2026--2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考试卷

北师大版九年级上册第一次月考数学试卷 （考试范围：第一章 特殊平行四边形　第二章 一元二次方程） 满分：120分　　考试时间：120分钟 班级：____________　姓名：____________　考号：____________　得分：__________ 题号 一 二 三 总分 核分人 得分 评卷人 考生须知 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共三道大题、25小题。 2．本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律写在答题卡上，写在试题卷上无效。 3．答题前，请将姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置；考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A．平行四边形　　B．矩形　　C．菱形　　D．正方形 3．将一元二次方程 化为 的形式，则 ，， 的值分别为（　　） A．1，-2，5　　B．1，-1，4　　C．-1，5，2　　D．1，2，5 4．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线相等　　B．对角线互相垂直　　C．对角线互相平分　　D．对角线平分一组对角 5．如图1，汽车维修师傅使用千斤顶时，利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形 （如图2）。当千斤顶工作时，横杆 与地面平行。若 ，则 与地面的夹角为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 图1 图2 6．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．若 ， 是方程 的两个根，则 的值为（　　） A．2026　　B．2025　　C．2024　　D．2023 8．某商场销售一款书包，进价为每个40元，当售价为每个60元时，平均每月可卖出200个。为扩大销售，商场准备降价销售。经市场调查发现，每件每降价1元，平均每月可多卖出10个。若要使每月销售该款书包获利4500元，设每个书包降价 元，则可列方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ，，垂足为 。若 ，则 的大小为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的顶点 与原点 重合， 位于 轴正半轴上，，，点 的坐标为 ，点 为 的中点。进行以下操作：①将 沿 轴正方向平移，当点 与点 重合时，得到 ，点 ， 的对应点分别为 ，；②将 绕点 在平面内旋转。当点 落在 轴上时，点 的坐标为（　　） A．　　B．　　 C．　　 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．方程 的解是__________。 12．如图，在菱形 中，对角线 与 交于点 ，且 ，， 于点 ，则 __________。 13．若 是关于 的一元二次方程，则 __________。 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 的坐标是 ，则对角线 的长为__________。 15．已知矩形的一条边长为3，对角线 ， 相交于点 。若 ， 的长是关于 的方程 的两个根，则矩形的面积为__________。 16．在一元二次方程的研究中，小明发现 ，；小红发现 ，。小刚听完他们的发现后直接说出了方程 的两个根，则这个方程的根为__________。 17．如图，某学校综合实践基地内有一块长30 m、宽20 m的长方形菜地，现在其中修建一条等宽的矩形观花道（阴影部分）供学生赏花。若观花道的面积占长方形菜地面积的 ，则观花道的宽为__________m。 18．如图，在平行四边形 中，，，垂足分别为 ，，。 是 的边，且 的长是一元二次方程 的一个根，则平行四边形 的周长为__________。 三、解答题（本大题共7小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）解下列方程： （1）（用因式分解法）； （2）（用公式法）。 20．（8分）如图，在菱形 中， 是 的中点，且 ，。 （1）求 的度数； （2）求对角线 的长。 21．（8分）已知关于 的方程 。 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的2倍，求 的值。 22．（8分）如图，在矩形 中，，，将矩形沿对角线 折叠，点 落在点 处， 与 交于点 。 （1）求证：； （2）求 的长。 23．（8分）某社区计划在一块长为40 m、宽为26 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路（两条纵向、一条横向，且横向与纵向道路互相垂直），剩余的空地上种植草坪。若草坪的面积为 ，求道路的宽。 24．（9分）如图，在正方形 中，点 是边 上一点，连接 ，过点 作 ，垂足为 。 （1）求证：； （2）若正方形边长为4，，求 的长； （3）连接 ，判断 的形状，并说明理由。 25．（9分）如图，在矩形 中， cm， cm。点 从点 出发，沿 边以 cm/s的速度向点 运动；同时点 从点 出发，沿 边以 cm/s的速度向点 运动。当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设运动时间为 秒。 （1）当 为何值时， 的面积为 ？ （2）是否存在某一时刻 ，使得 是等腰直角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 （3）连接 ，当 为何值时， cm？ 参考答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A B A D B C C 部分选择题解析： 第7题：因为 ， 是方程 的两个根，所以 ，，即 。 所以 。故选 D。 二、填空题（每小题4分，共32分） 11．， 12． 13． 14． 15．15 16．， 17． 18． 三、解答题（共58分） 19．（8分） （1）因式分解，得 ，………………………………（2分） 所以 ，。………………………………（4分） （2），，，，……（2分） ，………（3分） 所以 ，。………………（4分） 20．（8分） （1）因为 ， 是 的中点，所以 是 的垂直平分线，所以 。………………………………（1分） 因为四边形 是菱形，所以 ，所以 ，即 是等边三角形，…………………………（2分） 所以 ，。………………（4分） （2）因为 是等边三角形，， 所以 。……………………………………（8分） 21．（8分） （1）证明：，…………（3分） 所以方程总有两个不相等的实数根。………………（4分） （2）解：，所以 ，。………………（5分） 由题意，得 或 ， 解得 或 。…………………………（8分） 22．（8分） （1）证明：因为四边形 是矩形，所以 ，。 由折叠，知 ，， 所以 ，。………………（2分） 在 和 中，（对顶角），，， 所以 （AAS）。………………（4分） （2）解：由（1）知 。设 ，则 。 在 Rt 中，， 即 ，……………………………………（6分） 所以 ，，， 所以 。……………………………………（8分） 23．（8分） 设道路的宽为 m。 根据题意，草坪的面积可以表示为 ，…………………………（4分） 展开，得 ，即 ， 所以 ，……………………………………（6分） 解得 ， 所以 （不合题意，舍去），。………………（7分） 答：道路的宽为2 m。……………………………………（8分） 24．（9分） （1）证明：因为四边形 是正方形，所以 ，。 因为 ，所以 ，所以 。 因为 ，， 所以 。……………………………………（2分） 在 和 中，，，， 所以 （AAS）。………………（3分） （2）解：在 Rt 中，，， 所以 。………………（5分） 由（1）知 ，所以 。…………（6分） （3）解： 是等腰三角形。………………（7分） 理由：由（1）知 ，所以 。 在 Rt 中，， 所以 ，即 是等腰三角形。 说明：若改为判断 的形状，则由 ，，，得 ， 所以 是以 ， 为直角边的直角三角形。………………（9分） 25．（9分） （1）解：由题意，得 ，；。 的面积 。……（2分） 令 ，得 ，即 ， 所以 ，，。………………………………（3分） 因为点 运动到点 的时间为 秒，点 运动到点 的时间为6秒， 所以 的取值范围是 。 所以 或 均符合题意。………………（4分） （2）解：若 是等腰直角三角形，则 ，需 。……（5分） 所以 ，，。……………………………………（6分） 此时 ，，， 所以存在 ，使得 是等腰直角三角形。………………（7分） （3）解：在 Rt 中，， 即 ，…………………………（8分） 所以 ，即 ， 解得 。 因为 且 ，（舍去）， 所以 秒时， cm。………………（9分） 学科网（北京）股份有限公司 $