专题06 轴对称及其性质 同步培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题06轴对称及其性质同步培优讲义 ✺知识框架 1.概念认知：辨析轴对称图形、两个图形成轴对称两组核心定义，明确 “一个图形自身对称” 与 “两个图形位置对称” 的区别与联系，建立轴对称的几何认知。 2.性质探究：基于轴对称折叠重合的本质，提炼轴对称不变性、对应关系、对称轴与对称点连线的位置数量关系，为几何推理、边角计算提供理论依据。 3.作图应用：依托轴对称性质，掌握标准轴对称作图方法，实现理论知识落地为几何实操，是考试高频基础考点。 ✅本节按 “概念 — 性质 — 作图” 展开。轴对称是保形保大小的全等变换，仅改变图形位置，可用于边角转化。 ✺学习目标 1.能辨析轴对称图形与两个图形成轴对称，分清二者区别和联系，识别轴对称图形并找出对称轴。 2.会运用轴对称的性质，推导相等线段与相等角，完成几何计算与证明。 3.能依据轴对称的原理，作出简单图形关于已知直线的对称图形，规范保留作图痕迹。 ✺题型归纳 题型1.轴对称图形的识别 题型2.成轴对称的两个图形的识别 题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断 题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解 题型5.台球桌面上的轴对称问题 题型6.轴对称中的光线反射问题 题型7.折叠问题 题型8.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、 轴对称相关概念 1.轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线对称。 💡注意（1）轴对称图形是一个具有对称关系的图形；（2）对称轴是一条直线，不是射线、线段； ☘轴对称图形的三个条件：（1）一个图形；（2）至少存在一条对称轴（直线）；（3）对称轴两旁的部分能够互相重合（重合就是全等）； 2.常见的轴对称图形和它们的对称轴 3.两个图形成轴对称的定义： 把两个平面图形沿一条直线折叠，如果这两个图形能够完全重合，则称这两个图形关于该直线对称。 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. ✅关键区别： ◆ 轴对称图形：一个图形自身对称 ◆ 成轴对称：两个图形相互对称 ☘两个图形成轴对称的三个条件：（1）两个图形；（2）存在一条直线（对称轴）；（3）折叠重合 4.轴对称图形和轴对称的区别与联系： 知识点二、 轴对称的性质 1.关于某直线对称的两个图形是全等形，对应线段相等，对应角相等。 2.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 4.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 5.轴对称变换只改变图形位置，不改变图形形状、大小。 知识点三 轴对称作图 作图原理：对称轴垂直平分对应点所连线段。 通用步骤：找到图形关键点 → 作出关键点的对称点 → 顺次连接对称点。 考试要求：必须保留作图痕迹，禁止无痕迹作图。 【易错提醒】 1.对称轴是直线，不是线段、射线，部分图形存在多条对称轴。 2.对称轴垂直平分任意一组对应点的连线，需要同时满足垂直、平分两个条件，不能只写平分。 3.作轴对称图形，应先作出图形关键点的对称点，不能直接描摹原图。 4.轴对称图形与成轴对称概念易混淆，做题需看清题干描述对象。 ✺题型精讲 题型1.轴对称图形的识别 1．下列图形中不是轴对称图形的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A，B，C是轴对称图形，D不是轴对称图形． 2．观察下列图形，其中是轴对称图形的是__________（填序号） 【答案】①②③④⑥ 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，牢记轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合的图形即为所求． 【详解】解：①②③④⑥沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，都是轴对称图形． 故答案为：①②③④⑥． 3．分别观察图（1）～（4）中的两个图形，判断它们是否分别关于某条直线成轴对称，并说明原因． 【答案】 图（1）（4）分别关于某条直线成轴对称；图（2）（3）不成轴对称， 原因如下： 图（1）（4）分别关于某条直线成轴对称，因为沿某一直线对折，每一组的两个图形都可以完全重合（这里的“完全重合”是指必须沿某直线折叠后完全重合，这就要求两个图形必须形状相同、大小相等，同时还对两个图形的位置作了限定）； 图（2）（3）不成轴对称，因为不能找到它们的对称轴． 【分析】本题考查轴对称图形的判定，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】略 题型2.成轴对称的两个图形的识别 1．如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形，根据此定义判断即可． 【详解】解：图②、③成轴对称． 故选B． 2．如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 【答案】轴对称变换 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等变换，解题关键是能够识别全等三角形理解全等变换的概念； 由全等三角形的性质及全等变换的意义直接解答即可． 【详解】解：∵， 有图可知：，， ， ∴这两个全等三角形属于全等变换中轴对称变换， 故答案为：轴对称变换． 3．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 【答案】 第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形， 对称轴如下： ． 【分析】根据轴对称图形的定义确定是轴对称图形，然后画出对称轴即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，主要利用了轴对称图形的性质，熟记对称轴两边的部分能够完全重合是解题的关键． 题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断 1．下列说法中正确的是（   ） A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形 C．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质和对称轴的定义，根据轴对称的性质及对称轴的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、如果两个三角形全等，它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，该选项说法错误，不符合题意； 、等腰三角形是以底边上的中线所在的直线为对称轴的轴对称图形，该选项说法错误，不符合题意； 、如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，选项说法正确，符合题意； 、一条线段是以经过该线段中点并且垂直于这条线段的直线为对称轴的轴对称图形，该选项说法错误，不符合题意； 故选：． 2．如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是_____．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质得出，，根据对应角相等，对应边相等逐项判断即可求解． 【详解】解：直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上， ，， ，故②正确， ，故③正确， ，故④正确， ，但不一定相等，故①错误， 故答案为：①． 3．在下列图形中，找出轴对称图形，并找出它的两组对应点． 【答案】轴对称图形是（1）（2）（3）（5）；（1）中两组对应点为与；（2）中两组对应点为与；（3）中两组对应点为与；（5）中两组对应点为与. 【详解】解：轴对称图形是（1）（2）（3）（5）； 如图， （1）中两组对应点为与； （2）中两组对应点为与； （3）中两组对应点为与； （5）中两组对应点为与. 题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，与关于直线对称，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质及三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，且， ∴． 2．如图，四边形是轴对称图形，对称轴是直线，延长至点，若，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据轴对称的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是轴对称图形，对称轴是直线， ∴， 故答案为：． 3．综合实践： (1)如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？ ①猜想：在中，如果，则___________（填写“”“”或“”）； ②验证：可以通过作___________图形，构造___________，将不等关系转化为___________关系，运用角的性质来进行证明．（填写正确答案的选项即可） A．全等三角形； B．对称； C．等腰三角形； D．相等； E．从特殊到一般． (2)如图2，在中，，平分交于点，连接．判断与的大小关系，并证明； (3)如图3，在中，，的角平分线交于点，若，请求出的值，并写出解答过程． 【答案】(1)①；②B，C，D (2)解：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，则， ∵平分， 在和中， ， ； (3)解：如图，在上截取，连接，作于点于点， ∵的角平分线交于点， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∵，于点于点， ， ， ∴的值为． 【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）① 根据题意，进行猜测结果； ② 根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理进行验证即可； （2）延长到点，使，连接，则，根据三角形的三边关系得出，证明，得出对应边相等，然后等量代换即可； （3）在上截取，连接，根据三角形的内角和定理及角平分线的性质得出，证明，得出对应边和对应角相等，根据三角形边和面积的关系得出，作于点于点，根据角平分线的性质定理得出，然后根据三角形面积和边的关系即可求解． 【详解】（1）解：① 如图，作的角平分线交于点，作与关于所在直线对称，点的对应点是， ∵平分，， ∴与关于所在直线对称， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 故有如果，则； ②由①的求解思路可知可以通过作对称图形，构造等腰三角形，将不等关系转化为相等关系，运用角的性质来进行证明． 故答案为：B，C，D； （2）略 （3）略 题型5.台球桌面上的轴对称问题 1．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 2．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 3．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1) 点，点即为所求：   ， (2) 点即为所求，路径即为所求：   ． 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2） 略 题型6.轴对称中的光线反射问题 1．在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 2．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 题型7.折叠问题 1．如图，已知四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点G处，交于点H．若比的4倍多，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得，利用平角的定义可得，进而得出，解得，，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 2．如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 【答案】 【分析】过点作于点，作于点，由翻折的性质得出相等的角和边，根据三角形的三边关系得出，当、、三点共线时取等号，此时最小，根据角平分线的性质得出，然后利用等面积法进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点， 由翻折的性质得，， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，此时最小， 此时，根据角平分线的性质定理可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线对折后，点C落到点E处，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若的周长为12，的周长为4，求的长． 【答案】(1)证明：由对折可知，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴； (2)4 【分析】（1）由对折可知，，可求得，再求出，由，判定； （2）由对折可知，，根据全等三角形性质，将转化为，根据已知的周长为12，的周长为4，构造方程求即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵的周长为12，的周长为4， ∴，． ∵， ∴，． ∴ ， 即． 解得． ✺课堂小练 一、单选题 1．数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中是轴对称图形的是（    ） A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④ 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 【详解】解：根据轴对称图形的定义得，① “悬链线”、③ “三叶玫瑰线”、④ “笛卡尔心形线”是轴对称图形， 故其中是轴对称图形的是①③④． 2．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：与关于直线对称， ，，故A、C、D选项正确，不符合题意， 不一定成立，故B选项错误，符合题意． 3．如图，动点P从出发，沿所示的方向运动，到时记为第一次反弹，以后每当碰到矩形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角．那么点P第2019次反弹时碰到矩形边上的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点的坐标找出变化规律是解题的关键．设点P第n次反弹时碰到矩形边上的点为Pn（n为自然数），根据反弹补充图形，根据坐标的变化找出变化规律“次反弹一个循环”，依此规律即可得出结论． 【详解】解：设点P第n次反弹时碰到矩形边上的点为（n为自然数），如图， 观察，发现规律：， ∴次反弹一个循环， ∵， ∴和相同， 故选：D． 二、填空题 4．窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    【答案】②③④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称．    故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 5．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 三、解答题 6．如图①，在中，，点是内的一点，分别作关于，的对称点，，连接，，． (1) ； (2)求的度数； (3)如图②，再作关于的对称点，分别连接，，，，求与的度数之和． 【答案】(1)128 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）由轴对称的性质可得，，再由角的和差关系可得，据此可得答案； （3）由轴对称的性质可得，，，可证明，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由轴对称的性质可得，， ；． （3）解：由轴对称的性质可得，， ， ∴ ， 同理可得， ． 7．综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． (1)如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置， ①若，，求的度数； ②若平分，证明：； (2)如图②，若点落在四边形的边下方时，若的度数与图①中的度数相同，均为，则相对于图①，的度数增大了____________（用含的式子表达）． 【答案】(1) ① ②平分 又根据折叠有，， (2) 【分析】（1）①根据折叠有：，，再利用三角形内角和为以及平角为，计算即可求解；②根据角的平分线可得，再根据①中所涉及的知识和方法即可证明； （2）针对图①，结合折叠的性质、三角形内角和为以及平角为，利用和x表示出，再针对图②，利用同样的方法表示出，二者相减，即可求解． 【详解】（1）解：①根据折叠有：，， ，，，， ，， ； ②详解见答案； （2）针对图①，根据折叠有：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 针对图②，根据折叠有：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 则相对于图①，的度数增大的度数为：． 8．综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1），理由如下：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06轴对称及其性质同步培优讲义 ✺知识框架 1.概念认知：辨析轴对称图形、两个图形成轴对称两组核心定义，明确 “一个图形自身对称” 与 “两个图形位置对称” 的区别与联系，建立轴对称的几何认知。 2.性质探究：基于轴对称折叠重合的本质，提炼轴对称不变性、对应关系、对称轴与对称点连线的位置数量关系，为几何推理、边角计算提供理论依据。 3.作图应用：依托轴对称性质，掌握标准轴对称作图方法，实现理论知识落地为几何实操，是考试高频基础考点。 ✅本节按 “概念 — 性质 — 作图” 展开。轴对称是保形保大小的全等变换，仅改变图形位置，可用于边角转化。 ✺学习目标 1.能辨析轴对称图形与两个图形成轴对称，分清二者区别和联系，识别轴对称图形并找出对称轴。 2.会运用轴对称的性质，推导相等线段与相等角，完成几何计算与证明。 3.能依据轴对称的原理，作出简单图形关于已知直线的对称图形，规范保留作图痕迹。 ✺题型归纳 题型1.轴对称图形的识别 题型2.成轴对称的两个图形的识别 题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断 题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解 题型5.台球桌面上的轴对称问题 题型6.轴对称中的光线反射问题 题型7.折叠问题 题型8.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、 轴对称相关概念 1.轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线对称。 💡注意（1）轴对称图形是一个具有对称关系的图形；（2）对称轴是一条直线，不是射线、线段； ☘轴对称图形的三个条件：（1）一个图形；（2）至少存在一条对称轴（直线）；（3）对称轴两旁的部分能够互相重合（重合就是全等）； 2.常见的轴对称图形和它们的对称轴 3.两个图形成轴对称的定义： 把两个平面图形沿一条直线折叠，如果这两个图形能够完全重合，则称这两个图形关于该直线对称。 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. ✅关键区别： ◆ 轴对称图形：一个图形自身对称 ◆ 成轴对称：两个图形相互对称 ☘两个图形成轴对称的三个条件：（1）两个图形；（2）存在一条直线（对称轴）；（3）折叠重合 4.轴对称图形和轴对称的区别与联系： 知识点二、 轴对称的性质 1.关于某直线对称的两个图形是全等形，对应线段相等，对应角相等。 2.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 4.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 5.轴对称变换只改变图形位置，不改变图形形状、大小。 知识点三 轴对称作图 作图原理：对称轴垂直平分对应点所连线段。 通用步骤：找到图形关键点 → 作出关键点的对称点 → 顺次连接对称点。 考试要求：必须保留作图痕迹，禁止无痕迹作图。 【易错提醒】 1.对称轴是直线，不是线段、射线，部分图形存在多条对称轴。 2.对称轴垂直平分任意一组对应点的连线，需要同时满足垂直、平分两个条件，不能只写平分。 3.作轴对称图形，应先作出图形关键点的对称点，不能直接描摹原图。 4.轴对称图形与成轴对称概念易混淆，做题需看清题干描述对象。 ✺题型精讲 题型1.轴对称图形的识别 1．下列图形中不是轴对称图形的是（     ） A．B． C． D． 2．观察下列图形，其中是轴对称图形的是__________（填序号） 3．分别观察图（1）～（4）中的两个图形，判断它们是否分别关于某条直线成轴对称，并说明原因． 题型2.成轴对称的两个图形的识别 1．如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 3．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断 1．下列说法中正确的是（   ） A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形 C．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形 2．如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是_____．（填序号） 3．在下列图形中，找出轴对称图形，并找出它的两组对应点． 题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，与关于直线对称，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，四边形是轴对称图形，对称轴是直线，延长至点，若，，则的度数为____________． 3．综合实践： (1)如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？ ①猜想：在中，如果，则___________（填写“”“”或“”）； ②验证：可以通过作___________图形，构造___________，将不等关系转化为___________关系，运用角的性质来进行证明．（填写正确答案的选项即可） A．全等三角形； B．对称； C．等腰三角形； D．相等； E．从特殊到一般． (2)如图2，在中，，平分交于点，连接．判断与的大小关系，并证明； (3)如图3，在中，，的角平分线交于点，若，请求出的值，并写出解答过程． 题型5.台球桌面上的轴对称问题 1．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 3．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 题型6.轴对称中的光线反射问题 1．在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 3．小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 题型7.折叠问题 1．如图，已知四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点G处，交于点H．若比的4倍多，则的大小是（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 3．如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线对折后，点C落到点E处，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若的周长为12，的周长为4，求的长． ✺课堂小练 一、单选题 1．数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中是轴对称图形的是（    ） A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④ 2．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，动点P从出发，沿所示的方向运动，到时记为第一次反弹，以后每当碰到矩形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角．那么点P第2019次反弹时碰到矩形边上的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    5．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 三、解答题 6．如图①，在中，，点是内的一点，分别作关于，的对称点，，连接，，． (1) ； (2)求的度数； (3)如图②，再作关于的对称点，分别连接，，，，求与的度数之和． 7．综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． (1)如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置， ①若，，求的度数； ②若平分，证明：； (2)如图②，若点落在四边形的边下方时，若的度数与图①中的度数相同，均为，则相对于图①，的度数增大了____________（用含的式子表达）． 8．综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $