 11 12 13 14 答案 A C 0.5或－1.9 11.1 840 2；(3，－3) B卷题号 15 答案 8.4 　A卷　一、选择题 1．【答案】C 【解析】【分析】正方形的面积等于边长的平方，已知面积求边长就是求面积的算术平方根。 【详解】正方形的边长是面积0.36的算术平方根， ∵0.6²＝0.36，∴边长为＝0.6 m。 所以选C。 A项开平方时小数点位置错了，把算成0.06，按此错法真算得0.06；B项把开平方当成了除以2，按此错法真算得0.18；D项误以为边长等于面积除以4，按此错法真算得0.09。 【方法点拨】已知正方形的面积求边长，就是求面积的算术平方根，结果只取正值。 2．【答案】A 【解析】【分析】∠C是直角，AB是斜边，已知两条直角边，用勾股定理求斜边。 【详解】∵∠C＝90°，∴AB是斜边，由勾股定理得AB²＝AC²+BC²＝4²＋7.5²＝16＋56.25＝72.25， ∵8.5²＝72.25，∴AB＝8.5 m。 所以选A。 B项把两条直角边直接相加，按此错法真算得11.5；C项求出AC²+BC²后忘了开平方，按此错法真算得72.25；D项用较长直角边减去较短直角边，按此错法真算得3.5。 【方法点拨】先认准直角，直角所对的边是斜边；求斜边用两直角边的平方和再开平方。 3．【答案】A 【解析】【分析】点到x轴的距离等于这个点纵坐标的绝对值。 【详解】过点P作x轴的垂线，垂线段的长等于点P纵坐标的绝对值， 点P(－7，4)的纵坐标是4，所以小船到河岸的距离是|4|＝4。 所以选A。 B项把到x轴的距离看成了横坐标的绝对值，按此错法真算得7；C项求成了点P到原点的距离，按此错法真算得；D项把两个坐标的绝对值相加，按此错法真算得11。 【方法点拨】点到x轴的距离是|纵坐标|，到y轴的距离是|横坐标|，画出垂线段就不会混淆。 4．【答案】D 【解析】【分析】先用相邻的两个完全平方数夹住40，确定在哪两个整数之间，再减1。 【详解】∵36＜40＜49，∴6＜＜7， ∴5＜－1＜6，所以－1的整数部分是5。 所以选D。 A项只估算了的整数部分6，忘了再减1，按此错法真算得6；B项把的整数部分误判为5，再减1，按此错法真算得4；C项把开平方当成了除以2，算成40÷2－1，按此错法真算得19。 【方法点拨】估算先找被开方数两侧相邻的完全平方数，确定根号值夹在哪两个整数之间。 5．【答案】B 【解析】【分析】用勾股定理的逆定理：比较较短两边的平方和与最长边的平方，相等时最长边所对的角是直角。 【详解】∵AC²+BC²＝5.6²+9²＝31.36＋81＝112.36，AB²＝10.6²＝112.36， ∴AC²+BC²＝AB²，由勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边AB所对的角∠C是直角。 所以选B。 A项“∠A”：把最长边AB的一个端点当成了直角顶点；C项“∠B”：找错了较短两边AC，BC的公共顶点；D项“△ABC中没有直角”：没有计算平方关系，误以为三边不是整数就不能组成直角三角形。 【方法点拨】判断直角三角形只比较“较短两边的平方和”与“最长边的平方”，相等时最长边所对的角是直角。 6．【答案】C 【解析】【分析】纵坐标相同的两点所在直线平行于x轴，两点的距离等于横坐标之差。 【详解】乙与甲的纵坐标相同，所以乙的纵坐标也是2； 乙在甲的右侧9个单位长度处，横坐标为－3＋9＝6，所以乙的坐标是(6，2)。 所以选C。 A项把“右侧”看成了“左侧”，横坐标减去9，按此错法真算得(－12，2)；B项把横向移动当成了纵向移动，纵坐标加上9，按此错法真算得(－3，11)；D项直接把两点间的距离9当成了乙的横坐标，按此错法真算得(9，2)。 【方法点拨】平行于x轴的直线上各点纵坐标相同，两点间的距离是横坐标之差的绝对值。 7．【答案】B 【解析】【分析】先把括号里的二次根式化成最简二次根式并合并，再做乘法。 【详解】＝，＝， 原式＝－×＝×＝3。 所以选B。 A项把-当成＝，再乘，按此错法真算得；C项只把乘了，漏乘了，按此错法真算得9－；D项化简时把－算成了，按此错法真算得15。 【方法点拨】二次根式先化成最简二次根式，被开方数相同才能合并，再按运算顺序做乘除。 【易错提醒】－≠，被开方数不同的根式不能直接相减，要先化简再合并。 8．【答案】D 【解析】【分析】等腰三角形底边上的高也是底边上的中线，先用勾股定理求底边上的高，再求面积。 【详解】过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC，∴BD＝DC＝＝3.9 dm（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合）， 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD²＝AB²－BD²＝8.9²－3.9²＝79.21－15.21＝64，∴AD＝8 dm， S△ABC＝×BC×AD＝×7.8×8＝31.2（dm²）。 所以选D。 A项求面积时漏乘了，按此错法真算得62.4；B项只求出了底边上的高AD，没有再求面积，按此错法真算得8；C项把腰AB当成了底边上的高，按此错法真算得34.71。 【方法点拨】求等腰三角形的面积，先作底边上的高，由“三线合一”得到底边的一半，再用勾股定理求高。 【易错提醒】底边上的高把底边平分，直角边是3.9 dm而不是7.8 dm；求出高以后别忘了乘。 9．【答案】C 【解析】【分析】P在x轴上，设P(x，0)，分别用勾股定理表示PA²，PB²，由PA＝PB列方程。 【详解】设P(x，0)，由勾股定理得PA²＝(x+1)²+5²，PB²＝(x-7)²+1²， ∵PA＝PB，∴(x+1)²＋25＝(x-7)²＋1，x²＋2x＋26＝x²－14x＋50，16x＝24，x＝1.5， ∴点P的坐标是(1.5，0)。 所以选C。 A项把P取成了线段AB中点的横坐标，按此错法真算得(3，0)；B项把点P放到了y轴上，由1＋(y-5)²＝49＋(y-1)²解得y＝－3，按此错法真算得(0，－3)；D项把PA²写成(x-1)²＋25，PB²写成(x+7)²＋1，符号都弄反，解得x＝－1.5，按此错法真算得(－1.5，0)。 【方法点拨】求到两点距离相等的点，设出它的坐标，用勾股定理表示两段距离的平方，令其相等列方程。 【易错提醒】P到A，B的距离相等，不等于P在AB中点的正下方，要设坐标列方程。 10．【答案】B 【解析】【分析】由平方根的意义得到两个一次方程，x有两个值；由立方根的意义求y，再分别求x－y的算术平方根。 【详解】由(2x+1)²＝81得2x＋1＝9或2x＋1＝－9，∴x＝4或x＝－5； ∵y的立方根是－2，∴y＝(-2)³＝－8； 当x＝4时，x－y＝4－(－8)＝12，＝；当x＝－5时，x－y＝－5－(－8)＝3，算术平方根是。 所以x－y的算术平方根是或。 所以选B。 A项只解出了2x＋1＝9一种情况，按此错法真算得；C项把“y的立方根是－2”误算成y＝－6，按此错法真算得或1；D项把算术平方根当成了平方根，结果带上了“±”，按此错法真算得±或±。 【方法点拨】正数的平方根有两个，开平方时要写“±”；每个数只有一个立方根，符号与原数相同。 【易错提醒】81的平方根有两个，2x＋1＝±9两种情况都要算；算术平方根只取非负值，不带“±”。 　A卷　二、填空题 11．【答案】1.5 【解析】【分析】正方体的体积等于棱长的立方，已知体积求棱长就是求体积的立方根。 【详解】设棱长为a m，则a³＝3.375， ∵1.5³＝3.375，∴a＝∛3.375＝1.5。 所以答案为1.5。 【方法点拨】正方体体积＝棱长³，已知体积求棱长就是开立方。 12．【答案】－7 【解析】【分析】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值；第三象限内点的纵坐标为负数。 【详解】∵点到x轴的距离是7，∴|y|＝7，y＝7或y＝－7； ∵点在第三象限，纵坐标为负，∴y＝－7。 所以答案为－7。 【方法点拨】四个象限内点的坐标符号依次为：正正、负正、负负、正负；由距离得绝对值，再由象限定符号。 13．【答案】8.4 【解析】【分析】已知斜边和一条直角边，另一条直角边的平方等于斜边的平方减去已知直角边的平方。 【详解】∵∠Q＝90°，∴PR是斜边，由勾股定理得QR²＝PR²-PQ²＝9.1²－3.5²＝82.81－12.25＝70.56， ∴QR＝8.4。 所以答案为8.4。 【方法点拨】已知斜边求直角边用“斜边²－已知直角边²”，再开平方。 14．【答案】194 【解析】【分析】先由两个方向角求出∠AOB的度数，发现∠AOB是直角，再用勾股定理求AB。 【详解】∠AOB＝180°－28°－62°＝90°， 在Rt△AOB中，AB²＝OA²+OB²＝130²+144²＝16900＋20736＝37636，∴AB＝194。 所以答案为194。 【方法点拨】用方向角先求出两条视线的夹角，若恰为直角，就能用勾股定理求两地距离。 【易错提醒】北偏东与南偏东的两个角加上∠AOB正好组成平角，先求出∠AOB＝90°。 15．【答案】12 【解析】【分析】先夹逼出的整数部分，小数部分＝－整数部分，再用平方差公式计算。 【详解】∵49＜61＜64，∴7＜＜8，m＝7，n＝－7， ＋m)＝－7)＋7)＝－7²＝61－49＝12。 所以答案为12。 【方法点拨】小数部分＝这个数－它的整数部分，常与平方差公式配合，把无理数化成整数。 【易错提醒】小数部分是－7，不是0.几的近似值；相乘时用平方差公式得整数。 　A卷　三、解答题 16．【答案】（1）0.1；（2）2 【解析】【分析】先分别求出每个平方根、立方根，再按实数的运算顺序计算；二次根式的乘除可以把被开方数合在一起。 【详解】(1)原式＝0.9＋(－0.3)－0.5＝0.1。　……3分 (2)原式＝－2＝－2＝4－2＝2。　……3分 【方法点拨】实数运算顺序与有理数相同：先乘方、开方，再乘除，最后加减。 【评分说明】(1)三个根式的值各1分，共3分；(2)乘除合并正确2分，结果正确1分。 17．【答案】（1）P(－5，3)，Q(－1，5)，R(－2，1)；（2）P′(－5，－3)，Q′(－1，－5)，R′(－2，－1)，所画△P′Q′R′见答案图；（3）7 【解析】【分析】关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数；格点三角形的面积用“外框长方形减去周围的直角三角形”求。 【详解】(1)由图可知P(－5，3)，Q(－1，5)，R(－2，1)。　……3分 (2)横坐标不变、纵坐标变为相反数，得P′(－5，－3)，Q′(－1，－5)，R′(－2，－1)， 描出这三个点并依次连接，得△P′Q′R′（见答案图）。　……3分 (3)用各边平行于坐标轴的正方形框住△PQR，边长为4，面积为16， 减去三个直角三角形：×4×2＝4，×1×4＝2，×3×2＝3， S△PQR＝16－4－2－3＝7。　……3分 【方法点拨】关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标变为相反数；格点三角形的面积常用“外框减三角”。 【评分说明】(1)每个坐标1分；(2)三个对称点坐标2分，画图1分；(3)框出正方形1分，减去三个三角形并求出结果2分。 18．【答案】（1）6.8 m；（2）170元 【解析】【分析】曲面上的最短路线要把圆柱侧面沿AB剪开展开成长方形，灯带最短时是长方形的对角线，再用勾股定理计算。 【详解】(1)把圆柱的侧面沿AB剪开展开成一个长方形，点A，B分别在长方形一组对边的两端，灯带最短时就是这个长方形的对角线。　……2分 长方形的一边等于底面周长3.2 m，另一边等于石柱的高6 m， 由勾股定理得灯带长的平方＝3.2²+6²＝10.24＋36＝46.24， ∵6.8²＝46.24，∴灯带最短长为6.8 m。　……4分 (2)6.8×25＝170（元）。 答：所需灯带最短为6.8 m，需要170元。　……3分 【方法点拨】曲面上的最短路径先展开成平面，用“两点之间线段最短”，再用勾股定理计算。 【评分说明】(1)说明展开方法2分，列式计算并开方4分；(2)列式2分，结果与作答1分。 【易错提醒】展开后长方形的一边是底面周长3.2 m，不是底面直径；灯带绕一周，对应展开图中的一条对角线。 19．【答案】（1） cm；（2）18 cm² 【解析】【分析】(1)先把三边化成最简二次根式再合并；(2)三边的平方分别是27，48，75，用勾股定理的逆定理判断出直角，再算面积。 【详解】(1)＝，＝，＝， 周长＝＋＋＝（cm）。　……4分 (2)∵＋＝27＋48＝75＝， ∴这个三角形是直角三角形， cm与 cm的两边是直角边，　……3分 面积＝××＝×＝×36＝18（cm²）。　……2分 【方法点拨】求周长先化简再合并；求面积前先用逆定理判断是否为直角三角形。 【评分说明】(1)化简三个根式3分，合并1分；(2)用逆定理判定直角3分，求出面积2分。 【易错提醒】求面积前先判断是不是直角三角形；×＝＝36，不是。 20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）D(2，2)，正方形的面积为20 【解析】【分析】以两点横坐标之差、纵坐标之差为直角边，用勾股定理表示线段长的平方；再用勾股定理的逆定理判定直角。 【详解】(1)AB²＝(-2+4)²＋(4-0)²＝2²+4²＝20， BC²＝(0+4)²＋(-2-0)²＝4²+2²＝20， ∴AB²＝BC²，AB＝BC＝。　……3分 (2)AC²＝(0+2)²＋(-2-4)²＝2²+6²＝40， ∵AB²+BC²＝20＋20＝40＝AC²，∴由勾股定理的逆定理，∠ABC＝90°。　……3分 (3)由(1)(2)知AB＝BC，∠ABC＝90°，从点B到点A是向右2格、向上4格， 所以从点C向右2格、向上4格就是点D，D(2，2)； 正方形ABCD的面积＝AB²＝20。　……3分 【方法点拨】坐标系中不平行于坐标轴的线段，以坐标差为直角边构造直角三角形求长度。 【评分说明】(1)两条线段的平方各1分，得出相等1分；(2)求AC²1分，逆定理下结论2分；(3)点D坐标2分，面积1分。 【易错提醒】横坐标之差、纵坐标之差要取绝对值作直角边；正方形面积就是边长的平方20，不必先开方。 21．【答案】（1）A(2，4)，B(－4，－2)；（2） m；（3） m；（4）约424 m 【解析】【分析】先把实际距离换算成单位长度写出坐标；两点间的距离用坐标差作直角边、由勾股定理求出，再乘每个单位代表的实际长度。 【详解】(1)100÷50＝2，200÷50＝4，所以A(2，4)；B在O的西南方向，200÷50＝4，100÷50＝2，所以B(－4，－2)。　……2分 (2)OA²＝2²+4²＝20，OA＝＝（单位长度）， 实际距离为×50＝（m）。　……3分 (3)A，B两点横坐标相差2－(－4)＝6，纵坐标相差4－(－2)＝6， AB²＝6²+6²＝72，AB＝（单位长度），实际距离为×50＝（m）。　……3分 (4)≈300×1.414＝424.2≈424（m）。　……2分 【方法点拨】按比例把实际距离换算成单位长度写出坐标，求出的单位长度再乘比例换回实际距离。 【评分说明】(1)每个坐标1分；(2)求OA 2分，换算1分；(3)坐标差1分，求AB与换算2分；(4)估算2分。 【易错提醒】先算单位长度再乘50；西面、南面对应的坐标是负数；要化成。 22．【答案】（1）x＋y＝，xy＝3；（2）19；（3）斜边长为，面积为1.5 【解析】【分析】先求出x＋y与xy，把所求式子变形成只含x＋y与xy的式子，整体代入；斜边的平方就是x²+y²。 【详解】(1)x＋y＝＋2)＋－2)＝， xy＝＋2)－2)＝7－4＝3。　……3分 (2)x²－xy＋y²＝(x+y)²－3xy＝－3×3＝28－9＝19。　……3分 (3)设斜边长为c，由勾股定理得c²＝x²+y²＝(x+y)²－2xy＝28－6＝22，c＝； 面积＝＝×3＝1.5。　……4分 【方法点拨】已知两数的和与积时，平方和用(x+y)²－2xy整体代入，不必单独代入每个数。 【评分说明】(1)各1.5分；(2)变形2分，结果1分；(3)求斜边3分，求面积1分。 【易错提醒】x²－xy＋y²＝(x+y)²－3xy，不是(x+y)²－xy；斜边是，不要把22当作斜边长。 23．【答案】（1） km；（2）72 km；（3）21 h；（4）3.9 h后，台风中心的坐标为(78，0) 【解析】【分析】台风中心在x轴上移动，城市A到x轴的垂线段最短；以A为圆心、222 km为半径，与x轴的两个交点之间就是受影响的路段。 【详解】(1)OA²＝288²+72²＝82944＋5184＝88128， OA＝＝＝（km）。　……3分 (2)过点A作AH⊥x轴于点H，则H(288，0)，由垂线段最短，最近距离为AH＝72 km。　……2分 (3)在x轴上取点M，N（M在N的左侧），使AM＝AN＝222 km，台风中心在线段MN上时城市A受影响。 在Rt△AMH中，MH²＝AM²-AH²＝222²-72²＝49284－5184＝44100，MH＝210，同理NH＝210， MN＝420 km，受影响时间为420÷20＝21（h）。　……4分 (4)OM＝OH－MH＝288－210＝78（km），78÷20＝3.9（h）， 即台风中心出发3.9 h后城市A开始受到影响，这时台风中心位于点M(78，0)。　……4分 【方法点拨】移动的点到定点的最近距离是垂线段；受影响的路段以垂足为中点，用勾股定理求半长。 【评分说明】(1)列式2分，化简1分；(2)指出垂线段最短并求值2分；(3)求MH 2分，求MN与时间2分；(4)求OM 2分，时间与坐标2分。 【易错提醒】受影响的路段在垂足H的两侧各有210 km，共420 km；开始受影响的点在H的左侧。 　B卷　一、选择题 1．【答案】D 【解析】【分析】先估算在哪两个整数之间，再确定的位置，找它右边相邻的整数。 【详解】∵9＜10＜16，∴3＜＜4，∴－4＜＜－3， 点P在－4与－3之间，比大的整数中最小的是它右边相邻的－3。 所以选D。 A项把“比大”看成了“比小”，取了点P左边相邻的整数，按此错法真算得－4；B项忽略了负号，按的整数部分作答，按此错法真算得3；C项把被开方数10直接当成了这个数的整数部分，按此错法真算得－10。 【方法点拨】先估算无理数夹在哪两个整数之间，再借助数轴比较：右边的数总比左边的大。 2．【答案】B 【解析】【分析】AC⊥BC，AB是斜边，已知斜边和一条直角边，用平方差求另一条直角边。 【详解】∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，AB是斜边， AC²＝AB²-BC²＝14.8²-14²＝219.04－196＝23.04，∴AC＝4.8 m。 所以选B。 A项把扶梯长与水平跨度直接相减，按此错法真算得0.8；C项求出AB²-BC²后忘了开平方，按此错法真算得23.04；D项把扶梯长与水平跨度直接相加，按此错法真算得28.8。 【方法点拨】斜放的扶梯、竖直高度与水平跨度构成直角三角形，扶梯长是斜边。 3．【答案】A 【解析】【分析】与x轴的距离是纵坐标的绝对值，与y轴的距离是横坐标的绝对值，再由象限定符号。 【详解】由题意，|y|＝，|x|＝2； 第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，∴P(－2，。 所以选A。 B项把与x轴的距离当成了横坐标的绝对值，按此错法真算得，2)；C项两个坐标都取了负值，把点放到了第三象限，按此错法真算得(－2，；D项横坐标没有取负值，把点放到了第一象限，按此错法真算得(2，。 【方法点拨】与x轴的距离定纵坐标的绝对值，与y轴的距离定横坐标的绝对值，最后由象限定符号。 4．【答案】C 【解析】【分析】先把两个二次根式化成最简二次根式，再合并被开方数相同的项。 【详解】＝＝，＝＝， -＝－＝。 所以选C。 A项把根式的减法当成被开方数相减，算成，按此错法真算得；B项化简后把系数相加，7＋4＝11，按此错法真算得；D项化简后只把系数相减，漏写了，按此错法真算得3。 【方法点拨】二次根式加减先化成最简二次根式，再把被开方数相同的根式的系数相加减。 5．【答案】A 【解析】【分析】平放在盒底时，能放下的最长木棒等于底面长方形的对角线。 【详解】木棒最长等于对角线AC的长，∠B＝90°， AC²＝AB²+BC²＝14.4²＋4.2²＝207.36＋17.64＝225，∵15²＝225，∴AC＝15 cm。 所以选A。 B项把长和宽直接相加，按此错法真算得18.6；C项求出14.4²＋4.2²后忘了开平方，按此错法真算得225；D项用长减去宽，按此错法真算得10.2。 【方法点拨】长方形的长、宽和对角线构成直角三角形，对角线²＝长²＋宽²。 6．【答案】D 【解析】【分析】换成以灯塔A为观测点，方向正好相反：北与南互换、东与西互换，角度和距离都不变。 【详解】以灯塔A为观测点看码头O，方向与“从O看A”正好相反， 北偏东38°的相反方向是南偏西38°，距离仍为15 n mile，所以码头O在灯塔A的南偏西38°方向，15 n mile处。 所以选D。 A项“南偏东38°方向，15 n mile处”：只把“北”改成了“南”，东、西没有互换；B项“南偏西52°方向，15 n mile处”：把方向角算成了90°－38°＝52°；C项“北偏东38°方向，15 n mile处”：照搬了灯塔A相对于码头O的方向，没有换观测点。 【方法点拨】两地互相描述方向时，南北互换、东西互换，偏角与距离不变。 7．【答案】C 【解析】【分析】把代数式配方成含m－1的形式，而m－1＝，整体代入计算简便。 【详解】m²－2m＋3＝(m²－2m＋1)＋2＝(m-1)²＋2， ∵m－1＝，∴原式＝＋2＝3＋2＝5。 所以选C。 A项计算m²时漏掉了中间项，把m²算成3＋1＝4，按此错法真算得5－；B项配方时把常数项弄错，写成(m-1)²＋3，按此错法真算得6；D项配方时把常数项弄错，写成(m-1)²－1，按此错法真算得2。 【方法点拨】含m的二次式可先配方成含(m-a)²的形式，再把m－a整体代入。 【易错提醒】+1)²＝3＋＋1，中间项不能丢；配方后常数项是＋2。 8．【答案】B 【解析】【分析】设B(0，y)，以两点横坐标之差、纵坐标之差为直角边，用勾股定理表示AB²，列方程求y。 【详解】设B(0，y)，则AB²＝(2-0)²＋(y+1)²＝4＋(y+1)²， 由AB＝得4＋(y+1)²＝13，(y+1)²＝9，y＋1＝3或y＋1＝－3， ∴y＝2或y＝－4，点B的坐标是(0，2)或(0，－4)。 所以选B。 A项只求出了一个点，漏掉了在点A下方的情况，按此错法真算得(0，2)；C项列方程时把纵坐标之差写成y－1，解得y＝4或y＝－2，按此错法真算得(0，4)或(0，－2)；D项把点B放到了x轴上，由(x-2)²＋1＝13求点，按此错法真算得(2＋，0)或(2－，0)。 【方法点拨】点在坐标轴上时只设一个未知坐标，以两点坐标之差为直角边，用勾股定理列方程，开平方时注意有两个解。 【易错提醒】纵坐标之差是y－(－1)＝y＋1；(y+1)²＝9有两个解，两个点都要写。 9．【答案】A 【解析】【分析】由勾股定理得到a与b的和，先数出不计顺序的所有取法，再去掉两条直角边都是有理数的情况。 【详解】由勾股定理得＋＝5²，即a＋b＝25。 不计两条直角边的顺序，设a＜b（25是奇数，a≠b），a可取1，2，…，12，共12种。 两条直角边都是有理数时，a，b都是完全平方数，只有a＝9，b＝16这一种（＝3，＝4）； 其余各种取法中至少有一条直角边是无理数，所以这样的直角三角形共有12－1＝11（种）。 所以选A。 B项漏看了“至少有一条直角边是无理数”，没有去掉a＝9，b＝16这一种，按此错法真算得12；C项把交换两条直角边的顺序当成了不同的三角形，按此错法真算得22；D项既计了顺序，又没有去掉a＝9，b＝16这一种，按此错法真算得24。 【方法点拨】（a为正整数）是有理数，当且仅当a是完全平方数；计数时先列全，再按条件剔除。 【易错提醒】a＋b＝25的正整数解中，只有9与16都是完全平方数，这一种两条直角边都是有理数，要去掉。 10．【答案】C 【解析】【分析】整数部分是5，说明被开方数不小于5²且小于6²；分别写出两个条件下n的取值，再取公共部分。 【详解】的整数部分是5，则5²≤n＜6²，n可取25，26，…，35； 的整数部分是6，则6²≤n＋10＜7²，n可取26，27，…，38； 同时满足的n是26到35的正整数，共35－26＋1＝10（个）。 所以选C。 A项只用了“的整数部分是5”这一个条件，n取25到35，按此错法真算得11；B项只用了“的整数部分是6”这一个条件，n取26到38，按此错法真算得13；D项把公共部分的两个端点26和35都去掉了，n只取27到34，按此错法真算得8。 【方法点拨】的整数部分为k，等价于k²≤n＜(k+1)²，多个条件取公共部分。 【易错提醒】整数部分是5包含n＝25（＝5），不包含n＝36；两个条件要同时满足。 　B卷　二、填空题 11．【答案】0.5或－1.9 【解析】【分析】由平方根的意义，x有两个值；由立方根的意义，y只有一个值，再分别求和。 【详解】∵x²＝1.44，∴x＝1.2或x＝－1.2；∵y³＝－0.343，∴y＝－0.7； x＋y＝1.2＋(－0.7)＝0.5，或x＋y＝－1.2＋(－0.7)＝－1.9。 所以答案为0.5或－1.9。 【方法点拨】正数有两个平方根，负数只有一个负的立方根；求和时要把所有情况组合起来。 12．【答案】11.1 【解析】【分析】过点P作x轴的垂线，横坐标、纵坐标的绝对值就是直角三角形的两条直角边，OP是斜边。 【详解】过点P作PM⊥x轴于点M，则OM＝3.6，PM＝10.5， 在Rt△OPM中，OP²＝OM²+PM²＝3.6²＋10.5²＝12.96＋110.25＝123.21，∴OP＝11.1。 所以答案为11.1。 【方法点拨】点(a，b)到原点的距离是以|a|，|b|为直角边的直角三角形的斜边。 13．【答案】840 【解析】【分析】先用勾股定理的逆定理判断这是直角三角形，找出两条直角边，再求面积。 【详解】∵15²+112²＝225＋12544＝12769，113²＝12769，∴15²+112²＝113²， 这个三角形是直角三角形，两条直角边为15 cm和112 cm，面积为×15×112＝840（cm²）。 所以答案为840。 【方法点拨】三边满足勾股关系时是直角三角形，面积等于两直角边乘积的一半。 14．【答案】2；(3，－3) 【解析】【分析】先写出对称点N的坐标（横坐标不变、纵坐标变为相反数），再由“横坐标与纵坐标相等”列方程。 【详解】点M(2a－1，a－5)关于x轴的对称点为N(2a－1，5－a)， 由题意得2a－1＝5－a，解得a＝2， ∴点M的坐标为(2×2－1，2－5)，即(3，－3)。 所以答案为2；(3，－3)。 【方法点拨】先按对称规律写出对称点坐标（含字母），再根据题目条件列方程求字母的值。 【易错提醒】相等的是对称点N的横、纵坐标，N的纵坐标是5－a，不是a－5。 15．【答案】8.4 【解析】【分析】折叠后AF＝AD，EF＝ED；先在Rt△ABF中求BF，得到FC，再在Rt△ECF中设CE为x列方程。 【详解】由折叠可知AF＝AD＝BC＝14.5，EF＝DE， 在Rt△ABF中，BF²＝AF²-AB²＝14.5²-10²＝210.25－100＝110.25，BF＝10.5，∴FC＝14.5－10.5＝4； 设CE＝x，则EF＝DE＝10－x，在Rt△ECF中，x²+4²＝(10-x)²，解得x＝4.2， ∴S△ECF＝×4×4.2＝8.4。 所以答案为8.4。 【方法点拨】折叠前后对应边相等，先求能直接算的边，再在另一个直角三角形中设元列方程。 【易错提醒】AF等于AD（折叠前后对应），不是AB；FC＝BC－BF。 　B卷　三、解答题 16．【答案】（1）－8；（2）7 【解析】【分析】(1)先算乘方和开方，再算乘法，最后算加法；(2)第一部分用平方差公式，第二部分把被开方数相除。 【详解】(1)原式＝－4＋(－5)×0.8＝－4＋(－4)＝－8。　……3分 (2)原式＝－＋＝6－2＋3＝7。　……3分 【方法点拨】注意－a²与(-a)²的区别；开方前先判断被开方数的符号。 【评分说明】(1)乘方、立方根、平方根的值各1分，共3分；(2)用平方差公式与除法法则计算正确2分，结果正确1分。 17．【答案】（1）坐标系见答案图，B(－2，1)，D(－4，5)；（2）A′(5，2)，B′(2，1)，C′(1，4)，D′(4，5)，所画四边形见答案图；（3）10 【解析】【分析】由已知点的坐标反推原点位置建立坐标系；横坐标乘－1、纵坐标不变，得到的图形与原图形关于y轴对称；面积用外框减去四个角上的直角三角形。 【详解】(1)从点A向右数5格、向下数2格就是原点O，过O画出x轴、y轴（见答案图）， 由图可得B(－2，1)，D(－4，5)。　……3分 (2)横坐标乘－1、纵坐标不变，得A′(5，2)，B′(2，1)，C′(1，4)，D′(4，5)， 描点并依次连接得四边形A′B′C′D′（见答案图），它与四边形ABCD关于y轴对称。　……3分 (3)用边长为4的正方形框住四边形ABCD，框的面积为16， 四个角上各有一个两直角边分别为3和1的直角三角形， S＝16－4××3×1＝16－6＝10。　……3分 【方法点拨】由已知点的坐标倒推原点建立坐标系；横坐标乘－1、纵坐标不变，图形关于y轴对称。 【评分说明】(1)画对坐标系1分，写出B，D的坐标各1分；(2)四个对应点坐标2分，画图1分；(3)框出正方形1分，减去四个三角形并求出结果2分。 18．【答案】（1）3；（2）15；（3）67.5 【解析】【分析】在Rt△BCD中求CD；设腰长为x，用x－3表示AD，在Rt△ABD中用勾股定理列方程。 【详解】(1)∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，CD²＝BC²-BD²＝－9²＝90－81＝9，CD＝3。　……3分 (2)设AB＝AC＝x，则AD＝x－3，在Rt△ABD中，AB²＝AD²+BD²， 即x²＝(x-3)²+9²，x²＝x²－6x＋9＋81，6x＝90，x＝15，即AB＝15。　……4分 (3)S△ABC＝×AC×BD＝×15×9＝67.5。　……2分 【方法点拨】腰上的高把腰分成两段，其中一段用“腰长－已知段”表示，在直角三角形中列方程。 【评分说明】(1)列式2分，结果1分；(2)设元并表示AD 1分，列方程2分，解出1分；(3)2分。 【易错提醒】＝90；AD＝AC－CD＝x－3；求面积时以AC为底，高是BD，不是BC。 19．【答案】（1）；（2）面积为84，最长边上的高为8 【解析】【分析】先算p，再算p－a，p－b，p－c，代入公式后把被开方数分解出平方因数化简。 【详解】(1)p＝(4＋7＋9)÷2＝10， S＝＝＝。　……4分 (2)p＝(10＋17＋21)÷2＝24， S＝＝＝84；　……3分 设最长边21上的高为h，则×21×h＝84，h＝8。　……2分 【方法点拨】按公式先算半周长p，再算p与各边的差，代入后把被开方数中的平方因数开出来。 【评分说明】(1)求p 1分，代入2分，化简1分；(2)求p与代入2分，求出面积1分，求高2分。 【易错提醒】p是周长的一半；＝＝，要化成最简二次根式。 20．【答案】（1）140 m；（2） m 【解析】【分析】AC⊥CB，△ACB是直角三角形；只知道AB比AC多9 m时，设AC为x，用x表示AB，由勾股定理列方程。 【详解】(1)设河宽AC＝x m，则AB＝(x＋9)m，在Rt△ACB中，AC²+CB²＝AB²， 即x²+51²＝(x+9)²，x²＋2601＝x²＋18x＋81，18x＝2520，x＝140。 答：河宽为140 m。　……5分 (2)在Rt△ACD中，AD²＝AC²+CD²＝140²+70²＝19600＋4900＝24500， AD＝＝（m）。　……4分 【方法点拨】只知道斜边与一条直角边的差时，设直角边为x，斜边表示为x加上差，用勾股定理列方程。 【评分说明】(1)设元并表示AB 1分，列方程2分，解出2分；(2)列式2分，化简2分。 【易错提醒】(x+9)²展开是x²＋18x＋81，中间项不能漏；＝＝。 21．【答案】（1）＝21；（2）＝n²＋n＋1，证明见解析；（3）931 【解析】【分析】等号右边依次是3，7，13，…，都等于n²＋n＋1；证明时把被开方数展开，与(n²+n+1)²比较。 【详解】(1)第4个等式：＝21。　……2分 (2)第n个等式：＝n²＋n＋1。 证明：n²＋(n+1)²+n²(n+1)²＝n²+n²＋2n＋1＋＋+n²＝＋+3n²＋2n＋1，　……3分 (n²+n+1)²＝＋+3n²＋2n＋1，两式相等，且n²＋n＋1＞0， 所以＝n²＋n＋1。　……2分 (3)∵900＝30²，961＝31²，864900＝30²×31²， ∴原式＝30²＋30＋1＝931。　……3分 【方法点拨】找规律后用含n的式子表示，证明时把两边都展开比较，最后再用具体数检验。 【评分说明】(1)2分；(2)写出等式2分，展开被开方数1分，证明相等并说明非负2分；(3)识别n＝30得2分，结果1分。 【易错提醒】等号右边是n²＋n＋1，不是(n+1)²；第(3)问先认出n＝30。 22．【答案】（1）4225，5233，4981；（2）65 cm；（3）13秒 【解析】【分析】把经过的两个面展开成一个平面，A，G两点间的线段最短；三种展开方式的两条直角边不同，都要算出来再比较。 【详解】(1)方式一：经过前面和上面（跨过棱EF），展开后直角边为63和9＋7＝16，AG²＝63²+16²＝3969＋256＝4225；　……2分 方式二：经过前面和右面（跨过棱BF），展开后直角边为63＋9＝72和7，AG²＝72²+7²＝5184＋49＝5233；　……2分 方式三：经过左面和上面（跨过棱EH），展开后直角边为63＋7＝70和9，AG²＝70²+9²＝4900＋81＝4981。　……2分 (2)∵4225＜4981＜5233，∴最短路程的平方为4225，最短路程为＝65 cm。　……2分 (3)65÷5＝13（秒）。 答：小甲虫沿最短路线从A爬到G需要13秒。　……2分 【方法点拨】长方体表面两点的最短路径有三种展开方式，逐一算出后比较，不能只画一种。 【评分说明】(1)每种方式2分（直角边1分，平方结果1分）；(2)比较并求出最短路程2分；(3)2分。 【易错提醒】三种展开方式都要算，最短的是把较短的两条棱相加（9＋7）作一条直角边的那一种。 23．【答案】（1）AC＝，BC＝；（2）证明见解析；（3）t＝4；（4）t＝或t＝8或t＝6.5 【解析】【分析】用坐标差作直角边求AC，BC，再用逆定理证直角；△PAC是等腰三角形时按“哪两边相等”分三种情况讨论。 【详解】(1)AC²＝4²+6²＝52，AC＝；BC²＝9²+6²＝117，BC＝。　……3分 (2)AB＝9－(－4)＝13，∵AC²+BC²＝52＋117＝169＝13²＝AB²， ∴由勾股定理的逆定理，∠ACB＝90°。　……2分 (3)点P在线段AB上（不与A，B重合），∠PBC是锐角；若∠PCB＝90°，由(2)知点P与点A重合，不合题意； 所以只能∠BPC＝90°，即CP⊥x轴，点P与原点O重合，AP＝4，t＝4。　……3分 (4)①AP＝AC时，t＝； ②CP＝CA时，CO⊥AP，OP＝OA＝4，点P(4，0)，AP＝8，t＝8；　……3分 ③PA＝PC时，设P(p，0)，则(p+4)²＝p²+6²，8p＋16＝36，p＝2.5，AP＝2.5＋4＝6.5，t＝6.5。 综上，t＝或t＝8或t＝6.5（均不超过13）。　……2分 【方法点拨】等腰三角形的存在性按“哪两边相等”分三类，每类求出后检验是否在运动范围内。 【评分说明】(1)各1.5分；(2)2分；(3)排除两种情况1分，求出t 2分；(4)三种情况分别2分、1分、2分。 【易错提醒】等腰三角形要按三种相等关系分别讨论，求出的t要检验是否在0＜t≤13内。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上册 期中模拟 期中模拟·A／B双卷 保密★启用前 期中模拟卷（第一至三章•A／B 双卷） 考试范围：第一章 勾股定理、第二章 实数、第三章 位置与坐标 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第一章 勾股定理、第二章 实数、第三章 位置与坐标） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：北师大版（2024）八年级上册第一章 勾股定理、第二章 实数、第三章 位置与坐标。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．结果中的二次根式要化成最简二次根式；请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效。 命题说明本卷考查：第一章、第二章、第三章（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分） 考点清单 这份期中卷的范围是勾股定理、实数、位置与坐标三章。下表左两栏是章与考点，右两栏分别是这个考点在A卷、B卷中的题号，跨章综合题同时记在两个考点下。A卷以通法和基本题型为主，B卷多了分类讨论、折叠展开与动点；讲评时按行汇总全班失分，就能看出哪个考点需要回炉。 章 考点 A卷题号 B卷题号 第一章 勾股定理（求边与面积） 2，8，9，13，14，22 2，5，8，9，12，19 第一章 勾股定理的逆定理 5，19，20 13，23 第一章 勾股定理的应用（最短路径、折叠、方程思想） 18，23 15，18，20，22 第二章 认识实数（无理数、估算、数轴） 4，15，21 1，9，10 第二章 平方根与立方根 1，10，11 11，16 第二章 二次根式（化简与运算） 7，16，19，20，21，22，23 4，7，19，20，21，23 第三章 确定位置（方向与距离） 14 6 第三章 平面直角坐标系（点的坐标与距离） 3，6，9，12，20，21，23 3，8，12，17，23 第三章 轴对称与坐标变化 17 14，17 第一至三章知识要点速览 三章的核心结论列在下表中。考前可以只看“知识要点”一栏，先口述结论，再对照右栏补全；做完A卷后，把失分题对应的结论圈出来重读，再做B卷检验。 章 知识要点 掌握要求 第一章 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方：a²＋b²＝c²；已知两边求第三边前先认准直角和斜边 第一章 勾股定理的逆定理 三边满足a²＋b²＝c²的三角形是直角三角形，最长边所对的角是直角；满足这个等式的三个正整数叫作勾股数 第一章 勾股定理的应用 立体表面的最短路径先展开成平面；折叠、测量问题找出相等的线段，设未知数用勾股定理列方程 第二章 无理数与实数 无限不循环小数叫作无理数；有理数和无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应 第二章 平方根与立方根 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；每个数都有唯一的立方根 第二章 估算 用相邻的两个完全平方数夹住被开方数确定整数部分；小数部分＝这个数－整数部分 第二章 二次根式 ×＝（a≥0，b≥0）；化成最简二次根式后，被开方数相同的才能合并 第三章 确定位置 平面内确定一个点的位置需要两个数据：方向角和距离、两个距离，或一对有序数 第三章 平面直角坐标系 第一至第四象限内点的坐标符号依次为正正、负正、负负、正负；点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值 第三章 坐标系中的距离 平行于坐标轴的线段长是坐标之差的绝对值；不平行时以坐标差为两条直角边，用勾股定理求距离 第三章 轴对称与坐标变化 关于x轴对称的两点横坐标相同、纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同、横坐标互为相反数 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）用面积为0.36 m²的一块正方形布料做桌垫，这块布料的边长是(____)m。 A．0.06 B．0.18 C．0.6 D．0.09 2．（本题3分）如图，公园草坪上摆放着一块三角形景观石台，它的底面是△ABC，其中∠C＝90°，工人量得AC＝4 m，BC＝7.5 m，那么最长边AB的长（单位：m）为(____)。 A．8.5 B．11.5 C．72.25 D．3.5 3．（本题3分）在平面直角坐标系中，把x轴看作一段笔直的河岸，一只小船停在点P(－7，4)处，小船到这段河岸（x轴）的距离是(____)。 A．4 B．7 C． D．11 4．（本题3分）小林在用计算器计算－1之前，先估算了它的整数部分，正确的估算结果是(____)。 A．6 B．4 C．19 D．5 5．（本题3分）一块三角形木板ABC的三边长分别为AB＝10.6 dm，BC＝9 dm，AC＝5.6 dm，那么△ABC中的直角是(____)。 A．∠A B．∠C C．∠B D．△ABC中没有直角 6．（本题3分）学校开展定向越野活动，在平面直角坐标系中，打卡点甲的坐标为(－3，2)，打卡点乙与甲的纵坐标相同，乙在甲的右侧，且两点相距9个单位长度，则打卡点乙的坐标是(____)。 A．(－12，2) B．(－3，11) C．(6，2) D．(9，2) 7．（本题3分）小刚先算出与的差，再把这个差乘，他应当得到的正确结果是(____)。 A． B．3 C．9－ D．15 8．（本题3分）如图，校门口立着一块等腰三角形的指示标志牌ABC，它的两腰AB，AC都长8.9 dm，底边BC长7.8 dm，这块标志牌的面积是(____)dm²。 A．62.4 B．8 C．34.71 D．31.2 9．（本题3分）如图，两座信号塔分别位于点A(－1，5)和点B(7，1)，要在x轴所表示的公路上建一个维修站P，使它到两座信号塔的距离相等，维修站P的坐标是(____)。 A．(3，0) B．(0，－3) C．(1.5，0) D．(－1.5，0) 10．（本题3分）老师给出两个条件：①(2x+1)²＝81；②y的立方根等于－2。同时满足这两个条件时，x－y的算术平方根是(____)。 A． B．或 C．或1 D．±或± 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，学校屋顶上有一个正方体形状的储水箱，它最多能装水3.375 m³（箱壁厚度不计），则储水箱的棱长是________m。 12．（本题3分）在一张气象站分布图上建立平面直角坐标系，某气象站位于第三象限，它的坐标是(－5，y)，且它到x轴的距离是7，则y＝________。 13．（本题3分）如图，一张直角三角形彩纸PQR中，∠Q＝90°，量得最长的边PR＝9.1 cm，边PQ＝3.5 cm，那么边QR的长为________cm。 14．（本题3分）如图，货轮A在灯塔O的北偏东28°方向，距灯塔130 n mile；渔船B在灯塔O的南偏东62°方向，距灯塔144 n mile，则货轮A与渔船B之间的距离是________n mile。 15．（本题3分）用m表示的整数部分，用n表示－m，则代数式＋m)的值为________。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）小亮做完了下面两道实数计算题，请你也写出计算过程并算出结果： (1)+∛(-0.027)-； (2)×÷－。 17．（本题9分）如图，△PQR的三个顶点P，Q，R都落在平面直角坐标系的格点上（坐标系中每一小格的边长表示1个单位长度）。 (1)写出点P，Q，R的坐标； (2)画出△PQR关于x轴对称的△P′Q′R′，并写出点P′，Q′，R′的坐标； (3)求△PQR的面积。 18．（本题9分）如图，一根圆柱形石柱立在广场中央，石柱的高AB为6 m，底面一周的长为3.2 m。工人要从石柱底部的点A出发，沿侧面缠绕一周装饰灯带，灯带的另一端恰好到达点A正上方石柱顶部的点B。 (1)求所需灯带的最短长度； (2)若灯带每米售价25元，按最短长度购买，需要多少元？ 19．（本题9分）木工师傅锯出三根木条，长度分别是 cm， cm和 cm，用它们首尾相接钉成一个三角形框架。 (1)求这个三角形框架的周长； (2)求这个三角形框架围成的面积。 20．（本题9分）如图，小慧在平面直角坐标系中选了三个格点A(－2，4)，B(－4，0)，C(0，－2)，想再找一个格点D，与它们拼成一个正方形ABCD。 (1)求证：AB＝BC； (2)求证：∠ABC＝90°； (3)写出点D的坐标，并求正方形ABCD的面积。 21．（本题10分）如图，在一张景区导览图上，以游客中心O为原点、正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，1个单位长度代表50 m。观景台A在游客中心O东面100 m、北面200 m处；售票亭B在游客中心O西面200 m、南面100 m处。 (1)写出点A，B的坐标； (2)求观景台A与游客中心O之间的实际距离（结果化成最简二次根式）； (3)求观景台A与售票亭B之间的实际距离（结果化成最简二次根式）； (4)取≈1.414，估算(3)中的距离约为多少米（精确到1 m）。 22．（本题10分）已知x＝＋2，y＝－2。 (1)求x＋y与xy的值； (2)求x²－xy＋y²的值； (3)以x，y为两条直角边的长作一个直角三角形，求它的斜边长和面积。 23．（本题13分）如图，台风中心现在位于点O，气象台以点O为原点，x轴指向正东、y轴指向正北建立平面直角坐标系（单位：km）。台风中心正以20 km/h的速度沿x轴向正东方向移动，沿海城市A的坐标为(288，72)，距台风中心222 km及以内的地区会受到台风影响。 (1)求城市A与台风中心当前位置O之间的距离（结果化成最简二次根式）； (2)求台风中心在移动过程中与城市A的最近距离； (3)城市A受台风影响的时间有多长？ (4)台风中心从O出发多少小时后，城市A开始受到影响？这时台风中心的坐标是什么？ B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，数轴上的点P表示，在比大的数中，最小的整数是(____)。 A．－4 B．3 C．－10 D．－3 2．（本题3分）如图，商场里一段自动扶梯AB长14.8 m，扶梯的水平跨度BC为14 m，AC⊥BC，则乘扶梯从B到A上升的高度AC（单位：m）为(____)。 A．0.8 B．4.8 C．23.04 D．28.8 3．（本题3分）以码头O为原点建立平面直角坐标系，一只浮标P位于第二象限，它与x轴相距个单位长度，与y轴相距2个单位长度，则浮标P的坐标是(____)。 A．(－2， B．，2) C．(－2， D．(2， 4．（本题3分）一根铝合金型材长 dm，工人从一端锯下 dm长的一段，剩下部分的长为(____)dm。 A． B． C． D．3 5．（本题3分）如图，一只文具盒的底面ABCD是长14.4 cm、宽4.2 cm的长方形。把一根细木棒平放在盒底，木棒最长可以是多少厘米？（木棒粗细忽略不计）(____) A．15 B．18.6 C．225 D．10.2 6．（本题3分）如图，灯塔A在码头O的北偏东38°方向，与码头O相距15 n mile，那么码头O在灯塔A的(____)。 A．南偏东38°方向，15 n mile处 B．南偏西52°方向，15 n mile处 C．北偏东38°方向，15 n mile处 D．南偏西38°方向，15 n mile处 7．（本题3分）已知m＝＋1，则代数式m²－2m＋3的值为(____)。 A．5－ B．6 C．5 D．2 8．（本题3分）在平面直角坐标系中，y轴上的点B与点A(2，－1)之间的距离恰好为，那么点B的坐标是(____)。 A．(0，2) B．(0，2)或(0，－4) C．(0，4)或(0，－2) D．(2＋，0)或(2－，0) 9．（本题3分）一个直角三角形的斜边长为5，两条直角边的长分别为和，其中a，b都是正整数，并且两条直角边中至少有一条的长是无理数。不计两条直角边的顺序，这样的直角三角形共有(____)种。 A．11 B．12 C．22 D．24 10．（本题3分）猜数游戏中，老师心里想了一个正整数n，并给出两条提示：“的整数部分是5”和“的整数部分是6”。老师想的数可能有(____)种。 A．11 B．13 C．10 D．8 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）已知x的平方等于1.44，y的立方等于－0.343，那么x与y的和为________。 12．（本题3分）如图，在海图上建立平面直角坐标系，港口位于原点O处，小岛P的位置是(－3.6，10.5)（单位：km），则小岛P与港口O的距离为________km。 13．（本题3分）工人要给一块三角形铁皮的一面刷防锈漆，量得铁皮三条边的长分别为15 cm，112 cm，113 cm，需要刷漆的面积为________cm²。 14．（本题3分）点M(2a－1，a－5)关于x轴的对称点N的横坐标与纵坐标相等，则a＝________，点M的坐标为________。 15．（本题3分）如图，把长方形纸片ABCD（AB＝10，BC＝14.5）的一角沿过顶点A的折痕AE折过去（点E在边CD上），顶点D恰好落在边BC上，落点记为F，那么△ECF的面积为________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）期中复习时，同桌两人各出了一道实数运算题，请你分别算出结果： (1)同桌甲的题：－2²+∛(-125)×； (2)同桌乙的题：+-＋÷。 17．（本题9分）如图，小丽在格点图上画了一个四边形ABCD（图中每一小格都是边长为1的正方形），A，B，C，D都在格点上。已知点A的坐标为(－5，2)，点C的坐标为(－1，4)。 (1)在图中画出平面直角坐标系，并写出点B，D的坐标； (2)把四边形ABCD各顶点的纵坐标保持不变、横坐标都乘－1，依次连接所得各点，画出四边形A′B′C′D′； (3)求四边形ABCD的面积。 18．（本题9分）如图，一个等腰三角形屋顶支撑框ABC（AB＝AC），工人在点B处加装一根支撑杆BD，BD⊥AC，点D在AC上，量得BC＝，BD＝9（单位：dm）。 (1)求CD的长； (2)求腰AB的长； (3)求△ABC的面积。 19．（本题9分）三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则三角形的面积S＝（海伦公式）。 (1)一个三角形的三边长分别为4，7，9，用这个公式求它的面积（结果化成最简二次根式）； (2)另一个三角形的三边长分别为10，17，21，求它的面积及最长边上的高。 20．（本题9分）如图，一条河的两岸互相平行，小船从岸边的点A出发，想驶向正对岸的点C（AC垂直于河岸），由于水流影响，实际到达了点C下游51 m的点B处，小船实际行驶的路程AB比河宽AC多9 m。 (1)求河宽AC； (2)另一艘小船也从点A出发驶向点C，结果到达点C下游70 m的点D处，求这艘小船行驶的路程AD（结果化成最简二次根式）。 21．（本题10分）观察下列等式： 第1个：＝3；第2个：＝7；第3个：＝13。 (1)按此规律，写出第4个等式； (2)猜想第n个等式（n是正整数），并加以证明； (3)利用你发现的规律计算：。 22．（本题10分）如图，长方体礼品盒的三条棱AB，BC，CG分别长63 cm，9 cm，7 cm。停在顶点A处的一只小甲虫想沿盒子外表面爬到顶点G处吃糖粒。 (1)小甲虫经过盒子的两个相邻表面爬到点G，按经过的棱不同有三种展开方式，分别求出每种方式下从A到G的最短路程的平方； (2)求小甲虫爬行的最短路程； (3)若小甲虫每秒爬行5 cm，它沿最短路线从A爬到G需要多少秒？ 23．（本题13分）如图，x轴上有两点A(－4，0)，B(9，0)，y轴上有一点C(0，6)，顺次连接A，C，B。一个动点P以每秒1个单位长度的速度，从A点出发沿x轴朝B点方向匀速前进，抵达B点后不再移动。设运动时间为t秒（t＞0）。 (1)分别求出线段AC，BC的长，结果化成最简二次根式； (2)求证：∠ACB＝90°； (3)若△PBC为直角三角形，求此时t的值； (4)若△PAC为等腰三角形，求所有满足条件的t值。 附：A卷命题双向细目表 A卷定位为基础达标，题目以教材中的通法为主：求边、判直角、估算、开方、二次根式运算、写坐标、对称作图都设了专门的题，末题用坐标系描述台风移动，把勾股定理、垂线段最短与二次根式串在一起。全卷基础11题、中档7题、较难5题；三章分值依次为43分、43分、34分，三章的题交替编排。 题号 题型 分值 章节 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 第二章 算术平方根的意义（正方形边长） 基础 运算能力 2 选择题 3 第一章 已知两直角边求斜边（景观石台） 基础 几何直观 3 选择题 3 第三章 点到坐标轴的距离 基础 几何直观 4 选择题 3 第二章 估算无理数的整数部分 基础 数感 5 选择题 3 第一章 勾股定理的逆定理（找直角） 基础 推理能力 6 选择题 3 第三章 平行于x轴的直线上点的坐标 基础 几何直观 7 选择题 3 第二章 二次根式的化简与混合运算 中档 运算能力 8 选择题 3 第一章 等腰三角形的面积（勾股定理求高） 中档 运算能力 9 选择题 3 第三章 坐标系中的等距点（勾股定理） 难 几何直观 10 选择题 3 第二章 平方根与立方根的综合（开方解方程） 难 运算能力 11 填空题 3 第二章 立方根的实际意义（正方体棱长） 基础 运算能力 12 填空题 3 第三章 象限内点的坐标特征 基础 几何直观 13 填空题 3 第一章 已知斜边与直角边求另一直角边 基础 几何直观 14 填空题 3 第三章 方向角与距离确定位置（两船相距） 中档 空间观念 15 填空题 3 第二章 无理数的整数部分与小数部分 难 数感 16 解答题 6 第二章 实数的混合运算 基础 运算能力 17 解答题 9 第三章 关于x轴对称的点的坐标（作图） 基础 推理能力 18 解答题 9 第一章 圆柱侧面上的最短路径（灯带） 中档 模型观念 19 解答题 9 第二章 二次根式的加减与乘法（三角形周长与面积） 中档 运算能力 20 解答题 9 第一章 坐标系中的勾股定理与逆定理 中档 推理能力 21 解答题 10 第三章 用坐标表示位置与实际距离 中档 几何直观 22 解答题 10 第二章 二次根式的整体代入与勾股定理综合 难 运算能力 23 解答题 13 第一章 勾股定理的实际应用（台风影响范围） 难 模型观念 附：B卷命题双向细目表 B卷定位为能力提升，考点与A卷相同，但中档、较难题每道都多一步思考：勾股定理与无理数意义结合计数、两个整数部分条件取公共部分、长方形折叠后再算面积、长方体三种展开比较、动点使三角形成为等腰三角形的三种情况。难度结构与A卷相同（11／7／5），三章分值依次为43分、40分、37分。 题号 题型 分值 章节 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 第二章 用数轴估计无理数的范围 基础 数感 2 选择题 3 第一章 已知斜边与直角边求高（自动扶梯） 基础 几何直观 3 选择题 3 第三章 由到坐标轴的距离确定点的坐标 基础 几何直观 4 选择题 3 第二章 二次根式的加减 基础 运算能力 5 选择题 3 第一章 长方形的对角线（木盒放木棒） 基础 几何直观 6 选择题 3 第三章 方向角与距离（互换观测点） 基础 空间观念 7 选择题 3 第二章 二次根式的整体代入求值（配方） 中档 运算能力 8 选择题 3 第三章 坐标系中由两点距离求点的坐标 中档 几何直观 9 选择题 3 第一章 勾股定理与无理数的综合（计数） 难 推理能力 10 选择题 3 第二章 由整数部分确定被开方数的范围 难 数感 11 填空题 3 第二章 开平方与开立方求未知数 基础 运算能力 12 填空题 3 第三章 坐标系中点到原点的距离 基础 几何直观 13 填空题 3 第一章 勾股定理的逆定理（铁皮面积） 基础 推理能力 14 填空题 3 第三章 含参数的关于x轴对称的点 中档 推理能力 15 填空题 3 第一章 长方形折叠中的勾股定理（面积） 难 模型观念 16 解答题 6 第二章 实数的运算（含乘方与开方） 基础 运算能力 17 解答题 9 第三章 建立坐标系与横坐标乘－1的图形变化（作图） 基础 推理能力 18 解答题 9 第一章 等腰三角形腰上的高（方程思想） 中档 模型观念 19 解答题 9 第二章 二次根式的应用（海伦公式） 中档 运算能力 20 解答题 9 第一章 方程思想求河宽（小船渡河） 中档 模型观念 21 解答题 10 第二章 二次根式中的规律探究（证明） 中档 运算能力 22 解答题 10 第一章 长方体表面的最短路径（三种展开） 难 模型观念 23 解答题 13 第三章 坐标系中的动点与等腰三角形分类讨论 难 几何直观 试卷第 1 页，共 1 页 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