专题08 相似三角形之8字（AX）模型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08相似三角形之8字(AX)模型 夙模型说明一明晰核心解法，助力能力迁移 “X”字模型(“8”字模型)：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应 成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8字模型 D A 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB‖CD:结论：△AOB一△COD===。 证明：.ABlI CD,∠A=LC,∠B=∠D,.△AOB一△COD,.==。 ②反“8字模型 条件：如图2，∠A=∠D:结论：△AOB一△DOC%==。 证明：∠A=∠D,.∠AOB=∠DOC,(对顶角)∴△AOB△DOC,.==。 ③平行双“8字模型 AE BEAB 条件：如图3，AB‖CD:结论：DF CF CD。 证明：：ABCD,.∠A=∠D,∠AEO=∠DFO,△AEO~△DFO, AE BE AB 同理可证：△BEO-△CFO,△ABO-△DCO,:.DF CF CD ④斜双“8字模型 条件：如图4，∠1=∠2；结论：△AOD一△BOC,△AOB~△DOC-L3=∠4。 1/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：'∠1=∠2，∠AOD=∠BOC(对顶角)，∴.△AOD-△BOC,.AOBO=DO:CO,即 AO:DO-BO:CO; .∠AOB=∠DOC(对顶角)，.△AOB-△DOC,∴.∠3=∠4。 例题精讲 典例1（基本模型）将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若∠ABC一∠BAD一90°， AE ∠ADB=45°，∠ACB=30°，AC与BD相交于点E,则EC的值等于 D 45少 30° B 3 【答案】 3 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、30°所对的直角边等于斜边的一半 等，熟知等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键 根据等腰直角三角形的性质得出AD=AB,再结合3O°所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出 AB3 BC-3,最后通过平行相似证明。ADEACBE即可解决问意. 【详解】：∠BAD=90°，∠ADB=45°， .AD=AB 在RIAABC中，，∠C=30°， .'.2AB=AC, :BC-VAC-AB=4AB-AB-34B 2/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB AB3 .BC3AB3, AD√5 Bc=3. ∠ABC+∠BAD=180°， ADBC, ∴.△ADEACBE, AE AD ·ECBC3 √3 故答案为： 3· 典例2（反X字模型）(1)问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上.若 ∠EAF-45°，求证：BE+FD=EF: (2)迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对 应边EM交CD于F点.若BE=3,EC=2,求EF的长： (3)联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF=EA,∠FOA=∠FEA.若 ∠CFQ=34°，则∠OAD=_ B B U 图1 图2 图3 17 【答案】(1)见解析；(2)4；(3)34 【分析】(1)将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG,由此可得 ∠BAE=∠DAG,AB=AG,∠B=∠ADG=90°，BE=DG,进而证明△EAF≌△GAF,由此即可证得结论： (5-x)2+32=x2 (2)根据翻折可设AG=GE=x,则BG=5-x,利用勾股定理可得 由此解得了=3.4 BG=5-x=1.6,在利用相似三角形的判定与性质即可求得答案： 3/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)连接AR,设∠PO4=∠PB1=m,根据等腰三角形的性质可得∠AB=90-2”,再通过相似三角形 的判定与性质可得∠4QB=∠A阳=90°-2”，最后根据三角形的内角和及平角的定义即可求得答案， 【详解】(1)证明：如图1，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到了旋转后的△ ADG. E B G 图1 .∠BAB=∠DAG,AE=AG,∠B=∠ADG=90°，BE=DG, .∠ADF+∠ADG=180, ∴F,D,G三点共线， ∠EAF=45°，∴.∠BAE+∠FAD=45, .∠DAG+∠EAD=45°， ∴.∠EAF=∠AG, AE=AG 在EAF与GAF中， ∠EAF=∠FAG AF=AF ∴.△EAF≌△GAF(SAS), ∴.EF=FG, .DG+FD=FG, ∴，BE+FD=EF: (2)解：四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC,∠B=∠C=∠A=∠D=90°， BE=3,EC=2, ..AB=BC=5, 4/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 翻折， ∴.设AG=GE=x,则BG=5-x, :在Rt△BGE中，BG2+BE2=GE2. 5-y+32= ，解得：X=3.4 ∴.BG=5-x=1.6, ∵翻折， ∴.∠GEF=∠A=90°， ∴.∠GEB+∠FEC=∠GEB+∠BGE=90°， ∴.∠FEC=∠BGE, 又：∠B=∠C,.△BGEn△CEF, BGGE 1.6_3.4 CF,即2F,解得，s 4 17 .EF的长为4： (3)解：如图，连接AF,设∠FOA=∠FEA=m, ER=Z4,:∠BAR=∠BM=080P-m=0-m '∠FOA=∠FEA,∠FOO=∠AOE, ∴.△FOQ∽△AOE F0_90 ∴.A0E0, FO AO ∴.00E0, 又，∠FOA=∠OOB, △FOA∽△QOE ‘∠A0B=∠AFE=90°-2m, ∠CF0=34°，∠C-90°， ∴.∠C0F-90°-∠CF0=56, 5/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '∠C0F+∠FOA+∠AOE=180°， .56°+m+90-2 =180°， 解得：m=68, ∠D=90°， 04D=90-∠40a=90-(o-0)m=34, 故答案为：34。 B A D E 典例3（与函数综合）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上， B、C在x轴上，AB=5,BO=L,∠ABC的角平分线BE交AD边于点E. N B 图1 图2 图3 (1)求点E坐标： (2)如图2，一动点G从点B出发沿射线BE以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t,连接AG,设GE的 长为d,试用含t的代数式表示d,不需要写出t的取值范围： (3)在(2)的条件下，连接AC交BE于点N,连接CG并延长交AB于点P,若CP平分∠ACB, BC=3BP,求点G的坐标. 【答案】()E5,26) 2)当0<1<215 时，d=25-,当=25时.d=0,当>25时.d=1-2 6/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 85v6 37’7 【分析】()根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得 AE=AB= ,由勾股定理求出 A0=26 即可求解； (2)利用两点间距离公式可得BE=25,再根据 d=GE=BE-BG 求出d的表达式即可 (3)设点P横坐标为a-1,则点P(a-,26d),得BP=5a,BC=15a,0C=15a-1,根据相似相似三 10 角形的性质和角平分线的定义可得AM=AC=15-15a,在Rt△4OC中，由勾股定理可求得a=2i,继而 得出各点坐标，求出直线CM、BE解析式，进而联立函数解析式求出交点G坐标即可， 【详解】(1)解：：平行四边形ABCD中，AD∥BC, ∴.∠EBC=∠AEB ,BE平分∠ABC, .∠ABE=∠EBC, ∴.∠ABE=∠AEB, .AE=AB=5, ,AB=5,BO=1,∠AOB=90°， :40=VAB2-B02=VS2-P=26 点0,26) E5,26); (2解：E5.26),B(-l0), BE=V5++26-0=2W5 :d=GE=|BE-BG=25-4. 7/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当0<1<2v15 d=215-t 时， 当2 时，4=0 当>2i5t d=1-215 时， (3)解：延长CPDA交于点M, M-- D 图3 设AB的解析式为y=a+b A0,26),B(-1,0, ∫26=b ∴.0=-k+b, [k=2W6 解得b=26, 直线1B的解析式为'=26x+26 设点P横坐标为a-l,则点Pa-l,26@) :BP=V(a-1+1}+26a-0=5a, .BC=3BP=15a,AP=AB-BP=5-5a. ∴0C=15a-1, :AD∥BC,∠ACM=∠BCM, ∴.∠ACM=∠BCM=∠AMP. .AM=AC, 8/52 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠APM=∠BPC, .ABCP△AMP. AM AP .BC BP, AM_BC=3 .AP BP AM=3」 .5-5a .AM=AC=15-15a. 在Rt△AOC中，OA+OC2=AC2, .(26+05a-1=(15-15a. 10 解得a=21: :.0C=15x 194-15-59-9 217, c90.(-926 同理可得直线CM的解析式为y=-5x+436 7x+ 49 .E5,26).B(-1,0) 同理可得直线BE的解析式为y= 3 联立直线CM、BE解析式得， s、 V6,43v6 x+ 7 49 - 6,6 -x+ 3 3 8 x=- 解得 5V6: y= 1 9/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 856 ·点G坐标为7’7 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形，一次函数与几何图形，等腰三角形的性 质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键 典例4（最值问题）在 C中，∠BAC=90,AB=1BC=V10 Rt△ABC ,点D是BC边上的动点.连接4D 作R△ADE,如图所示，∠DAE=90°，∠BDC=∠BAD,连接BE·则4D+号BE的最小值是 37137 【答案】3/3 【分析】本题主要考查相似三角形、轴对称下的线段最值问题以及勾股定理，正确添加辅助线是解题的关 键。 根据题意中的∠EDC=∠BAD,得出其它角度的等量关系，可证△ABC∽aADE,可得AE=3AD,同理由 AM ME AM DM 角度等量关系，证AMEADMC,得线段比例关系DM=MC,即ME=MC,又可证AMDEMC, 得角度等量关系，证得∠MCE=∠ABC,即得到关键信息EC⊥BC,确定出点E的运动轨迹，又经过证明 了解到D+号BE=(4E+BE), 故最值判断类似“将军饮马”模型，所以点B关于BE的对称点B,连 接AB,即AE+BE的最小值为AB'的长度，过点A作AF⊥BC,由△ABF∽aCBA求边长，最终由勾股定 理求AB得长度，得到AD+BE得最小值。 【详解】解：连接CE,令AC,DE相交于点M,如下图所示： 10/52 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 在直角三角形MBC中，：MB=l,BC=0 AC=BC2-AB=3 ,∠EDC=∠BAD 又：∠EDC+∠ADC=180°-∠BDA. ∠BAD+∠ABD=180°-∠BDA, ∴∠ADE=∠ABD, 又：∠BAC=∠DAE=90°， .△ABC△ADE AB AC AD AB 1 ·ADAE,即AEAC3: .AE=3AD ·∠EDC=∠BAD,∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠EAC, ∴∠EDC=∠EAC, 又：∠AME=∠DMC, :.△AMEADMC, AM ME AM DM ÷DM=MC,即ME=MC, 又：∠AMD=LEMC, ∴△AMDAEMC. .∠MCE=∠ADE. 又.∠ADE=∠ABC, ∴、∠MCE=∠ABC, .∠ABC+∠ACB=90°， ∴.∠MCE+∠ACB=90°，即EC⊥BC, 所以点E在过点C且垂直BC的射线上移动： 11/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=3AD. :AD+BE=(4E+BE). 故求出AE+BE的最小值即可， 作点B关于BE的对称点B',连接AB', 即AE+BE的最小值为AB的长度，过点A作AF⊥BC,交BC于点F,如下图所示： E B DF B' BC=CB'=10 根据对称的性质， ,∠ABF=∠ABC,∠BAC=∠AFB=90°， .△ABF∽aCBA. AB AF BF ·BC AC AB' 解得BF= 10,AF3i0 10 ·FB=BB'-BF=2Vi0-i0_1910 10 10 AB=(FB)+AF2=37 则D+E)=M- 3 m物3 3， 37 故答案为： 3 典例5（培优综合）如图1，在Rt△ABC中，取BC的中点O,连接AO并延长，使得AO=OD,连接BD、 CD,四边形ABDC为平行四边形. 12/52 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 备用图 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将Rt△ABC保持固 定，Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转，其中∠ACB=∠AED=90°，若∠ABC=30°，当点E落在AB边上 时，连接AE并延长，使得CE=EF,连接AF、BF,判断四边形ACBF的形状，并说明理由. 深入探究： (2)如图3，当Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接CD、BE,取BE的中点P,连接AP交CD 于点Q,试判断AP和CD的数量关系和位置关系，并说明理由. 拓展延伸： (3)当Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转90时，连接BE,M是射线AC上的一点，连接DM,过点A作 AM DM的垂线交BE于点G,若G是BE的三等分点，请直接写出AC的值. 【答案】(1)解：矩形，理由如下： :Rt△ABC兰RtAADE,∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=30°， ∴.∠BAC=60°，AC=AE, 点E落在AB边上， ∴△ACE中，AC=AE,∠CAE=60°， :△ACE是等边三角形， ∴.CE=AC,∠AEC=60°， .CE=EF, ∴△AEF是等腰三角形， ∠AEF=180°-∠AEC=120°， ∴.∠EAF=∠EFA=30°， 13/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAF=∠CAE+∠FAE=60°+30°=90°， AEAC-AB ∴.E是AB中点，AE=BE, 在△AEF和△BEC中： CE=EF,∠AEF=∠BEC=120°， .AAEF兰△BEC(SAS), ∴∠EAF=∠EBC=30°，AF=CB, .∠EFA=∠ECB=30 AF∥CB, .四边形ACBF是平行四边形. :∠CAF=∠CAE+∠EAF=60°+30°=90， ∴.四边形ACBF是矩形， (2) 解：AnD,且P1CD 理由：延长AP至点F,使PF=AP, 连接BF, D 是 的中点， 0】 B ℉P BE .BP=PE. 在△APE和△FPB中： AP=FP, ∠APE=∠FPB, PE=PB, .∴AAPE=AFPB(SAS), 14/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AE=FB,∠PAE=∠PFB, AE∥FB. :Rt△ADE是绕点A逆时针旋转90得到， .∠DAE=∠CAB,∠DAB=∠CAE=90°，AD=AB, ∴.AE∥CB. ∴.C、B、F共线， .·∠CAD=∠CAB+∠DAB ∠ABF=∠ACB+∠CAB .∠CAD=∠ABF 在△ABF和△DAC中： AB=AD. ∠ABF=∠CAD BF=AE=AC, AABF兰△DAC, ∴.AF=CD.∠BFE=∠ACD. AF=2AP, :CD=2AP:即P-cD ∠ACF=∠ACD+∠QCB=∠BFA+∠QCB=90° ∴.∠AQC=180°-90°+∠BAF-∠BAF=90 .AP⊥CD (3)2或2 【分析】(1)由旋转证明△ACE是等边三角形，再证明∴.∠CAF=90°，进而得到△AEF兰△BEC,证明 AF∥CB,则四边形ACBF是平行四边形.证明 ∠CAF=90 ,则问题可证； (2)延长AP至点F,使PF=AP,连接BF,证明△APE兰△FPB,从而证明AE∥FB,C、B、F共线， 15/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 再证明△MBF=aD1C,得到CD=21P ∠FQC=90 再由角度的互余关系证明 ,则问题可证： EG AE (3)延长CB交EG延长线于点R,证明AAGB∽aCGB,得到GBBF,再有MD⊥AG,和 ∠EAG+∠MAG=90°证明∠EAG=∠AMD,再证明∠MAD=∠ABF,由AD=AB△MAD2△FBA,故得到 AM=BF,最后分别利用G是BE的三等分点，分类讨论求解即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：延长CB交EG延长线于点F, ~Rt△ADE是绕点A逆时针旋转90得到， ∴.AD⊥AB.AC⊥AE ∴.AE∥CB ∴.△AGEP△FGB. EG AE GBBF· :AG⊥DM, ∴∠AMD+∠MAG=90°， .'∠EAG+∠MAG=90° ∴.∠EAG=∠AMD .AE∥CB ∴.∠EAG=∠F, ∴.∠AMD=∠F, '∠MAD=∠MAB+∠DAB, ∠ABF=∠ACB+∠CAB、 ∴.∠MAD=∠ABF AD=AB ∴.△MAD≌△FBA, AM=BF, G是BE的三等分点 16/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM BF BG 1 ·当BG=3BE时，AC=AE=EG2, 3 D E A M G C 当 AM_BF BG-2, BG=二BE时AC4EEG D EG 或. B AM 1 M 【点睛】本题需要运用"倍长中线法"构造全等三角形和相似三角形，通过证明全等三角形，转化边的数量 关系是解题的关键。 变式1-1如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F为边AC上任意一点，BF交AD于点E,且 0E-写4，器的信为() BE D 3 3 A.5 B. D. 5-3 17/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点D作 DGICF,证明出△GDE∽aFAE,找出BE,EF与GE的关系即可求解. 【详解】解：过点D作DGCF,如下图： GE 点D是边 的中点， B D BC .BG=FG, .DGICF AGDE∽△FAE, DE GE AE FE 1 DE-34E .FE=3GE, BE=BG+GE=GF+GE=2GE+FE=5GE, BE5GE5 EF3GE3· 故选：D 变式1-2如图，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上，点C落在点N处， DP1 AE MN与CD交于点P,折痕分别与边AB'CD交于点E,F,连接BM·若CP一2，则BE的值是 18/52 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D C 2 【答案】13 【详解】解：如图，延长MN,BC交于点O M O ,AD∥BC, ·.△DMP∽△COP MD_MP_DP1 :.OC OP CP2, ..QC=2MD,OP=2MP 设DP=a,MD=x,则CP=2a,QC=2x,正方形ABCD边长为3， .B0=3a+2x 由翻折和正方形的性质可得，∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB=3a-AE, ∴.∠EMB=∠EBM, ·.∠EMP-∠EMB=∠EBC-LEBM,即∠BMP=∠MBC, .MO=BO=3a+2x MP-IMQ-3a+2x 3 19/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△DMP中，MD2+DP2=MP2, -(2 解得：5=0（舍），5-12。 :AM=3a-12,3 a=- a 5 51 在RtAAEM中，AE2+AM2=EM2, 4E+(oP=(a-4 解得：AE=36 0, ..BE=EM =3a- 63 250, 36 E-250 12 ·BE39= 26 13, 12 故答案为13： 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股 定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键 变式1-3在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长 为() A.122 8.105 c.85 D.8+4V5 【答案】C 20/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF GF 1 【分析】先得出AABE≌AECF,ADFGACEF,则AB=CE,BE=CF,CE=EF=2,再设 DF=aa>0）,则4B=CD=CE=2a,BE=0,BC=30,在R△1BE中，利用勾股定理求出的值， 由此即可得。 【详解】解：由题意得：8个小正方形的边长均为1， ∴，AE=EF=4,GF=2,∠AEF=∠EFG=90°， .∠CEF+∠AEB=90°，∠DFG+LCFE=90°， 四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠B=∠C=∠D=90°， .∠BAE+∠AEB=90°，LCEF+LCFE=90°. ∴.∠BAE=∠CEF,∠CEF=∠DFG, 在△ABE和△ECF中， ∠B=∠C ∠BAE=∠CEF AE=EF △ABE≌△ECF(AAS) .AB=CE,BE=CF, .'.AB=CE=CD, 在△DFG和△CEF中， [∠D=∠C ∠DFG=∠CEF. ∴.ADFGACEF, DF GF 1 CE EF 2 DF=aa>0）,则4B=CD=CE=2a .'BE =CF=CD-DF=2a-a=a, .BC=BE+CE=a+2a=3a. 21/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ABE中，AB+BE2=AE2,即(2+d2=4 或a=-45 解得a=4 <0(不符合题意，舍去)， ∴矩形ABCD的周长为2(4B+BC)=2(2a+3a)=10a=10x45-85 5 变式1-4如图，正方形ABCD中，点F为BC边上一点，四边形AEFD为平行四边形：点M为对角线BD 边上一点，AM⊥AE,连接CM交DF于点N;己知AE=9,MN=3,则正方形ABCD的边长为() D M B 17 9√26 45v26 A.8 B.2 C.13 D.26 【答案】D 【分析】延长CM、AM分别交AD、DF于点P、Q,利用平行四边形的性质和全等的性质进行倒角， 可得∠CDN=∠DAM=∠DCM,通过等角对等边得到CN=DN,进而通过证明△PND≌△CNF,可得 PM和CM的长度，求得△PDM和△CBM的相似比，得到PD和BC的关系，最后通过设未知数利用勾股 定理建立方程进行求解。 【详解】解：如图所示，延长CM交AD于点P,延长AM交DF于点O, P D F C :四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADM=∠CDM=45°，AD=CD, 在△ADM和△CDM中， 22/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=CD ∠ADM=∠CDM DM=DM △ADM≌aCDM(SAS) ∴∠DAM=∠DCM, ,四边形AEFD是平行四边形，AE=9, .AElI DF,DF=AE=9, 且∠EAM=90° .∠AQD=∠EAM=90° 、.∠DAM+∠ADN=90°， 且∠CDN+∠ADN=90°， ∴.∠CDN=∠DAM=∠DCM, ∴.CN=DN 又：△FCD是直角三角形， :.CN-NF-DN-1DF-9 2 2 在△PND和aCWF中， [∠PND=∠CNF NF=DN ∠DPN=∠FCN' △PND≌ACNF(ASA) .NP-CN-9 2 PD=CF, MN=3, 15 PM=NP-MN=,CM=CN+MW● 2 又：△PDM∽△CBM 23/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PD PM 2-1 .BC CM 15 5, 2 设PD=CF=x,则BC=CD=5x, 在RtAFCD中，∠FCD=90°， +(5x)2=9 解得x=±9V26 26 (舍负)， 45√26 ∴.正方形边长为5x= 26 变式1-5如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C,D两点重合），连接BE,过点C作 CH⊥BE于点F,交对角线BD于点G,交AD边于点H,连接GE, (1)求证：CH=BE: (2)如图2，若点E是CD的中点，当BE=12时，求线段GE的长； S (3)设正方形ABCD的面积为S,四边形DBGH的面积为及，点B将CD分成1：2两部分，求S,的值. A H A H D G E E B 图1 图2 【答案】(1)见解析(2)4(3)5或8 【分析】(1)可得∠CHD=∠BEC,根据AAS可证明△DHC≌△CEB,即可求解： DH GH 1 (2)由三角形全等与平行线的性质，可得CB=CG2,则GC=2GH,可求出GH的长，故可得到GB 的长： 24/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE 1 CE 2 (3)点B将CD分成1：2两部分得到①CD-3,②CD-3,再分别得到S和S的关系进行求解。 【详解】解：(1)，四边形ABCD是正方形， ∴.CD=BC,∠HDC=∠BCE=90°， ∴.∠DHC+∠DCH=90°， CH⊥BE, ∴.∠EFC=90°， .∠ECF+∠BEC=90°， ∴.∠CHD=∠BEC, .△DHC≌△CEB(AAS), ∴.CH=BE: (2),△DHC≌△CEB, ∴.CH=BE,DH=CE, .CE=DE=2 CD,CD=CB, ∴.DH=2BC, DH∥BC, .△DGH∽△BGC, DH GH 1 CB CG 2' .∴.GC=2GH. 设GH=x,则，则CG=2x, ∴.3x=12, ∴.x=4. 即GH=4 ∵DH=DE,∠HDG=∠EDG=45°，DG=DG .∴△HDG≌△EDG(SAS) ∴.GB=GH4: (3)点E将CD分成1：2两部分 25/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE 1 CE 2 则①CD3,②CD3 CE 1 当CD3时， .DH=CE,DC=BC, DH1 BC 3' DHI∥BC, .△DGH∽△BGC DH GH 1 BC CG 3' S.=1 S.=1 :.S.BcG 9’SG 3, 设SADGH-=a,则SBcG=9a,SacG=3a .SABCD=9a-+3a=12a, ∴.S=2 SABCD=24a, 'SAD驱G:SACEG-=2:1, ∴.SDrG=2a .∴.S=2a+a=3a. .:3=24a:3a=8. CE 2 当CD3时， .DH=CE,DC=BC, DH 2 .BC3, DHI∥BC, .△DGH∽△BGC, DH GH 2 ∴.BCCG3, S.L=4S.L=2 SG9’SG3· 设SDGH=4a,则S△BcG=9a,SDcG=6a, 26/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.SBcD=9a+6a=15a, ∴.S=2SBcD=30a, .SADEG:SACEG=1:2, ∴.SADEG=2a, ∴.5=2a+4a=6a ∴.S:S2=30a:6a=5. 故S:=5或8 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例 定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题 ◆◆ 夙压轴挑战 攻克高难压轴，突破思维上限 1.如图，在△ABC中，BC=6,∠ABC的平分线交AC于点F,点D,E分别是边AB,AC上的点，若 AD AE EF 1 AB AC EC3,则BD+DE的值为() D B A.5 B.6 C.7 D.4.5 【答案】C 【分析】延长DE,BF交于点G,可证△ADE∽△ABC,得DE∥BC,得出BD=DG,可证 AEFGACFB,求出BG=2BC,则BD+DE的值可求 【详解】解：如图，延长DE,BF交于点G, 27/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D AD AE 1 :AB=AC3,∠DAB=∠BAC .△ADE∽△ABC, AD DE 1 ·∠ADE=∠ABC,ABBC3 DE∥BC, DE =1 BC =2. ∴.LCBG=∠DGB :∠ABC的平分线BF交AC于点F, ∴∠DBG=∠CBG. .∠DBG=∠DGB. .BD=DG, .EGI‖BC, .△EFGACFB. EG EF BCCF· EF 1 EC3 .EG-BC-3, 2 则BD+DE=DG+DE=2+3+2=7」 2.如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，且CE=2BE,点F为对角线BD上一点，且 BF=2DF,连接AE交BD于点G,过点F作FH⊥AE于点H,若HG=2Cm,则正方形ABCD的边长为 cnL 28/52 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H G B E 【答案】2i0 【分析】如图，过F作FI⊥BC于I点，连接FE和A,得到△BIF~aBCD,设 BE=EI=IC=acm,CE=FI=2acm,AB=3aCm求出FE,AH,AG,证明△BEG~aDAG,得到 2 a-2)cm, 最后求值即可， 【详解】如图，过F作FI⊥BC于I点，连接FE和A, D H ，四边形 为正方形， G E C:FI⊥BC ABCD ..FI/ICD, .ABIF~△BCD, ·BF=2DF, BI BF 2 ∴.I为BC的三等分点， CE=2BE, ∴.E为BC的三等分点， .BE=EI =IC, ∴.设BE=E=IC=acm, ∴.AB=BC=3acm, :△BFI为等腰直角三角形， 29/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BI=FI=2acm, i.FE=d'+(2a)=FC=FA=J5acm, .H为AE的中点， :AE =AB2+BE2 =a+(3a)2=1Oacm, ∴AH=HE=AB= 2 acm, 2 六AG=AH+GH=(10 a+2)cm, :四边形ABCD为正方形， .BE /AD, .∴△BEG-△DAG, .GE BE 1 AG-AD-3 :.GB=4G 3 32+2m 110 ·GE=HE-GH=( -a-2)cm, 1V10. -a+2 10 = 32 2 -a-2)cm, 4W10 ∴.a= 1210 ∴.AB=3acm= 12√10 故答案为： 5 【点睛】本题属于四边形综合题，是填空题压轴题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等 腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是CE=2BE,BF=2DF的利用以及这些性质的熟记. 3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，它是我国古代数学的骄傲.在赵爽弦图中，过 R,H作直线分别交B,DC于点M,N,己知MF=FH=HN,记正方形ABCD台 S D的面积为。，图中两块 阴影部分面积和为S,则S,的值是 30/52 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 【答案】3 【分折】设4G=a,BG=h,证正明△MMr2,CNH(SA）得到Sw=Som,则有S=b-2Sm;过边 作AM0LAG于Q,正明AM0rGF(AS得到MD=GH=FG=F:a-b:划有Smb-. 2 40=2b-a,可得} S2=ab-ab+b2=b2 证明△1M0a16G可得=2，则=3动 ,进而可求解。 【详解】解：设AG=a,BG=b, 1 由题意，四边形EFGH是正方形，Sc=S.m=2b,AB=BG=CH=b:BH=AG=a ∠BAG=∠DCE, DE GE 1 ·FG=GH=a-b,∠GFH=∠GHF=45°，六AE=FE=3 ∴.∠MFA=∠NHC=45°， :△MM2CNH(ASA) SAMF=S.CNH S2=2(S.AMG-SAMF)=ab-2S.4MF 过M作M0⊥AG于Q,则∠M0F=∠HGF=90°， D 31/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠MF2=∠HFG=45°，MF=FH, △MQF≌△HGF(AAS) .MO=GHI FG=OF=a-b. :se-4r0-a--0-,40=4f-0r=26-a :8=b-ab+= ； :∠AQM=∠AGB=90°，∠MAQ=∠BAG, .△AMQr△ABG Me A0 a-b2b-a ·BG=AG,即b= a, 解得a2=2b2, S1=AB2=a2+b2=3b2 S-3b2 ·96京3 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=6,BC=8,将△ABO沿着AC折叠得到 △AB'0,B'0与AD相交于点E,则OE的长是 B D B C 【答案】 【分析】连接BB交AC于点G,连接B'D,由折叠可得BG=B'G,BB⊥AO,OB=OB,根据矩形性质 32/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和勾股定理可得AC=10,则0A=5,OB=5,利用Sc=×4C-BG=×AB-BC,可得BG- 24 5,所以 4G=18 ,然后证明△AOE∽ADBE,进而可以解决问题。 【详解】解：如图，连接BB交AC于点G,连接B'D, B' B 由折叠可知：BG=B'G,BB⊥AO,OB=OB, 在矩形ABCD中，OA=OC,BO=OD,∠ABC=90°，BD=AC, 又AB=6,BC=8, 4C=6+g=10:则1-4C=5,0B-80-4C=5, 2 8-4c8G=4B-BC, .BG=AB.BC_6x8 24 AC105, AG=AB2-BGT =18 , 0G=0A-4G=5-18_7 55, BG=B'G.BO=OD .OG∥B'D, B'D=20G=14 , △AOE∽△DB'E, OE OA .B'E B'D, OE525 BE1414 33/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.BE=14OE 25 .OE+B'E=OB'=OB=5, :OB+40B=5 25 0E125 39. 125 即0E的长是39· 5.如图，边长为4的等边三角形ABC中，D、E分别在BC、AC上，且AE=CD,AD、BE相交于点 P,连接PC,若LCPD=∠PBD,则∠BPD=度，BD的长为一 60 25-2 【答案】 【分析】首先证明CP=CE=BD,设BD=m,由△CPDACBP,可得CP2=CDCB,构建方程即可解决问 题 【详解】解：：△ABC是等边三角形， ∴.∠BAC=∠ACD=∠ABC=60°，AB=AC, .AE =CD, ∴.△BAE2aACD(SAS) .∠ABE=∠CAD ∴·∠ABC-∠ABE=∠BAC-∠CAD,即∠PBD=∠BAD, 设∠ABE=∠CAD=x,∠CPD=∠PBD=∠BAD=y, :∠BPD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=6O°， .x+y=60°， 34/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴y=60°-x, ∴.∠CPE=180°-∠BPD-∠CPD=180°-60°-y=120°-(60°-x)=60°+x ∠CEP=∠BAC+∠ABE=60°+x, .LCEP=∠CPE, ∴.CE=CP, .AE=CD ∴AC-AE=BC-CD,即CE=BD, :.BD=CP, 设BD=CP=m】 :∠PCD=∠BCP.∠CPD=∠PBC, .ACPDACBP. CP CD CB CP ∴.CP2=CD.CB ∴.m2=(4-m)×4 解得m=25-2成2-25 或 (舍)， .BD=2V5-2 6.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，它是我国古代数学的骄傲.在赵爽弦图中，过 R,H作直线分别交B,DC于点MN,己知MF=FH=N,记正方形MBCD的面积为氵，图中两块 S 阴影部分面积和为S,则S,的值是 35/52 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 【答案】3 【分折】设4G=a,BG=h,证正明△MMr2,CNH(SA）得到Sw=Som,则有S=b-2Sm;过边 作AM0LAG于Q,正明AM0rGF(AS得到MD=GH=FG=F:a-b:划有Smb-. 2 40=2b-a,可得} S2=ab-ab+b2=b2 证明△1M0a16G可得=2，则=3动 ,进而可求解。 【详解】解：设AG=a,BG=b, 1 由题意，四边形EFGH是正方形，Sc=S.m=2b,AB=BG=CH=b:BH=AG=a ∠BAG=∠DCE, DE GE 1 ·FG=GH=a-b,∠GFH=∠GHF=45°，六AE=FE=3 ∴.∠MFA=∠NHC=45°， :△MM2CNH(ASA) SAMF=S.CNH S2=2(S.AMG-SAMF)=ab-2S.4MF 过M作M0⊥AG于Q,则∠M0F=∠HGF=90°， D 36/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠MF2=∠HFG=45°，MF=FH, △MQF≌△HGF(AAS) .MO=GHI FG=OF=a-b. :se-4r0-a--0-,40=4f-0r=26-a :8=b-ab+= ； :∠AQM=∠AGB=90°，∠MAQ=∠BAG, .△AMQr△ABG Me A0 a-b2b-a ·BG=AG,即b= a, 解得a2=2b2, S1=AB2=a2+b2=3b2 S-3b2 96P3 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=6,BC=8,将△ABO沿着AC折叠得到 △AB'O,B'O与AD相交于点E,则OE的长是 B D B C 【答案】 【分析】连接BB交AC于点G,连接B'D,由折叠可得BG=B'G,BB⊥AO,OB=OB,根据矩形性质 37/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和勾股定理可得AC=10,则0A=5”OB=5,利用S×4AC-BG=×B:BC,可得BG= 24 5,所以 4G=18 ,然后证明△AOE∽ADBE,进而可以解决问题。 【详解】解：如图，连接BB交AC于点G,连接B'D, B' B 由折叠可知：BG=B'G,BB⊥AO,OB=OB, 在矩形ABCD中，OA=OC,BO=OD,∠ABC=90°，BD=AC, 又AB=6,BC=8, 4C=6+g=10:则1-4C=5,0B-80-4C=5, 2 8-4c8G=4B-BC, .BG=AB.BC_6x8 24 AC105, AG=AB2-BGT =18 , 0G=0A-4G=5-18_7 55, BG=B'G.BO=OD .OG∥B'D, B'D=20G=14 , △AOE∽△DB'E, OE OA .B'E B'D, OE525 BE1414 38/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.BE=14OE 25 .OE+B'E=OB'=OB=5, :OB+40B=5 25 0E125 39. 125 即0E的长是39· 8.如图，边长为4的等边三角形ABC中，D、E分别在BC、AC上，且AE=CD,AD、BE相交于点 P,连接PC,若LCPD=∠PBD,则∠BPD=度，BD的长为一 60 25-2 【答案】 【分析】首先证明CP=CE=BD,设BD=m,由△CPDACBP,可得CP2=CDCB,构建方程即可解决问 题 【详解】解：：△ABC是等边三角形， ∴.∠BAC=∠ACD=∠ABC=60°，AB=AC, .AE =CD, ∴.△BAE2aACD(SAS) .∠ABE=∠CAD ∴·∠ABC-∠ABE=∠BAC-∠CAD,即∠PBD=∠BAD, 设∠ABE=∠CAD=x,∠CPD=∠PBD=∠BAD=y, :∠BPD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=6O°， .x+y=60°， 39/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴y=60°-x, ∴.∠CPE=180°-∠BPD-∠CPD=180°-60°-y=120°-(60°-x)=60°+x ∠CEP=∠BAC+∠ABE=60°+x, .∠CEP=∠CPE, ∴.CE=CP, .AE=CD ∴AC-AE=BC-CD,即CE=BD, :.BD=CP, 设BD=CP=m】 :∠PCD=∠BCP.∠CPD=∠PBC, .ACPDACBP. CP CD CBCP· ∴.CP2=CD.CB ∴.m2=(4-m)×4 解得m=25-2成2-2V5 或 (舍)， .BD=25-2 9.完成以下问题 D F B 图1 图2 图3 G (1)【问题发现】如图1，E是正方形ABCD的边AB上一点，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转9O° 得到线段DF,连接CF,EF交CD于点G.若AB=2BE=4,则线段DG的长是： (2)【类比应用】如图2，E是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转 40/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 60°得到线段DF,连接CF,EF,EF交CD于点G.若∠ABC=60°，AC=3AE=3,求线段DG的长： 107 【答案】(1)3(23 【分析】(1)本题主要考查正方形，旋转的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质，通过 △CGF∽BEF,可得出CG长度，再得出DG长度. (2)本题主要考查菱形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.延长DA和 FE相交于H,通过两次相似（△HEA△FEC,△HDG∽△FCG)即可得出DG长度. 【详解】(1)解：~四边形ABCD是正方形， .AB=BC=AD=CD=4, AB=2BE=4. ∴.BE=EA=2, DE=V22+42=25 线段DE绕点D逆时针旋转9O°得到线段DF, .DF=DE=2V5∠EDF=90° ,∠ADE=90°-∠CDE.∠CDF=90°-∠CDE, ..LADE ZCDF, 在△ADE和△CDF中， AD=CD ∠ADE=∠CDF DE=DF ∴.△ADE≌aCDF(SAS) ∴CF=AE=2, CG∥BE, '.△CGF∽BEF CG CF BE BF CG 2 1 22+43· 41/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CG=2 3, ÷DG=DC-CG=4-2=10 33· (2)解：四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴.AD=DC=AC=3,∠ADC=∠ABC=60°，∠BCD=120°， .∠ADE+∠EDC=60°，∠DAC=60° :线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF ∴.DE=DF,∠EDF=60°， ∠CDF+∠EDC=60°. .∠ADE=LCDF, 在△ADE和△CDF中， AD=CD ∠ADE=∠CDF DE=DF ∴.△ADE≌ACDF(SAS) .AE=CF,∠DCF=∠DAE=60°， .∠BCD+∠DCF=180° B,C,F共线 延长DA和FE相交于H,如图： H DH∥BF :.△HEA∽△FEC, AH AE CFEC· .AC=3AE=3 AE=1, ∴.CE=2,CF=1, 42/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AH 1 12 AH= , :.AH= 17 DH=3+。= , 22 DH∥CF, .∴△HDG∽△FCG, DG DH 7 CGCF2· 1CD=3 7 ..DG= 10.在△ABC中，E,F分别为边AB,AC上的点，BF与CE相交于点D, B 若E=4B,=是 4 ED ①EC ②w=3 (2)若AE=ABAF=AC,SAF=二SMBc 1 【答案】1)①5，②20 、n-1 (2)n+n 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. (1)①连接EF,先证△AEF∽aABC,相似比为l4,得到∠AEF=∠ABC,即EF∥BC,再证 43/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF 1 △EDF∽ACDB,相似比为14，即可求解；②根据EDFVACDB,BD-4,求得SBc=12,则 CF 3 S,r=15,再根据AC=4,即可求解. (2)先证△AEFAABC,相似比为I:n,得到∠AEF=∠ABC,即EF∥BC,再证△EDF∽aCDB,得到 EF DE DF 1 BC=DC=BDn,即可求解. 【详解】(1)解：①如图，连接EF, D CAE=AB.AF=AC 1 1 4 4 AE AF 1 AB AC4 ∠A=∠A, ∴AEF△ABC, EF AE 1 ∴∠AEF=∠ABC, BC=ABA. ∴.EF‖BC ∴.△EDF∽△CDB, EF DE 1 BC DC4 ED 1 EC5 ②：EDFACDB DF1 BD4· S.CDF =3 44/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.SABc=12 ..S.BCF =15 F-1 AC4 CF3 AC4 S.wc=15x4 =20 (2)解：“AB=AB,AF=4C n n AE AF 1 °4B AC n' :∠A=∠A, EF 1 :.AEFAABC'BC n' EF 1 ∴.∠AEF=∠ABC, BC 4 :.EF BC, ·△EDFn△CDB, EF DE DF 1 BC DC BD n' ∴.SAGr=(n+l)Sacr n(n+1) S.= n-1 ACDE :.S.cor=n n-1 11.如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD,与PC交于点F,连接DF,则四边形AEFD是菱形. 45/52 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D ◇ F (P) 图1 图2 图3 (1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题： (2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F,连接 PF.试判断PF与PC的位置关系，并说明理由. 请你帮助他们解决此问题. (3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时， AP=3,PD=4,DC=10.则AE的长为， (直接写出结果) 【答案】(1) 证法一：由折叠得，AD=AE,∠DAF=∠EAF,∠DFA=∠EFA EF∥AD ∴.∠DAF=∠EFA ∴.∠DFA=∠EAF ∴.DF∥AE ∴，四边形AEFD是平行四边形 AD=AE ∴四边形AEFD是菱形 证法二： 证明：由折叠得，AD=AE,DF=EF,∠DAF=∠EAF EF∥AD .∠DAF=∠EFA .∠EFA=∠EAF ∴.EA=EF ∴.AD=DF=EF=AE .∴四边形AEFD是菱形. (2) 46/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：PF⊥PC;理由如下： 连接AE 由折叠可得PD=PE,∠PEC=∠PDC,∠DPC=∠EPC :四边形ABCD是平行四边形 .∠ADC+∠DAB=180° 又：'∠PEC+∠PEF=180° .∠DAB=∠PEF :点P是AD的中点 .PA=PD .∠PAE=∠PEA ∴.∠DAB-∠PAE=∠PEF-∠PEA ∴.∠AEF=∠EAF .'AF=EF ∴.△PAF≌△PEF(SSS) .∠APF=∠EPF 又：∠DPC+∠CPE+∠EPF+∠APF=180°，即2∠CPE+2∠FPE=180° ∴.∠FPC=90° .PF⊥PC, 3)2 【分析】(1)先证明DF∥AE,得到两组对边分别平行，再用邻边相等的平行四边形是菱形判定，也可 以用四条边相等的四边形是菱形进行判断： (2)证明△AF≌△PEF,得到∠APF=∠FPE,再由折叠得到∠DPC=∠EPC,从而证明∠FPC=90°： (3)延长BA、CP相交于点F,得△AFP∽△DCP,再证EF=CE即可求出结果. 【详解】(1)略 (2)略 47/52 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：延长BA、CP相交于点F, D F A 由题意，△AFP-△DCP AF AP AF 3 ·DC=DP即10=4 :AF=5 .'∠DCP=∠ECP,∠DCP=∠F ∴.∠F=∠ECP ∴.EF=EC=DC=10 ÷E=10-155 22 故答案为2： 【点睛】本题考查折叠、平行四边形、相似、菱形的判定等，属于综合性题目，解题关键在于灵活运用几 何知识，构造常见的模型 12.如图1，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E为边AD上的一个动点，连接AC,BE并交于点F: D M D B BN 图1 图2 图3 AF I (1)若FC=4,则AE=—一：若BE⊥AC,则AE=——: 如图2，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P为对角线AC(不与点A,C重合)上一动点，过点P 作MN⊥AC,交边AD,BC于点M,N,过点M作ME⊥AD交AC于点E; (2)判断点P在移动过程中，线段MN的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段MN长度的变化范围， 48/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若不变化，求出线段MN长度的大小： AM 1 (3)若MD=2,求出此时aMPE的面积： 如图3，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点O为矩形内部一动点，连接BO且满足BO=AB,点F在线 段B0上且BF=4,连接CF. (4)请直接写出D0+4CF的最小值. 915 24 【答案】(1)2：2：(2)2：(3)25：(4)√6 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形.熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键 AE 1 (1)根据矩形性质得AD‖BC,得AEFACBF,得BC=4,得AE=2:当BE⊥AD时， AEAB AABC∽AEAB,得ABBC,得AE=兰， (2)作G⊥HAC交AD于G,得AN I G,为四边形GBNM是平行四边，形根酱4G号.运用勾段定理 求出G克，即得MN-受 2； AM 1 (3)由已知可得AD=3,证明ME‖CD,得。AEM≌AACD,可得EM=2,证明AC=10和 SAMPE=1 24 △MEPa4CD,得SaC方，即得Sm5: (④)在BC上取BR=3,连接D ,求出CR=5,DR=6 DR,O DQ+QR≥DRDQ+QR ,根据 ,得 的最小 值为、61，BC802,∠QBR=∠CBr,得*BOR&BCF,QRCF,即行D0+3CF的最小值为 BF BR 1 3 4 4 √6i 49/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(1)矩形ABCD中，AD=BC=8,ADIBC, ∴△AEFACBF, AE AF 1 ∴BC=FC=4, .AE=2: 当BE⊥AC时，∠AFC=90°， ∴.∠BAC+∠CBE=90°， .∠ABE+∠CBE=90°， ∴∠ABE=∠BCA, :∠BAE=∠CBA=90°， .△ABCD△EAB, AE AB .AB BC' ..AF=6x6_9 8-2; 9 故答案为：2：2 (2)不变.作BG⊥AC交AD于G, :MN⊥AC, .MN II BG ,GM∥BN, ∴四边形GBNM是平行四边形， .MN=BG, 由(1)知，4G= 2 50/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BG=AB+AG2=15 , .w= 2不变： GM P E BN AM 1 AM 1 (3)当DM=2时，AD=3, :ME⊥AD,CD⊥AD, .MEl CD ∴△AEM≌△ACD, ED AM 1 .CDAD3· ∴.EM=2, ÷AC=VAD2+CD=I0,∠MEP=∠DCA,∠MPE=∠D=90° ∴.aMEP∽△ACD SAMPE ME 1 :S.ADC AC 25, S.=AD-CD=24. 2 24 :.SMrE2 M D E ◇ 51/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)在BC上取BR=3,连接DR,QR, .BC=AD=8. ..CR=BC-BR=5. DR=VCD+CR-61 DQ+QR≥DR DO+OR v61 的最小值为 B0=AB=6,BF=4, BF 4 1 BR 3 1 ·BC82,B062' BF BR BC BO' :∠QBR=∠CBF △BOR∽aBCF. OR BR 3 CF BF 4 .OR-3cF 4 3 :D0+4CF的最小值为V6 4 D B R 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性 质等相关知识，熟练运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键. 52/52 专题08 相似三角形之8字（AX）模型 模型说明—明晰核心解法，助力能力迁移 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例题精讲 典例1（基本模型）将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 典例2（反X字模型）（1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上．若∠EAF＝45°，求证：BE＋FD＝EF； （2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的长； （3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ＝34°，则∠QAD＝_______°． 典例3（与函数综合）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，在轴上，，，的角平分线交边于点． (1)求点坐标； (2)如图，一动点从点出发沿射线以每秒个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； (3)在（）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 典例4（最值问题）在中，，，，点D是边上的动点．连接，作，如图所示，，，连接．则的最小值是________． 典例5（培优综合）如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 变式1-1如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式1-2如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是________． 变式1-3在矩形中，由8个面积均为1的小正方形组成的型模板如图放置，则矩形的周长为（     ） A． B． C． D． 变式1-4如图，正方形中，点为边上一点，四边形为平行四边形；点为对角线边上一点，，连接交于点；已知，，则正方形的边长为（   ） A．8 B． C． D． 变式1-5如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE． （1）求证：CH＝BE； （2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝12时，求线段GE的长； （3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，点E将CD分成1∶2两部分，求的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 2．如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为_______cm． 3．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，它是我国古代数学的骄傲．在赵爽弦图中，过F，H作直线分别交，于点M，N，已知，记正方形的面积为，图中两块阴影部分面积和为，则的值是______． 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将△沿着折叠得到△，与相交于点，则的长是________． 5．如图，边长为的等边三角形中，、分别在、上，且，、相交于点，连接，若，则______度，的长为______． 6．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，它是我国古代数学的骄傲．在赵爽弦图中，过F，H作直线分别交，于点M，N，已知，记正方形的面积为，图中两块阴影部分面积和为，则的值是______． 7．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将△沿着折叠得到△，与相交于点，则的长是________． 8．如图，边长为的等边三角形中，、分别在、上，且，、相交于点，连接，若，则______度，的长为______． 9．完成以下问题 (1)【问题发现】如图1，是正方形的边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点G．若，则线段的长是______； (2)【类比应用】如图2，是菱形的对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点．若，，求线段的长； 10．在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 11．如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形． (1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题； (2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由． 请你帮助他们解决此问题． (3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为___________．（直接写出结果） 12．如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $