专题06 相似三角形常考六大模型突破-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题06相似三角形常考六大模型突破 题型归纳 【模型01：（双）A字型相似】 【模型02：（双）8型相似】 【模型03：母子型相似】 【模型04：十字架相似】 【模型05：K字型相似】 【模型06：旋转相似】 专题训练 【模型01：（双）A字型相似】 1.如图，在△ABC中，DE‖BC,BD=2AD,DE=4,则BC的长是() B A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【分1极张DE引Bc可得△ADC-△MC.可瓷治号即可求解 【详解】解：：BD=2AD, .AD=AD 1 AB AD+2AD 3 1 DE‖BC, .△ADE一△ABC 股0行是 解得BC=12 2.如图，在△ABC中，DE|BC, BD2SaDE=4cm2,则SAA为() AD_1 D A.8cm2 B.12cm2 C.16cm2 D.36cm2 【答案】D 【分析】 AD_1. BD2可得AB3容易证明△ADE一△ABC,则 AD1 S△ADE= SAABC AD-。因此56A=9S6A0e=36cm2 AB9 【详解】解：AD=1 BD 2' .AD=1 AB 3' DE‖BC, ∴.△ADE一△ABC, .S△ADE= SAABC “SAADE=4cm, S6ABc=9 SAADE=36cm” 3.小强身高1.42m,他想求出校园内旗杆的高度.他从旗杆底部沿着旗杆的影子走了 20.20m,此时他头顶的投影恰与旗杆顶端的投影重合，这时他距旗杆影子的末端是 4.10m.旗杆的高度是多少？（精确到0.01m) --下1.42m 4.10m 20.20m 【答案】8.42m 【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用比例求解即可； 【详解】解：如图： 1.42m 4.10m 20.20m 由题意得：BC⊥AB,DE⊥AB, .BC‖DE, .△ABC一△ADE, BC_AB DE AD 4.10 三.h4,10+20.20 解得：h≈8.42m. 答：旗杆的高度是8.42m 4.如图，已知正方形DEFG内接于Rt△ABC,EF在斜边BC上，试证明： A (1)片 ECA EB AB 2EF2=BE·FC 【答案】(1)证明：：四边形DEFG是正方形， ,∠g=90° .∠DEB=180°-90°=90°， ∴，∠DEB=∠A, .∠DBE=∠ABC, ∴△BED一△BAC, .DECA ·EBAB (2)证明：：四边形DEFG是正方形， ∴.∠=∠GFE=90°，DE=EF=FG, ∴.∠BED=∠CFG=90°， ,∠C+∠B=∠BDE+∠B=90°， ∠BDE=C .△BDE~△GCF, .BE:GF=DE CF, ..BE:EF=EF:CF, EF2=BE·FC 【分析】(1)判定△BED一△BAC,推出 DECA EB AB (2)由正方形的性质推出∠迴=∠GFE=90°，DE=EF=FG,判定 △BDE一△GCF,推出BE:GF=DE:CF,即可证明EF2=BE·FC. 【详解】(1)略 (2)略 5.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB和AC上的点，AB=12cm,AE=6cm, EC=5cm,且AD-AE DB EC. 求AD的长， 【答案】 72 cm. AD AE 【分析】利用比例线段得到AB-ADE元， 然后把AB=12cm,AE=6cm, EC=5cm代入即可求解. 【球解1解：记2瓷 AD AE AB-AD EC .AB=12cm,AE=6cm,EC=5cm, AD 6cm 12cm-AD 5cm AD=72 72 m,即AD的长为 1 6.【主题】如何裁剪木板使面积最大 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求 解代数式的最值. 素材2：求解代数式-x2+2x+3的最大值. 解：原式=-x-2x+1+4=-x-1+4 ·x-1≥01 -x-1≤0 -x-12+4≤4 -X2+2x+3 最大值为4. 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板ABC的面积为13.5m2,一条直角边AB长为4.5m,现王 师傅要沿着边AC截一个矩形台面DEFG,D,G分别在边AB,BC上，BH⊥EF, 分别与DG,EF交于点M,H,求该矩形台面面积的最大值. B M 【答案】 27 m2 4 【分析】根据直角三角形的面积，求出BC=6m,再根据勾股定理求出AC=7.5m, 进而结合等积变换求出BH=号m,根据矩形鞋质得DG=E,DE=MH=G不， DG‖EF,即可得∠BDM=∠BAC,∠BGM=∠BCA,再根据 ∠BMD=∠ABC=∠GMB=90°，即可证明△BDM一△ABC, △GBM一△ABC,根据相似性质得BM=BC,BM=AB DM AB'GM BC' 设DE=MH=X,则 B1=9-X进而得DM=品-子xGN=台x,即可求出DG=号瓷 5 212x, 设矩形DEFG的面积为S,再根据矩形面积公式即可得S=-25x2+15, 2 X,配方后根据 12 偶次方的非负性即可得矩形台面面积的最大值. 【详解】解：如图， B D H ,直角三角形木板ABC的面积为13.5m2,一条直角边AB长为4.5m, 亏AB·BC=13.5即：5×4.5BC=13.5解得：BC=6m AC=AB+BC2-4.52+62=7.5m 6 BH⊥EF, ÷号ABBC-ACBH,即：45×6=75BH,解得：B阳- 6m, 在矩形DEFG中有：DG=EF,DE=MH=GF,DG‖EF, ∴BH⊥DG ·DG‖EF ∠BDM=∠BAC,∠BGM=∠BCA, '∠BMD=∠ABC=∠GMB=90°， .△BDM一△ABC,△GBM一△ABC BM BC BMAB DM AB'GM BC 设DE=MH=GF=X,则BM=BH-HM= 5 18 18 -X -X 5 6,5 4.5 DM-4.5GM-6 :DM=2-3x,GM=24-4X 1041 53, ÷DG=DM+GM=15-25x, 212 设矩形DEFG的面积为S,则： S=DE·DG= 25 1 x- 2 x- 5 ≥0 25 9/ X- 5 ≤0 12 当x 9时， =- 25 12 x- 5 9+27s22m2 54 4 27 ÷矩形台面面积的最大值为4m, 【模型02：（双）8型相似】 7.如图，AB‖DC,AO=2,BD=7,OB=2.5. B (1)求0C的长. (2)求△AOB与△DOC的面积比. 【答案】(1)3.6： 哈 【分析】先证出两三角形相似，再利用相似三角形的性质即可解得结果. 【详解】(1)解：AB‖DC, ∴.∠A=∠C,∠B=∠D, ∴.△AOB~△COD OA_OB OC OD .BD=7,OB=2.5, ∴.0D=7-2.5=4.5, 品器 ∴.0C=3.6 (2)解：.△AOB~△COD, S640g 8.如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，连接AD,过点A作AE‖BC,连接BE 分别交AD,AC于点F,G,AF=FG·EF (1)求证：∠DAC=∠CBE: (2)若AB=AC=5,BC=6,点D为BC的中点，求BG的长， 【答案】(1)证明：，AF2=FG·EF, 光是 ,∠AFG=∠EFA, ∴.△AFG~△EFA, .∠FAG=∠FEA, AE‖BC, ∴，∠FEA=∠CBE, ∴.∠FAG=∠CBE, 即∠DAC=∠CBE: 哈 【分析】(1)证明△AFG一△EFA,结合平行线的性质解题： (2)推出BG⊥AC,根据面积法计算. 【详解】(1)略 (2)解：如图，：AB=AC=5,BC=6,点D为BC的中点， .AD LBC.BD=DG=BC=3. AD=AC2-CD2-52-32=4 由(1)知∠DAC=∠CBE, 而∠AFG=∠BFD, :.180°-∠DAC-∠AFG=180°-∠CBE-∠BFD, ∴.∠AGF=∠BDF=90°，即BG⊥AC, wBCAD-ACBG. :BG=BCAD-6×4=24 AC 55 8.已知，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB,E是BC的中点，DE交AC的延长线于点 F.若2AD=3CD (1)求证：△FCD一△FDA; a瓷的位 【答案】(1)证明：：∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°， .∠A=∠BCD, E是BC的中点， .DE-EC-BC. ∴.∠ECD=∠EDC, ,∠EDC=∠A, ,∠F=∠F, △FCD一△FDA: 哈 【分析】(1)利用余角的性质得到∠A=∠BCD,利用直角三角形斜边中线的性质 结合等腰三角形的性质可得∠ECD=∠EDC,进而得到∠EDC=∠A,即可证得结 论： 10 (2)根据相似三角形的性质可得 品积-忍-号设0=6k,表不瑞，帆即 可解决问题。 【详解】(1)略： (2)解：2AD=3CD, .CD_2 AD 3' ,△FCD~△FDA, FC=FD-CD_2 'FD FA AD 3 设FD=6k, 则FC=4k,FA=9k, ..AC=FA-FC=5k, :C=4k-4 CA 5k 5 9.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=AD,连接AC,且AC恰好平分∠BAD,点E 在边AD上，BE与AC交于点O (1)求证：△AOE一△COB: (2)若AC=3OA,CD=4,求AE 【答案】(1) 证明：.AC平分∠BAD, ∴.∠DAC=∠BAC, AB=BC, .∴.∠BCA=∠BAC, .∴.∠DAC=∠BCA, 3 ∠AOE=∠COB, △AOE一△COB: (2)AE=2 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，等边对等角， 熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键 (1)由角平分线的定义和等边对等角可证明∠DAC=∠BCA,再由 ∠AOE=∠COB,可证明△AOE一△COB (2)根据相似三角形的性质推出 OA 1 AE OG2CB' 证明四边形ABCD是菱形，推出得 到BC=4,据此可得答案 【详解】(1)略 (2)解：由(1)知△AOE一△COB ..OA=AE OC CB .'AC=30A. OA1AE ..0G20万 .∠DAC=∠BCA, .AD BC, BC=AD, .四边形ABCD是平行四边形， ..AB=BC, ∴.平行四边形ABCD是菱形， ∴.BC=AB=CD .CD=4, .∴.BC=4, ∴.AE=2. 10.如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,对角线AC,BD交于点F,G是AB的中点， CG交BD于点E,连接AE,AG2=≥·GC.求证： 12 G E I)∠GAE=∠GCA 2)AD2=DF·DE 【答案】(1AG2=≥·GC, .AG=GC ‘GE-AG .·∠AGE=∠CGA, .∴.△AGE-△CGA ∴.∠GAE=∠GCA. 2):点G是AB的中点， .∴.AG=BG ·BG=GC ·GEBG .∠BGE=∠CGB, .∴.△BGE~△CGB ∴.∠GBE=∠GCB ,·∠AED=∠ABE+∠BAE,∠ACB=∠GCB+∠GCA, ∴.∠AED=∠ACB AD BC, ∴.∠DAC=∠ACB ∴.∠DAC=∠DEA ∠ADF=∠EDA, .∴.△ADF~△EDA」 AD_DF DE AD 13 ∴.AD=DF·DE 【分析】(1)GA2=之·GC,则SE=GA GA GC 即可根据“两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似”证明△EGA一△AGC,则∠GAE=∠GCA, (2)先证明△BGE一△CGB,得∠GBE=∠GCB,则 ∠AED=∠GAE+∠GBE=∠GCA+∠GCB=∠FCB,由AD‖BC,得 ∠DAC=∠ACB,进而证明△ADF一△EDA,则根据相似三角形的性质可求证 【详解】(1)略 (2)略 11.问题情境：在Rt△ABC中，AB=BC,点E在AB上. E B 图1 图2 图3 (1)如图①，作FC⊥BC,AE=CF,连接EF交AC于点M,求证：点M是AC的中 点： (2)如图②，若点F在BC的延长线上，且AE=CF,请探究BE与CM之间的数量关系： (3)如图③，在Rt△ABC中，BC=2AB,点E是射线BA上的动点，点F是射线BC上 的动点，连接EF,当线段EF与线段AC交于点M,且满足AE=2CF时.请探究BE 与CM之间的数量关系. 【答案】(1) 证明：，FC⊥BC,△ABC为直角三角形， ∴.∠B=∠BCF=90°， .∴.∠B+∠BCF=180°， .AB‖CF .∴.∠A=∠ACF, 又.AE=CF,∠AME=∠FMC, ∠AME=∠FMC 在△AME和△CMF中， ∠A=∠ACF AE=CF 14 .△AME≌△CMF AAS, ∴.MA=MC, ∴.M为AC的中点， (2)BE=2CM (3)BE=5CM 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股 定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和相似三角形 (1)利用AAS可证△AME2△CMF,利用全等三角形对应边相等可证结论成立： (2)过点E作EN‖BF,可证△MNE≌△MCF,根据全等三角形的性质可证 MN=MC,由勾股定理可知AC=V2(AE+BE),因为AC=V2AE+2CM,所以 可得：BE=2CM: (3)当点E在BA延长线上时，过点F作DF‖AB交AC于点D,可证： △CDF一△CAB、△DFM一△AEM,根据相似三角形的性质可证 AC=5CM-4DC,由勾股定理可得AC=5(BE-AE),可得BE=5CM;当点 E在线段AB上时，连接EF,过点E作ED‖BC交AC于点D,可证 △AED一△ABC、△DEM一△CFM,利用相似三角形的性质可得BE=V5CM. 【详解】(1)略 (2)解：如下图所示，过点E作EN‖BF, ∴.∠NEM=∠F EEw AB BC 解图2 .在Rt△ABC中，AB=AC, .'AE=EN, AE=CF, ∴.EN=CF, .'∠EMN=∠CME, ∠EMN=∠CME 在△MNE和△MCF中， ∠NEM=∠F EN=CF 15 ∴.△MNE≌△MCF AAS), ∴.MN=MC, 在Rt△ABC中，AB=BC .∴AC=/2AB=2(AE+BE, 同法可求AN=V2AE, .AC=2AE+2CM. ..2(AE+BE)=2AE+2CM, ..2BE=2CM, ∴.BE=V2CM: (3)解：当点E在BA延长线上时，如下图所示，过点F作DF‖AB交AC于点D, .'.△CDF~△CAB△DFM一△AEM M D B FC 解图3（1) DFAB_1 DF_DM CF BC2 AE AM 又.∵AE=2CF, :R子 .∴.AM=4DM, .AC=5DM+DC=5CM-4DC, 又在Rt△ABC中， BC=2AB, ..AC=AB2+BC2=A B2+(2AB=5AB=5(BE-AE)' 又AE=2CF,CF=2DF, ..5CM-4DC=5(BE-4DF), 又在Rt△CDF中，DC=5DF, ∴.BE=V5CM: 16 当点E在线段AB上时，如下图所示，连接EF,过点E作EDBC交AC于点D, E D M .∴.△AED~△ABC△DEM~△CFM CF 解图3(2) AEAB_1 CF_CM ED BC 2'DE DM 又'，AE=2CF, DE=2AE-4CF.GM=DM. 在Rt△ADE中，AD=VSAE, 在Rt△ABC中，AC=5AB=5(BE+AE), 又AC=AD+DC=AD+5CM, .'.5(BE+AE)=AD+5CM, .'BE=V5CM, 综上可知BE=V5CM」 【模型03：母子型相似】 12.如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点. 小星：若 ∠ACP=∠B,则可 证△ACP一△ABC 小：石C船 ,则可证 △ACP~△ABC 小亮：若AC=BC CP AC 则可证 △ACP~△ABC 17 (1)请判断三人的说法的对错：小星 一小红 ,小亮 (填 “对”或“错”) (2)选择一种正确的方法，求证：△ACP一△ABC: (3)若△ACP一△ABC,且BP=1,AC=V6,求AP的长. 【答案】(1)对：对：错： (2)选择小星的方法： ,·∠ACP=∠B,∠CAP=∠BAC,有两组角对应相等， .△ACP~△ABC: 选择小红的方法： ·AP-AC ”AC=AB,∠CAP=∠BAC,有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ∴.△ACP-△ABC: (3)2 【分析】(1)有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果：有两边对应 成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成 比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据 此可得小亮的结果； (2)同(1)理证明即可： (3)设AP=X,则AB=1+x,利用相似三角形对应边成比例求解即可. 【详解】(1)解：若∠ACP=∠B,且∠CAP=∠BAC,有两个角对应相等，可 判定△ACP一△ABC,小星对： 若APAC ACAB' 且∠CAP=∠BAC,有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定 △ACP一△ABC,小红对： 苦S-C且∠CAP=∠BAC,有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能和 18 明△ACP~△ABC,小亮错： (2)证明：略： (3)解：设AP=X, BP=1,AC=6. .∴.AB=1+X, .△ACP△ABC, AP AC AC AB X V6 …61+x 整理得：x+X-6=0, 解得：X=2或x=-3(舍)， .∴.AP=2 13.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC2=CD·AC=6. (1)求证：△CBD一△CAB. (2)若BD=AC=3,求AB的长. 【答案】(1)证明：BC2=CD·AC=6, B BC CD :∠C=∠C, ∴，△CBD~△CAB. )AB=36 2 【分析】(1)由题意易得 BCCD 然后根据相似三角形的判定定理可进行求证： AC CB (2)由题意易得CD=2,BC=V6,然后根据相似三角形的性质可进行求解. 【详解】(1)略 (2)解：，BC2=CD·AC=6,BD=AC=3, 19 ..CD=2.BC=V6. △CBD~△CAB BD_CD_2 ·ABCB6' AB=36 14.如图，正方形ABCD中，AB=9,E是BC上一点，过E作EF⊥AE交CD于点F,连 接AF」 (1)证明：△ABE一△ECF: (2)当BE=5时，求CF的长， 【答案】(1) ,四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC=9,∠ABE=∠ECF=90°， .∠BAE+∠AEB=90° ,EF⊥AE, .∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠CEF=90°， ,∠BAE=∠CEF. 又，∠ABE=∠ECF=90°， .△ABE一△ECF」 eCr份长达码 【分析】此题考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌 握相似三角形的判定与性质。 (1)根据相似三角形的判定方法结合正方形的性质，求证即可： (2)根据相似三角形的性质，求解即可. 【详解】(1)略 20 (2)解：BE=5, ∴.CE=BC-BE=4, :△ABE一△ECF, BE AB ‘CF-EC 5_9 即CF4 解得CF=20 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D (1)求证：△ACD一△ABC: (2)若AC=6,BC=8,求AD的长， 【答案】(1) 证明：，，∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠ADC=∠ACB=90°， 又：∠A=∠A(公共角)， .∴.△ACD~△ABC: (2)3.6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是利用 “两角分别相等的两个三角形相似”证明三角形相似，再结合相似三角形的对应边成 比例求解线段长度。 (1)通过证明两个三角形有公共角且均为直角，利用“AA"判定△ACD一△ABC: (2)先由勾股定理求出斜边长度AB=10,再结合相似三角形的对应边成比例 ABAC计算AD的长。 AC_AD 【详解】(1)略 (2)解：在Rt△ABC中，由勾股定理得： 21 AB=VAC2+BC2=V6+8=36+64=/100=101 .△ACD-△ABC, ·AC-AD AB AC 骆侣 解得AD=6x6=36-=3.6. 1010 【模型04：十字架相似】 16.探究证明： D D F B N B 图1 图2 图3 (1)如图1，矩形ABCD中，点M、N分别在边BC,CD上，AM⊥BN,求证： BNBC AM AB (2)如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上，EF⊥AM,EF分别交AB,CD于点E、 F,试猜 EE与BC AM与AB有什么数量关系？并证明你的猜想。 拓展应用：综合(1)、(2)的结论解决以下问题： (3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10,BC=CD=5, MLDN,点M、N分别在边BC、AB上，求D的血 【答案】(1)证明：四边形ABCD是矩形， ,∠ABC=∠BCD=90° .∠BAM+∠AMB=90°， ,AM⊥BN, ∴.∠CBN+∠AMB=90°， 22 .∠CBN=∠BAM, :.△ABM~△BCN, .BN=BC AM AB EF BC (2)猜想： AM AB 证明：如图，作FG⊥AB于点G, D M G E B ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=∠BCD=90°， ,FG⊥AB, ,∠FGE=90°=∠ABC=∠BCD, ∴.四边形BCFG是矩形， ..BC=FG. :EF⊥AM. ∴.∠FEG+∠BAM=90, :∠FEG+∠EFG=90°， ∴.∠BAM=∠EFG ,△ABM一△FGE, EF=FG AM AB .BC=FG. 恶胎 暗 【分析】(1)由矩形的性质可得∠ABC=∠BCD=90°，由AM⊥BN结合等角的 23 余角相等可得∠CBN=∠BAM,从而证明△ABM一△BCN,因此MAB: BN BC (2)作FG⊥AB于点G,容易证明四边形BCFG是矩形，则BC=FG,仿照(1) EF FG 的解法容易证明△ABM一△FGE,则ANB结合等基代换可 EF BC AM AB' (3)过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H,过点A作HD的垂线，交HD的延 长线于点I,连接AC,设CH=x,容易证明△ABC≌△ADC SSS,则 ∠ADC=∠ABC=90°，进而可证明△ADI-△DCH,则化=DA0=2, DH CH CD DN BH 4 计算得x=3,从而得到BH=8,由(2)的结论可得 AM AB5 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H,过点A作HD的垂线， 交HD的延长线于点I,连接AC,设CH=x, D H N B ,DH⊥BH,AI⊥HI,∠ABC=90°， ∴.四边形ABHI是矩形， ∴.AB=HI=10,AI=BH=BC+CH=x+5,∠I=∠H=90°， 在△ABC和△ADC中， AB=AD AC=AC BC=CD ∴.△ABC≌△ADC|SSS, .∠ADC=∠ABC=90°， ,∠ADI+∠CDH=90°，∠ADI+∠DAI=90°， ∴.∠DAI=∠CDH, 24 .△ADI~△DCH, &g=D旺=AD-2, DH CH CD :DH=AI=x+点 2 2x+3D1=2CH=2x, HI=DI+DH=10. 1 .2x+ 5=10, 解得X=3, .BH=x+5=8, 同理(2)可得， DN_BH_84 AM AB 10 5 17.综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探 究 A G D E B H 图1 图2 图3 (1)操作判断 如图1，在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在边AB,CD,AD,BC上，且 EF⊥GH,则EF与GH的数量关系为 (2)迁移探究 如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在边AC,BC上， 且AE⊥BD,在证明“A识-BE”的过程中，亮亮给出了如下的思路： AD EC 过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F,然后利用三角形全等和相似进行求解 ①请你根据亮亮的思路补全图形（无需尺规作图）； ②求证： AB BE AD EC 25 (3)拓展应用 如图3，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,BE平分∠ABC交AD于点E,点F为 AE上一点，AG⊥BF交BE于点H,交矩形ABCD的边于点G,当F为AE的三等分 点时，直接写出AG的长. 【答案】(1)EF=GH (2) 证明：过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F,如图， .'AE⊥BD .∠F+∠FAC=90°=∠ADB+∠FAC, ∴.∠F=∠ADB 又.'∠BAD=∠ACF=90°，BA=AC, ∴.△ABD≌△CAF AAS. ∴.AD=CF ·.·∠BAC+∠ACF=180° .AB‖CF ∴.△ABE一△FCE, AB BE CF CE 又.CF=AD, AB BE AD CE B1010或3/13 3 【分析】(1)过点E作EP⊥CD于点P,过点H作HQ⊥AD于点Q,则EP⊥QH, 证得四边形EBCP,HCDQ是矩形，设EF交QH于点O,则 ∠EOH+∠QHG=∠EOH+∠FEP,得到∠GHQ=∠FEP,即可利用ASA证 明△EPF≌△HQG,得到结论 (2)过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F,利用AAS证明△ABD≌△CAF, 26 进一步证明△ABE一△FCE,列出比例式，即可得证： (3)根据题意得到AE=AB=6,分情况讨论，当AF=号AE=2时，点G在CD上， 3 利用勾股定理求出BF,证明△BAF一△ADG,列出比例式求解即可解答，当 AF-3AF=4时点G在BC上，利用胸股定理求HBF,证明△BAF一△GBA 列出比例式求解即可解答 【详解】(1)解：如图，在正方形ABCD中，过点E作EP⊥CD于点P,过点H作 HQ⊥AD于点Q,则EP⊥QH, A EBCP,HCDQ B 四边形 是矩形， .∴.EP=BC=CD=HQ, 设EF交QH于点O, ,EF⊥GH, 则∠EOH+∠QHG=90°=∠EOH+∠FEP, ∴.∠GHQ=∠FEP, 又.：∠EPF=∠HQG=90°， .∴.△EPF≌△HQG ASA, ∴.EF=GH, (2)略 (3)解：.在矩形ABCD中，BE平分∠ABC,AD‖BC, .∴.∠ABE=∠CBE=∠AEB, ∴.AE=AB=6, 当AF=号AE=2时，如图，点G在CD上， 27 G.BF=V62+2=210 .AG⊥BF ∴.∠ABF=∠DAG=90°-∠AFB .∠BAF=∠ADG=90 .∴.△BAF△ADG, ·AG-AD_5 BF BA3 .:AG=1010 3 当AF=名AE=4时，如图，点G在BC上， F E D H ∴.BF=62+42=2V13 .AG⊥BF .∴.∠ABF=∠BGA=90°-∠FBC ∠BAF=∠GBA=90, ∴.△BAF~△GBA, ·AG-AB3 ·FBA2' ∴.AG=3V13 0/10 故AG的长为 或3V13. 3 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形 的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关 键， 18.综合与实践 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 28 图1 图2 图3 图4 【初探猜想】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的点，连接DE,CF,若 DE⊥CF,则线段DE与CF的数量关系为 【类比探究】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AD=4,CD=3,点E,F分别是边AD,BC上的点， 点G是边AB上一点，连接EF,DG,若EF DG,求DG的值： EF 【知识迁移】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，点E,F分别在线段AB,AD上，且 C CE⊥BF,连接AC,若∠ACB=90°，AC=3,BC=4, BF的值为 【拓展应用】 (4)如图4，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E,F分别在边AD,BC上，将四 边形ABFE沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在CD上，点A的对应点是点H,则 6BH+8EF的最小值为 【答案】(1)DE=CF 暖 32 25 (4)6V73 【分析】(1)设DE与CP的交点为O,根据正方形的性质证明△ADE≈△DCF, 即可求解， (2)过点E作EK⊥BC于点K,EF与DG的交点为H,先证明四边形ABKE是矩形， 得到EK=AB=3,∠AEK=∠DEK=90°，再证明△EFK~△DGA,即可求出 29 完的点 (3)由勾股定理，得出AB=5,再根据三角形的面积，得出CG=1 5,然后证明 △CGE~△BAF,即可求 CE的值， B (4)连接AG、BG,利用折叠的性质，证明△ABG≈△HGB SAS,得到 AG=BH,再结合(2)得出6BH+8EF=6BH+BG引，然后作点B关于CD的对称 点B,连接AB、CB、BG,当A、G、B三点共线时，BH+BG有最小值为 AB的长，最后结合勾股定理求出6BH+8EF的最小值. 【详解】(1)解：如图，设DE与CF的交点为O, A D ABCD E 四边形 是正方形， .∴.∠A=∠ADC=90°，AD=CD, ∴.∠ADE+∠AED=90°， DE⊥CF, ∴.∠DOF=90°， .∠ADE+∠CFD=90°， .∴.∠AED=∠CFD, .∴.△ADE≈△DCF AAS, .∴.DE=CF (2)解：如图，过点E作EK⊥BC,EF与DG的交点为H, A E D ABCD B K F 四边形 是矩形， .∴.∠A=∠B=90°，AB=CD=3, 30 .EK⊥BC, ∴.∠BKE=90°=∠A=∠B 所以四边形ABKE是矩形， ∴.EK=AB=3,∠AEK=∠DEK=90°， ∴.∠DEH+∠FEK=90°， .EF⊥DG, ∴.∠DHE=90°， .∴.∠EDH+∠DEH=90°， ∴.∠FEK=∠EDH, 又，∠A=∠EKF=90°， ∴.△EFK~△DGA, ·EF=EK-3 DG AD 4 (3)解：如图，过点C作CG⊥AB于点G,CE与BF的交点为H, .'∠ACB=90°AC=3BC=4 EG B .AB=VAC2+BC2=5 SA-AC.BC=AB-CG. ∴CG=AC·BC-12 AB 5 .CG⊥AB, .∴.∠CGE=∠DAB=90°， ∴.∠ECG+∠CEG=90°， .CE⊥BF, .∴.∠BHE=90°， .∴.∠HBE+∠BEH=90°， 31 .·∠EGC=∠DAB=90°， ∴.△CGE~△BAF, 12 CE=CG=5=12, ·BFAB525 (4)解：如图，连接AG、BG 由折叠的性质可知，AB=HG,BF=GF,EF⊥BG,∠ABF=∠HGF, ∴.∠FBG=∠FGB, ∴.∠ABF-∠FBG=∠HGF-∠FGB,即∠ABG=∠HGB, AB=HG 在△ABG和△HGB中， ∠ABG=∠HGB BG=GB ∴.△ABG≈△HGB SAS, ∴.AG=BH 由(2)，同理可得 EF_3 BG 4 即3BG=4EF, .'6BH+8EF=6BH +6BG=6BH +BG, 作点B关于CD的对称点B,连接AB、CB、BG, .∴.BG=BGBC=BC=4 ,则 BB=8, .AG+BG≥AB, .∴.当A、G、B三点共线时，AG+BG有最小值为AB的长，即BH+BG有最小值 为AB的长， .'AB=AB2+BB2=V32+82=V73 ∴.BH+BG有最小值/73， ∴.6BH+8EF有最小值673. 32 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾 股定理等知识点，作出对应的辅助线是解题的关键， 【模型05：K字型相似】 19.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AE⊥DE,点E为BC的中点 D E (1)求证：△ABE一△ECD: (2)求证：AE2=AB·AD; (3)若AB=1,CD=4,求线段AD 【答案】(1)证明：，AE⊥DE, ,∠AED=90°， .∠AEB+∠CED=180°-90°=90°， ,∠ABC=90° .∠BAE+∠AEB=90°， ,∠BAE=∠CED 又，∠ABC=∠BCD, .△ABE一△ECD: 2)证明：，△ABE一△ECD, .AB=AE EC ED :点E为BC的中点， ..BE=EC. AB BE AE ED 又：∠ABC=∠AED=90°， ∴.△ABE一△AED AB AE AE AD 33 ∴.AE=AB·AD: (3)5 【分析】(1)两个角分别对应相等的两个三角形相似： (2)两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似： (3)利用相似三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果。 【详解】(1)略： (2)略： (3)解：由(1)可得△ABE一△ECD, 没器 :点E为BC的中点， ..BE=EC. :AB=1,CD=4, 1=B距 BE 4 .BE=EC=2(负值不符合题意，舍去)， AE=AB+BE=5'DE-EC2+CD2-25 六AD=RVAE2+DE2=51 20.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是线段BC上一点，连接AE,过点E 作EF⊥AE,交CD于点F」 【一般化感知】 如图①，易证：△ABE一△ECF; 【特殊化探究】 (1)如图②，连接AC交EF于点G.若BE=3,求CF、EG的长； 【拓展性延伸】 (2)如图③，连接AC,过点C作CH⊥AC,交EF的延长线于点H.若点E是BC 的中点，直接写出CH的长. 34 E 图① 图② 图③ 【答案】 (一般化感知)证明：：四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠C=90°， .∴.∠BAE+∠AEB=90°， .EF⊥AE, .∴.∠AEF=90°， .∴∠CEF+∠AEB=90°， ∴.∠BAE=∠CEF, ∴.△ABE一△ECF. 53V5 (1)229 2)CH=20 【分析】（一般化感知）根据题意得到∠BAE=∠CEF,再根据矩形的性质，即可 得到结论： (1)由（一般化感知）△ABE一△ECF可得 AB_EC_BC-BE BE CFCF 求出CF=5 得到EF=VCE2+CF_55 CE EH 2,过点E作EH L BC,得到CBAB求出 ,由△CGF-△HGE得到EG=35 EH=15 : (2)过点H作HN⊥BC,交BC的延长线于点N,由△ABC一△CNH得到 3NH=4CN,设CN=3x,则NH=4x,CH=5x,可证明△ABE一△ENH,得到 AB BE 求出CH=5x= 20 EN NH 3 【详解】（一般化感知）略 35 (1)解：由（一般化感知）可得△ABE一△ECF, 则ABEC BE CF ,AB=6,BE=3,BC=8,四边形ABCD是矩形， .∴.CD=AB=6,CE=8-3=5, 品 C EF-CE+CF= 2 如图，过点E作EH⊥BC, ,四边形ABCD是矩形， .AB⊥BC,DC⊥BC, ∴.EH‖AB‖CD, ∴.△CEH一△CBA, CEEH ·CBAB .EH=15 .EH‖CD, ∴△CGF一△HGE, .CE=FG EH EG 即CF=EF-EG EH EG 36 5V5 4 2 -EG ·EG=3 2 (2)解：如图，过点H作HN⊥BC,交BC的延长线于点N H .'AC⊥CH .∴.∠ACH=90°， ∴.∠BCA+∠HCN=90°， .AB⊥BC, ∴.∠BAC+∠BCA=90° .∴.∠BAC=∠HCN, .∠HNC=∠ABC=90, .∴.△ABC~△CNH, ·AB_BC CN NH 即68 CN NH ∴.3NH=4CN, 设CN=3x,则NH=4x, 由勾股定理可得： CH=3x+4xP=5x' ,点E是BC的中点， .∴.EN=4+3x, AE⊥EF, ∴∠AEH=90°， .∴.∠BEA+∠HEN=90°， .AB⊥BC, .∴.∠BAE+∠BEA=90°， 37 ∴.∠BAE=∠HEN, ·.·∠HNE=∠ABE=90°， ∴.△ABE一△ENH, ..AB=BE EN NH' 6 4 即 4+3X4x 解得 CH=5x=20 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定 和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 21.综合与实践 数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解 决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题， G P D B E H 图1 图2 图3 (1)基础题：如图1，AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,P是BD上一点， AP⊥PC. ①若AP=PC,则△ABP与△PDC的关系为 ②若AP=9 BP PC b' 且a≠b,则 CD (2)构造应用：如图2，点E是正方形ABCD边BC上一点， ∠AEF=90°，AE=EF,，AF与CD交于点G,连接CF,请直接写出∠GCF= (3)如图3，沿△ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG, AB_AC_2 AE AG 3 38 连接EG,AH是BC边上的高，延长HA交EG于点K, ①求证：K是EG中点： ②并直接写出BC与AK的数量关系：BC=AK, 【答案】a@△ABP≌△PDC:②号 (2)45 (3) ①证明：如图，过E作EM⊥AK的延长线于M,GN⊥AK的延长线于N: W为G D B H .∠EMK=∠GNK=90°」 :∠EAM+∠BAH=90°，∠ABH+∠BAH=90°， .∠EAM=∠ABH. 又，∠AME=∠BHA=90° ∴.△EAM一△ABH AMEMAE3 BH AH AB 2 ÷EM=3AH,AM=3BH, 2 同毫，AG=号AH,AN=号CH .EM=NG. ,∠EMK=∠GNK=90°，∠EKM=∠NKG, .△EKM≌△GKN(AAS), EK=GK,即K是EG中点： ②BC=4AK 3 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性 质，正方形的性质，正确掌握各判定和性质定理及正确引出辅助线解决问题是解题的 39 关键， (1)①根据垂直的定义及同角的余角相等推出∠APB=∠C=90°-∠DPC,由此 证明△ABP≌△PDC: ②根据∠B=∠D=90°，∠APB=∠C证得△ABP一△PDC,由此得到 BP_AP_a CD PC b (2)如图，在AB边上取点H,使BH=BE,连接HE,证明△AHE≌△ECF,推 出∠ECF=∠AHE,即可求出∠GCF的度数： (3)过E作EM⊥AK的延长线于M,GN⊥AK的延长线于N.证明 ∠EAM=∠ABH,推出△EAM一△ABH,得到EM=AH,AM=BH,同 里，NG=AH,AW=CH,得到EM=NG,即可证得AEKM≌△GKN,推 出EK=GK,即K是EC中点：根据AK=AN-AM+AM=子BC得出 8c号AK 【详解】(1)解：①，AB⊥BD,CD⊥BD,AP⊥PC, .∠B=∠D=∠APC=90°， ∠APB=∠C=90°-∠DPC, 又AP=PC, .△ABP≌△PDC(AAS), 故答案为：△ABP≌△PDC: ②：∠B=∠D=90°，∠APB=∠C, ∴.△ABP-△PDC, BPAP_a CDPC b' 故答案为号 (2)如图，在AB边上取点H,使BH=BE,连接HE, 40 B ,'正方形ABCD ∠B=∠BCD=90°，AB=BC, ..AH=CE, ,∠AEF=90°， ∴.∠BAE=∠CEF=90°-∠AEB, .AE=EF, △AHE≌△ECF(AAS), 、.∠ECF=∠AHE, ,∠B=90°，HB=EB .∠AHE=90°+45°=135°， .∠GCF=135°-90°=45°， 故答案为45： (3)①略 ②AK=AN-AM+AM AN +AMI CH+B =3CH+BH) 4 =3BC 6c-号AK. 故答案为： 4 3 41 【模型06：旋转相似】 22.旋转是一种基本的几何变换，它在图形的全等和图形的相似中发挥着重要的作用，如 图1，△ABC与△BDE是具有公共顶点B的两个等腰三角形，AB=AC,BE=DE, BDBC,又因为 BE BA 若∠ABC=∠EBD,则有△BAC一△BED,可 ∠ABE=∠CBD,易得△ABE一△CBD. 请你借助旋转变换解决下列问题： D D D E 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，点G为正方形ABCD内一点，连接BG,将线段BG绕点B顺时针旋转90° 得到线段BE,以BG,BE为边构造正方形BEFG,连接AG,DF,请求出AG与DF 的数量关系； (2)如图3，四边形ABCD中，AC交BD于点O,若∠ADC+∠ABC=180°，求证： ∠ABD=∠ACD: (3)如图4，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，∠BDA=60°，BD=5, CD=7,求AD的长. 【答案】(1)DF=V2AG (2) 证明：在CD延长线上取点E,连接AE,使∠EAD=∠BAC, 42 .'∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠ADE=180 B 图3 ∴.∠ABC=∠ADE ..△ADE△ABC. 治光 即AD、AB AE AC 又，'∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC, .∴.∠EAC=∠DAB .∴.△AEC△ADB ∴.∠ABD=∠ACD 3)AD=2V2 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角 形的判定和性质是解题的关键. (1)连接BD,BF,证明△ABG一△DBF.则DE-BD-2.即可得到结论： AG AB (2)在CD延长线上取点E,连接AE,使∠EAD=∠BAC,△ADE一△ABC. 得到A=AB,证明△AEC一△ADB,即可得到结论 (3)作∠DAE=∠BAC=120°，截取AE=AD,连接BE,DE,证明 △BAE≌△DAC.∠ADE=∠AED=30°，得到CD=BE=7. ∠BDE=∠BDA+∠ADE=90°.由勾股定理可知 DE=VBE2-BD=72-52=2V6·作AF⊥DE于点F:则 43 DF=EF=DE=RV6,∠ADE=∠AED=30°，进-步即可求出答案， 【详解】(1)解：连接BD,BF, ABCD BEFG E 图2 四边形 和四边形 为正方形， BD=2, A BE=R2,∠ABD=LGBF=45: B BF BD ∠ABG=∠FBD=45°-∠GBD BG AB .∴.△ABG△DBF DF _BD=/2. AG AB ∴.DF=2AG (2)略 (3)解：作∠DAE=∠BAC=120°，截取AE=AD,连接BE,DE, .·∠BAE=∠DAC 图4 ..AB=AC, ∴.△BAE≌△DAC.∠ADE=∠AED=30°， ∴.CD=BE=7.∠BDE=∠BDA+∠ADE=90° :在RA EDB中，由勾股定理可知DE=VBE-BD=7-5=2V6 作AF1DE于点F,则DF=EF=DE=R6,∠ADE=LAED=30, 44 .AF-TAD AD'=AF'+DF'-AD+DE :3AD2=DF=6, 4 ∴.AD=2V2 23.四边形ABCD和四边形AMPN有公共顶点A,连接BM和DN. D D M 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，若四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形，当正方形AMPN绕点A旋转 a角0°<a<360°时，BM和DN的数量关系是，位置关系是； AB AM 1 2)如图2，若四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形，且ADAN 判断BM 和DN的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，图4，在(2)的条件下，若AB=2,AM=1,矩形AMPN绕点A逆时针 旋转C角0°<a<360,当MN‖AB时，求出线段DN的长. 【答案】(1)BM=DN,BM⊥DN: 2)DN=3BM'BM⊥DN B)DN=3或qV21 【分析】(I)延长BM交DN于F,交AD于E,利用SAS证明△BAM≌△DAN得 BM=DN,∠ABM=∠ADN,从而证明结论： BMAB1 (2)延长BM交DN于H,交AD于点O,证明△BAM一△DAN得ONAD3 45 ∠ABM=∠ADN,从而证明结论： (3)当MN在AB上方时，作MG⊥AB于G,由(2) AB_AM1 AD AN 3 通过三角 函数an∠ANM-兴得指∠ANM=30,则有人AMN=60,利用含30°角的直 角三角形的性质得AG=号AM=分MC=5AG=9. BG=AB-AG=3 在 Rt△BMG中，利用勾股定理求出BM的长，再根据DN=3BM可得答案，当MN 在AB下方时，同理可得答案. 【详解】(1)解：延长BM交DN于F,交AD于E, M :四边形ABCD和AMPN是正方形， AB=AD,AM=AN,∠BAD=∠MAN,∠DAB=90°， .∠BAM=∠DAN, .△BAM≌△DAN SAS, :.BM=DN,∠ABM=∠ADN, ∠BEA=∠gC. .∠EAB=∠DFE=90°， .BM⊥DN, 故答案为：BM=DN,BM⊥DN; (2)解：DN=3BM,BM⊥DN,理由如下： 延长BM交DN于H,交AD于点O, 46 M AB_AM1 ADAN3·∠BAM=∠DAN, △BAM△DAN, BM AB 1 DNAD万，∠ABM=∠ADN, ∴.DN=V3BM. :∠BOA=∠DOH. .∠OAB=∠DHO, ,四边形ABCD是矩形， .∠DAB=90°， .∠OAB=∠DHO=90°， ∴.BM⊥DN; (3)解：如图，当MN在AB上方时，作MG⊥AB于G, B :四边形AMPN是矩形， ∠MAN=90°， :tan∠AWM=AM=L_3 AN5=3· .∠ANM=30°， .∠AMN=60°， ·MN‖AB 47 ∴.∠AMN=∠MAB=60°， AG=1AM=1 MG-V3AG= 2 ·BG=AB-AG=3 在R△BMG中，白勾股定理得，BM=MG+BG-得号-3， 由(2)知，DN=3BM=3, 当MN在AB下方时，作MG⊥AB,交BA延长线于G, 同理可得BG=2+分多MG=9AGS3 22' 由勾股定理得BM= 25+3=97, 44 由(2)知，DN=3BM=V21, 综上：DN=3或/21 【点睛】此题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质，全等三角形、相似三角形的 判定与性质，勾股定理的运用等，涉及到的数学思想方法有图形运动思想，分类讨论 思想等，掌握知识点的应用是解题的关键， 24.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后 将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和 DBE中，AB=DB=3,BC=BE=4,∠ABC=∠DBE=90°. 【初步感知】 (1)如图1，连接AD,CE,在三角形纸片DBE绕点B旋转过程中，试探究A CE 的值. 48 【深入探究】 (2)如图2，在纸片DBE绕点B旋转过程中，当点A恰好落在△DBE的DE边上时， BE交AC于点F,求CF的长. 【拓展延伸】 (3)如图3，在纸片DBE绕点B旋转过程中，当AC的中点M恰好落在△DBE的DE 边上时，DE与BC相交于点P,求CP的长， D D 图1 图2 图3 【答案】(1) 3 (2)160 39 【分析】(1)根据等角的余角相等得出∠EBC=∠DAB,根据相似三角形的判定和 性质即可求解； (2)作BG⊥DE于G,作AH⊥BD于H,作FT⊥BC于T,根据勾股定理求出 DE,根据三角形的面积公式求出BG,根据锐角三角函数求出DG,根据等腰三角形 的性质求出AD,根据三角形的面积公式求出AH,根据勾股定理求出BH,根据锐角 三角函数得出 FT 24 7=号，故设BT=7k,FT=24k,根据锐角三角函数表示出CT和 CF的值，进而根据BT+CT=BC,列出方程，求出k的值，即可求解： (3)连接BM,作MF⊥BC于M,作MQ⊥BE于Q,根据直角三角形的性质得出 BM-CM-3. 据等腰三角形的性质得出BF=CF=2,根据三角形中位线的性质 3 得出FM= 根据锐角三角函数设MQ=3a,EQ=4a,则EM=5a,根据股定 理列出方程，解方程求出a的值，根据等边对等角和相似三角形的判定和性质求出 PM=125 22 根据勾股定理求出PF= 78 39 即可求解， 49 【详解】(1)解：，∠ABC=∠ABE+∠EBC=90°， ∠DBE=∠DBA+∠ABE=90°， .∠EBC=∠DBA, .AB=DB=3,BC=BE=4, ..AB-DB_3 CB EB 4 ∴.△ABD~△CBE, AD_AB_3 CECB4 (2)解：作BG⊥DE于G,作AH⊥BD于H,作FT⊥BC于T,如图， G H BT 在Rt△BDE中，DE=VBD+BE=V32+4F=5' S:e号DE-BG-号BDE. BG=BD·BE=3×4-12 DE 55 在RtA BDG和Rt△BDE中，cOSD=DC=BD BD DE DG_3 即 351 解得DG=9 :BD=AB,BG⊥DE, AD=2DG=-18 :SAAm号BD-AH=号AD-BG, 50 1812 六AH=AD-BC=55=72, BD 3 25 ·BH=RAB-AH=32 722_21, 2 25 ,∠ABC=∠ABF+∠FBT=90°，∠DBE=∠HBA+∠ABF=90°， .∠FBT=∠HBA, 在Rt△ABH和Rt△FBT中，tan∠ABH=AH=24 BH 7 tan∠TBF=tan∠ABH=Ft=AH BT BH 即文=24 BT 7 故设BT=7k,FT=24k, 在Rt△ABC和Rt△FCT中，tan∠C=F买=A CT BC sin C=FT=AB CF AC 即g=3.口-3 CT 4'CF 5' 24k_324k_3 .CT=32k,CF=40k, BT+CT=BC=4. .7k+32k=4, 影 CF=40k=160 39 (3)连接BM,作MF⊥BC于F,作MQ⊥BE于Q,如图， 51 ,∠ABC=90°，点M是AC的中点， BM=GM-号AC-3 BM=CM,MF⊥BC, B那=-c-号c=2. .BM=CM,BF=CF, N=AB-受 在Rt△DBE和Rt△MQE中，tan∠E=MC-BD=3 EQ BE 4 故设MQ=3a,EQ=4a,则EM=5a, 在Rt△BMQ中，BQ=BE-EQ=4-4a,MQ=3a, 4-4a+3a}= 2 39 解得：a=50 (负值已舍去)， 39 ∴.EM=5a= 10 .BM=CM, .∠CBM=∠C, ,∠C=∠E, .∠CBM=∠E, ,∠PMB=∠BME, ∴.△BMP一△EMB, 52 BM PM 六EMBM' ..PM= BM2 125 EM 39 78 10 在Rt△PMF中，PF=PM-FM=1 2 2, 78 3 ∴CP=CF-PF=2-22=56 3939 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和 性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性质等，熟练掌握三角函数的 应用、相似三角形的判定和性质是解题的关键. 53专题06相似三角形常考六大模型突破 题型归纳 【模型01：（双）A字型相似】 【模型02：（双）8型相似】 【模型03：母子型相似】 【模型04：十字架相似】 【模型05：K字型相似】 【模型06：旋转相似】 专题训练 【模型01：（双）A字型相似】 1.如图，在△ABC中，DE‖BC,BD=2AD,DE=4,则BC的长是() B A.6 B.8 C.10 D.12 2卖图，在△AC,pP2品安S=4m,5e为(） 1 A.8cm2 B.12cm2 C.16cm2 D.36cm2 3.小强身高1.42m,他想求出校园内旗杆的高度.他从旗杆底部沿着旗杆的影子走了 20.20m,此时他头顶的投影恰与旗杆顶端的投影重合，这时他距旗杆影子的末端是 4.10m.旗杆的高度是多少？（精确到0.01m) --￥下1.42m 4.10m 20.20m 4.如图，已知正方形DEFG内接于Rt△ABC,EF在斜边BC上，试证明： (1)DE=CA EB AB (2)EF2=BE·FC 5.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB和AC上的点，AB=12cm,AE=6cm, EC=5cm,且AD=AE DB EC' 求AD的长. 6.【主题】如何裁剪木板使面积最大 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求 解代数式的最值 素材2：求解代数式-x2+2x+3的最大值. 解：原式=-x-2x+1+4=-x-12+4 x-1≥0 -x-12≤0 六-x-12+4≤4 -X2+2X+3的最大值为4. 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板ABC的面积为13.5m2,一条直角边AB长为4.5m,现王 师傅要沿着边AC截一个矩形台面DEFG,D,G分别在边AB,BC上，BH⊥EF, 分别与DG,EF交于点MH,求该矩形台面面积的最大值， B M 3 【模型02：（双）8型相似】 7.如图，AB‖DC,AO=2,BD=7,OB=2.5. A B (1)求OC的长. (2)求△AOB与△DOC的面积比. 8.如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，连接AD,过点A作AE‖BC,连接BE 分别交AD,AC于点F,G,AF2=FG·EF E (1)求证：∠DAC=∠CBE: (2)若AB=AC=5,BC=6,点D为BC的中点，求BG的长. 8.已知，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB,E是BC的中点，DE交AC的延长线于点 F.若2AD=3CD. (1)求证：△FCD一△FDA: 2味爱的数， 9.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=AD,连接AC,且AC恰好平分∠BAD,点E 在边AD上，BE与AC交于点O. A E D (1)求证：△AOE一△COB: (2)若AC=3OA,CD=4,求AE. 10.如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,对角线AC,BD交于点F,G是AB的中点， CG交BD于点E,连接AE,AG=≥·GC,求证： A D G C )∠GAE=∠GCA 2AD2=DF·DE 11.问题情境：在Rt△ABC中，AB=BC,点E在AB上. 5 M B 图1 图2 图3 (1)如图①，作FC⊥BC,AE=CF,连接EF交AC于点M,求证：点M是AC的中 点； (2)如图②，若点F在BC的延长线上，且AE=CF,请探究BE与CM之间的数量关系； (3)如图③，在Rt△ABC中，BC=2AB,点E是射线BA上的动点，点F是射线BC上 的动点，连接EF,当线段EF与线段AC交于点M,且满足AE=2CF时.请探究BE 与CM之间的数量关系. 【模型03：母子型相似】 12.如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点. 小星：若 ∠ACP=∠B,则可 证△ACP~△ABC 小红：若AAC AC AB ,则可证 △ACP~△ABC 小*怒-G ,则可证 △ACP△ABC P 6 (1)请判断三人的说法的对错：小星一，小红，小亮·（填 “对”或“错”) (2)选择一种正确的方法，求证：△ACP一△ABC: (3)若△ACP~△ABC,且BP=1,AC=V6,求AP的长. 13.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC2=CD·AC=6. (1)求证：△CBD一△CAB. (2)若BD=AC=3,求AB的长. 14.如图，正方形ABCD中，AB=9,E是BC上一点，过E作EF⊥AE交CD于点F,连 接AF. D (1)证明：△ABE一△ECF; (2)当BE=5时，求CF的长. 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. (1)求证：△ACD一△ABC: (2)若AC=6,BC=8,求AD的长. 【模型04：十字架相似】 16.探究证明： ● D D F 图1 图2 图3 (1)如图1，矩形ABCD中，点M、N分别在边BC,CD上，AM⊥BN,求证： BN_BC AM AB (2)如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上，EF⊥AM,EF分别交AB,CD于点E、 EF F,试猜想 AM与A有什么数量关系？并证明你的猜想 拓展应用：综合(1)、(2)的结论解决以下问题： (3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10,BC=CD=5, AM⊥DN,点M、N分别在边BC、AB上，求 AM的值. 17.综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探 8 究 A G D F E 图1 图2 图3 (1)操作判断 如图1，在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在边AB,CD,AD,BC上，且 EF⊥GH,则EF与GH的数量关系为 (2)迁移探究 如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在边AC,BC上， 且AE⊥BD,在证明“A识-BE”的过程中，亮亮给出了如下的思路： AD EC 过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F,然后利用三角形全等和相似进行求解 ①请你根据亮亮的思路补全图形（无需尺规作图）： AB_BE ②求证： AD EC (3)拓展应用 如图3，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,BE平分∠ABC交AD于点E,点F为 AE上一点，AG⊥BF交BE于点H,交矩形ABCD的边于点G,当F为AE的三等分 点时，直接写出AG的长. 18.综合与实践 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 9 F F 图1 图2 图3 图4 【初探猜想】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的点，连接DE,CF,若 DE⊥CF,则线段DE与CF的数量关系为 【类比探究】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AD=4,CD=3,点E,F分别是边AD,BC上的点， 点G是边AB上一点，连接EF,DG,若EF⊥DG,求DG的值： EF 【知识迁移】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，点E,F分别在线段AB,AD上，且 C CE⊥BF,连接AC,若∠ACB=90°，AC=3,BC=4, BF的值为 【拓展应用】 (4)如图4，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E,F分别在边AD,BC上，将四 边形ABFE沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在CD上，点A的对应点是点H,则 6BH+8EF的最小值为 【模型05：K字型相似】 19.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AE⊥DE,点E为BC的中点. 10 D E (1)求证：△ABE一△ECD: (2)求证：AE2=AB·AD; (3)若AB=1,CD=4,求线段AD 20.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是线段BC上一点，连接AE,过点E 作EF⊥AE,交CD于点F 【一般化感知】 如图①，易证：△ABE一△ECF: 【特殊化探究】 (1)如图②，连接AC交EF于点G.若BE=3,求CF、EG的长； 【拓展性延伸】 (2)如图③，连接AC,过点C作CH⊥AC,交EF的延长线于点H.若点E是BC 的中点，直接写出CH的长. D D D G B E E 图① 图② 图③ 21.综合与实践 数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解 11 决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题 D G E D 图1 图2 图3 (1)基础题：如图1，AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,P是BD上一点， AP⊥PC. ①若AP=PC,则△ABP与△PDC的关系为一 g6品号且a0, BP CD (2)构造应用：如图2，点E是正方形ABCD边BC上一点， ∠AEF=90°，AE=EF,AF与CD交于点G,连接CF,请直接写出∠GCF= (3)如图3，沿△ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG, AB_AC_2 AE AG 3 连接EG,AH是BC边上的高，延长HA交EG于点K, ①求证：K是EG中点： ②并直接写出BC与AK的数量关系：BC=AK, 12 【模型06：旋转相似】 22.旋转是一种基本的几何变换，它在图形的全等和图形的相似中发挥着重要的作用.如 图1，△ABC与△BDE是具有公共顶点B的两个等腰三角形，AB=AC,BE=DE, 若∠ABC=∠EBD,则有△BAC一△BED,可 BE_BA BDBC,又因为 ∠ABE=∠CBD,易得△ABE一△CBD 请你借助旋转变换解决下列问题： D G B D E 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，点G为正方形ABCD内一点，连接BG,将线段BG绕点B顺时针旋转90° 得到线段BE,以BG,BE为边构造正方形BEFG,连接AG,DF,请求出AG与DF 的数量关系； (2)如图3，四边形ABCD中，AC交BD于点O,若∠ADC+∠ABC=180°，求证： ∠ABD=∠ACD: (3)如图4，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，∠BDA=60°，BD=5, CD=7,求AD的长. 13 23.四边形ABCD和四边形AMPN有公共顶点A,连接BM和DN D M 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，若四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形，当正方形AMPN绕点A旋转 a角0°<a<360°时，BM和DN的数量关系是一，位置关系是； ABAM1 2)如图2，若四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形，且ADAN3' 判断BM 和DN的数量关系和位置关系，并说明理由： (3)如图3，图4，在(2)的条件下，若AB=2,AM=1,矩形AMPN绕点A逆时针 旋转cx角0°<&<360°，当MNAB时，求出线段DN的长 14 24.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后 将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和 DBE中，AB=DB=3,BC=BE=4,∠ABC=∠DBE=90° 【初步感知】 ①)如图1，连接AD,CE,在三角形纸片DE绕点B旋转过程中，试探究的值 【深入探究】 (2)如图2，在纸片DBE绕点B旋转过程中，当点A恰好落在△DBE的DE边上时， BE交AC于点F,求CF的长. 【拓展延伸】 (3)如图3，在纸片DBE绕点B旋转过程中，当AC的中点M恰好落在△DBE的DE 边上时，DE与BC相交于点P,求CP的长. E D M D B B B 图1 图2 图3 15