专题07 相似三角形之A字模型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题07 相似三角形之A字模型 模型说明—明晰核心解法，助力能力迁移 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 图2 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B； 结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例题精讲 典例1（基本模型）如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分边，推出，，，结合，推出和，根据性质可判断选项的值． 【详解】∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点为的中点， ∴， ∴， ∵设，， ∴， ∴． 选项A正确，不符合题意． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项B正确，不符合题意． ∵， ∴设，则，， ∴． ∴． ∴选项C正确，不符合题意． ∴． ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 典例2（内接矩形）如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 【答案】2.4 【分析】设正方形的边长为，证明，，求出的长，作差即可. 【详解】解：设正方形的边长为． 四边形是正方形， ， ， ． ，，正方形的边长为， ， 解得， ． 又由得， ， 即， 解得， ． 典例3（几何动点问题）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 【答案】（1），；（2）t＝3或 【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案； （2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值． 【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， ∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2， ∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm ∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36， ∵△AMN的面积是△ABD面积的， ∴6t﹣t2＝， ∴t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， 若△AMN∽△ABD， 则有，即， 解得t＝3， 若△AMN∽△ADB， 则有，即，得t＝， 答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键． 典例4（最值问题）如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形性质得出为中点且，由垂线段最短可知当时最小，利用相似三角形性质计算即可 ． 【详解】解：四边形为平行四边形， 为中点，， ， 当时，最短，即最小， 如图， 在中，，， ， ，， ， ，即， ， ， 即的最小值为． 典例5（分类讨论问题）如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 【答案】4 【分析】分两种情况：①当时；②当时，进一步结合相似三角形求解即可． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴． 分类讨论：①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴， 此时与没有交点， 综上可知，线段的长为4． 典例6（培优综合）如图1，在中，平分，，．                    (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，作交于G，点D是中点，H是上一点，，，，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴； (2) 证明：在上截取，连接 ∵ ∴ ∴， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先由平行线得到，然后结合三角形的外角性质得到，再由邻补角互补证明即可； （2）在上截取，连接，证明即可； （3）在上截取，连接，证明，求出，则，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在上截取，连接， 由（2）可得，， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，点D是中点， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 变式1-1如图，矩形中，，将绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处，点B对应点E，连接交于点G，若，则矩形的周长为________． 【答案】 【分析】设与交于M，设，则，根据矩形性质以及旋转性质证明，利用相似比可表示出，则，得到，于是利用得到，解出a的值，利用勾股定理求出的长，从而求出最后结果． 【详解】解：设与交于M，如图， 设，则， 四边形为矩形， ，，， ， 将绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）， ， 在中，， 矩形的周长． 变式1-2如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 【答案】2或 【分析】由折叠可得，分和两种情况即可求解． 【详解】解：由折叠可得， 当时，则； 当时， 在中，，，， ∴， 如图，延长至G，使得， ∵， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得； 综上所述，或． 变式1-3如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为（秒）， ∵，，， ∴， ∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动， ∴点Q到达点C的时间为（秒）， ∵在上以每秒4个单位长度的速度运动，， ∴点P到达点A的时间为（秒）， ∴当时，， 故； 当时，； （2）解：由题意，， ∴， 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴，∴ ∴； 综上所述，当与的一边平行时，或． 变式1-4如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 【答案】(1)证明：，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ． ∵，， ， ， ， ∵在正方形中，， ， ∴四边形为正方形； (2) 【分析】（1）先证得四边形为矩形．根据正方形的性质得到，，得到，，由此证得PN=MN，即可得到结论； （2）作于点D，交于点E，根据的面积求出，，，设，则，，由证得，即可求出. 【详解】（1）略 （2）解：作于点D，交于点E， ，， ， ∵， ， ， ， ，                 设，则，， ， ， ，即，                                         解得， 即的长为． 变式1-5如图，在中，，，，点为中点，动点从点出发，沿方向向终点运动．连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)线段的长为 ； (2)当时，求点到的距离； (3)当点在边上运动，被的边平分时，的面积是 ； (4)当直线将面积分成两部分时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或． 【分析】（1）直接运用勾股定理即可求解； （2）先过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到线段交于点，通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再通过平行相似得到、，最后通过相似比求值即可； （3）先过点作交于点，过点作交于点，且与交于点，过点作交于点，连接，且交于点，通过平形相似证明、四边形为矩形，再结合旋转的性质证明，得到等量关系，最后再通过平行相似证明并求出长度算三角形的面积即可； （4）需要分类讨论，利用相似三角形的性质得出长度即可． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴． （2）过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到线段交于点． ∵点为中点， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）过点作交于点，过点作交于点，且与交于点，过点作交于点，连接，且交于点． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，． ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵为中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵设， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）∵，， 又∵由（1）得， ∴． ①若点在上，直线与相交于点． ∵当直线将面积分成两部分， ∴， ∴． 作交于 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴点和点重合， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②若点在上，直线与相交于点． ∵当直线将面积分成两部分， ∴， ∴． 作交于 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴点和点重合， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵，∴． 综上为或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的面积等，熟练掌握数形结合是解决本题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出与相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合公共角对各选项进行逐一判断． 【详解】解：因为，若，则，故选项不符合题意； 若，则，故选项不符合题意； 若，且，则，故选项不符合题意； 若，无法判定，故选项符合题意． 3．如图，在中，，，，点E在边上，以为对角线作，则的长度的最小值为（     ） A．5 B．6 C．6.5 D．10 【答案】A 【分析】设交于点，由勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，，由垂线段最短可得，当时，取最小值，此时线段最短，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，设交于点， ∵在中，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴由垂线段最短可得，当时，取最小值，此时线段最短， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，已知△和△都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，得到，，再证明，过点作交于点G，则，证明是等边三角形，得到，    证明，则，即可求出答案． 【详解】解：∵△和△都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴， 过点作交于点G， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 5．如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 【答案】(1) 解：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． 同理： ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． ∴． (2)与的面积比为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据平行相似证明、，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴设，， ∴． ∵由（1）得， ∴． ∴与的面积比为． 6．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 7．【问题提出】 (1)如图①，在等腰中，，点、在边上，点、分别在边、上，，若，则四边形的面积为_________； 【问题探究】 (2)如图②，有一块“缺角矩形”，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某社区提供的休闲娱乐草坪平面图，已知，的长为，的长为．现准备在草坪内修一个三角形儿童游乐沙坑，分别在、、上取点、、，根据设计要求，须使得，为了能让更多小孩玩耍，儿童游乐沙坑面积要尽可能大，求当的面积取最大值时的长． 【答案】(1)8 (2)567 (3) 【分析】（1）过点作交于点，由勾股定理求解，可得都是等腰直角三角形，然后求出，再证明四边形是平行四边形，即可求解面积； （2）延长、交于点，过上的点作于点，延长交延长线于点，过点作于点，可得四边形、四边形、四边形均为矩形，设，则，，由 ，求出，则，再由矩形面积公式建立二次函数关系式，最后根据二次函数的性质求解最值． （3）作交于点，交于点，先求出，．设，可得，求出，则．再由三角形面积公式建立二次函数关系式，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点作交于点， ∵等腰中， ∴， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积； （2）解：如图②，延长、交于点，过上的点作于点，延长交延长线于点，过点作于点， ∵ ∴四边形、四边形、四边形均为矩形， ∴，，， 设，则，，， ∵ ∴， ∴， 即， 得， ∴． 则矩形的面积， ∵，， ∴当时，矩形的面积取得最大值，最大值为567． （3）解：如图③，作交于点，交于点， ∵在中，，， ∴． ∵ ∴． 设， ∵， ∴，， ∴ ∴ ∴． ∴． ∴， ∵， ∴当时，最大． 故当的面积取最大值时，． 8．如图，将矩形纸片（）折叠，使点C刚好落在线段上，记作点G，点D经折叠后的点记作点H，且折痕分别与边、边交于点E、点F，连结． (1)猜想四边形的形状是 ，并加以证明； (2)若，，求的值． 【答案】(1)菱形 证明：（方法不唯一，合理即可） 将矩形纸片沿着折叠，点对应点 即 ， 由折叠的性质得， ∴四边形是平行四边形 又（或者写） 平行四边形是菱形 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质和平行四边形的性质即可解答； （2）连接交于点，根据菱形和矩形的性质，证，再依据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点， 平行四边形是菱形 ，， 四边形是矩形 ，，， ，， ，， ∴， ， ． 9．【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【答案】 【分析】根据直角三角形的面积，求出，再根据勾股定理求出，进而结合等积变换求出，根据矩形性质得，，，即可得，，再根据，即可证明，，根据相似性质得，，设，则，进而得，，即可求出，设矩形的面积为，再根据矩形面积公式即可得，配方后根据偶次方的非负性即可得矩形台面面积的最大值． 【详解】解：如图， ∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴,即：，解得：， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， 在矩形中有：，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 设矩形的面积为，则： ，   ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形之A字模型 模型说明—明晰核心解法，助力能力迁移 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 图2 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B； 结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例题精讲 典例1（基本模型）如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 典例2（内接矩形）如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 典例3（几何动点问题）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 典例4（最值问题）如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 典例5（分类讨论问题）如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 典例6（培优综合）如图1，在中，平分，，．                    (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，作交于G，点D是中点，H是上一点，，，，，求的值． 变式1-1如图，矩形中，，将绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处，点B对应点E，连接交于点G，若，则矩形的周长为________． 变式1-2如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 变式1-3如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 变式1-4如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 变式1-5如图，在中，，，，点为中点，动点从点出发，沿方向向终点运动．连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)线段的长为 ； (2)当时，求点到的距离； (3)当点在边上运动，被的边平分时，的面积是 ； (4)当直线将面积分成两部分时，直接写出的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，点E在边上，以为对角线作，则的长度的最小值为（     ） A．5 B．6 C．6.5 D．10 4．如图，已知△和△都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 6．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 7．【问题提出】 (1)如图①，在等腰中，，点、在边上，点、分别在边、上，，若，则四边形的面积为_________； 【问题探究】 (2)如图②，有一块“缺角矩形”，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某社区提供的休闲娱乐草坪平面图，已知，的长为，的长为．现准备在草坪内修一个三角形儿童游乐沙坑，分别在、、上取点、、，根据设计要求，须使得，为了能让更多小孩玩耍，儿童游乐沙坑面积要尽可能大，求当的面积取最大值时的长． 8．如图，将矩形纸片（）折叠，使点C刚好落在线段上，记作点G，点D经折叠后的点记作点H，且折痕分别与边、边交于点E、点F，连结． (1)猜想四边形的形状是 ，并加以证明； (2)若，，求的值． 9．【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $