第1章 一元二次方程 单元练习2026-2027学年苏科版 数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上学期数学苏科版一元二次方程单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，结合社会热点与生活情境，适配单元复习，强化运算能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|因式分解（题1）、根与系数关系（题5）、增长率问题（题3）|结合《长津湖》票房等现实情境，考查概念理解| |填空|6|判别式（题11）、新定义运算（题13）、三角形三边关系（题14）|设置新运算情境，体现创新思维| |解答|7|配方法（题18）、“平均数法”创新解法（题19）、销售利润模型（题23）|融合赈灾捐款、停车场设计等实际问题，强化数学建模|

2026-2027学年九年级上学期数学苏科版 第1章 一元二次方程 一．选择题（共10小题） 1．已知2，﹣3是一元二次方程x2﹣px+q＝0的两个根，则x2﹣px+q可分解为（　　） A．（x﹣2）（x﹣3） B．（x+2）（x+3） C．（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 2．一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（　　） A． B．x＝0 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0， 3．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为2亿元，前三天票房累计约10亿元．若每天票房的增长率都为x，依题意可列方程为（　　） A．2（1+x）＝10 B．2（1+x）2＝10 C．2+2（1+x）2＝10 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝10 4．用配方法解方程，正确的解法是（　　） A．， B．，无实数 C．， D．，无实数 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 6．小明在解方程x2﹣x＝0时，只得出一个根是1，则被漏掉的一个根是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 7．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方式后所得的方程为（　　） A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14 C． D．以上答案都不对 8．方程x2+ax+7＝0和x2﹣7x﹣a＝0有一个公共根，则a的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2＝0的两实数根之积等于m2﹣9m+2，则m的值为（　　） A．0 B．﹣10 C．10 D．0 或10 10．若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a应满足（　　） A．a≤1 B．a≤1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a≥1 二．填空题（共6小题） 11．一元二次方程x2+3x+1＝0的根的判别式的值为 　 　 ． 12．有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为　 　 ． 13．定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是 　 　 ． 14．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为 　 　 ． 15．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 16．若关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为x1＝1，x2＝2，则关于y的一元二次方程的解为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．解方程（x+2）2＝3（x+2）． 18．解下列方程： （1）x2+4x+2＝0（配方法）； （2）3x2+2x﹣1＝0（公式法）． 19．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+4）＝6． 解：原方程可变形得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6， （x+2）2﹣22＝6， （x+2）2＝6+22， （x+2）2＝10． 直接开平方并整理，得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6． 20．某地地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率？ （2）按照（1）中收到捐款的增长率不变，该单位三天一共能收到多少捐款？ 21．有一张长方形的桌子，长2m，宽1m，将一块长方形桌布铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍．求桌布的长和宽各是多少？ 22．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为448m2.求停车场内车道的宽度？ 23．某水果店出售A、B两种水果，现有如下信息： ①两种水果的进货单价之和是12元； ②A水果的销售单价比进货单价多3元，B水果的销售单价比进货单价的2倍少3元； ③小明在该水果店购买4斤A水果和5斤B水果，共付了75元． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求两种水果的进货单价分别为多少元？ （2）该水果店平均每天可卖出A水果60斤和B水果80斤．由于A水果的保质期较短，水果店老板为加快销售速度，打算将A水果的销售单价降低m元，B水果的销售单价和销量保持不变．经调查发现：A水果的销售单价每降0.1元，A水果每天多卖4斤．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．已知2，﹣3是一元二次方程x2﹣px+q＝0的两个根，则x2﹣px+q可分解为（　　） A．（x﹣2）（x﹣3） B．（x+2）（x+3） C．（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 【分析】由2，﹣3是一元二次方程x2﹣px+q＝0的两个根，知（x﹣2）（x+3）＝0，据此可得答案． 【解答】解：∵2，﹣3是一元二次方程x2﹣px+q＝0的两个根， ∴（x﹣2）（x+3）＝0， 则x2﹣px+q可分解为（x﹣2）（x+3）， 故选：C． 2．一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（　　） A． B．x＝0 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0， 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：∵3x2﹣x＝0， ∴x（3x﹣1）＝0， 则x＝0或3x﹣1＝0， 解得x1＝0，， 故选：D． 3．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为2亿元，前三天票房累计约10亿元．若每天票房的增长率都为x，依题意可列方程为（　　） A．2（1+x）＝10 B．2（1+x）2＝10 C．2+2（1+x）2＝10 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝10 【分析】根据第一天的票房收入及前三天的票房收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝10． 故选：D． 4．用配方法解方程，正确的解法是（　　） A．， B．，无实数 C．， D．，无实数 【分析】先移项，再配方，即可得出答案． 【解答】解：，正确 x2x＝﹣1， x2x+（）2＝﹣1+（）2， （x）2，无实数根， 故选：B． 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k， ∵x1+x2＝3x1x2， ∴4＝3k， 解得：， 故选：D． 6．小明在解方程x2﹣x＝0时，只得出一个根是1，则被漏掉的一个根是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程求出解即可． 【解答】解：方程x2﹣x＝0， 分解因式得：x（x﹣1）＝0， 可得x＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 则被漏掉的一个根为0． 故选：A． 7．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方式后所得的方程为（　　） A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14 C． D．以上答案都不对 【分析】先变形得到x2+6x＝5，再把方程两边加上9得x2+6x+9＝5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2＝14． 【解答】解：先移项得x2+6x＝5， 方程两边加上9得x2+6x+9＝5+9， 所以（x+3）2＝14． 故选：A． 8．方程x2+ax+7＝0和x2﹣7x﹣a＝0有一个公共根，则a的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：设该公共根为x＝b， 由题意可知：b2+ab+7＝0， b2﹣7b﹣a＝0 ∴（a+7）b+7+a＝0 ∵a+7≠0， ∴b＝﹣1 ∴x＝﹣1代入x2﹣7x﹣a＝0， a＝1+7＝8 故选：B． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2＝0的两实数根之积等于m2﹣9m+2，则m的值为（　　） A．0 B．﹣10 C．10 D．0 或10 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积，结合题意列方程求解m，再根据方程有两个实数根，利用判别式检验，舍去不符合题意的解． 【解答】解：由题知， 一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2＝0两根之积为m+2， 又因为该方程的两实数根之积等于m2﹣9m+2， 所以m+2＝m2﹣9m+2， 解得m1＝0，m2＝10， 因为方程有两个实数根， 所以Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（m+2）＝m2﹣6m﹣7≥0， 当m＝0时，Δ＝﹣7＜0，此时方程无实数根，舍去， 当m＝10时，Δ＝102﹣6×10﹣7＝33＞0，符合题意， 所以m的值为10． 故选：C． 10．若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a应满足（　　） A．a≤1 B．a≤1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a≥1 【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，即可得判别式Δ≥0且a≠0，继而可求得a的范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4•a×1＝4﹣4a≥0， 解得：a≤1， ∵方程ax2﹣4x+1＝0是一元二次方程， ∴a≠0， ∴a的范围是：a≤1且a≠0． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．一元二次方程x2+3x+1＝0的根的判别式的值为 　5　 ． 【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac即可求出值． 【解答】解：∵a＝1，b＝3，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4＝5． 所以一元二次方程x2+3x+1＝0根的判别式的值为5． 故答案为：5． 12．有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为　1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121　 ． 【分析】由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有（1+x）人患了流感，经过第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]人患了流感，再根据经过两轮传染后共有121人患了流感即可列出方程． 【解答】解：依题意，得：1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121． 故答案为：1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121． 13．定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是 　1或4　 ． 【分析】根据定义新运算列出方程（x﹣k）2﹣k＝0，再根据一元二次方程的根的定义把x＝2代入得出关于k的一元二次方程，求解即可． 【解答】解：x⊗k＝0， （x﹣k）2﹣k＝0， ∵x＝2是这个方程的一个根， ∴（2﹣k）2﹣k＝0， 整理得k2﹣5k+4＝0， 解得k1＝1，k2＝4， 故答案为：1或4． 14．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为 　12　 ． 【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长． 【解答】解：解方程x2﹣12x+35＝0， 得x1＝5，x2＝7， ∵1＜第三边＜7， ∴第三边长为5， ∴周长为3+4+5＝12． 15．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　﹣2　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义即可进行求解． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 因此m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 16．若关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为x1＝1，x2＝2，则关于y的一元二次方程的解为 y1＝1，y2＝3　 ． 【分析】由关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为x1＝1，x2＝2，可得出关于的一元二次方程a（）2+6•4＝0的解为1或2，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为x1＝1，x2＝2， ∴关于的一元二次方程a（）2+6•4＝0的解为1或2， 解得：y1＝1，y2＝3， ∴关于y的一元二次方程的解为y1＝1，y2＝3． 故答案为：y1＝1，y2＝3． 3． 解答题（共7小题） 17．解方程（x+2）2＝3（x+2）． 【分析】提公因式法因式分解解方程即可． 【解答】解：（x+2）2＝3（x+2）， 移项，得（x+2）2﹣3（x+2）＝0， （x+2）（x+2﹣3）＝0， （x+2）（x﹣1）＝0， x+2＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1． 18．解下列方程： （1）x2+4x+2＝0（配方法）； （2）3x2+2x﹣1＝0（公式法）． 【分析】（1）根据配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程移项可得： x2+4x＝﹣2， x2+4x+4＝2， （x+2）2＝2， ∴， ∴，； （2）∵a＝3，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝22﹣4×3×（﹣1）＝16＞0， ∴， ∴x1＝﹣1，． 19．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+4）＝6． 解：原方程可变形得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6， （x+2）2﹣22＝6， （x+2）2＝6+22， （x+2）2＝10． 直接开平方并整理，得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6． 【分析】将原方程整理为[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝6，依据平方差公式可得（x﹣1）2﹣42＝6，再整理，并开方可得答案． 【解答】解：（x﹣5）（x+3）＝6， 原方程变形，得[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝6 （x﹣1）2﹣42＝6， （x﹣1）2＝22， ， ∴． 20．某地地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率？ （2）按照（1）中收到捐款的增长率不变，该单位三天一共能收到多少捐款？ 【分析】（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）2＝第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可； （2）第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）＝第二天收到捐款钱数，依此列式子解答即可． 【解答】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得， 10000×（1+x）2＝12100， 解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）； 答：捐款增长率为10%． （2）第二天收到捐款为：10000×（1+10%）＝11000（元）． 该单位三天一共能收到的捐款为：10000+11000+12100＝33100（元）． 答：该单位三天一共能收到33100元捐款． 21．有一张长方形的桌子，长2m，宽1m，将一块长方形桌布铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍．求桌布的长和宽各是多少？ 【分析】设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为xm，则用含x的代数式表示桌布的长为（2+2x）m，宽为（1+2x）m，根据桌布的面积是桌面面积的2倍列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为xm，则桌布的长为（2+2x）m，宽为（1+2x）m， 依题意得（2+2x）（1+2x）＝2×2×1， 解之得x或x（舍去）， 所以桌布长为2+2x，宽为1+2x． 答：桌布长为m，宽为m． 22．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为448m2.求停车场内车道的宽度？ 【分析】设停车场内车道的宽度为xm，则停车位可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，根据停车位的占地面积为448m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设停车场内车道的宽度为xm，则停车位可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形， 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝448， 整理得：x2﹣62x+432＝0， 解得：x1＝8，x2＝54（不符合题意，舍去）． 答：停车场内车道的宽度为8m． 23．某水果店出售A、B两种水果，现有如下信息： ①两种水果的进货单价之和是12元； ②A水果的销售单价比进货单价多3元，B水果的销售单价比进货单价的2倍少3元； ③小明在该水果店购买4斤A水果和5斤B水果，共付了75元． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求两种水果的进货单价分别为多少元？ （2）该水果店平均每天可卖出A水果60斤和B水果80斤．由于A水果的保质期较短，水果店老板为加快销售速度，打算将A水果的销售单价降低m元，B水果的销售单价和销量保持不变．经调查发现：A水果的销售单价每降0.1元，A水果每天多卖4斤．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元？ 【分析】（1）设A水果的进货单价为x元，B水果的进货单价为y元，利用总价＝单价×数量，结合“两种水果的进货单价之和是12元，且小明在该水果店购买4斤A水果和5斤B水果，共付了75元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润＝每斤A水果的销售利润×日销售量+每斤B水果的销售利润×日销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设A水果的进货单价为x元，B水果的进货单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A水果的进货单价为7元，B水果的进货单价为5元； （2）根据题干信息可知A水果利润3元/斤，B水果利润2×5﹣3﹣5＝2元/斤， 根据题意得：（3﹣m）（604）+2×80＝340， 整理得：2m2﹣3m＝0， 解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝1.5． 答：当m为1.5时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/13 17:06:38；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $