重难点专训02 复数运算与几何意义七大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以6大通法为核心，构建“概念-运算-几何-综合”四层知识逻辑，通过7类题型实现从基础到压轴的分层突破，培养数学抽象、逻辑推理与直观想象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|6大通法|待定系数法、分母实数化等，含适用场景与操作口诀|从代数运算到几何直观，形成方法链| |题型突破|7类题型（含压轴模的最值）|每题型配通法指导与易错提示|概念→运算→几何意义→综合应用递进| |分层过关练|巩固15题+创新13题|基础巩固与创新提升双层次|覆盖高频考点，适配一轮复习需求|

重难点专训02 复数运算与几何意义 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 复数的概念与分类 2 题型2 复数的四则运算与共轭 4 题型3 复数相等与待定系数 5 题型4 复数的模 6 题型5 复数的几何意义与轨迹 7 题型6 模的最值与取值范围（压轴高频） 10 题型7 复数与方程（虚根成对）、三角形式综合 14 重难专题分层过关练 17 巩固过关 17 创新提升 20 解题方法及技巧提炼 通法1　待定系数法：设 适用：含 与 的代数方程、复数分类求参、“为实数 / 纯虚数”条件。 操作：设 ，代入条件后实部、虚部分别对齐列方程组。 口诀：见复数方程，先设 ；实部虚部两边对，方程组里找答案。 通法2　分母实数化 适用：一切分式型复数化简、求共轭。 操作：分子分母同乘分母的共轭复数，把分母化为实数 。 通法3　共轭整体法： 适用：求模、含共轭方程、“和为实数/积为实数”类条件。 操作：把 整体看作 ，把 整体看作 （实数），避免逐项展开。 注意：，这是最高频错误之一。 通法4　几何直观法（数形结合） 适用：模的最值与取值范围、轨迹问题、 型条件。 操作：把 看成点 到定点 的距离，把 看成到两定点距离相等，直接在复平面里看图形。 高频结论：圆上动点到定点距离的最值 圆心距 半径。 通法5　模平方转化法 适用：含模的不等式、方程求范围。 操作： 点 在以原点为圆心、 为半径的圆内（含边界）； 点在以 为圆心、 为半径的圆内。必要时两边平方，把模的不等式转成实数的代数不等式。 通法6　三角形式法 适用：高次幂、单位根、辐角问题、乘积与商、特殊角运算。 操作：把 化成 ，用”模相乘、辐角相加”及棣莫弗定理。 题型通法及变式提升 题型1 复数的概念与分类 ①” 为虚数”暗含 ，勿丢；②”结果为实数” 虚部为 0，是列方程的关键；③ 分离实部、虚部要干净利落。 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知为虚数单位，，则__________. 【答案】2 【详解】. 故答案为：2 2．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数__________. 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 3．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知复数在复平面上所对应的点位于第二象限，且满足，若复数，且为纯虚数，则=___________． 【答案】 【详解】设， 由题意得，且为纯虚数，则，解得， 代入，解得， 又因为复数在复平面上所对应的点位于第二象限，则，则， 所以. 故答案为：. 4．（26-27高三上·上海·开学考试）复数为的主平方根，则的虚部为__________． 【答案】 【详解】令，两边平方得， 则，解得，或， 主平方根取实部为正的解，所以， 故复数的虚部为：. 题型2 复数的四则运算与共轭 化简优先级：先做共轭、乘除，最后才开根求模； 一步到位，不要在中间步骤反复展开。 5．（25-26高三上·上海·期中）若复数满足（是虚数单位），则___________. 【答案】 【详解】因为复数满足，则，故. 6．（2026·上海·三模）已知复数满足，其中为虚数单位，则_____． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故. 7．（2026·上海金山·模拟预测）已知，则_________． 【答案】 【详解】由题意，， ∴， ， ∴. 8．（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 【答案】 【详解】复数z满足， 则+3i， 则， 则. 9．（2026·上海松江·模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），则__________. 【答案】 【详解】由复数满足，可得， 则，所以. 10．（25-26高三上·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位，则__________． 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为： 题型3 复数相等与待定系数 除法先行 → 化简到位 → 再取共轭；共轭只改变虚部符号，实部不动。 11．（25-26高三上·上海·阶段检测）i为虚数单位，（），则_________. 【答案】 【详解】由， 所以， 所以，即， 故答案为： 12．（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 【答案】 【详解】设，则， 由可得， 则，故. 13．（2025·上海徐汇·三模）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部为______. 【答案】 【详解】设，， 则， 所以，解得， 则z的虚部为. 故答案为：. 14．（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则________． 【答案】 【详解】设，则，由，得，解得， 即，由，得，所以. 故答案为： 题型4 复数的模 15．（25-26高三上·上海·开学考试）已知为虚数单位，复数，则______. 【答案】 【详解】根据题意，复数，根据复数模长的计算，可得. 故答案为：. 16．（25-26高三下·上海·阶段检测）向量，设向量对应的复数为，则___________． 【答案】5 【详解】向量 对应的复数为 ，则， 则复数 的模为. 17．（2025·上海奉贤·二模）已知为虚数单位，复数满足，则=______________． 【答案】 【详解】设，由， 则，即，所以. 故答案为：. 18．（2026·上海·模拟预测）已知是虚数单位，计算：__________． 【答案】2 【详解】因为所以 因为所以原式的值为． 19．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知复数 ，则 _______. 【答案】 【详解】由题意得， 所以 20．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知复数z满足（i为虚数单位），则__________. 【答案】1 【详解】由得，所以， 所以，即， 所以 21．（25-26高三上·上海·期末）已知复数，其中为虚数单位，则___________. 【答案】 【详解】因为，所以，故. 故答案为：. 22．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 【答案】 【详解】由，得， 由，得， 又因为，所以. 故答案为：. 题型5 复数的几何意义与轨迹 到两定点距离相等 垂直平分线（直线）；切勿误判成圆。轨迹题先翻译成几何语言，再代数验证双保险。 23．（24-25高三下·上海青浦·阶段检测）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（    ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 【答案】B 【详解】设复数，则，设对应点为， 而，于是， ，所以的对应点均在一个圆上. 故选：B 24．（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 【答案】16π 【详解】由知，点的轨迹为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆， 又，，所以点到点的距离小于或等于. 所以随着的运动，动点所形成的平面图形为以坐标原点O为圆心， 以为半径的圆的外部与以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的内部形成的圆环， 所以其面积为. 25．（2025·上海长宁·一模）在复平面上，复数2和所对应的点分别为，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为___________． 【答案】 【详解】 复数2和所对应的点分别为，， 设复数所对应的点为，设复数所对应的点为， ，，点轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 点在线段上移动，点的轨迹为：以线段上的点为圆心，半径为的圆的并集， 即点的轨迹为：以线段为中线，宽度为的矩形，加上两端为圆心，半径为的两个半圆， ，， 复数对应点所构成图形的面积为. 故答案为：. 26．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知复平面上的点对应的复数z满足：存在模长为1的复数a，使得．那么所有满足条件的点组成的图形的面积为_________． 【答案】 【详解】设，由， 可得， 所以 所以，所以， 因为复数a的模为1，所以，所以， 所以是以为圆心，1为半径的圆上的点， 又是以原点为圆心，1为半径的圆上的点， 所以点形成的图形是以为圆心，2为半径的圆面， 所以点组成的图形的面积为. 故答案为：. 27．（24-25高三上·上海宝山·期中）复数满足，是复平面上以为圆心、1为半径的圆的任意一条直径，若是在复平面上对应的点，则的最小值为______. 【答案】 【详解】设，又， 即， 所以点在以、为焦点的双曲线的左支上，则， 不妨设， 则 ， 又，当且仅当时取等号， 所以的最小值为.    故答案为： 28．（2025·上海·三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． 【答案】1 【详解】复数是纯虚数， ，，解得， ，其对应的点为， 为曲线上的动点，则点在以原点为圆心，半径的圆上， 所以与之间的最小距离. 故答案为：. 题型6 模的最值与取值范围（压轴高频） 圆上动点到定点距离的最值 圆心距 半径。条件给”模”先翻译成”圆/线段”再动手。 ①”去共轭”： 型条件直接坐标化或利用 ；② 多条候选轨迹逐段求最值再取最小，不能只看一条；③ 点到线段距离要分”垂足在线段内 / 端点”讨论，端点往往就是最小值所在。 29．（2026·上海·三模）已知，若，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】由， 则， 所以时，取得最小值. 30．（25-26高三下·上海·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 【答案】1 【详解】已知复数满足，表示复平面上以原点为圆心，半径的圆， 复数表示复平面上点， 表示圆上动点到点的距离， 定点到圆心的距离为， 则圆上点到圆外定点的距离， 故． 31．（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】设 则， 化简得：， ， 又 所以 所以 所以的最小值为. 32．（2026·上海徐汇·二模）已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】，. 设，则，即，，. 已知，根据复数模的几何意义，表示复数所对应的点到复数所对应的点的距离，集合中的元素对应的点的轨迹是以为圆心，半径分别在范围内的圆环上的点. 题干要求对都满足，因此是两个圆环的交集： 两个圆环分别以为圆心，内半径，外半径， 建立如图所示的坐标系： 是非空闭区域，当都在处时，最小距离可取到， 中最远的两点距离是两个外圆的交点距离， 因为两个外圆半径都是，圆心距， 由勾股定理可得两交点距离为： 因此∣的取值范围是 33．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 【答案】/ 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、已知复数的类型求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，代入中化简，由是实数，得或，利用复数模的几何意义求的最小值 【详解】设，则 ， 因为是实数，所以， 所以或， 当时，的轨迹是轴（除原点外）， 此时的几何意义表示轴上的点（除原点）和的距离，此时， 当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图， 根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离， 由图可知，的最小值为. 因为，所以的最小值为. 34．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）已知复数和满足，且，则的最小值为__________． 【答案】1 【详解】设，由可得，即， 因，由可得，即， 若，则得，显然不成立，即.则复数对应的点为， 由可知复数对应的点表示以为圆心，半径为1的圆及其内部，如图所示. 由图知，表示点与圆覆盖区域内（含边界）的点的距离， 故当且仅当点分别与和重合时，距离最小，即的最小值为. 题型7 复数与方程（虚根成对）、三角形式综合 实系数方程 ： 时两根为共轭虚根 、，且 ——这是”虚根模求参”的秒杀公式。 35．欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 36已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 【详解】（1）若的实部与虚部相等，则 ，化简可得：，即，， . （2），， 代入方程可得：，即， 则，解得：. 37.已知复数满足，且存在非零实数，使得 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围: (3)设，且 ，求的取值范围. 【详解】（1）依题意，和是方程的根，即方程的根， 由，，得和互为共轭虚数，则，解得， ，，解得， （2）由，得，则方程有两个实根， 由，得方程在上有两个实根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由（1）及，得互为共轭虚数，令， 由，得，， ，则，解得， 因此 ，由，得，， 则，， 所以的取值范围是. 38.，任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根，且在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.比如：. (1)写出方程的复数根； (2)下面我们探究1的立方根和四次方根的几何性质.我们知道1的立方根有3个，可分别表示成，它们对应点将单位圆三等分；1的四次方根有四个，可以分别表示成，. （i）根据上述探究，请你猜想并证明1的5次方根；提示：若，则 （ii）求的值（用表示）. 【详解】（1）由题意有， 所以； (2)（i）证明：由已知有1的5次方根为：易知是方程的根， 由提示，，则是方程的根， 又， 依次类推均为1的五次方根，命题得证； （ii）（*）， 由（2）易证：若，则均为方程的根. 由代数基本定理可知， 所以， 所以 又均为方程的根，， 所以， 则（*）等于， 因为， 所以 . 重难专题分层过关练 巩固过关 1．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．实轴 B．虚轴 C．第二象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】， 在复平面内对应的点为, 即复数对应的点位于虚轴. 2．设复数（其中，为虚数单位），则“”是“z为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因，则， 而“为实数”即，故“”是“z为实数”的充要条件. 故选：C. 3．已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 4．已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】因为（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 则，所以，. 故选：C 5．（2026·上海·三模）若复数满足（为虚数单位），则__________． 【答案】 【详解】因为， 所以，. 6．（2026·上海杨浦·模拟预测）若复数Z满足：，则__________． 【答案】 【详解】对等式两边同时取模，可得. 7．（2026·上海杨浦·模拟预测）若复数 ，则 __________． 【答案】25 【详解】因为复数 ， 所以， 所以， 故答案为：25 8．（25-26高三上·上海·期中）设为虚数单位，若复数满足，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 9.若复数满足（为虚数单位），则_____. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以； 故答案为： 10．（2025·上海静安·一模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数___________． 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为：. 11．（25-26高三上·上海长宁·期中）对于复数（是虚数单位），则______ . 【答案】1 【详解】因为复数，所以， 故答案为： 12．（25-26高三上·上海松江·期末）复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________． 【答案】 【详解】， 复数在复平面内对应点的坐标为. 故答案为：. 13．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知复数满足，则=__________． 【答案】 【详解】由，得， 即：. 所以 故答案为： 14．（2025·上海虹口·一模）已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 【答案】 【详解】由实系数一元二次方程复数根的性质知， 故. 故答案为： 15．（25-26高三下·上海·阶段检测）欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，若复数满足，则的虚部为__________. 【答案】【分析】先由欧拉公式得到，代入，利用复数的运算法则求解即可. 【详解】根据欧拉公式， 令，得到， 代入，得到， 所以 则的虚部为. 创新提升 1.已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】设，， 因为复数的模长为1，所以， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：B. 2．已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为方程有两个虚根，所以，解不等式可得， 由求根公式可得方程的两个虚根为：， 设，， 则， 根据复数的模的计算公式可得， 已知，即，解得，满足. 故选：B. 3.已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，整理得， 故复数在复平面内的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆． 又可以看成单位圆上的点与两点连线的斜率， 如图，直线与单位圆分别切于点，， 因为和都为锐角， 所以， 所以，即的最大值为． 故选：B 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）若实系数方程有一个虚数根的模为4，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由题意可知实系数方程有两个虚数根， 设实系数一元二次方程的两个虚数根为和， 则. 所以，则， 实系数方程有虚数根， 则, 则实数的取值范围为. 5．（2025·上海奉贤·一模）若复数满足，，则复数______． 【答案】或． 【详解】设复数， 复数满足，， 所以， 所以，或(当时，，与矛盾，故舍去)， 所以， 则复数或． 故答案为：或． 6．（2026·上海·三模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. 【答案】 【详解】因为， 所以，即数列周期为， 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为， 偶数项都为. . 因为，所以总和为， 所以. 7．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】若一元二次方程的判别式大于等于0，则方程有两个实数根，即为实数， 由，则，此时， 若一元二次方程的判别式小于0，则为两虚数根， 设、 又因为，所以，所以， 所以 当时，. 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 8．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 【答案】 【详解】设，，，， 因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆， 可得； 且，则，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 则，，，可得， 联立方程，解得， 且，则，可得，， 所以. 9．（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】， ， ，设， 则， 当，，即，时，， 此时取最大值， 当，，即，时，， 此时取最小值， ． 10．（2025高三上·上海·专题练习）已知为复数，若关于的方程有解，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】设，则， 所以 所以，解得，， 令， 所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 当时，， 当时，， 所以的取值范围为，故实数的取值范围为， 故答案为： 11．（24-25高三上·上海·期中）已知复数，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的数量投影． 【详解】（1）， 因为是纯虚数， 所以且， 解得. 所以. （2）由（1）可得，即， 所以， 所以向量在向量上的数量投影为. 12．（24-25高三上·上海·期中）已知复数其中. (1)设，若是纯虚数，求实数的值； (2)设，分别记复数，在复平面上对应的点为、，求与的夹角大小. 【详解】（1）， 由是纯虚数，所以， 所以； （2）当时，，所以， 所以，， 所以，， ， 所以与的夹角为. 13．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知复数，（，为虚数单位）. (1)若，且，求与的值； (2)设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和严格减区间. 【详解】（1）若，且， 则， ，解得或. （2）由题得， 若，且，则， 即， 所以函数的最小正周期为； 令， 所以函数的严格减区间为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 复数运算与几何意义 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 复数的概念与分类 2 题型2 复数的四则运算与共轭 3 题型3 复数相等与待定系数 3 题型4 复数的模 3 题型5 复数的几何意义与轨迹 4 题型6 模的最值与取值范围（压轴高频） 5 题型7 复数与方程（虚根成对）、三角形式综合 5 重难专题分层过关练 7 巩固过关 7 创新提升 8 解题方法及技巧提炼 通法1　待定系数法：设 适用：含 与 的代数方程、复数分类求参、“为实数 / 纯虚数”条件。 操作：设 ，代入条件后实部、虚部分别对齐列方程组。 口诀：见复数方程，先设 ；实部虚部两边对，方程组里找答案。 通法2　分母实数化 适用：一切分式型复数化简、求共轭。 操作：分子分母同乘分母的共轭复数，把分母化为实数 。 通法3　共轭整体法： 适用：求模、含共轭方程、“和为实数/积为实数”类条件。 操作：把 整体看作 ，把 整体看作 （实数），避免逐项展开。 注意：，这是最高频错误之一。 通法4　几何直观法（数形结合） 适用：模的最值与取值范围、轨迹问题、 型条件。 操作：把 看成点 到定点 的距离，把 看成到两定点距离相等，直接在复平面里看图形。 高频结论：圆上动点到定点距离的最值 圆心距 半径。 通法5　模平方转化法 适用：含模的不等式、方程求范围。 操作： 点 在以原点为圆心、 为半径的圆内（含边界）； 点在以 为圆心、 为半径的圆内。必要时两边平方，把模的不等式转成实数的代数不等式。 通法6　三角形式法 适用：高次幂、单位根、辐角问题、乘积与商、特殊角运算。 操作：把 化成 ，用”模相乘、辐角相加”及棣莫弗定理。 题型通法及变式提升 题型1 复数的概念与分类 ①” 为虚数”暗含 ，勿丢；②”结果为实数” 虚部为 0，是列方程的关键；③ 分离实部、虚部要干净利落。 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知为虚数单位，，则__________. 2．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数__________. 3．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知复数在复平面上所对应的点位于第二象限，且满足，若复数，且为纯虚数，则=___________． 4．（26-27高三上·上海·开学考试）复数为的主平方根，则的虚部为__________． 题型2 复数的四则运算与共轭 化简优先级：先做共轭、乘除，最后才开根求模； 一步到位，不要在中间步骤反复展开。 5．（25-26高三上·上海·期中）若复数满足（是虚数单位），则___________. 6．（2026·上海·三模）已知复数满足，其中为虚数单位，则_____． 7．（2026·上海金山·模拟预测）已知，则_________． 8．（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 9．（2026·上海松江·模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），则__________. 10．（25-26高三上·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位，则__________． 题型3 复数相等与待定系数 除法先行 → 化简到位 → 再取共轭；共轭只改变虚部符号，实部不动。 11．（25-26高三上·上海·阶段检测）i为虚数单位，（），则_________. 12．（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 13．（2025·上海徐汇·三模）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部为______. 14．（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则________． 题型4 复数的模 15．（25-26高三上·上海·开学考试）已知为虚数单位，复数，则______. 16．（25-26高三下·上海·阶段检测）向量，设向量对应的复数为，则___________． 17．（2025·上海奉贤·二模）已知为虚数单位，复数满足，则=______________． 18．（2026·上海·模拟预测）已知是虚数单位，计算：__________． 19．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知复数 ，则 _______. 20．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知复数z满足（i为虚数单位），则__________. 21．（25-26高三上·上海·期末）已知复数，其中为虚数单位，则___________. 22．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 题型5 复数的几何意义与轨迹 到两定点距离相等 垂直平分线（直线）；切勿误判成圆。轨迹题先翻译成几何语言，再代数验证双保险。 23．（24-25高三下·上海青浦·阶段检测）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（    ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 24．（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 25．（2025·上海长宁·一模）在复平面上，复数2和所对应的点分别为，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为___________． 26．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知复平面上的点对应的复数z满足：存在模长为1的复数a，使得．那么所有满足条件的点组成的图形的面积为_________． 27．（24-25高三上·上海宝山·期中）复数满足，是复平面上以为圆心、1为半径的圆的任意一条直径，若是在复平面上对应的点，则的最小值为______. 28．（2025·上海·三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． 题型6 模的最值与取值范围（压轴高频） 圆上动点到定点距离的最值 圆心距 半径。条件给”模”先翻译成”圆/线段”再动手。 ①”去共轭”： 型条件直接坐标化或利用 ；② 多条候选轨迹逐段求最值再取最小，不能只看一条；③ 点到线段距离要分”垂足在线段内 / 端点”讨论，端点往往就是最小值所在。 29．（2026·上海·三模）已知，若，则的最小值为___________ 30．（25-26高三下·上海·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 31．（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 32．（2026·上海徐汇·二模）已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 33．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 34．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）已知复数和满足，且，则的最小值为__________． 题型7 复数与方程（虚根成对）、三角形式综合 实系数方程 ： 时两根为共轭虚根 、，且 ——这是”虚根模求参”的秒杀公式。 35．欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 36已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 37.已知复数满足，且存在非零实数，使得 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围: (3)设，且 ，求的取值范围. 38.，任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根，且在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.比如：. (1)写出方程的复数根； (2)下面我们探究1的立方根和四次方根的几何性质.我们知道1的立方根有3个，可分别表示成，它们对应点将单位圆三等分；1的四次方根有四个，可以分别表示成，. （i）根据上述探究，请你猜想并证明1的5次方根；提示：若，则 （ii）求的值（用表示）. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．实轴 B．虚轴 C．第二象限 D．第四象限 2．设复数（其中，为虚数单位），则“”是“z为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 4．已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2026·上海·三模）若复数满足（为虚数单位），则__________． 6．（2026·上海杨浦·模拟预测）若复数Z满足：，则__________． 7．（2026·上海杨浦·模拟预测）若复数 ，则 __________． 8．（25-26高三上·上海·期中）设为虚数单位，若复数满足，则__________. 9.若复数满足（为虚数单位），则_____. 10．（2025·上海静安·一模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数___________． 11．（25-26高三上·上海长宁·期中）对于复数（是虚数单位），则______ . 12．（25-26高三上·上海松江·期末）复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________． 13．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知复数满足，则=__________． 14．（2025·上海虹口·一模）已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 15．（25-26高三下·上海·阶段检测）欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，若复数满足，则的虚部为__________. 创新提升 1.已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 2．已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 3.已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）若实系数方程有一个虚数根的模为4，则实数的取值范围为___________． 5．（2025·上海奉贤·一模）若复数满足，，则复数______． 6．（2026·上海·三模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. 7．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____. 8．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 9．（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 10．（2025高三上·上海·专题练习）已知为复数，若关于的方程有解，则实数的取值范围为__________. 11．（24-25高三上·上海·期中）已知复数，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的数量投影． 12．（24-25高三上·上海·期中）已知复数其中. (1)设，若是纯虚数，求实数的值； (2)设，分别记复数，在复平面上对应的点为、，求与的夹角大小. 13．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知复数，（，为虚数单位）. (1)若，且，求与的值； (2)设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和严格减区间. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $