4.4.3 两个三角形相似的判定（第3课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

4.4.3 两个三角形相似的判定（第3课时） 题型一：利用三边对应成比例判定三角形相似 1．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，，，∴两三角形相似； B． ∵，，，∴两三角形不相似； C．∵，，，∴两三角形不相似； D．∵，，，∴两三角形不相似； 故选：A． 2．（25-26九年级上·全国·周测）依据下列条件不能判断和的相似是（   ） A．，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，，， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】选项A：，， ， ． 又， ，故此选项不符合题意； 选项B：，，，， ． 又， ，故此选项不符合题意； 选项C：，，，， ． 又，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； 选项D：，，，，，， ， ，故此选项不符合题意． 故选C． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期中）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．和满足下列条件,其中能使与相似的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系，分别计算两个三角形三组对边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】A、不能推出三组对应边的比相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误，不符合题意； B、∵， ∴， 三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误，不符合题意； C、∵， ∴， ∴，故本选项正确，符合题意； D、∵， ∴， 三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 5．的三边长分别为1，，，的三边长分别为5，，，则和（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断是否相似 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，证明三边比例相等可得两个三角形相似．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴两个三角形相似， 故选： A． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 题型二：利用三边对应成比例判定方格中的三角形相似 1．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，正方形网格上有6个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥，其中②～⑥中，与三角形①相似的三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则的各边长分别为1、、．则 ②的各边长分别为1、、； ③的各边长分别为2、、（为各边长的2倍）； ④的各边长分别为5、、（为各边长的倍）； ⑤的各边长分别为2、、（为各边长的倍）； ⑥的各边长分别为3、、． 根据三组对应边成比例的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤． 3．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 计算出每个三角形的三边比，根据三边对应成比例判定相似． 【详解】解：三角形①的三边比为，三角形②的三边比为，三角形③的三边比为，三角形④的三边比为，三角形⑤的三边比为，三角形⑥的三边比为， ∵， ∴三角形④与三角形⑥相似． 故选：B． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 结合网格图与勾股定理，计算出每个三角形的三边长，利用三边对应成比例的判定定理判断相似三角形． 【详解】解：由网格图和勾股定理可得， ①中三角形的三边长为，，； ②中三角形的三边长为，，； ③中三角形的三边长为，，； ④中三角形的三边长为，，； ∵， ∴①和③中的三角形相似． 故选：C． 5．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出各选项中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】解：的三条边长度为，三边的比例为； 选项A：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项B：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项C：三角形的三边长为，三边的比例为，与相似，符合题意要求； 选项D：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 故选C． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中所画的三角形与所给三角形相似的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与勾股定理，掌握好利用三边长判定相似是解题关键． 利用勾股定理算出各个三角形的三条边的长度，三边成比例的三角形就是所求的相似三角形． 【详解】解：由勾股定理可得，题干中的三角形的三边为，，4，其三边比为，化简得， 对于选项A，其三边比为，与题干不成比例，故不相似； 对于选项B，其三边比为，与题干不成比例，故不相似； 对于选项C，其三边比为，化简得，，与题干成比例，故相似； 对于选项D，其三边比为，与题干不成比例，故不相似． 故选：C． 题型三：利用相似三角形的判定求解 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定．通过构造辅助线，利用等腰直角三角形的性质求出一个角的度数，再通过计算三角形三边的长度，根据三边对应成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应角相等的性质求出目标角的度数． 【详解】 解： 取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B 2．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 【详解】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 题型四：利用三边对应成比例证明三角形相似 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 【答案】(1)证明：，，，， ． 设每小格的长度为，则，， ， ， ； (2)， 【分析】（1）设每小格的长度为，勾股定理求出的长，进而得到，即可得出结论； （2）根据网格特点和勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：设每小格的长度为，则，又， ，解得， 由（1）知，， ；. 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 【答案】(1)，， (2) 理由如下： 小正方形的边长均为1，，，，， 由可得，， ，， ． 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理可求出与的长，根据网格特点可求出的度数； （2）先根据勾股定理求出，，，，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似即可解答． 【详解】（1），， 故答案为：，，； （2）略 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，与的顶点均在格点上，求证：． 【答案】 证明：由图可知，，，，，，， ， ． 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理与网格问题，利用三边对应成比例判定相似等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．利用三边对应成比例证明两个三角形相似． 【详解】略 4．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 【答案】 证明：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理与网格问题，利用三边对应成比例判定相似等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用三边对应成比例证明两个三角形相似． 【详解】略 5．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】 证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】略 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图①，内有任意一点O，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点． (1)求证：． (2)如果点O在的外部（如图②），请仿照图①画出图形，并探讨①中的结论是否仍成立（无须证明）． 【答案】(1) 证明：分别是的中点， ∴，，分别为的中位线， ， ． (2) 如图，（1）中结论仍成立． 【分析】（1）易得，，分别为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，那么的三边对应成比例，可证； （2）根据（1）中的证明方法可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查相似三角形的判定的相关知识，解题的关键是熟练掌握判定方法． 7．（2025九年级·全国·专题练习）如图①，内有一点分别是的中点． (1)求证：． (2)如果点在的外部（如图②），仿照图①画出图形，探讨（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请给出证明过程；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1) 证明：分别是的中点， 分别是的中位线， ， ． (2) 解：画出图形如图，（1）中结论仍成立． 证明过程如下： 分别是的中点， 分别是的中位线， ， ． 【分析】（1）易得分别是的中位线，根据三角形的中位线定理可得，那么和的三边对应成比例，所以； （2）连接，，，画出它们的中点，，，连接，，可得相关图形，根据（1）中的证明方法可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查相似三角形的判定的相关知识．用到的知识点为：三边成比例，两三角形相似．解题的关键是熟练掌握判定方法． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2) 解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）略 9．（25-26九年级上·广西·期中）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2) ， 证明：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）略 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【答案】(1)证明：分别是的中点， ，，，即， ； (2)，， 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，以及三边对应成比例的两个三角形相似，得到，，即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵D、E、F分别是的中点， ，，， ∴ ∴，，. 题型五：相似三角形的判定综合证明 1．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， 且， 又， ， 且， 四边形为平行四边形． ， ， 四边形为矩形． (2) 【分析】本题考查平行四边形，矩形的判定与性质，相似三角形的判定．第一小问的解题关键点是先通过边的等量代换证明四边形是平行四边形，再结合垂直条件证得矩形，第二小问通过设参数证明相似三角形建立方程求解的长度． 【详解】（1）略． （2）解：设， ， ，. 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ，即， 解得，（舍）， ． 2．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． (2) 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【详解】（1）略． （2）解：， ． 由（1）可知， ， ． 3．（2026·云南玉溪·二模）如图，在矩形中，，相交于点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形知，由知，故，又点是的中点，故点是的中点，从而是的中位线，又是的中点，故，故四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形； （2）由矩形的面积为得，故，由得，故，从而，． 【详解】（1）证明：∵在矩形中，，相交于点， 是的中点，， ， ， ， ， 又∵点是的中点， ∴点是的中点， 是的中位线， ， 是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形的面积为， ， ∵四边形是菱形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 4．（25-26九年级上·四川乐山·期末）如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)6 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为6． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ； ； ； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】(1) 选： ， 理由：∵，， ∴； 选： ， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； 选： 理由：∵， ∴， ∵， ∴； 选：：， 因为夹角不一定相等， 所以与不一定相似； (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （）根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得证； （）由题意可得，由相似三角形的性质可得，再代入计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． 题型六：相似三角形的判定与圆综合 1．（2026·广东广州·二模）如图，是的直径，弦，垂足为P，连接，，求证：． 【答案】证明： ∵是的直径，弦，垂足为P， ∴，， ∴， 在和中，，， ∴． 【分析】根据垂径定理得，则，再结合，即可证明． 【详解】略 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，点A，B，C，D，E均在上，分别连接，，，，，平分，与相交于F，与相交于G，与相交于H． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，结合角平分线的定义，可证明，再结合对顶角相等，即可证明结论； （2）连接，先证明，得到，可得，再证明，即可求得答案． 【详解】（1）解：平分， ， 是和所对的弧， ， ， ； （2）解：连接， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为的内接四边形， ，， ，， ，， ． 【分析】根据圆内接四边形可得，，根据两角对应相等即可得证． 【详解】略 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点． (1)如图，以点为圆心，线段的长为半径画弧恰好也经过点． ①的度数为__________； ②若，求阴影部分的面积． (2)如图，若，证明：． 【答案】(1)① ② (2) 证明： ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）①由尺规作图得到线段相等，推出为等边三角形，再利用平角性质求出；②先算出扇形的面积，再结合直径所对圆周角为直角求出的面积，然后根据同高三角形的面积比等于底边比得出，进而得到的面积，最后用扇形面积减去三角形面积得到阴影面积； （2）通过等腰三角形性质和三角形外角性质，找到两组对应相等的角，从而证明． 【详解】（1）①解：以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点， ， 以点为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点、， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为：． ②解：如图，过点作， ， ， 圆心角，半径， 扇形的面积为， ，， ， ， 点、、在以点为圆心的圆上， 为直径， ， ， ， ， ，，， ， ， ． 答：． （2）略 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形内角和与外角性质，圆周角定理，扇形面积公式，相似三角形的判定，从尺规作图中提取线段相等关系是解题关键． 5．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，过上的点的切线与直径的延长线相交于点，与相似吗？请说明理由． 【答案】， 证明：连接，    ∵是的切线， ∴，即：， ∵是的直径， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定，已知切点作半径是解答本题的关键． 连接，证明，根据相似三角形的判定即可得出． 【详解】略 题型一：相似三角形判定综合之多结论问题 1．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在菱形中，，点，分别是，上的动点，且与交于点，连接，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．为定值 D．平分 【答案】A 【分析】先证明，可得，如图，过点D作于M，于N，可得，证明，，，再进一步分析即可. 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点D作于M，于N， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故D正确，不符合题意； ∴， ∴ ； 故A错误，符合题意； ∵，， ∴， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴， 故C正确，不符合题意； 故选：A. 2．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别为、的中点，，，．以下结论中①、、、四点共圆；②；③；④；⑤，正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，由直角三角形斜边中线的性质可得，即可判断①；证出是的垂直平分线，即可判断，即可判断②；根据题意得到，，在中，即可判断，即可判断③；根据题意证出是的垂直平分线，然后得到为等腰直角三角形，再由勾股定理求解的长度，即可判断④；先证出，，则，即可判断⑤． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴、、、四点共圆，故①正确； ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故②正确； ∵ ， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵ ， ∴． 在中， ， ∴．故③正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，即 ∴（舍负），故④错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵ ∵， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； ∴正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，圆的确定等知识点，难度大，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，下列结论∶①；②点B到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（　　）    A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题利用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键．①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等，即可得到，且相似比为1；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过B作，交的延长线于F，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积． 【详解】解：①∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，且相似比为1；故①正确； ③， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； ②过B作，交的延长线于F， ∵，， ∴， 又∵③中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②不正确； ④∵，， ∴在中，， ∴，故④正确， 故选：C． 4．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，，连接交于点E，，垂足为点G，交的延长线于点F，连接，若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是___________． 【答案】①②④ 【分析】①证明，即可得到； ②延长AC，作CM=EC，过点M作,垂足为N，连接CN，证明、，得到，再证明，从而得到，再根据得到； ③证明即可得到结论不成立； ④证明，通过相似比建立方程即可求出AC． 【详解】解： ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 故①正确； 延长AC，作CM=EC，过点M作,垂足为N，连接CN， ∵，CM=EC，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵ ， ∴, ∴,, 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵CF于CN相交于点N， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴于不相似， 故③错误； ∵ ∴, 又∵ ∴ ∴ 设 ∵， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 解方程得（负数舍去）， ∴， 故④正确； 综上所述①②④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查直角三角形、等腰三角形、相似三角形、全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形和全等三角形的相关知识． 题型二：相似三角形判定综合之最值问题 1．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）直线l：与x轴交于点A．与y轴交于点B，以为直径作，点P为线段上一动点（与点O、A不重合），作于C，连结并延长交于点D．连接，当点P在线段上运动时，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】连接，，先后证明，，得到，然后证明，得到，所以，设，则，所以，再根据二次函数的性质，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 令，则， 令，则， 解得， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 当时，的最大值是． 2．（25-26九年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形中，，以点A为圆心，长为半径作圆A，M是圆A上一动点，以为直角边作直角三角形，使（B，M，N三点为顺时针顺序），，连接，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】延长到点O，使，连接，，，得到垂直平分，得，，证明E，M，N三点共线，，得，得，得点N是在以O为圆心，以为半径的圆上运动．连接并延长交于点F，求出，，得，即得的最小值为． 【详解】解：延长交于点E，延长到点O，使，连接，，， ∵，， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴E，M，N三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点N是在以O为圆心，以的长为半径的圆上运动． 连接并延长交于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当点F和点N重合时，取得最小值， ∴的最小值为． 3．（2026·江苏南通·二模）如图，在四边形中，，．是上的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若与边始终有公共点，则长的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点作交延长线于，证明，再证明，根据始终与有交点，找到临界位置求出最小值． 【详解】解：过作直线于，设交于， 则， 由题意：，， ， 又， ， ， 在和中： , ， ，， 设， 则，，， 即， 又， ， ， ， 则， 若与边始终有公共点， 则恒成立， ． 4．（2026·河南濮阳·二模）如图，在中，，，，点O是直线上一点，将绕点O旋转得到（点A，B，C分别与点，，对应），连接，．若以点B，C，，为顶点的四边形的最小内角是时，的长是________． 【答案】或 【分析】先根据勾股定理求出，然后分两种情况讨论： 当点O在上，且时，过点作于点D，于点E，根据面积法求出的长，即可求得答案； 当点O在的延长线上，且时，设，过点作，交的延长线于点H，根据相似三角形的判定与性质求出的长，即可求得答案． 【详解】解：，，， ， 当点O在上，且时，如图， 过点作于点D，于点E， ， ， ， ， ， ， ， 绕点O旋转得到， ， ； 当点O在的延长线上，且时，如图， 设， 过点作，交的延长线于点H， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 解得， ， ； 综上所述，或． 5．（2026·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与y轴交于点，与轴交于点，点是内任意一点，且，则的最小值为____． 【答案】 【分析】根据一次函数解析式求出点和点的坐标，得到和的长度，在上取点使得，构造，从而得到，将求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短，当，，三点共线时和最小，最小值为线段的长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，如图所示： 把代入可得：， ∴， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 在中，． 题型三：相似三角形判定综合之探究问题 1．（2026·广东清远·三模）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 (3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 【答案】(1)1 (2) (3)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先根据正方形及直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得到，即可求得答案； （2）先根据矩形及直角三角形的性质证明，再根据相似三角形的性质求得答案； （3）先证明，得到，再证明，可得，所以，即可证明结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； （3）略 2．（2026·山西临汾·三模）综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． (1)【数学思考】请你解答老师提出的问题． (2)【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意得，再由菱形的性质得到，则先证明四边形为平行四边形，由菱形得到邻边相等，即可证明为菱形； （2）先证明，则，则，解方程即可； 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下 ， ， 四边形是菱形，是的平分线， ， ， ， 四边形为平行四边形， 由旋转的性质可知， 平行四边形为菱形； （2）解：如图3，由题意可得， 设， 在菱形中，， ∴在中，， 又， ， 是的外角， ∴ 在和中， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 3．（2026·江苏徐州·一模）探究活动：类比直角三角形全等判定的经验，开展对直角三角形相似判定的探索． 探究过程： (1)如图，在中，分别在边上，且． ①若，求证：； ②若，求证：； 结论应用： (2)如图，在矩形中，点的运动轨迹为直线上的一部分，为线段（不与点重合），作于点．若为边右侧一点，且，．请用无刻度的直尺与圆规，画出点的运动轨迹，并参照题干中点运动轨迹的表述方式对点进行描述（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①已知，结合比例式，利用直角三角形相似的类比判定（斜边、直角边对应成比例，两直角三角形相似）证明； ②构造直角三角形，过、分别作的垂线，利用①的相似结论推导角相等； （2）由，， ，类比（1）的相似结论，可得 ，因此点的运动轨迹为直线上的一部分，其中，交于点，为线段（不与点重合）． 【详解】（1）证明：①， 与均为直角三角形，直角分别为、， 在和中，， （斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似）； ②过点作交延长线于，过点作交延长线于， ， ， ， ， 又， ， 结合， 由①得， ， 又， ， ． （2）解：画图如图2所示． 点的运动轨迹为直线上的一部分，其中，交于点，为线段（不与点重合）． 如解图2，由题意得， ， ， ， ，， ， ，， 由题意得 ， 同理可证， ， 四边形是矩形， 对角线互相平分且相等， 设交于点， 则， ， ， , 当点与点重合时，点与点重合，即， ． 4．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． (3)应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 【答案】(1)①；②； (2) 解：（1）中结论还成立，证明如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，延长，交于点，交于点， ∵， ∴ ， ∴； (3)，或． 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长，交于点，交于点，再由，计算即可得出结果； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于点， ， ∵， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， 同理可得：，， ∴，； 综上所述，，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，正方形中，点是边上任意一点，过点作，并截取． (1)如图，连接线段，求的度数； (2)如图，在图的基础上，再连接线段，和，线段与正方形的边交于点，求证：． (3)如图，如果线段，求的度数． 【答案】(1) (2) 证明：如图，在的延长线上取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由（）可知，， ∴； (3) 【分析】（）过点作的延长线于点，可证，得到，，即得，进而得到，即得到，即可求解； （）在的延长线上取，连接，可证，得到，，，再证明，得到，即得到，又结合（）可得，即可求证； （）过点作于，可得是等腰直角三角形，得到，又根据得，即得，即得到，得，，进而由即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作的延长线于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数等，正确作出辅助线是解题的关键． 1．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断A； 利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断B； 由2对角分别相等，可以证明，由此判断C； 由已知条件判定不成立，由此判断D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又是的中点， ∴， ∴， ∴， 又是上一点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A成立； 又 ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴， 故B成立； ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 故C成立； ，但， ∴不成立， 故D不成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据正方形的性质证明，利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 3．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段检测）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题是在网格型图形中找相似三角形，设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【详解】解：设网格的边长为1．则． 连接， ． ∵， ∴． 同理可找到，和相似． 故选：D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置________（填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，即三边对应成比例的两个三角形相似. 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 计算“帅”“相”“兵”所在位置构成三角形的三边长度，依次设三边长度为a，b，c，根据勾股定理可得： 设“马”“车”“炮”所在位置构成三角形的三边长度分别为m，n，p， ①当“马”落在①时，       计算三边比例关系， 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故①错误； ②当“马” 落在②时，          计算三边比例关系： 所以三边成比例，则两三角形相似 ，故②正确； 当“马”落在时， 计算三边比例关系： 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故错误； ④ 当“马”落在④时，          计算三边比例关系：       所以三边不成比例，则两三角形不相似，故④错误； 综上：②正确. 5．（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 6．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在和中，已知．    (1)求证：； (2)求与的长； (3)求和这两个三角形的面积比． 【答案】(1) 证明： ， ． 设每小格的长度为a， 则，， ， ， ； (2)， (3)4 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，相似三角形的判定和性质． （1）设每小格的长度为a，由勾股定理得，，推出，即可证明； （2）根据，计算出a的值，结合（1）中得出的，，即可求解； （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【详解】（1）略 （2）设每小格的长度为a， 则， 又， ， 解得， 由（1）知，， ，； （3）解： ，， ． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图①，在梯形中，，且是的中点，是边上的动点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若是的中点，，求的长； (3)如图②，若其他条件不变，且平分是线段上的动点，则是否存在点，使得？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：是的中点， ． 又， 四边形是平行四边形， ． 又， ． (2) (3)存在， 【分析】通过证明四边形为平行四边形，再利用即可得出结论； 利用得到，结合是的中点证明即可求解； 先通过平行线与角平分线得到结合得到进一步得到从而得到是等边三角形即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 是的中点， ， ． ． （3）存在．理由如下： ． 平分， ． ， ， ． ， ． ， 是等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定综合求值与证明，平行四边形的判定，掌握相似三角形性质与判定是解题的关键． 8．（25-26九年级上·全国·阶段检测）已知：如图，为等腰三角形． (1)求作菱形，使得为菱形的一个内角，点，，分别在边，，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1) 解：如图，菱形即为所求， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据菱形的判定，利用尺规作图作出的角平分线交于，作的垂直平分线交、于点、，连接、即可； （2）先根据等腰三角形三线合一求出的长度，再由平行线判定得到，进而推出，利用相似三角形性质求出，最后根据菱形面积公式求出面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证； 根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长． 【详解】（1）略 （2）解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 10．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，，，是格点，直接写出 ． (2)在图1中，，，是格点，先在上画点，使于点；再画点，使，两点关于直线对称； (3)在图2中，，是格点，在格线上，画出点，使． 【答案】(1)； (2) 如图，点和点即为所求， (3) 即为所求作的图形， 【分析】（1）取格点、，利用相似三角形的判定及性质可得解； （2）取格点、、、、，连接、，、，交于，延长交于，由得，结合直角三角形的性质及判定可得，从而得，根据勾股定理及平行四边形的判定及平行线的判定可得四边形是平行四边形，，、、三点共线，从而得，利用平行线分线段成比例及线段垂直平分线的定义可得垂直平分，从而和关于对称． （3）取格点，连接交的垂直平分线于，连接，根据垂直平分线的性质得，得，又得进而得，结合，根据三角形的中位线性质可得． 【详解】（1）解：取格点、， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查勾股定理、格点图形中垂直与对称的构造、平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质、三角形的中位线性质，，熟练利用网格特点，结合几何定理（勾股定理、垂直性质、对称性质、平行判定）是解题的关键． 11．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，内接于，点是上的一个动点． (1)如图1，若的半径为，，求的长． (2)如图2，连接，．若，求的度数． (3)如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可； （2）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，进而得到为等边三角形，利用等式的性质即可得出结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，利用平行四边形的判定与性质得到，设，则，利用等腰三角形的性质和矩形的判定与性质得到，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理得到，化简，令的系数为0，即可得出结论． 【详解】（1）连接，，如图， ，， ， 的半径为， ， 在中， ． （2）在上截取，连接，如图， 和所对的弧都是， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 即． （3）过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，如图， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 对于的任意长度，都有的值是一个定值， 的值与无关， ， （不合题意，舍去）或， 对于的任意长度，都有的值是一个定值，的值为． 【点睛】本题主要考查圆的有关性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造全等三角形、相似三角形来求解线段长度、角度以及参数值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.4.3两个三角形相似的判定（第3课时) 利用三边对应成比例判定三角形相似 利用三边对应成比例判定方格中的三角形相似 利用相似三角形的判定求解 ①基础达标题 利用三边对应成比例证明三角形相似 相似三角形的判定综合证明】 相似三角形的判定与圆综合 。两个三角形相似的判定 相似三角形判定综合之多结论问题 ②能力提升题 相似三角形判定综合之最值问题 相似三角形判定综合之探究问题 ③拓展培优题 高分冲刺题型 A 基础达标题 题型一：利用三边对应成比例判定三角形相似 1.(25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测)图中三角形相似的是() 27 36 30 30 20 15 15 25 45 20 42 (1) (2) (3) (4) A.(1)和(2) B.(1)和(3) C.(2)和(3) D.(3)和(4) 2.(25-26九年级上全国·周测)依据下列条件不能判断△ABC和△的相似是() A.∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60° B.∠A=∠E=45°，AB=12cm,AC=15cm,ED=20cm,EF=16cm C.∠A=∠D=45°，AB=12cm,AC=15cm,ED=16cm,EF=20cm D.AB=1cm,BC=2cm,CA=1.5cm,DE=6cm,EF=4cm,FD=8cm 3.(25-26九年级上·福建漳州·期中)若△ABC和△就满足下列条件，其中能使△ABC一△乙的是 1/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.AB=3,BC=8,AC=9,DE=2,FE=1 3,DF=6 B.AB=3,BC=8,AC=9,DE=16 ,5E=2,DF=6 C.AB=1,BC=2,AC=1.5,DE=2,FE=2V2,DF=4 D.AB=1,BC=3,AC=2,DE=33,FE=2,DF=6 4.△ABC和△世乙满足下列条件，其中能使△ABC与△乙相似的是() A.AB=c,AC=b,BC=a,DE=Va,EF=b,DF=c B.AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=1 C.AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,DF=6 D.AB=2,AC=3,BC=5,DE=6,EF=3,DF=3 5.△ABC的三边长分别为1，V2,5,△的三边长分别为5,5,10，则△ABC和△兽C() A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断是否相似 6.(26-27九年级上·全国课后作业)已知在△ABC和△就中，AB=2,BC=3,AC=4,DE=6, EF=9,DF=12,则△ABC与△就的关系是 (填“相似”或“不相似”). 题型二：利用三边对应成比例判定方格中的三角形相似 1.(25-26八年级下·山东·课后作业)如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个 图中的三角形阴影部分与△EFG相似的是() G B.☑ D 2.(25-26八年级下·山东烟台期末)如图，正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC,②△BCD,③ △BDE,④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK,其中②~⑥中，与三角形①相似的三角形共有() 2/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D E ③ ⑥ H ① F ⑤ ④ B G A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.（25-26九年级上·河南郑州期末)如图所示的6个三角形中，相似三角形是()· ① ② ③ ⑥ A.①与③ B.④与⑥ C.②与⑤ D.②与⑥ 4.(25-26九年级上·重庆·阶段检测)如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(). ① ② ③ ④ A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①②③ 5.(25-26九年级上·河南开封阶段检测)如图，△ABC在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形 与△ABC相似的是() B A 3/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 6.(25-26九年级上·陕西榆林阶段检测)如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中所画的三角形与 所给三角形相似的是()· A B C D 题型三：利用相似三角形的判定求解 1.(25-26九年级上·安徽合肥期末)如图，在正方形网格中：△ABC,△EDF的顶点都在正方形网格 的格点上，则∠BAC的度数为() B D A A.95° B.135° C.140° D.145° 2.如图，在四边形ABCD中，AB=6,BC=4,AC=5,CD=1 ,AD=25 .若∠B=55°，则∠ACD 的度数是 3.(25-26九年级上全国课后作业)已知△ABC的三边长分别为3，V3,15,△A1B,C1的两边长分别 为1和5.当△A1B1C1的第三边长为 时，△ABC与△A1BC1相似. 4/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四：利用三边对应成比例证明三角形相似 1.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，在△ABC和△EDC中，已知AB=6,DE=3,BC=8, DC=4. B (1)求证：△ABC一△EDC: (2)求AC与EC的长. 2.(2025九年级·全国.专题练习)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△乙的顶点 都在格点上. I)填空：BC=_,DF=,∠ABC=. ②△ABC与△兰：相似吗？请说明理由， 3.(25-26九年级上·安徽阜阳·期中)如图，在8×8的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为 1,△ABC与△乙的顶点均在格点上，求证：△ABC一△乙. 4.(25-26九年级上·安徽毫州期中)如图，在4×7的正方形网格中，小正方形的边长均为1，△ABC与 △的顶点都在格点上.求证：△ABC一△g乙. 5/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26九年级上·安徽毫州期中)如图，点O是△ABC的边BC上一点，连接AO,点D,E,F分别 是OA,OB,OC的中点，连接DE,DF.求证：△ABC一△( E 6.(2025九年级·全国·专题练习)如图①，△ABC内有任意一点O,D,E,F分别为OA,OB,OC的中 点 +O B B 图① 图② (1)求证：△ABC一△迴乙. (2)如果点O在△ABC的外部（如图②），请仿照图①画出图形，并探讨①中的结论是否仍成立（无须证 明)· 7.(2025九年级·全国·专题练习)如图①，△ABC内有一点O,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点. B B 图① 图② (1)求证：△一△ABC. (2)如果点O在△ABC的外部（如图②），仿照图①画出图形，探讨(1)中的结论是否仍然成立.如果成 立，请给出证明过程；如果不成立，请说明理由. 6/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26九年级上·浙江绍兴期末)如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，A,B,C三点均在 格点上 B Q)分别求AB与B BCAB 的值. (②)在网格中画△ABE,使A,B,E三点组成的三角形与△ABC相似.（只需画出一个） 9.（25-26九年级上：广西·期中)如图所示，在5×8的网格中，△ABC和△就的顶点都在边长为1的小 正方形的顶点上 (1)填空：∠BAC= EF= ； (2)判断△ABC与△乙是否相似？并证明你的结论 10.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，已知O为△ABC内一点，D、E、F分别是OA,OB,OC的 中点 0 (1)求证：△些一△ABC. (2)图中还有哪几对相似三角形？ 题型五：相似三角形的判定综合证明 1.(26-27九年级上·浙江温州·开学考试)如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使 7/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF=BE,连接DF,AF,CD交AF于点G, (I)求证：四边形AEFD为矩形. (②)若AE=3,EC=2CF,CD⊥AF,求EF的长. 2.(26-27九年级上山东聊城开学考试)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于 D,E是AC上的点，ED的延长线与CB的延长线交于点F,且∠1=∠A. E B 1)求证：FD2=FB·FC: ②)若FB=4,BC=5,求FD的长. 3.(2026云南玉溪·二模)如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,E是OB的中点，过点A作 AF‖BD交CE的延长线于点F,连接BF D (I)求证：四边形AFBO是菱形： (2)若矩形ABCD的面积为20，求△ACF的面积. 4.(25-26九年级上·四川乐山期末)如图，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D,∠BCE=∠ACD 1)求证：△ABC一△DEC: (2)若SAABC·S△Dc=4·9,BC=4,求EC的长. 8/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26九年级上·浙江杭州·期末)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，连接DE.有 以下四个条件： ①∠AED=∠B:②∠BDE+∠C=180,③ADAB=AEAC,④AD-DE AC CB (1)请你从中任选一个条件，使得△ABC一△AED,并说明理由 (2)在(1)的前提下，若点E为AC中点，AE=2AD=6,求线段AB的长. 题型六：相似三角形的判定与圆综合 1.(2026广东广州·二模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为P,连接AC,BC,求证： △ACP~△CBP. B 2.(2026安徽阜阳·二模)如图，点A,B,C,D,E均在⊙O上，分别连接AB,AC,AD,BE,CE, AC平分∠BAD,BE与AC相交于F,与AD相交于G,CE与AD相交于H. E H D (1)求证：△AFG一△EHG: (2)若AC⊥BE,AB=7,AD=10,求DH的长. 3.(25-26九年级上·江苏盐城期末)已知：如图，延长圆内接四边形的边AD、BC,相交于点E.求证： 9/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △ABE一△CDE. D B 4.(25-26九年级上·浙江杭州期末)如图，在△ABC中，BC<AB,以点C为圆心，线段CB的长为半 径画弧，交线段AB于点D:以点D为圆心，线段CD的长为半径画弧，恰好经过点A. 图1 图2 (I)如图1，以点D为圆心，线段CD的长为半径画弧恰好也经过点B. ①∠ADC的度数为 ②若CB=6,求阴影部分的面积， (2)如图2，若∠A=36°，证明：△ABC一△CBD 5.(25-26九年级上·江苏常州期末)如图，过⊙O上的点Q的切线与直径BA的延长线相交于点P, △PQA与△PBQ相似吗？请说明理由. B 能力提升题 题型一：相似三角形判定综合之多结论问题 1.(2026安徽芜湖一模)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E,F分别是BC,AB上的动点，且 BE=AF,AE与CF交于点G,连接DG,则下列说法中不正确的是() 10/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E A.S四边形ADCG= DG 2 B.△AFG一△CFA C.∠EGF为定值 D.GD平分∠AGC 2.(25-26九年级上山东德州-阶段检测)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线 AC与BD相交于点O,M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD=15°，AC=8,OD=OM.以下结论 中①A、B、C、D四点共圆；②MN⊥BD;③MN=2;④AB=4V3;⑤△BAD一△COD,正确的 个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 3.(25-26九年级上甘肃兰州·期中)如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE.过点A作 AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=V5,下列结论：①△APD一△AEB;②点B到直线AE 的距离是2：@EB上ED:@SE猫AD4+6:其中正确的结论是（） A.①② B.①④ C.①③④ D.①②③ 4.(2026辽宁葫芦岛一模)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD‖BC,连接BD交AC于 点E,AF⊥BD,垂足为点G,交BC的延长线于点F,连接CG,若AD=CE=1,则下列结论：① 11/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF=1:②BG-AG=R2CG:®△ECG-△GCA,④AC=1+5 其中正确的序号是 D E ■ B C 题型二：相似三角形判定综合之最值问题 1.（26:27九年级上浙江宁波开学考试)直线：y=-号 X+4与x轴交于点4.与y轴交于点B,以AB 为直径作⊙M,点P为线段OA上一动点（与点O、A不重合），作PC⊥AB于C,连结BP并延长交 ⊙M于点D.连接OC,当点P在线段OA上运动时，则OC·PD的最大值是 B 2.(25-26九年级下·江苏扬州·阶段检测)如图，在正方形ABCD中，AB=1,以点A为圆心，AB长为 半径作圆A,M是圆A上一动点，以BM为直角边作直角三角形BMN,使∠BMN=90°(B,M,N三点 为顺时针顺序)，MN=2BM,连接NC,则NC的最小值为 B 3.(2026江苏南通·二模)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4,∠A=∠B=90°.E是AB上的任 意一点，连接ED,将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到线段EF.若EF与边BC始终有公共点，则BC长 的最小值是 12/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026河南濮阳·二模)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6,BC=4,点0是直线AB上 一点，将△ACB绕点O旋转180°得到△ACB(点A,B,C分别与点A,B,C对应)，连接BC, BC.若以点B,C,C,B为顶点的四边形的最小内角是5°时，OA的长是 5。（2026贵州毕节中考直愿）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-子x+6与y轴交于点A。与X 轴交于点B,点D是△AOB内任意一点，且OD=4,则AD+号BD的最小值为一 题型三：相似三角形判定综合之探究问题 1.(2026广东清远·三模)已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G. D E 图1 图2 图3 【问题发现】 13/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G, DE 【拓展研究】 ②)如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CP于G,AB=3,AD=5,则DE= CE 【解决问题】 DE_AD (3)如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC=180时，求证： CF CD 2.（2026山西临汾·三模)综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片ABCD,并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对 角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△CDE,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转， 当∠ACE=∠BAC时，延长DE交BA的延长线于F,如图2，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由. A(E) D B 图1 图2 图3 (1)【数学思考】请你解答老师提出的问题」 (2)【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片 中，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，如图3，当点E落在边AB上时，B,E,A,D四点共线， ∠ACB=2∠BCE.若EC=2,请求出BA的长度. 3.(2026江苏徐州一模)探究活动：类比直角三角形全等判定的经验，开展对直角三角形相似判定的探 索 探究过程： BD DE 1)如图，在△ABC中，D,E分别在边AB,BC上，且 BA AC ①若∠B=90°，求证：△DBE一△ABC; ②若90°<∠B<180°，求证：∠BDE=∠BAC: 14/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结论应用： (2)如图，在矩形ABCD中，点E的运动轨迹为直线BC上的一部分，为线段BC(不与点C重合)，作 EF⊥AC于点F.若G为边CD右侧一点，且DG=EF,∠CGD=∠AEC.请用无刻度的直尺与圆规， 画出点G的运动轨迹，并参照题干中点E运动轨迹的表述方式对点G进行描述（保留作图痕迹，不写作 法). B 4.(25-26九年级上河南新乡·阶段检测)如图1，已知矩形ABCD和矩形AEFG,AD=2AB, AG=2AE,连接DG,BE. D E A A 图1 图2 (1)发现 ①线段DG与线段BE之间的数量关系是 ②直线DG与直线BE之间的位置关系是 (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形AEFG绕点A顺时针旋转Q(0°<c<180°)，如图2，则(1)中结论还成 立吗？请给出证明. 3)应用 在(2)的情况下，AB=5,AE=3,当矩形AEFG绕点A旋转到B,E,F在同一条直线上时，线段DG, BF的长度分别是多少？（直接写出结论）， 5.(25-26九年级上·四川成都期中)如图，正方形ABCD中，点P是BC边上任意一点，过点P作 PG⊥AP,并截取PG=PA 15/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 (1)如图1，连接线段GC,求∠DCG的度数； (②)如图2，在图1的基础上，再连接线段AG,DP和EP,线段PG,AG与正方形的边DC交于点F,E, 求证：△APE一△CGE】 6)如图2，如果线段==R3-1,求∠BAP的度数. CD ABCD B 图2 四边形 是正方形， .AB=AD,∠ADE=∠ABM=90°，∠DAC=∠BAC=45°， ∴.△ABM≌△ADE SAS, .AM=AE,∠M=∠AED,∠BAM=∠DAE, .PG⊥AP, .∠APG=90°， 又PG=PA, .∠PAG=∠PGA=45°， .∠PAG=∠DAC=45°， 即∠DAE+∠GAC=∠PAC+∠GAC, .∠DAE=∠PAC, ∴.∠BAM=∠PAC, .∠BAM+∠BAP=∠PAC+∠BAP, 即∠MAP=∠BAC=45°， ∴∠MAP=∠EAP, .AM=AE,AP=AP, 16/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AMP≌△AEP(SAS, ∠M=∠AEP, ∴.∠AED=∠AEP, 又，∠AED=∠CEG. ∴∠AEP=∠CEG, 由(1)可知，∠EAP=∠ECG=45°， .△APE一△CGE: 拓展培优题 1.（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测)如图，在大小为4×4的正方形网格中，三角形的顶点都在网格 点上，下列是相似三角形的是() ① ② ③ ④ A.①和③ B.②和③ C.②和④ D.①和④ 2.(25-26九年级上·安徽毫州期中)如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且 CF=CD.下列结论中错误的是() 4 A.△ABE~△ECF B.△ABE一△AEF C.△AEF一△ECF D.△ABE~△ADF 3.(25-26九年级上·辽宁本溪阶段检测)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△就的顶 17/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点都在格点上（小正方形的顶点），P,P2,P3,P4,P是△兰乙边上的5个格点，请在这5个格点 中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，所有符合条件的三角形的个数为 () E A.4 B.2 C.1 D.3 4.(25-26九年级上·全国·课后作业)在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶 点为格点)中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置 (填序号)处时，能使“马”“车” “炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似. 马 ② ③ 猫 ④炮 5.(2025河北邯郸·三模)如图，在4×4的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上.将点 F,G,H,I分别与点D,E连接，得到△FED,△GED,△HED和△IED,这四个三角形中与△ABC相 似的是· 6.(25-26九年级上·河南开封阶段检测)如图，在△ABC和△EDC中，已知 AB=6,DE=3,BC=8,DC=4. 18/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ABC一△EDC; (2)求AC与EC的长： 3)求△ABC和△EDC这两个三角形的面积比. 7.(2025九年级上·全国专题练习)如图①，在梯形ABCD中，AB‖CD,且AB=2CD,E是AB的中 点，F是边BC上的动点，EF与BD交于点M,连接DE D E B E B 图① 图② (I)求证：△EDM一△FBM: (2)若F是BC的中点，BD=12,求BM的长： B)如图②，若其他条件不变，且AD=BC,BD平分∠ABC,P是线段BD上的动点，则是否存在点P,使 得DP·PB=BF·CD?若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由. 8.(25-26九年级上·全国·阶段检测)已知：如图，△ABC为等腰三角形. (1)求作菱形AEDF,使得∠A为菱形的一个内角，点D,E,F分别在边BC,AB,AC上；（要求：尺 规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若AB=AC=10,BC=8,求菱形AEDF的面积. 9.(2026广东梅州模拟预测)如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E. 19/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 3 (I)求证：△ACD≌△CBE: (2)已知AD=4,DE=1,求EF的长. 10.(25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测)如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫 做格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示。 B 图1 图2 )在图1中，A,B,C是格点，直接写出A BD-· (②)在图1中，A,B,C是格点，先在AC上画点G,使BG⊥AC于点G;再画点F,使B,F两点关于直 线AC对称： 3)在图2中，B,G是格点，A在格线上，画出点H,使HG‖AB 11.(25-26九年级上·浙江金华·期末)如图，△ABC内接于⊙O,AB=AC,点E是AC上的一个动点. F 0 E 0. 0 E B 图1 图2 图3 1)如图1，若⊙O的半径为2，∠BAC=45°，求BC的长. (②)如图2，连接AE,CE.若BE=AE+CE,求∠BAC的度数 20/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AF 6)如图3，过点E作EF上AB.若AE=BC,CE=m,对于CE的任意长度，都有2EF2-5mCE2+ m 的值是一个定值，求m的值. 21/21