16.1幂的运算（分层作业，11大题型）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 16.1 幂的运算 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 同底数幂的乘法计算 题型02 幂的乘方的计算 题型03 积的乘方的计算 B组 能力进阶 题型01 利用同底数幂的乘法求值 题型02 同底数幂的乘法及其逆用 题型03 幂的乘方及其逆用 题型04 积的乘方及其逆用 题型05 利用幂的运算确定字母之间的关系 C组 思维拔高 题型01 同底数幂的乘法的新定义题目 题型02 利用幂的运算比较大小 题型03 底数不同的幂的运算 同底数幂的乘法计算题型01 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）计算得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂乘法法则进行求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．（24-25八年级上·江西新余·期末）计算： ______； 【答案】或 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，先运算，再运用积的乘方法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)错误，改正为 (2)错误，改正为 (3)错误，改正为 (4)正确 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂乘法法则是解题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （1）根据同底数幂乘法法则计算即可． （2）根据同底数幂乘法法则计算即可． （3）根据同底数幂乘法法则计算即可． （4）根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：不正确，应改为：， 答：原式错误，改正为． （2）解：不正确，应改为：， 答：原式错误，改正为． （3）解：不正确，应改为：， 答：原式错误，改正为． （4）解：，正确， 答：原式正确． 幂的乘方的计算题型02 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键．根据幂的乘方法则，即幂的乘方，底数不变，指数相乘，来计算． 【详解】解： 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南周口·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考幂的定义及幂的乘方运算，根据幂的定义先化简，再由幂的乘方运算法则计算即可得到答案，熟记幂的定义及幂的乘方运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 3．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． 直接根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则逐一进行判断即可． 【详解】A、等式左边，等式右边，左边不等于右边，故A错误，不符合题意； B、根据幂的乘方法则，，计算正确，符合题意； C、根据幂的乘方法则，，不符合题意； D、根据幂的乘方法则，，不符合题意． 故选：B． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方及同底数幂的乘法是解题的关键； （1）根据幂的乘方及同底数幂的乘法可进行求解； （2）根据幂的乘方及合并同类项可进行求解 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 积的乘方的计算题型03 1．计算的结果为（   ） A．8m6 B．6m6 C．8m5 D．6m5 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方计算．根据积的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选A． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是幂的乘方，积的乘方运算，根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B 3．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了幂的乘方运算与积的乘方．利用幂的乘方运算与积的乘方运算计算并判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项错误； D、，选项正确． 故选：D． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方． （1）直接利用积的乘方运算法则进行运算即可； （2）直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行运算即可； （3）直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行运算即可； （4）直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行运算即可 【详解】（1） ； （2） ； （3） （4） 利用同底数幂的乘法求值题型01 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘法，，即可． 【详解】∵，，， ∴． 故选：B． 2．已知．m，n为正整数，则_________（用含a，b的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用．幂的乘方的逆用，先把原式化为，再整体代入即可得到答案，熟记逆用公式是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底幂的乘法法则，同底幂的除法法则和幂的乘方，解决此题的关键是要熟练运用各个法则． （1）根据同底幂除法法则的逆应用，即可得到答案； （2）根据同底幂的乘法法则先得到，再根据同底幂乘法以及幂的乘方的逆应用即可得到答案； 【详解】（1）解：． （2）解：． 4．已知． (1)求代数式的值． (2)求的值． 【答案】(1)10 (2)500 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用． （1）根据进行计算； （2）将变形为即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 同底数幂的乘法及其逆用题型02 1．（24-25八年级上·广东惠州·联考）若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．已知，则________． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法法则变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则，代数式求值，正确将原式变形是解题关键． 根据题意，得，将变形为即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 4．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，m，n为正整数）．请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)若，求的值． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的计算， （1）逆用“同底数幂的乘法”“幂的乘方”进行计算即可得； （2）先逆用幂的乘方把底数变形，再利用同底数幂的乘法，乘法的结合律，逆用积的乘方即可得，掌握“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”的逆向运用． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ． 幂的乘方及其逆用题型03 1．已知，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方运算法则的逆运算，解答本题的关键是根据幂的乘方运算逆运算进行变式．根据幂的乘方运算即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 2．已知，则的值是（    ） A．9 B．18 C．27 D．81 【答案】C 【分析】把转化为同底数相乘的形式，根据同底数幂的乘法的性质来求值． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，属于基础题，较为简单． 3．已知，，m，n为正整数，则______． 【答案】 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵2m=a，32n=b=25n，m，n为正整数， ∴25m+10n=(2m)5×(25n)2=a5b2， 故答案是：a5b2． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则． 4．（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，以及代数式的化简和求值，熟练掌握幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键． (1) 对于第一个问题，需要将表示为的幂次形式，然后利用已知条件，求出的值． (2) 对于第二个问题，需要利用幂的乘方和积的乘方运算法则，将化简为与有关的表达式，然后利用已知条件求出最终结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， (2)∵，， ∴， 又∵， ∴原式． 积的乘方及其逆用题型04 1．计算（   ） A． B．1 C．0 D．2011 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方，逆用积的乘方，即进行计算即可． 【详解】解∶ ． 故选：A． 2．（25-26七年级·河北沧州·期末）若，则_____． 【答案】24 【分析】利用积的乘方运算，逆用积的乘方法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】根据积的乘方法则可得：． 3．如果，，那么______．（用含、的式子表示） 【答案】或 【分析】本题考查积的乘方，掌握好幂运算的法则是关键． 利用积的乘方法则，将转化为，再代入已知条件即可． 【详解】解：由积的乘方法则可得，． 故答案为：． 4．阅读下列各式：，……． 请回答下列问题： (1)计算：________，________． (2)通过上述规律，归纳得出：________；________． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1；1 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题目所给公式，计算求解即可； （2）根据题意进行求解即可； （3）把原式变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1；1； （2）解：由题意得，，， 故答案为：，； （3）解： ． 利用幂的运算确定字母之间的关系题型05 1．已知，，，则x，y，z之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，即：， ∴； 故选A． 2．（24-25七年级上·上海·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法解题的关键是掌握以上运算法则． 根据，，列出等式即可解答． 【详解】解：， ， ∵，、均为正整数， ∴， 故选：D． 3．（2025·河北唐山·二模）计算，则m与n的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方逆用、同底数幂的乘法，根据题意，将等号左右两边都改写成底数为3的乘方形式，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，因为m，n是正整数，且满足， 所以， 即 所以， 故选：D． 同底数幂的乘法的新定义题目题型01 1．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么. 例如：因为，所以.令，，， 求证：． 【答案】 证明：∵，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查幂的混合运算，先求出，，即有，得，即． 【详解】略 2．我们知道，同底数幂的乘法法则为：为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值．（用含和的代数式表示，其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法和新定义运算，正确理解新定义，将把新运算化成常规运算是解题的关键． （1）将变形为，再根据定义新运算进行计算即可； （2）根据，及定义新运算将原式变形为，再根据同底数幂乘法法则计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ = = =． （2）解：∵，， ∴ ∴ …… ∴ ∴ =． 3．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；②2 (2) 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②由，则，即可求得n的值； （2）由，再由同底数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①由于， 而， 所以； 故答案为：125； ②， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：， ，，，，……，， ． 利用幂的运算比较大小题型02 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算法则把A、B、D三个选项中的数化为指数为10的数即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同底数幂比较大小，根据底数相同，指数越大，值越大即可求解． 【详解】解：，，， ∵， ∴ ， 故选：C． 3．若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】或 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数大小的比较；熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：． 4．阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较指数的大小即可； （3）根据，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），， ， ． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 底数不同的幂的运算题型03 1．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了同度数幂的乘法与积的乘方，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．逆向运用积的乘方与同底数幂的乘法运算法则计算即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，同底数乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键．将变形为，即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 3．（24-25八年级上·广东东莞·月考）______． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方公式，熟记公式并能逆运用是解题关键．逆运用同底数幂的乘方和积的乘方公式计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 4．比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)100000 (2)1 (3)1 (4)4 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，“积的乘方等于积中各个因式分别乘方”．逆用积的乘方运算法则，逐项进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1/1 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4．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，m，n为正整数）．请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)若，求的值． (2)计算：． 幂的乘方及其逆用题型03 1．已知，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知，则的值是（    ） A．9 B．18 C．27 D．81 3．已知，，m，n为正整数，则______． 4．（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 积的乘方及其逆用题型04 1．计算（   ） A． B．1 C．0 D．2011 2．（25-26七年级·河北沧州·期末）若，则_____． 3．如果，，那么______．（用含、的式子表示） 4．阅读下列各式：，……． 请回答下列问题： (1)计算：________，________． (2)通过上述规律，归纳得出：________；________． (3)请应用上述性质计算：． 利用幂的运算确定字母之间的关系题型05 1．已知，，，则x，y，z之间的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北唐山·二模）计算，则m与n的关系是（   ） A． B． C． D． 同底数幂的乘法的新定义题目题型01 1．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么. 例如：因为，所以.令，，， 求证：． 2．我们知道，同底数幂的乘法法则为：为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值．（用含和的代数式表示，其中为正整数） 3．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 利用幂的运算比较大小题型02 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 4．阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 底数不同的幂的运算题型03 1．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东东莞·月考）______． 4．比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $