专题10 相似三角形之母子模型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题10 相似三角形之母子模型 模型说明—明晰核心解法，助力能力迁移 【模型提炼与证明】 “母子型”模型（共边共角模型）： 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例题精讲 典例1（基本模型）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴． ∵AC=，AD=1， ∴， ∴AB=3， ∴BD=AB-AD=3-1=2． 故答案为2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键． 典例2（构造模型）如图，在中，，，，，，则CD的长为______． 【答案】5 【分析】在CD上取点F，使，证明，求解 再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案. 【详解】解：在CD上取点F，使， ，， 由， ， ，， 且， ， ， ∽， ， ， ， 又， ， ∽， ， 又， ， 或舍去， 经检验：符合题意， ． 故答案为：5． 本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键. 典例3（最值问题）已知正方形的边长为4，点在边上，点在边上，且，和交于点．    （1）如图，求证： ① ② （2）连接并延长交于点， ①若点为的中点（如图），求的长．    ②若点在边上滑动（不与点重合），当取得最小值时，求的长． 【答案】 （1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE=BF； ②证明：由①得：△ABE≌△BCF， ∴∠BAE=∠CBF， ∵∠CBF+∠ABF=90°， ∴∠BAE+∠ABF=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AE⊥BF； （2）①；② 【分析】（1）①由正方形的性质得出AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，由SAS证明△ABE≌△BCF，即可得出结论； ②由①得：△ABE≌△BCF，得出∠BAE=∠CBF，证出∠AGB=90°，即可得出结论； （2）①由直角三角形的性质得出CF=BE=BC=2，由勾股定理得出BF=2，由（1）得：AE⊥BF，则∠BGE=∠ABE=90°，证明△BEG∽△AEB，得出，设GE=x，则BG=2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出BG=2×，由平行线得出，即可得出BH的长； ②由（1）得：∠AGB=90°，得出点G在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M，当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，求出GM=AB=BM=2，由平行线得出=1，证出CF=CG=BE，设CF=CG=BE=a，则CM=a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：①如图2所示：    ∵E为BC的中点， ∴CF=BE=BC=2， ∴BF=， 由（1）得：AE⊥BF， ∴∠BGE=∠ABE=90°， ∵∠BEG=∠AEB， ∴△BEG∽△AEB， ∴， 设GE=x，则BG=2x， 在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2=22， 解得：x=， ∴BG=2×=， ∵AB∥CD， ∴，即， 解得：BH=； ②由（1）得：∠AGB=90°， ∴点G在以AB为直径的圆上， 设AB的中点为M， 由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：    ∵AE⊥BF， ∴∠AGB=90°， ∴GM=AB=BM=2， ∵AB∥CD， ∴=1， ∴CF=CG， ∵CF=BE， ∴CF=CG=BE， 设CF=CG=BE=a，则CM=a+2， 在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2， 解得：a=2-2，即当CG取得最小值时，BE的长为2-2． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题关键． 典例4（培优综合）如图①，在中，，，．点在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图②，当点是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出线段、，与交于点； ②求线段的长； (3)当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)①如图，、即为所求； ②1 (3)或 【分析】 （1）根据同角的余角相等进行证明即可； （2）①连接，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，分别以点C、M为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点N，连接，交于点D，交于点F； ②根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据等积法求出，证明，得出，即可求出结果； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，如图所示： 设，则， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： 设，则， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 典例5（新定义问题）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． (1)如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为_____________，的度数为_____________． (2)如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），，交于点D，连结，．当时，求证：是的智慧线． (3)如图3，中，，．若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 【答案】(1)2； (2)证明：如图2中， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∴是等腰三角形， ∵是直角三角形， ∴是智慧三角形； ∴是的智慧线 (3)16或 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （2）证明，结合定义可得结论； （3）如图3中，过点作于点．有两种情形：当时，或当时，，是智慧三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∵是智慧三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， （2）略 （3）解：如图中，过点A作于点H． 有两种情形：当时，或当时，，是智慧三角形． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的面积为16或． 变式1-1如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2） 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键． 变式1-2如图，在中，，，点在的延长线上，点在上且，交于点． (1)探究和的数量关系并证明； (2)探究、、之间的数量关系； (3)保留原题条件，再过点作于点，延长交于点，若，求的值用含的代数式表示． 【答案】(1)结论：． 证明：如图中，过点作于点． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； (2)结论： ． 理由：由（1）知， ∴， ∵在中，，， ∴， ； (3) 【分析】如图中，过点作于点利用全等三角形的性质证明 ，再证明 ，可得结论； 利用线段的和差定义，等腰直角三角形的性质证明即可； 由，可以假设，，证明，推出，再证明，则，进而求出，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由，可以假设，． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 变式1-3定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1) 点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）略 （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 变式1-4在矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． (1)【初步感知】如图①，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． (2)【深入探究】如图②，点N在线段上，．在点E的移动过程中，当点P在矩形内部，且是以为斜边的直角三角形时，求的长． (3)【拓展运用】如图③，点M在线段上，，在点E的移动过程中，求的最小值________． 【答案】(1)证明：连接， 矩形， ， 由折叠性质得， ，． 是中点， ，即． 又为公共边，， ， ． (2)5 (3) 【分析】（1）连接，因为折叠性质可得，，，所以；结合E是中点得，再利用证明即可． （2）由折叠得，因为以为斜边的直角三角形，所以；过点作于点，延长交于点， 先证明，得到，在中，根据勾股定理列出三边关系，进而与前面的关系联合可求出的长，再证得，列出即可求出的长度． （3）因为折叠后，所以点P的轨迹是以A为圆心、长为半径的圆弧；求最小值，只需计算A到M的距离，减去半径的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 是以为斜边的直角三角形， ． 过点作于点，延长交于点， ，， 四边形是矩形， ，，即 ． ， ， 又 ， ， ， ， ， 设，， 在中，， ①， 又，， 代入，得②， 将①代入②，消去和得，解得， 代入得，即 ，，． ， ， 又 ， ， 又， ， ， 设，代入得 ，解得． 的长为 ． （3）解：由折叠性质可知，无论如何移动，都有，即点到定点的距离恒为10，因此点的轨迹是以为圆心、半径的圆弧（矩形内部）． ，， ． 连接，在中，，， ， 圆外一点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，因此的最小值为 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在边长为4正方形中，以为腰向正方形内部作等腰，点在上，且．连接并延长，与交于点，与延长线交于点．连接交于点．若，则____． 【答案】 【分析】作于，交于，根据勾股定理可得BG，再由相似三角形的性质可得BH，继而判定，并求得BF的长，由全等三角形的性质可得ME，利用线段的和差求得EN，进而由三角形面积公式即可求解． 【详解】作于，交于，如图，则， ∵， ∴，， 在中，， ∵， ∴． ∴即解得 ∵，而， ∴，即， 而， ∴． ∴， ∴BF⊥AE． ∴， ∵∠BME＝EFB，∠MBE＝∠FEB，BE＝EB， ∴△BME≌△EFB（AAS）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线求得关键线段的长解决问题． 2．如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝_____，BE＝_____． 【答案】 2 ﹣1 【分析】先根据矩形的性质得到，，再根据折叠的性质得到，，，然后根据全等三角形的性质得到；最后根据相似三角形的性质即可得BE的值． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴， ∵把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处 ∴，， ∴， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ 解得或（不符题意，舍去） 则 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键． 3．如图将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质等知识． 根据折叠的性质确定，，进而求出，再结合折叠的性质证明，进而证明，即可求出，则可得，最后利用两直线平行内错角相等以及折叠对应的角相等，即可证明，根据等角对等边得，同理可得，问题随之得解． 【详解】解：∵正方形纸片的面积为16， ∴正方形纸片的边长， ∵折叠，点、点均落在点处， ∴，， ∴，，，，，，， ∴，，即点B、G、F共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，正方形纸片中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，同理可证：， ∴． 4．如图矩形，对角线与交于点O，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在对角线上时，C、、三点共线，则的值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，取的中点，连接，设，，先求出，，，，，的长，再得出，进而可得的长，根据三角形的中位线定理可得的长，然后证出，得出，之间的等量关系，代入计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接， 设，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，点是斜边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造中位线和相似三角形． 5．如图，边长为的等边三角形中，、分别在、上，且，、相交于点，连接，若，则______度，的长为______． 【答案】 【分析】首先证明，设，由，可得，构建方程即可解决问题． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 设， ，， ， ， ， ， 解得或（舍）， ． 6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】 解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 7．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】 证明：（1）， ， ， ， 在和中，， ； （2）点为的中点， ， 由（1）已证：， ， 设，则，， ， （等腰三角形的三线合一）， ， 又， ， 即； （3）4． 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证； （3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】证明：（1） 略 （2） 略 （3）由（2）已证：， ， ， ， ，即， 解得， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 由（2）可知，设，则， ， 解得或（不符题意，舍去）， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 8．在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，过分别作交于，于． ①求证：； ②求的值． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】（1）由已知易证，利用可求得AD的长； （2）①由（1）和已知易证，进而证得；②过作，与的延长线交于，易证：、和均为等腰三角形，进而得到AC=BG，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可得证． 【详解】解：（1）∵在中，，平分， ∴，又∠A=∠A， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）①∵交于，于， ∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②过作，与的延长线交于， ∵， ∴， ∴、和均为等腰三角形， ∴， ∵在等腰中，于， ∴，即， ∴的值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，会借助作平行线，用等腰三角形的“三线合一”性质解决问题是解答的关键． 9．如图，中，点分别是的中点，与点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 【答案】 （1）证明：， ， 在和中，， ， ， ； （2）； （3）2． 【分析】（1）先根据相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质即可得证； （2）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据角的和差即可得； （3）设，从而可得，再根据相似三角形的性质、勾股定理可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出a的值，最后根据直角三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）略 （2）， 是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ， 点E是AC的中点， ， ， 在和中，， ， ， 又， ， ； （3）设， 是等腰直角三角形， ， 点分别是的中点， ， 在中，， ， 由（1）知，， ，即， 解得， 在中，， ， 在和中，， ， ，即， 解得， 又， ， 解得， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 10．将正方形的边绕点逆时针旋转得到，连接交边于点，平分交于点，连接、． (1)如图1，求证：是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明）． (2)如图2，连接交于点，求证：． (3)如图3，点在线段上，，连接．若，直接写出的最小值． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵正方形的边绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2)证明：由（1）证得， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即① ， 如图：过 作 于 ， 则， ∵， ∴， ∴，即② ， ∵，， ∴， ∴ 由①②两式得， ，即． (3) 【分析】（1）先利用正方形的性质证明可得，，再证明，即可证明结论； （2）由（1）证得， ，证明可得，即① ；如图：过 作 于 ， 则，证明可得，即② ；利用等腰三角形的性质可得，即，最后结合①②即可证明结论； （3）如图：取 中点 ， 连接 ． 即，可证得；再说明 点在以 为 圆心， 为半径的圆上运动， 当 点运动到 上时， 即 、、 三点共线时， 取得最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图：取 中点 ， 连接 ． 即，由（1）可得， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作与的垂直平分线交于点，作，连接，， ∴ 点在以 圆心， 为半径的圆上运动， 当 点运动到 上时， 即 、、 三点共线时， 取得最小值． 如图：过 作 于 ， 交 于 ，在圆O优弧上取一点N，连接，则四边形是圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形，其中， ∵四边形为正方形， ∴， 又， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为． 11．如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 【答案】(1) 证明：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． (2) 证明：由（1）得，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， 又， ， 即， ， (3) 【分析】（1）根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到，根据，就能得到，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上，就可以通过边角边证明两个三角形全等． （2）根据旋转和第一小题的结论，可以得到，然后用等角对等边即可得到，又可以从前面的两个全等中得到，从而得到，那么和就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即，那么内错角相等，两直线平行即可证结论． （3）根据，，在同一条直线上，可以证明和全等，即可得到，那么就是中位线，则，加上第二小题结论就能得到四边形是平行四边形，那么，然后通过三角形外角的性质，可以证得，就能证和是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 相似三角形之母子模型 模型说明—明晰核心解法，助力能力迁移 【模型提炼与证明】 “母子型”模型（共边共角模型）： 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例题精讲 典例1（基本模型）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______． 典例2（构造模型）如图，在中，，，，，，则CD的长为______． 典例3（最值问题）已知正方形的边长为4，点在边上，点在边上，且，和交于点．    （1）如图，求证： ① ② （2）连接并延长交于点， ①若点为的中点（如图），求的长．    ②若点在边上滑动（不与点重合），当取得最小值时，求的长． 典例4（培优综合）如图①，在中，，，．点在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图②，当点是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出线段、，与交于点； ②求线段的长； (3)当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 典例5（新定义问题）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． (1)如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为_____________，的度数为_____________． (2)如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），，交于点D，连结，．当时，求证：是的智慧线． (3)如图3，中，，．若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 变式1-1如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 变式1-2如图，在中，，，点在的延长线上，点在上且，交于点． (1)探究和的数量关系并证明； (2)探究、、之间的数量关系； (3)保留原题条件，再过点作于点，延长交于点，若，求的值用含的代数式表示． 变式1-3定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 变式1-4在矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． (1)【初步感知】如图①，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． (2)【深入探究】如图②，点N在线段上，．在点E的移动过程中，当点P在矩形内部，且是以为斜边的直角三角形时，求的长． (3)【拓展运用】如图③，点M在线段上，，在点E的移动过程中，求的最小值________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在边长为4正方形中，以为腰向正方形内部作等腰，点在上，且．连接并延长，与交于点，与延长线交于点．连接交于点．若，则____． 2．如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝_____，BE＝_____． 3．如图将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长为__________． 4．如图矩形，对角线与交于点O，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在对角线上时，C、、三点共线，则的值为________． 5．如图，边长为的等边三角形中，、分别在、上，且，、相交于点，连接，若，则______度，的长为______． 6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 7．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 8．在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，过分别作交于，于． ①求证：； ②求的值． 9．如图，中，点分别是的中点，与点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 10．将正方形的边绕点逆时针旋转得到，连接交边于点，平分交于点，连接、． (1)如图1，求证：是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明）． (2)如图2，连接交于点，求证：． (3)如图3，点在线段上，，连接．若，直接写出的最小值． 11．如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $