专题11 相似三角形之手拉手模型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题11 相似三角形之手拉手模型 模型说明—明晰核心解法，助力能力迁移 【模型提炼与证明】 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 例题精讲 典例1（三角形手拉手模型）如图，已知点在内，，，，． （1）当时，求证：； （2）当时，求的值． 【答案】(1)见解析;(2) . 【分析】（1）连结，易证，然后得到，，然后利用直角三角形性质得到 （2）连结，易证，设在直角三角形EBD中由相似比可直接得到答案 【详解】如图所示图1，（1）连结， 易证，∴，证，， ∴ （2）如图所示图2， ∴∴， ∴∴ 又∵， 设，则， ∵∴，∴ 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，能够知道相似三角形对应边成比例是求线段比的常用方法是本题关键 典例2（四边形手拉手模型）已知正方形： （1）如图1，正方形，①求证：；②求的值． （2）如图2，为，的中点，正方形，求值． 【答案】(1)①见解析;②;(2). 【分析】（1）①由SAS可证≌，∴．②连、，利用正方形对角线得到，，所以有，得到∽，所以 （2）连、、，因为O为中点，得到，有∽， 即有，因为，所以 【详解】（1）①由SAS可证≌，∴． ②如图，连、， ∵为正方形的对角线，∴． 同理：在正方形中，，∴． 而，∴， ∴∽，∴． （2）连、、， ∵为与的中点，∴． 而，∴∽， ∴，∴． 又∵，∴∽，∴． 又∵≌，∴，∴． 【点睛】本题是正方形与相似三角形的综合问题，活运用三角形判定定理和性质是解题关键 典例3（最值问题）在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 【答案】(1) 证明：①四边形是矩形，， 四边形是正方形， 是对角线， ， 同理， 又， ． ②如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ， 同理， ， 又， ， ， ， ， 点一定在射线上． (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，结合相似三角形的判定即可求解；②连接，可知和都是等腰直角三角形，利用手拉手的相似模型，证得，求得，最后根据，得到三点共线即可求解． （2）先将一条边设元，通过相似和全等找到线段之间的关系，用含有未知数的式子将其余线段长度表示出来，通过勾股定理将表示出来，利用函数求出最值即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，过点E作直线，再过点F分别作，则， 设的长度为，则， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 结合图形可知四边形和四边形都是矩形， ， ， 由勾股定理可知， 当时，有最小值，最小值为32， 最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数的最值等知识点，掌握“手拉手”的相似模型、“一线三等角”的全等模型，以及设元通过函数求最值的思路是解题的关键． 典例4（培优综合）将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接， 如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；    当且时， ①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．    【答案】（1）等腰直角三角形，； （2）①两个结论仍然成立，理由： 连接BD，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵四边形为正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴结论不变，依然成立 ②3或1． 【分析】（1）根据题意，证明是等边三角形，得，计算出，根据，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值； （2）①连接BD，通过正方形性质及旋转，表示出，结合，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值； ②分为以CD为边和CD为对角线两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）由题知°，°， ∴°，且为等边三角形 ∴°， ∴ ∵ ∴° ∴° ∴为等腰直角三角形 连接BD，如图所示 ∵° ∴即 ∵ ∴ ∴ 故答案为：等腰直角三角形， （2）①略； ②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论 第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上， 如图所示： 此时点E与点A重合， ∴，得； ②当以CD为对角线时，如图所示： 此时点F为CD中点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上：的值为3或1． 【点睛】本题考查了正方形与旋转综合性问题，能准确的确定相似三角形，是解决本题的关键． 变式1-1综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；； （2）①证明：如图②，过点作，垂足为， AI∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解． 【详解】解：（1）；； ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①略 ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 变式1-2某校数学活动小组探究了如下数学问题：    (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到BP和CQ的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP和AQ的数量关系； （3）连接BD，如图（见详解），先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段BP的长，接着设正方形ABCD的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：判断，理由如下： ∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接BD，如图所示，    ∵四边形与四边形是正方形，DE与PF交于点Q， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为3． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 变式1-3如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得． （1）①求证：； ②若，求的长； （2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值； （3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程） 【答案】 （1）①∵DE∥BC， ∴， 由旋转知，∠EAC=∠DAB， ∴△ABD∽△ACE， ②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2． 【分析】（1）①先利用平行线分线段成比例定理得，进而得出结论； ②利用①得出的比例式求出CE，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可； （3）同（2）的方法得出，即可得出结论； 【详解】解：（1）① 略 ②在Rt△ABC中，AC=BC， ∴， 由①知，△ABD∽△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ACD+∠ABD=90°， ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠DCE=90°， ∵△ABD∽△ACE， ， ∴， ∵ ∴ 在Rt△CDE中， 根据勾股定理得，DE=2， 在Rt△ADE中，AE=DE， ∴ （2）由旋转知，∠EAC=∠DAB， ， ∴△ABD∽△ACE， ∵AD=4，BD=3， ∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k， ∵△ABD∽△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ACD+∠ABD=90°， ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠DCE=90°， 在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2， 在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2， ∴1+9k2=16-16k2， ∴或（舍）， （3）由旋转知，∠EAC=∠DAB， ∴△ABD∽△ACE， ∵AD=p，BD=n， ∴， ∵△ABD∽△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ACD+∠ABD=90°， ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠DCE=90°， 在Rt△CDE中，， ∵， ， ∴4p2=9m2+4n2． 【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解本题的关键是得出∠DCE=90°和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方法应用． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．【问题呈现】 如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系． 【问题探究】 (1)如图1，若和是等腰直角三角形，求证：； (2)如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)【拓展应用】在（1）的条件下，，，将绕点A旋转使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度． 【答案】(1) 证明：设交于点O，如图1； ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． (2) 成立，理由如下： 设交于点O，如图2， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即． (3) 【分析】本题主要了考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用两边对应成比例且夹角相等证明可得，再根据可得，再根据对顶角相等可得，然后运用等量代换即可证明结论； （2）与第（1）同样的方法证明； （3）当E恰好落在线段AB上时，利用（1）的结论和对顶角相等，证明然后分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图：当点E在上时，    由（1）的结论可得， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 2．已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且． (1)点D与点B重合时， ①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ； ②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由； (2)BD＝2CD时， ①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度； ②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值． 【答案】(1)①AE＝FC；AE⊥FC； ②AE＝2CF，AE⊥CF， 理由如下： ∵，， ∴△ABE∽△CBF， ∴，∠A＝∠BCF， ∴AE＝2CF， ∵∠A+∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠ACB＝90°， ∴AE⊥CF； (2)①6；② 【分析】（1）①如图1中，结论：AE＝FC；AE⊥FC；证明可得结论． ②如图2中，结论：AE＝2CF，AE⊥CF，证明△ABE∽△CBF可得结论． （2）①如图3中，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，首先证明DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，再证明△EDT≌△FDC（SAS），推出S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，构建方程求出m即可解决问题． ②如图4，连接DM，CM，根点M作于K，交AC于J，证明，推出点是在DC的垂直平分线MK上，当时，MN的值最小． 【详解】（1）解：（1）① 　AE＝FC　， 　AE⊥FC　； 理由：由题意知BA＝BC，BE=BE，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：AE＝FC，AE⊥FC． ②略 （2）①如图3，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T， 由题意知AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∵DT∥AB，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC， ∵DH⊥CT，∴HT＝HC， ∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m， ∴DT∥AB，∴， ∴AT＝4m， ∵AE＝2，∴ET＝4m﹣2， ∵DE＝DF，DT＝DC，∠EDF＝∠TDC＝90°， ∴∠EDT＝∠FDC，∴△EDT≌△FDC（SAS）， ∴S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC， ∴， 解得m＝2或﹣（舍去）， ∴CF＝ET＝4m﹣2＝6； ②如图4，连接DM，CM，根点M作于K，交AC于J， 同法可证：， ∵， ∴， ∴点M是在DC的垂直平分线MK上，DC的长度不会变化， 当时，MN的值最小， 由题意：AB=10，BC=5，，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， MN的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握双子型基本模型是解题的关键． 3．如图1，中，，，点、、分别在三条边上，，． (1)如图2，将绕点逆时针旋转，点、分别为、的中点，若，求的长； (2)如图3，将绕点顺时针旋转，点、为、的中点，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，证明即可解决问题； （2）证明，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， 在图1中，∵， ∴，， ∴， ∵，为中点， ∴在中，， ∴，, ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：如图， 在图1中，∵， ∴， ∴， ∵在中，为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握基础知识是本题关键． 4．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． (2)证明：过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， 又∵ ， ， ，， ， ， 即点是线段的中点． (3)解：结论：， 理由：延长、交于点，过点作，垂足为， 设，由可得， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，，， 由（2）得， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ ∴，即． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N，构造K字形全等，得，由全等三角形的性质得到，进而证明即可得出． （3）延长、交于点，过点作，垂足为，设，则，可求，，根据中点+平行线模型可得，可得，，由勾股定理可得，进而求出，利用可得，由此求出，根据，求出，由此得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1)1； (2)①；②； (3)或 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （3）由（2）的结论得出，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】（1）解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， （2）， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ． （3）由（2）有，， 又∵，， ， ∴，， ， ， 如图4图5图6，连接． 如图4，当E在线段上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 6．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 7．观察猜想 (1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______． (2)类比探究 如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸 如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)成立 (3) 【分析】（1）利用可证明，继而得出结论； （2）也可以通过证明，得出结论，和（1）的思路完全一样． （3）首先得出，从而判定，得到，根据，，得到，从而判定，得出结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：结论仍成立； 理由如下：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （3）解：； 理由如下：，， ∴， 又∵， ， ∴， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论． 8．（1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离． 【答案】（1），45°；（2），30°；（3）2 【分析】（1）由题意得△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，进而得出∠BFC=∠BAC=45°； （2）由直角三角形的性质得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，证出∠BFC=∠BAC=30°； （3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠DAM=45°，，证△BAD∽△CAM，得∠ABD=∠ACM，，则CM=3，证出∠DCM=90°，由勾股定理得DM=，则AD= DM=2． 【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE， ∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=45°， 故答案是：，45°； （2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°， ∴DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=30°； （3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∆ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠DAM=45°，， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM， ∴∆BAD~∆CAM， ∴∠ABD=∠ACM，， 又∵BD=6， ∴CM==3， ∵四边形ABDC的内角和为360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90° ∴∠ABD+∠BCD=180°， ∴∠ACM+∠BCD=180°， ∴∠DCM=90°， ∴DM=， ∴AD=DM=2， 即A，D两点之间的距离是2． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，第（3）小题，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 9．如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．    （1）问题发现 在图（1）中，_________； （2）拓展探究 将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明； （3）问题解决 当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）的大小无变化，证明见解析；（3）或 【分析】（1延长FG交BC于点H，可根据题意分别求出，的长，即可求的值； （2）连接，先由勾股定理计算的值，再计算，最后根据相似三角形的判定与性质解题即可； （3）采用分类讨论法解题，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，据此分别求解即可. 【详解】（1）解：延长FG交BC于点H， 则 ， ， 故答案为：    （2）的大小无变化. 证明：如图（1），连接， 由题意可知：， ∴， 即， 在矩形中，， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    （3）或 如图（2），图（3）：    如图（2），当点在线段上，由（2）知，，，在中， ； 当点在的延长线上时，由（2）知，，，在中， 综上所述，或 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，其中涉及分类讨论思想，综合性较强，有一定难度，熟练并灵活运用知识是解题的关键. 10．如图1所示，矩形中，点E，F分别为边,的中点，将绕点A逆时针旋转，直线、相交于点P． (1)若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置上，则线段与的位置关系是 　 　，数量关系是 　 　． (2)若，将绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请写出正确结论 (3)若，，将旋转至时，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)结论不完全成立．线段与的位置关系是，数量关系是 (3)或 【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）证明，利用相似三角形的性质可得结论； （3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：线段与的位置关系是，数量关系是． 理由：四边形是矩形，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ． （2）解：结论不完全成立．线段与的位置关系是，数量关系是． ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ． （3）解：如图，当点P在的延长线上时， 在中，，， ， ， ， ， ， ，，， 四边形AEPF是矩形， ， ； 如图，当点P在线段上时，， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形，学会用分类讨论的思想思考问题． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，连接BN，射线NM交BC于点D． （1）如图1，若点A，M，N在一条直线上， ①求证：BN+CM＝AM； ②若AM＝4，BN＝，求BD的长； （2）如图2，若AB＝4，CN＝2，将△CMN绕点C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长．    【答案】（1）①证明见解析；②；（2）2. 【分析】（1）①如图，过点C作CF⊥CN，交AN于点F，由等腰直角三角形的性质，可求∠CNM=45°，CM=MN，即可证∠FCN=∠ACB，∠CFN=∠CNF=45°，根据“SAS”可证 △ACF≌△BCN，可得AF=BN，根据等腰直角三角形的性质可得MF=MN=CM，即可证BN+CM=AM； ②由题意可求出CM=MN=，由全等三角形的性质可得∠CAF=∠CBN，即可证∠MCD=∠CBN，则CM∥BN，可得△MCD∽△NBD，根据相似三角形的性质和勾股定理可求BD的长； （2）分∠BDH=90°，∠DHB=90°两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质可求CD的长． 【详解】证明：（1）①如图，过点C作CF⊥CN，交AN于点F，    ∵△CMN是等腰直角三角形， ∴∠CNM＝45°，CM＝MN， ∵CF⊥CN，∠ACB＝90°， ∴∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°， ∴∠ACF＝∠BCN，CF＝CN，且AC＝BC， ∴△ACF≌△BCN（SAS）， ∴AF＝BN， ∵CF＝CN，CM⊥MN， ∴MF＝MN＝CM， ∴AM＝AF+FM＝BN+CM ②∵AM＝4，BN＝，BN+CM＝AM， ∴CM＝MN＝， ∵△ACF≌△BCN， ∴∠CAF＝∠CBN， ∵∠CAF+∠ACF＝∠CFN＝45°，∠BCN+∠MCD＝∠MCN＝45° ∴∠CAF＝∠MCD，且∠CAF＝∠CBN， ∴∠MCD＝∠CBN ∴CM∥BN ∴△MCD∽△NBD，∠CMD＝∠BND＝90° ∴＝ ∴MD＝ND ∵MD+ND＝MN＝ ∴ND＝ 在Rt△DNB中，BD＝＝ （2）若∠BDH＝90°，如图，此时点M与点D重合，    ∵△CMN是等腰直角三角形，CN＝2 ∴CM＝MN＝ ∴CD＝， 若∠BHD＝90°，如图，    ∵∠BHD＝90°，∠B＝45°， ∴∠BDH＝45° ∴∠CDN＝45°＝∠N ∴CD＝CN＝2． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质以及分类思想，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 相似三角形之手拉手模型 模型说明—明晰核心解法，助力能力迁移 【模型提炼与证明】 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 例题精讲 典例1（三角形手拉手模型）如图，已知点在内，，，，． （1）当时，求证：； （2）当时，求的值． 典例2（四边形手拉手模型）已知正方形： （1）如图1，正方形，①求证：；②求的值． （2）如图2，为，的中点，正方形，求值． 典例3（最值问题）在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 典例4（培优综合）将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接， 如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；    当且时， ①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．    变式1-1综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 变式1-2某校数学活动小组探究了如下数学问题：    (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 变式1-3如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得． （1）①求证：； ②若，求的长； （2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值； （3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．【问题呈现】 如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系． 【问题探究】 (1)如图1，若和是等腰直角三角形，求证：； (2)如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)【拓展应用】在（1）的条件下，，，将绕点A旋转使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度． 2．已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且． (1)点D与点B重合时， ①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ； ②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由； (2)BD＝2CD时， ①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度； ②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值． 3．如图1，中，，，点、、分别在三条边上，，． (1)如图2，将绕点逆时针旋转，点、分别为、的中点，若，求的长； (2)如图3，将绕点顺时针旋转，点、为、的中点，直接写出的值． 4．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 5．如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 6．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 7．观察猜想 (1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______． (2)类比探究 如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸 如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由． 8．（1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离． 9．如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．    （1）问题发现 在图（1）中，_________； （2）拓展探究 将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明； （3）问题解决 当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 10．如图1所示，矩形中，点E，F分别为边,的中点，将绕点A逆时针旋转，直线、相交于点P． (1)若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置上，则线段与的位置关系是 　 　，数量关系是 　 　． (2)若，将绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请写出正确结论 (3)若，，将旋转至时，请直接写出的长． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，连接BN，射线NM交BC于点D． （1）如图1，若点A，M，N在一条直线上， ①求证：BN+CM＝AM； ②若AM＝4，BN＝，求BD的长； （2）如图2，若AB＝4，CN＝2，将△CMN绕点C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $