第二十八章《 旋转》单元自测卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十八章《旋转》单元自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A B 米 2.已知点P(a,-5)与点Q(4,b)关于原点对称，则a+b的值为（ A.-1 B.1 C.-9 D.9 3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC',使点C 的对应点C恰好落在边AB上，，则∠AAB的度数是() B A.50° B.70° C.80° D.60° 4.围棋起源于中国，古代称为“弈”·如图所示，是两位同学的部分对弈图.现轮到白方落 子，要使得落子后所得的对奔图是中心对称图形，白方落子应在网格的() A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 5.如图，等边三角形ABC绕点C顺时针旋转α度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对 称，则旋转角度α可以是（) A.60 B.90° C.120° D.150° 6.如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，连接AD,BE,CF.下列结论中正确的有 ①点A与点D是对应点；②△ACO≌△DFO;③线段AB与DE关于点O成中心对称 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.如图，已知M8C三个顶点的坐标分别为104，B(-,C(-2）,将△MBC向右平移3个 单位，得到△AB'C,点A,B,C的对应点分别为，B,C',再将△AB'C绕点B顺时针旋 转90°，得△4"B"C”,点A,B',C的对应点分别为A”、B”、C”则点A”的坐标为() -1-- A.(3-2) B.(50) C.(6.0) D.(6) 8.风力发电是常见的绿色环保发电形式，在广袤的田野间随处可见这种风力发电机，它能够 使大自然的资源得到更好的利用.如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片， 若以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系如图2所示，已知开始时 其中一个叶片的外端点A的坐标为低)，在一段时间内，叶片每秒绕原点0顺时针转动0°， 则第2026s时，点A的对应点42026的坐标为（ ) 0 图1 图2 A.55) B.（55) c.（5-5) D.(点-5) 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是矩形OABC边BC上的点.若反比例函数 y=火k≠0，x>0)的图象经过顶点B3,2),其上另一点D与点A关于点M成中心对称，则点D 的坐标为（) A. B.(3,2) e.( D.(2,3) 10.如图，O是正△ABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5,将线段B0以点B为旋转中心逆时针 旋转60°得到线段BO,下列结论：①△BOA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点0 6?5.其中正确 与0的距离为4：③∠A0B=150°；④Sat00=6+3W5;⑤SAoc+S,0B=6+4 的结论是（ B A.①②③⑤ B.①②③④ C.②③④⑤ D.①②④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形AB,CD关于原点O成中心对称，则点 C(3,-2）的对称点C的坐标是一 6 12.如图，反比例函数y=一x与正比例函数y=m(m为常数，m≠0)的图象交于点A、点 B,AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,若CD=4，,则点A的坐标为 OD B 13.如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形ABCD',E、F分别是BD、B'D'的中 点，若AB=lcm,BC=7cm,则EF的长为cm. B 14.如图，边长为8的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x轴，BC∥y轴，反比例 函数y=与y=8 8 的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和为 B 15.如图，将抛物线”=2(x+少+2绕原点0顺时针旋转45°得到新曲线，新由线与直线y=交 于点M,则点M的坐标为 16.如图，等边△ABC中.BC=25,点D为BC边中点，点P为AC边上一点，且AP=1,将 AP 绕点A在平面内旋转，连接DP,CP,者△P0C CP 为直角三角形，则的值为 D 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题， 每题12分；共9小题，共72分) 17.如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC,点B的对应点D恰好落在AC 上，连接AE.已知BC=9,CE=15,∠BCE=80°. D (1)求AD的长； (2)求∠CAE的度数. 18.如图，在四边形ABCD中，DH∥AG,点E是CD上一点，点D与点C关于点E成中心对 称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F D 万 (1)E是线段CD的 点A与点F关于点 成中心对称； (2)若AB=AD+BC,求证：△ABF是等腰三角形. 19.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点B顺时针旋转a(0°<a<180)得 到△ABC',其中点A,C的对应点分别为点，C',连接AA. B 图① 图② (1)如图①，当点A'落在AC的延长线上时，求“. (2)如图②，连接CC',交AA'于点D.当a=120°时，证明四边形ABCD是平行四边形. 20.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，点E、F分别在AB、AC上， aMBD经过旋转到了 CDF 的位置. B D (1)△BED和△AFD之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ (2)AD与EF相交于点G,试判断∠AED与∠AGF的大小关系，并说明理由. 21.如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA,PB,PC,将△ABP绕点B顺时针旋转到 △CBP' 连接PP,若A、PP在一条直线上. D (1)旋转中心是点 ， 旋转角的度数是 (2)∠BP'C的度数是 (3)若PA=1,PB=2,求PC的长. 22.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， △ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为 1,1) (1)试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△4BC; (2)以原点0为对称中心，画出△ABC关于原点0对称的△4，B,C,并写出点B,的坐标 一； 1 (3)请在x轴上找一点D得到。ACBD,则点D的坐标为 一，若直线y=2x+b平分 ACBD b= 的面积，则 23.在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边△ABC内部， 且PA=3,PC=4,∠APC=150°，求PB的长. B 图① 图② 图③ (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将 △APC 绕点按顺时针方向旋转0，得到△P,连接PP,可得∠PP8,推出P以， PB,PC三边之间的数量关系是，即可求得PB (2)【理解应用】如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC内一点，∠APC=135°， 可判断出AP2+2PC2=PB2,请说明理由； (3)如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接 AO,BO,C0∠AOC=∠COB=∠BOA=120°OA+OB+OC ，且 ,求 的值. 24.【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放 置，如图1，正方形ABCD的对角线相交于点0O,点O又是正方形4BCO的一个顶点，且这两 个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形ABCO可绕点O旋 转 A A D B 图1 图2 图3 备用图 (1)【问题发现】 ①线段AE,BF之间的数量关系是 ②在①的基础上，连接EF,则线段AE,CF，EF之间的数量关系是 (2)【类比迁移】 如图2，矩形ABCD的中心O是矩形AB,CO的一个顶点，AO与边AB相交于点E,CO与边BC 相交于点F,连接EF,延长CO交AD于点P,连接EP,AC,矩形AB,CO可绕点O旋转.判 断线段AE,CF,EF之间的数量关系并证明. (3)【拓展应用】 如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,CB=4,直角∠EDF的顶点D在边AC的中点处，它 的两条边DE和DF分别与直线AB,BC相交于点E,F,∠EDF可绕点D旋转.当AE=2时，请 求出线段CF的长， 25.(1)特殊情况，探索结论： 在平面直角坐标系中，已知 4(2,3),点4关于坐标原点0的中心对称点的坐标是 B(3,4 在平面直角坐标系中已知点 4,点B关于坐标点10)的中心对称点的坐标是」 C(3,4 在平面直角坐标系中，已知点 4,点C关于坐标点mm的中心对称点的坐标是 (2)特例启发，引发思考： 点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢？ 定义：对于抛物 G:y=m2+bx+ca0),以点M M(m,n) 为中心，作该抛物线关于点M中心对 称的抛物线C,则称抛物线C,为抛物线C关于点M的“中心镜像抛物线”，点M为“镜像中 心”.例如：如图1，抛物线Gy=(-4+3关于点M0,): 的“中心镜像抛物线”为 Gy=-(+4-1,点M(0为“镜像中心”. ①如图2，当m=n=0时，直接写出抛物线y=x+2x+3关于点M的“中心镜像抛物线”的函 数表达式： ②已知抛物线C:y=-x-4x+5,将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰 好落在抛物线C关于点M的“中心镜像抛物线”C,:y=x+br+8的图象上，求“镜像中心” 点M的坐标； C1:y(x-4)2+3 个yx2+2+3 M O(M) C2y-(+4)2-1 图1 图2 备用图 (3)拓展结论，思维提升： 已知抛物线9y=r-2+5关于点M2)的“中心镜像豹物线”为，当0≤x≤1时，C最大 值与最小值的差为3，直接写出t的值. 参考答案 一、选择题 1.D 解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 2.D 解：：点Pa-)与点2-40)关于原点对称， :=-(4)=4b=-(←5)=5 ∴.a+b=4+5=9 3.B 解：由旋转可得，∠A'BC'=∠ABC=40°，AB=AB, ,△AA'B是等腰三角形， ∠AAB=∠AA'B=180°-∠ABA_180°-40 =70° 2 2 4.C 解：图中4个黑子构成一个正方形，且关于网格中心对称， 该对弈图的对称中心为网格的中心点， 左上方的白子与右下方的白子关于网格中心对称， “要使整个图形成为中心对称图形，只需使右上方的白子与落子点关于网格中心对称， “观察图形可知，白方落子应在C点· 5.A .△ABC是等边三角形， ∴.AC=BC=AB,∠ACB=∠BAC=60°， 当α=60°时，点B绕点C顺时针旋转60°， .∠ACB=60°且CB=CA, 点B的对应点B'与点A重合点A的对应点为A, .CA=CA',∠ACA=a=60°， .∠BAC=∠ACA'=60°， .AB∥CA', .AB=AC=CA', ∴.四边形ABAC是平行四边形， ∴.△ABC与△ABC(即△A'AC)关于对角线AC的中点成中心对称， 故a=60°符合题意. 当=90°时，点B绕点C顺时针旋转90°，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心 对称； 当=120°时，点B绕点C顺时针旋转120°，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心 对称； 当=150°时，点B绕点C顺时针旋转150°，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心 对称； B 6.D 解：①△ABC与△DEF成中心对称，点O是对称中心，观察图形可知： 点A与点D是对应点，原说法正确，故符合题意； ②由中心对称的性质可得：AO=DO，,∠AOC=∠DOF,CO=FO, ∴.△ACO2△DFO,原说法正确，故符合题意； ③.△ABC与△DEF成中心对称，点O是对称中心， 线段AB与DE关于点O成中心对称，原说法正确，故符合题意. 故选：D. 7.B A"(5,0) 解：如图， (B) B A 故选：B. 8.C 解：如图， .A(5,5) ∴A在第一象限的角平分线上， :叶片每秒绕原点0顺时针转动90°， :45,-5).4(5-5)4(55)45,5) .点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环， .2026÷4=506…2, “第202时，点A的对应点“的坐标与4相同，为5，-5) 9.C 解：反比例函数y=x的图象经过点B(6,2), 6 “k=3×2=6,即y= X) “四边形O1C是矩形， B(3,2) ∴.A(3,0) BC ,且平行于“轴， 故BC上点的纵坐标均为2， M BC 点在边上， 点M的纵坐标为2， “点D与点关于点M成中心对称， 点M是线段D的中点， y+0 =2 设Dx,),则2 解得y=4, 6 点D在反比例函数y=图象上， 4=6 x, 解行 后0的标务层 10.A 解：如图所示：连接OO',过点O作OD⊥BO,垂足为D, B △ABC是正三角形， .∠ABC=60°，AB=BC, :线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO, .∠OBO'=60°，BO=BO', ∴.∠2+∠3=∠1+∠2=60°， .∠1=∠3， 又，AB=BC,BO=BO', △BO'A≌△BOC(SAS) ∴.△BOA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确，符合题意； 连接00'， .BO=BO',∠OBO=60°， ∴.△OBO是等边三角形， ∴.O0=OB=4,故结论②正确，符合题意； .△BOA≌△BOC, ∴.0A=0C=5, 在△400中，A02=25,A02+00=9+16=25, .A02=A02+002, ∴.△A00是直角三角形，∠AO0'=90°， .△OBO是等边三角形， ∴∠B00'=60°， .∠AOB=∠AO0'+∠B00=90°+60°=150°，故结论③正确，符合题意； 四边形AOB0的面积为：S4o0+So0, 过点O作OD⊥BO', .△OBO是等边三角形， BD0=2, .0D=VB02-BD2=V16-4=2V5 5m-00D-x4x25=455m-号400-x3x4=6, 21 2 ∴四边形4060的面积为40+S.0o=6+4W5 故结论④不正确，不符合题意； 如图所示：将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点0旋转至O”,连接OO”, CO" ∴.A0°=A0=3,∠0A0”=60°，C0”=B0=4, .△A00”是等边三角形， ∴.00”=A0=3, :C02=25,002+C02=9+16=25, .0C2=C02+002, 根据勾股定理逆定理可知4COO”是直角三角形，且∠CO”0=90°， 司结论④证明过程可求得：八。00二*3、灯 w000r-43-6 4, :5c+5as=5c+S0c=Sw+S.cow=6+94 4,故结论⑤正确，符合题意； 综上所述：结论①②③⑤正确 二、填空题 11.（32) 解：：四边形ABCD与四边形4BCD关于原点O成中心对称， “点C与点C关于原点O成中心对称。 关于原点成中心对称的点的横、纵坐标分别互为相反数. “点C的坐标为 3,-2) -3,2) ·点C的坐标为 12.(2,3) 解：反比例函数少=与正比例函数)=m加为常数，m0）的图家交于点从点公 点A、B关于原点中心对称， 即=k :AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D, .OC=OD, ∴.CD=OC+OD=2OC. CD=4, ∴.0C=2, 点A在第二象限， A的横坐标为-2. 将=2代入反比例臣藏=兰、得=号3 因此点4的坐标为2,3) 13.5 解：连接CE,CF, B D .四边形ABCD是矩形， ..∠BCD=90°，AB=CD=lcm, BC=7cm, BD=BC+CD=5(cm) 点E是BD的中点， CE-Dcm 由旋转得：CE=CF,∠ECF=90°， EF=CE+CF2=5em 14.32 解：：正方形的对称中心是坐标原点O,AB∥x轴，BC∥y轴， ∴.正方形ABCD的面积=8×8=64， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转90°，正好 和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴.阴影的面积是图中正方形ABCD面积的一半， 阴影部分的面积2×64=32」 15. (2V2,2W2) 解：直线y=x绕原点O逆时针旋转45°得到直线x=0, 设抛物线”=2(x+1旷+2与》轴的交点为M, .x=0,y=4 时， .M'(0,4) M(m,m) 设点 由题意得，OM=OM'=4 .m2+m2=42 .m=2W2 (负值舍去)， ·点M的坐标为25,22列 16.7或9 解：如图，连接AD, :△ABC是等边三角形，点D为BC边中点，BC=2W5, ·AD⊥BC,BD=CD=)BC=V5 2 AB=BC=23, ∴.AD=VAB2-BD2=3, .△PDC为直角三角形， 当点P在线段AD上时，如图， B D .PD=AD-AP=3-1=2, PC=PD+CD=2+(3)= 当点P在DA延长线上时，如图， D B ∴PD=AD+AP=3+1=4, .PC=VPD2+CD2=4+(N5=9; 综上所述，CP的值为7或9 三、解答题 17.(1)解：由旋转的性质得：BC=DC=9,CE=CA=15, ∴.AD=CA-DC=15-9=6. (2)解：由旋转的性质得：∠ACB=∠ACE,CA=CE, .∠BCE=80°， ∴.∠ACB=∠ACE=40°， 片∠CAE=∠CBA-180-,4CE=70. 2 18.(1)解：点D与点C关于点E中心对称， ∴.E是线段CD的中点， .'DE=EC, ADII BC. ∴.LD=LDCF, 在△ADE与△FCE中， ∠D=∠ECF DE=CE ∠AED=∠FEC' :△1 DEFCE(AS4) ∴.AE=FE, .点A与点F关于点E成中心对称， 故答案为：中点，F (2) 证明：，'△ADE≌aFCE, .'CF=AD, .AB=AD+BC,BF=BC+CF=BC+AD, ∴AB=BF, ∴△ABF是等腰三角形. 19.(1)解：点A落在AC的延长线上， ∴.∠A'CB=180°-∠ACB=90°=∠ACB, 由旋转的性质可得AB=AB, 又BC=BC, Rt△ABC≌Rt△A'BC(HL) ∴.∠A'BC=∠ABC=30°， ∴.∠ABA=∠ABC+∠ABC=60°，即a=60°； (2)证明：由旋转的性质可得∠ABA'=∠CBC'=120°，AB=A'B,BC=BC', ∠A'BC'=∠ABC=30° :∠BCC=∠BCC=180P,120-30.∠BAH=∠BMA-180-120-30 2 2 ∴.∠ABC'=∠ABA'+∠ABC'=150°， ∴.∠BAA'+∠ABC'=180°，∠BCC+∠ABC'=180° .AD∥BC,AB∥DC', 四边形ABCD是平行四边形 20.(1)解：可看成△BED绕点D顺时针旋转90°得到△AFD. 理由如下：·△AED经过旋转到了△CDF的位置， ∴.DF=DE,∠CDF=∠ADE,AD=CD, ,AD为斜边上的高， ∴.∠ADB=90,CD=BD, .AD=BD .∠CDF+∠FDA=90°=∠ADE+∠BDE,∠CDF=∠ADE, .∴.∠FDA=∠BDE, ∴.∠FDE=∠ADB=90° ,DF=DE,∠FDA=∠BDE,AD=BD, △AFD≌△BED(SAS) .'∠FDE=90°，△AFD≌ABED. ∴.△BED绕点D顺时针旋转90°得到△AFD. (2)解：∠AED=∠AGF,理由如下： .∠FDE=90°，DF=DE, ∴△DFE是等腰直角三角形， ∴.∠DEG=45° ,AD是斜边BC上的高， .∠CAD=∠DAB=45°， ∴.∠DEG=∠GAE, .∠AGF是△AGE的外角， ∴.∠AGF=∠GAE+∠GEA. .'∠AGF=∠GAE+∠GEA,∠DEG=∠GAE,∠DEG+∠AEG=∠AED, .∴.∠AED=∠AGF, 21.(1)解：，将△ABP绕点B顺时针旋转到aCBP', ∴.旋转中心是点B,旋转角为∠ABC, ,四边形ABCD为正方形， .∠ABC=90°， 即旋转角的度数是90°； (2)解：，'将△ABP绕点B顺时针旋转到aCBP', ∴.BP'=BP,∠PBP'=∠ABC=90°，∠BP'C=∠APB, ∠BPp=∠BPp=xI80-0)=45S, ∴.∠BP'C=∠APB=180°-∠BPP'=135°： (3)解：根据解析(2)可得：∠BP'C=135°，BP=BP=2,∠PBP=90°，∠BP'P=45°， 在R1△BPP 中，根据勾股定理得： PP'=VBP2+BP2=V22+22=2V2 ∠PP'C=∠BP'C-∠PP'B=135°-45°=90° 在Rt△PPC中，根据勾股定理得： PC=PP2+PC=(2)+1=3, ..PC 的长为3. 22.(1)如图，△4BC即为所求； A 0 (2)如图， △4B,C即为所求；点品的坐标为5-2) (3)解：点A先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点D, ∴.AD可由CB平移得到，即AD∥CB,AD=CB, ∴.四边形ACBD是平行四边形， .A,）B(5,2) 平行四边形是中心对称图形， 平行四边形4CBD的中心坐标为) 1 当直线”=~2+b经过平行四边形的中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等， (,3 y=- -x+b 将2代入直线3 31 ·22 3+b,解得：b=3. 23.(1)解：.将△4PC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△APB,连接PP', ∴.AP=AP,∠PAP=60°，P'B=PC=4,∠AP'B=∠APC=150°， ∴.△APP是等边三角形， ∴.PP'=PA=3,∠AP'P=60°， .∠APC=150°， ∴.∠PP'B=∠AP'B-∠AP'P=90°， 在Rt△BPP中，由勾股定理得PB2=PP2+P'B2, 即PB2=PA+PC2, PB=PAP+PC=5 (2)解：理由如下：如图，将△APC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△CPB,连接PP, 图② 则AP=BP,∠PCP'=90°，P'C=PC,∠CP'B=∠APC=135°， ∴.aCPP是等腰直角三角形， .Pp2=PC2+P'C2=2PC2，∠CP'P=45°， .∠APC=135°， ∴.∠PP'B=∠CP'B-∠CP'P=90° 在Rt△BPP'中，由勾股定理得P'B2+PP2=PB2, 即AP2+2PC2=PB2; (3)解：.∠C=90,AC=1,∠ABC=30°， ∴.∠BAC=60,AB=2AC=2, 由勾股定理得BC=VAB2-AC=5 分别将△AOC△AOB绕点A逆时针旋转60°，得到△ADF△ADE,如图， 则OA=AD,AB=AE=2,∠OAD=∠BAE=60°，OB=DE,∠ADE=∠AOB=120°， ∴△AOD,△ABE均是等边三角形， .∠AOD=60°，OA=OD,∠ABE=∠AD0=60°，BE=AB=2, ∴.∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°， .∠AOC=∠COB=∠B0A=120°， .∠AOC+∠AOD=180°，∠ADE+∠ADO=180°， .C、O、DE四点共线， ..OA+OB+OC=OD+DE+OC=CE 在Rt△CBE中，由勾股定理得CE=VBC2+BE=N+2=V万， ..0A+0B+0C=CE=7 E D B 图③ 24.(1)①解：线段AE,BF之间的数量关系是AE=BF,理由如下： :正方形ABCD,正方形ABCO, .OA=OB=OC=OD,∠EOF=∠AOB=90° A B ∠OAE=∠OBF=45 ∴.∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF, [∠AOE=∠BOF AO=BO ∠OAE=∠OBF' △OBF≌AOAE(ASA) ∴.AE=BF. ②解：线段AE,CF,EF之间的数量关系是AE2+CF2=EF2,理由如下： :正方形ABCD,正方形ABCO, .AB=BC=CD=DA,OA=OB=OC=OD,∠EOF=∠AOB=90° ∠OAE=∠OBF=45° ∴.∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF, [∠AOE=∠BOF AO=BO ∠OAE=∠OBF' △OBF≌AOAE(ASA) ∴AE=BF; ∴.AB-AE=BC-BF; ∴.BE=CF; ,正方形ABCD, .∠ABC=90°， .BF2+BE2=EF2, .CF2+AE2=EF2 (2)证明：线段AE,CF,EF之间的数量关系是AE2+CF2=EF2,理由如下： ,矩形ABCD,矩形ABCO, .OA=OC,AD‖BC,∠EOF=∠EAD=90° .∠AP0=∠CFO,∠PA0=∠FC0,∠EOP=90°， ∠APO=∠CFO ∠PAO=∠FCO A0=CO △OCF≌AOAP(ASA) 。 ∴AP=CF:OP=OF, p A E B B ∴.OE垂直平分PF; ∴.PE=EF; :矩形ABCD, .∠EAP=90°， ∴AP2+AE2=EP2, .'CF2+AE2=EF2 (3)解：当点E在线段AB上时， .AE=2 AB=3 ..BE=AB-AE=1 延长ED到点G使DG=ED,连接CG,FG, D是边AC的中点， .'DC=DA, E B ED=DG ∠ADE=∠CDG AD=CD .△ADE≌aCDG(SAS) ∴.CG=AE,∠A=∠ACG, .AB∥CG, ∴∠B+∠BCG=180°， .∠B=90° ∴.∠BCG=90°， .'.CF2+CG2=FG2, .'CF2+AE2=FG2, .ED=DG,∠EDF=90°， ∴.DF垂直平分EG: ∴.GF=EF; .'CF2+AE2=EF2, 设CF=x,则BF=BC-CF=4-x, 根据勾股定理，得BE2+BF2=EF2, .'CF2+AE2=BE2+BF2 +2=P+(4- 解得*13 8； 当点E在线段AB的反向延长线上时， .AE=2 AB=3 ∴.BE=AB+AE=5 延长ED到点Q使DQ=ED,连接CQ,Fg, ,D是边AC的中点， ∴.DC=DA, B ED=DO ∠ADE=∠CDO AD=CD ,△ADE≌aCDQ(SAS) .C0=AE=2,∠EAD=∠AC0, .AB‖C0, .∠ABC=∠BCg, .∠ABC=90° .∠BCQ=90° ..CF2+CO=FOP .'.CF2+AE2=FO, ED=D2,∠EDF=90°， .DF垂直平分EO: ..OF=EF: .CF2+AE2=EF2, 设CF=x,则BF=CF-BC=x-4, 根据勾股定理，得BE2+BF2=EF2, .'CF2+AE2=BE2+BF2, :0+2=52+0c-4 37 解得= 8； 1337 综上所述，CF的长为8或8； 25.解：（1)点A关于原点0对称的坐标为（-2，-3)； 设点B关于（-1,0)对称的点的坐标为（化，），则有x+3=2×(),y+4=2×0, 则x=-5,y=-4,即点B关于(1,0)对称的点的坐标为-5，-4)； 同理可求得点C关于点(m,m)对称的点的坐标为(2m-3,2n-4): 故答案为：（-2，-3)，（-5，-4)(2m-3,2n-4): (2)①y=2+2x+3=(+)+2，顶点坐标为(-1,2)，它关于点M对称的点的坐标为L,-2),则 此时关于点M对称的抛物线解析式为：y=(x-)-2, 化为一般式为：y=-x+2x-3: 故答案为：y=-x2+2x-3: ②y=-x2-4x+5=-(c+2}+9,其顶点坐标为(-2,9)， 此点平移后的坐标为(，5)， 把0,5)代入C2y=x2+br+8中，得：1+b+8=5, 解得：b=4,即C2y=x2-4x+8=(x-2}+4, C的顶点坐标为(2,4)， 由中点公式得：m三)二=0，n=←子3 22, 。13 M0,- (3)C:y=x2-2x+5=(x-+5-t,其顶点坐标为亿，5-)， 它关于M的对称点的坐标为(，-)， .C的解析式为：y=(c-)+2-1;其最大值为P-1; 当x=0时，y=-1；当x=1时，y=-2+2t: 当t<0时，C,在0≤x≤1时，函数值随自变量的增大而减小， 最大值为-1，最小值为-2+2t, 由题意得：-1-(-2+2)=3，解得1=-1： 当0≤t≤1时，函数在顶点取得最大值，最小值为-1或-2+2t, 由题意得：2-1-(-1)=3或2-1-(-2+2)=3， 解得：=±3或1=1±5， 它们均不符合题意； 当t>1时，C,在0≤x≤1时，函数值随自变量的增大而增大， 最小值为-1，最大值为-2+2t, 由题意得：-2+21-（)=3，解得：t=2; 综上，t的取值为2或-1.