专题03 平面向量训练-2027届高考数学一轮复习

专题03　平面向量 群哥高中数学辅导资料 专题03　平面向量 一、核心知识 知识点一　向量的概念与线性运算 1. 向量：既有大小又有方向的量叫向量；只有大小没有方向的量叫数量（标量） 2. 向量的表示：用有向线段 表示，或用小写字母 、 表示 3. 向量的长度（模）：有向线段 的长度叫做向量的模，记作 或 4. 零向量：长度为 的向量，记作 ，其方向是任意的，规定 与任一向量平行 5. 单位向量：长度等于 个单位的向量；与 同向的单位向量为 6. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作 7. 相等向量：长度相等且方向相同的向量，与起点位置无关 8. 三角形法则：，首尾相接取首到尾 9. 平行四边形法则：以同起点的两个向量为邻边作平行四边形，对角线即为和向量 10. 减法法则：，同起点相减指向被减向量的终点 11. 数乘运算： 的长度为 ； 时方向相同， 时方向相反 12. 运算律：，， 13. 分配律：， 14. 共线定理：向量 与非零向量 共线的充要条件是存在唯一实数 ，使 15. 结论：若 、 不共线，且 ，则 16. 结论：若 、 不共线，则 与 共线 17. 易错：向量不能比较大小，只有向量的模可以比较大小 18. 易错： 与 不同，共线只要求方向相同或相反，长度可以不同 知识点二　平面向量基本定理与坐标运算 1. 基本定理：若 、 是同一平面内两个不共线的向量，则该平面内任一向量 都可唯一表示为 2. 基底：定理中的 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，基底不唯一但必须不共线 3. 坐标表示：在平面直角坐标系中，取与 轴、 轴同向的两个单位向量 、 为基底，则 记作 4. 坐标运算：设 、，则 ， 5. 模的坐标公式：； 6. 共线的坐标判定： （ 时亦可写成 ） 7. 中点坐标：若 、，则中点 的坐标为 8. 结论：点 在直线 上 ，即系数之和为 9. 结论：，即终点坐标减起点坐标 10. 方法：用基底表示未知向量时，先选好不共线的两个向量作基底，再用三角形法则或平行四边形法则反复拆合 11. 易错：坐标是相对于基底而言的，基底不同坐标不同；同一题中不要混用不同基底 知识点三　数量积 1. 定义：，其中 是 与 的夹角， 2. 数量积是一个数量（实数），不是向量；其符号由 决定 3. 坐标公式：设 、，则 4. 夹角公式： 5. 垂直判定： （非零向量） 6. 运算律：，， 7. 结论：，即 8. 结论：； 9. 投影： 叫做 在 方向上的投影，等于 ，它是数量而不是向量 10. 投影向量： 在 方向上的投影向量为 ，它是向量 11. 易错：数量积不满足结合律，；也不能由 推出 12. 易错：夹角为钝角要求 且两向量不反向共线；夹角为锐角要求 且不正向共线 知识点四　向量的模、夹角与最值 1. 三角不等式： 2. 平行四边形恒等式： 3. 方法（几何法）：、 的起点相同时， 表示两终点间的距离，最值问题转化为圆上点到定点的距离 4. 方法（建系法）：涉及图形的最值优先建立平面直角坐标系，把向量坐标化，转化为函数最值 5. 方法（函数法）：设 ，先平方得 ，再按 的二次函数求最小值 6. 结论：已知 时， 的取值范围是 7. 结论： 的取值范围是 ，同向取最大、反向取最小 8. 易错：求模的最值后要验证取等条件（共线方向）能否实现 知识点五　向量在平面几何中的应用 1. 距离与垂直：线段 的长度即 ；证明两直线垂直转化为证明向量数量积为 2. 重心 ：； 3. 重心性质：重心把中线分成 的两段； 4. 外心 ：，即三顶点共圆，外心是外接圆圆心 5. 垂心 ： 6. 内心 ： 的方向是 的平分线方向 7. 中线长公式：若 是 中点，则 8. 结论：（向量形式的余弦定理） 9. 结论： 10. 方法：判断三角形的形状，用 的符号判定 是锐角、直角还是钝角 11. 方法：证明三点共线转化为证明 （或 且有公共点 ） 12. 易错：用向量判定共线时必须说明两个向量有公共点，否则只能说明两直线平行或重合 二、题型精练 题型一　线性运算与共线定理 【方法与技巧】 化简线性运算式就按多项式展开：去括号、合并同类项， 全程通用。 证明三点共线用共线定理：找出两个有公共点的向量，证其中一个等于另一个的实数倍（），再说明公共点。 用基底表示向量时，若目标向量终点在某条直线上，就先沿这条直线拆，通常两步就能拆到基底上。 【例题精讲】 1．化简 得（　　） A． B． C． D． 2．已知 、 不共线，若 与 共线，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，，则共线的三点是（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式训练】 1．已知 、 不共线，若 与 共线，则 （　　） A． B． C． D． 2．在 中，若 ，则 分 所得两段之比为（　　） A． B． C． D． 3．若点 在线段 上，且 ，则 与 的关系为（　　） A． B． C． D． 4．化简 得（　　） A． B． C． D． 5．已知 、 不共线，，，，若 、、 三点共线，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 、 不共线，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，（、 不共线），若 且点 在直线 上，则（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，（、 不共线），则 、、 三点（　　） A．共线 B．不共线 C．构成直角三角形 D．构成等腰三角形 3．在 中，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．若 为 的重心，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，（、 不共线），则共线的三点是（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 6．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知 、 不共线，若 与 共线，则 （　　） A． B． C． D． 8．若点 满足 （），则 用 、 表示为（　　） A． B． C． D． 题型二　平面向量基本定理与坐标运算 【方法与技巧】 坐标运算先算减： 一律终点坐标减起点坐标，别把顺序写反导致后面全错。 共线判定用交叉相乘： 即可，不必纠结比值形式，比值形式还要讨论分母为 0。 表示未知向量时列方程组：设 ，把坐标代入得两个方程，解出 即可。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，，用 、 表示 得（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 ，则与 同向的单位向量为（　　） A． B． C． D． 2．已知 、、，则 、、 三点（　　） A．共线 B．不共线 C．构成直角三角形 D．构成等腰三角形 3．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，若 与 共线，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，，用 、 表示 得（　　） A． B． C． D． 6．已知 、、，若四边形 是平行四边形，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，，用 、 表示 得（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知 、，点 满足 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，则 与 （　　） A．反向共线 B．同向共线 C．垂直 D．不共线 题型三　数量积、模、夹角与投影 【方法与技巧】 求夹角先算 ，再由余弦值反推角度，别凭坐标猜角度。 求模优先平方：，把模的运算变成数量积的运算。 锐角、钝角类问题别漏反向共线：钝角要 且不是 ，锐角要 且不是 ，务必代回检验。 【例题精讲】 1．已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 ，，且 ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则 在 方向上的投影为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．若非零向量 、 满足 ，则（　　） A． B． C． D． 3．已知非零向量 、 满足 ，则（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，若 与 的夹角为锐角，则（　　） A． 且 B． C． D． 5．已知 ，，，则 在 方向上的投影为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，则 在 方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 题型四　向量的最值与取值范围 【方法与技巧】 看到 就想到两点间距离：把起点放在一起，最值就是圆上点到定点距离的加减半径。 带参数的模 先平方成关于 的二次函数，顶点处取最小值，再开方。 没有图形的最值题优先建系：把已知点放进坐标系，向量全部坐标化，剩下的就是函数值域问题。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 ，（），则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．已知 、 都是单位向量，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．已知 、 是互相垂直的单位向量， 且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，，则 （）的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．已知点 在圆 上，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，（），则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，则 （）的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 题型五　向量在平面几何中的应用 【方法与技巧】 四心问题先背熟向量表达式：重心 ，垂心 ，外心 。 判定三角形形状看 的符号：大于 0 是锐角、等于 0 是直角、小于 0 是钝角（指 ）。 求边长用向量形式的余弦定理：，不必另画三角形。 【例题精讲】 1．若 为 的重心，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 是 所在平面内一点，若 且 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 3．已知点 满足 ，则 是 的（　　） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式训练】 1．已知点 满足 ，则（　　） A． B． C． D． 为外心 2．已知 （），则点 在（　　） A． 的平分线上 B． 边的中线上 C． 边的垂直平分线上 D． 边的高线上 3．在 中，若 ，则 是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 4．在 中，，，，则 边上的中线长为（　　） A． B． C． D． 5．在 中，已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 6．若 为 的垂心，则 （　　） A． B． C． D．无法确定 【巩固练习】 1．在 中，，，，若 为外心，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 是 的重心，过 的直线分别交 、 于 、，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．在 中， 为 中点，，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知点 满足 ，则 是 的（　　） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 5．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知点 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 、、，则 、、 三点（　　） A．共线 B．不共线 C．构成直角三角形 D．构成等腰三角形 5．已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 在 方向上的投影为（　　） A． B． C． D． 7．若 为 的重心，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．（多选）已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（多选）已知 、 为非零向量，则下列命题正确的是（　　） A． B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 与 的夹角为钝角 11．（多选）已知 ，，则下列结论可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【填空题】 12．已知 ，，若 ，则 ______． 13．已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 ______． 14．已知 为 中 边的中点，则 ______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题03　平面向量 群哥高中数学辅导资料 专题03　平面向量 一、核心知识 知识点一　向量的概念与线性运算 1. 向量：既有大小又有方向的量叫向量；只有大小没有方向的量叫数量（标量） 2. 向量的表示：用有向线段 表示，或用小写字母 、 表示 3. 向量的长度（模）：有向线段 的长度叫做向量的模，记作 或 4. 零向量：长度为 的向量，记作 ，其方向是任意的，规定 与任一向量平行 5. 单位向量：长度等于 个单位的向量；与 同向的单位向量为 6. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作 7. 相等向量：长度相等且方向相同的向量，与起点位置无关 8. 三角形法则：，首尾相接取首到尾 9. 平行四边形法则：以同起点的两个向量为邻边作平行四边形，对角线即为和向量 10. 减法法则：，同起点相减指向被减向量的终点 11. 数乘运算： 的长度为 ； 时方向相同， 时方向相反 12. 运算律：，， 13. 分配律：， 14. 共线定理：向量 与非零向量 共线的充要条件是存在唯一实数 ，使 15. 结论：若 、 不共线，且 ，则 16. 结论：若 、 不共线，则 与 共线 17. 易错：向量不能比较大小，只有向量的模可以比较大小 18. 易错： 与 不同，共线只要求方向相同或相反，长度可以不同 知识点二　平面向量基本定理与坐标运算 1. 基本定理：若 、 是同一平面内两个不共线的向量，则该平面内任一向量 都可唯一表示为 2. 基底：定理中的 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，基底不唯一但必须不共线 3. 坐标表示：在平面直角坐标系中，取与 轴、 轴同向的两个单位向量 、 为基底，则 记作 4. 坐标运算：设 、，则 ， 5. 模的坐标公式：； 6. 共线的坐标判定： （ 时亦可写成 ） 7. 中点坐标：若 、，则中点 的坐标为 8. 结论：点 在直线 上 ，即系数之和为 9. 结论：，即终点坐标减起点坐标 10. 方法：用基底表示未知向量时，先选好不共线的两个向量作基底，再用三角形法则或平行四边形法则反复拆合 11. 易错：坐标是相对于基底而言的，基底不同坐标不同；同一题中不要混用不同基底 知识点三　数量积 1. 定义：，其中 是 与 的夹角， 2. 数量积是一个数量（实数），不是向量；其符号由 决定 3. 坐标公式：设 、，则 4. 夹角公式： 5. 垂直判定： （非零向量） 6. 运算律：，， 7. 结论：，即 8. 结论：； 9. 投影： 叫做 在 方向上的投影，等于 ，它是数量而不是向量 10. 投影向量： 在 方向上的投影向量为 ，它是向量 11. 易错：数量积不满足结合律，；也不能由 推出 12. 易错：夹角为钝角要求 且两向量不反向共线；夹角为锐角要求 且不正向共线 知识点四　向量的模、夹角与最值 1. 三角不等式： 2. 平行四边形恒等式： 3. 方法（几何法）：、 的起点相同时， 表示两终点间的距离，最值问题转化为圆上点到定点的距离 4. 方法（建系法）：涉及图形的最值优先建立平面直角坐标系，把向量坐标化，转化为函数最值 5. 方法（函数法）：设 ，先平方得 ，再按 的二次函数求最小值 6. 结论：已知 时， 的取值范围是 7. 结论： 的取值范围是 ，同向取最大、反向取最小 8. 易错：求模的最值后要验证取等条件（共线方向）能否实现 知识点五　向量在平面几何中的应用 1. 距离与垂直：线段 的长度即 ；证明两直线垂直转化为证明向量数量积为 2. 重心 ：； 3. 重心性质：重心把中线分成 的两段； 4. 外心 ：，即三顶点共圆，外心是外接圆圆心 5. 垂心 ： 6. 内心 ： 的方向是 的平分线方向 7. 中线长公式：若 是 中点，则 8. 结论：（向量形式的余弦定理） 9. 结论： 10. 方法：判断三角形的形状，用 的符号判定 是锐角、直角还是钝角 11. 方法：证明三点共线转化为证明 （或 且有公共点 ） 12. 易错：用向量判定共线时必须说明两个向量有公共点，否则只能说明两直线平行或重合 二、题型精练 题型一　线性运算与共线定理 【方法与技巧】 化简线性运算式就按多项式展开：去括号、合并同类项， 全程通用。 证明三点共线用共线定理：找出两个有公共点的向量，证其中一个等于另一个的实数倍（），再说明公共点。 用基底表示向量时，若目标向量终点在某条直线上，就先沿这条直线拆，通常两步就能拆到基底上。 【例题精讲】 1．化简 得（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】按分配律展开：。数乘对加减法可分配，合并同类项即可。故选：C。 2．已知 、 不共线，若 与 共线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由共线的充要条件 得 ，解得 。也可设 ，比较系数得 、。故选：A。 3．已知 ，，，则共线的三点是（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【详解】，故 ，两向量共线且有公共点 ，所以 、、 三点共线。故选：A。 【变式训练】 1．已知 、 不共线，若 与 共线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 。用 一步到位，不必讨论比值。故选：B。 2．在 中，若 ，则 分 所得两段之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点在线段 上时 ，其中 。由 得 。故选：C。 3．若点 在线段 上，且 ，则 与 的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 ，即 （两向量同向）。故选：A。 4．化简 得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 。一步步去括号就不会错。故选：A。 5．已知 、 不共线，，，，若 、、 三点共线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。由 与 共线得 ，解得 。故选：B。 6．已知 、 不共线，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由不共线向量线性组合为零的充要条件得 、，即 、，故 。故选：A。 【巩固练习】 1．已知 ，（、 不共线），若 且点 在直线 上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点 在直线 上的充要条件是 ，即系数之和 ，故 。故选：A。 2．已知 ，，（、 不共线），则 、、 三点（　　） A．共线 B．不共线 C．构成直角三角形 D．构成等腰三角形 【答案】A 【详解】 的系数之和为 ，由共线条件知点 在直线 上，故三点共线。故选：A。 3．在 中，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 。故选：A。 4．若 为 的重心，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 为 中点，则 ，又 ，故 ，即 。故选：A。 5．已知 ，，（、 不共线），则共线的三点是（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【详解】，，两向量共线且有公共点 ，故 、、 三点共线。故选：A。 6．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由系数之和为 知 在直线 上，且 、，故 。故选：A。 7．已知 、 不共线，若 与 共线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。也可设 ，得 、。故选：A。 8．若点 满足 （），则 用 、 表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，这是定比分点的向量形式。故选：C。 题型二　平面向量基本定理与坐标运算 【方法与技巧】 坐标运算先算减： 一律终点坐标减起点坐标，别把顺序写反导致后面全错。 共线判定用交叉相乘： 即可，不必纠结比值形式，比值形式还要讨论分母为 0。 表示未知向量时列方程组：设 ，把坐标代入得两个方程，解出 即可。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。坐标运算逐项运算即可。故选：A。 2．已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】共线坐标判定：，解得 。故选：A。 3．已知 ，，，用 、 表示 得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则 、。由第二式 代入第一式得 ，故 、，即 。故选：A。 【变式训练】 1．已知 ，则与 同向的单位向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，与 同向的单位向量为 ；反向才是坐标全变号。故选：A。 2．已知 、、，则 、、 三点（　　） A．共线 B．不共线 C．构成直角三角形 D．构成等腰三角形 【答案】A 【详解】，，共线且有公共点 ，故三点共线。故选：A。 3．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，解得 。故选：A。 4．已知 ，，若 与 共线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，。由 得 ，故 。故选：B。 5．已知 ，，，用 、 表示 得（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设 ，则 、，解得 、，故 。故选：C。 6．已知 、、，若四边形 是平行四边形，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平行四边形中 ，故 。记住 最省事。故选：A。 【巩固练习】 1．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，解得 。注意是 而不是对应坐标成比例时漏掉符号。故选：D。 2．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故模为 。故选：A。 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。同起点相减，指向被减向量的终点。故选：A。 4．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，故 。二次型结果别只取正根。故选：A。 5．已知 ，，，用 、 表示 得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 ，则 、。由第二式 代入得 ，故 、。故选：B。 6．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，解得 。故选：D。 7．已知 、，点 满足 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。定比分点直接用起点加向量即可。故选：A。 8．已知 ，，则 与 （　　） A．反向共线 B．同向共线 C．垂直 D．不共线 【答案】A 【详解】，倍数 ，故两向量反向共线。判断同向还是反向看 的符号。故选：A。 题型三　数量积、模、夹角与投影 【方法与技巧】 求夹角先算 ，再由余弦值反推角度，别凭坐标猜角度。 求模优先平方：，把模的运算变成数量积的运算。 锐角、钝角类问题别漏反向共线：钝角要 且不是 ，锐角要 且不是 ，务必代回检验。 【例题精讲】 1．已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 2．已知 ，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，又 ，故 。故选：A。 3．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，又两向量非零，故夹角为 。故选：A。 【变式训练】 1．已知 ，，且 ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，得 ，故 。故选：A。 2．已知 ，，则 在 方向上的投影为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】投影为 。 是单位向量时，投影就等于数量积。故选：D。 3．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选：A。 4．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 ，即 。故选：A。 5．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选：A。 6．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。数量积是对应坐标乘积之和。故选：A。 【巩固练习】 1．已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选：A。 2．若非零向量 、 满足 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 。这是对角线互相垂直的平行四边形的性质。故选：C。 3．已知非零向量 、 满足 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两边平方得 ，即 ，故 。故选：A。 4．已知 ，，若 与 的夹角为锐角，则（　　） A． 且 B． C． D． 【答案】A 【详解】锐角要求 （得 ），且两向量不同向共线；同向共线时 即 ，须剔除，故 且 。故选：A。 5．已知 ，，，则 在 方向上的投影为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】投影为 。投影等于数量积除以被投影向量的模。故选：A。 6．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。故选：B。 7．已知 ，，则 在 方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】投影向量为 。注意投影向量是向量，投影是数量。故选：A。 8．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选：A。 题型四　向量的最值与取值范围 【方法与技巧】 看到 就想到两点间距离：把起点放在一起，最值就是圆上点到定点距离的加减半径。 带参数的模 先平方成关于 的二次函数，顶点处取最小值，再开方。 没有图形的最值题优先建系：把已知点放进坐标系，向量全部坐标化，剩下的就是函数值域问题。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角不等式 ，得 ，两端分别在反向、同向时取到。故选：A。 2．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 的终点在单位圆上， 是单位圆上的点到点 的距离，最大值为 （在 时取到）。故选：D。 3．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，当两向量同向（）时取最大值 。故选：A。 【变式训练】 1．已知 ，（），则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，当 时取最小值 。故选：C。 2．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的终点在单位圆上，点 到原点距离为 ，故最大距离为 （三点共线且圆心在中间时取到）。故选：A。 3．已知 、 都是单位向量，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，当 与 同向时取等号，故最大值为 。故选：D。 4．已知 ，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，当两向量反向（）时取最小值 。故选：A。 5．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故取值范围为 。故选：A。 6．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 是单位向量，，故 ，当 与 同向时取到。故选：B。 【巩固练习】 1．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，当 与 反向时取等号，故最大值为 。故选：A。 2．已知 、 是互相垂直的单位向量， 且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，又 ，故 ，当 时取到。故选：A。 3．已知 ，，，则 （）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，当 时取最小值 ，故最小模为 。故选：A。 4．已知点 在圆 上，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆心到点 的距离为 ，半径为 ，故圆上点到 的最大距离为 （ 时取到）。故选：B。 5．已知 ，，（），则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，当 时取最小值 ，故 。故选：A。 6．已知 ，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，最小值为 （ 时取到）。故选：A。 7．已知 ，，则 （）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，当 时取最小值 ，故最小值为 。故选：A。 8．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 ，当 与 同向时取到最大值 。故选：C。 题型五　向量在平面几何中的应用 【方法与技巧】 四心问题先背熟向量表达式：重心 ，垂心 ，外心 。 判定三角形形状看 的符号：大于 0 是锐角、等于 0 是直角、小于 0 是钝角（指 ）。 求边长用向量形式的余弦定理：，不必另画三角形。 【例题精讲】 1．若 为 的重心，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 为 中点，则 ，又 ，故三者之和为 。这是重心的向量特征。故选：A。 2．已知 是 所在平面内一点，若 且 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】由 知 为外心，又由 知 为重心，外心与重心重合的三角形是等边三角形。故选：A。 3．已知点 满足 ，则 是 的（　　） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【详解】 是重心的充要条件（移项可得 ， 为 中点），故 是重心。故选：A。 【变式训练】 1．已知点 满足 ，则（　　） A． B． C． D． 为外心 【答案】A 【详解】移项得 ，故 。数量积相等先移项再提取公因式。故选：A。 2．已知 （），则点 在（　　） A． 的平分线上 B． 边的中线上 C． 边的垂直平分线上 D． 边的高线上 【答案】A 【详解】 与 是沿 、 方向的单位向量，它们的和向量沿菱形对角线方向，即 的平分线方向。故选：A。 3．在 中，若 ，则 是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【详解】 说明 ，即 为钝角，故三角形是钝角三角形。故选：A。 4．在 中，，，，则 边上的中线长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 为 中点，由中线长公式 。故选：A。 5．在 中，已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量形式的余弦定理 ，故 。故选：A。 6．若 为 的垂心，则 （　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】垂心是高线交点，故 ，即 ，数量积为 。故选：A。 【巩固练习】 1．在 中，，，，若 为外心，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 知 ，直角三角形的外心是斜边中点，故外接圆半径 。故选：A。 2．已知 是 的重心，过 的直线分别交 、 于 、，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，因 、、 共线，系数之和为 ，故 ，即 。故选：B。 3．在 中， 为 中点，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由中线长公式得 ；又 。故选：A。 4．已知点 满足 ，则 是 的（　　） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 【答案】A 【详解】由 得 ，即 ；同理 ，故 是高线交点，即垂心。故选：A。 5．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 即 ，故 ，解得 。故选：A。 6．在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选：A。 7．已知点 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（ 为 中点），故 在重心位置， 到 的距离是 到 距离的 ，面积比为 。故选：A。 8．在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选：A。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，即 ，解得 。垂直坐标判定就是交叉积之和为 0。故选：A。 2．已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选：A。 4．已知 、、，则 、、 三点（　　） A．共线 B．不共线 C．构成直角三角形 D．构成等腰三角形 【答案】A 【详解】，，两向量共线且有公共点 ，故三点共线。故选：A。 5．已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。垂直时可用勾股定理，结论一致。故选：A。 6．已知 ，，则 在 方向上的投影为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】投影为 。投影是数量，可为负，表示方向相反。故选：A。 7．若 为 的重心，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ，。故选：A。 8．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，又两向量均非零，故夹角为 。数量积为 0 是垂直的充要条件。故选：B。 【多项选择题】 9．（多选）已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】，A 对；，B 对；，C 对；数量积为 不是 ，D 错。故选 ABC。故选：ABC。 10．（多选）已知 、 为非零向量，则下列命题正确的是（　　） A． B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 与 的夹角为钝角 【答案】BCD 【详解】三角不等式是 ，A 错；非零向量数量积为 0 即垂直，B 对； 平方后得 ，C 对；数量积小于 0 即 ，夹角为钝角，D 对。故选 BCD。故选：BCD。 11．（多选）已知 ，，则下列结论可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由三角不等式 ，故 （同向）、（反向）都可能， 不可能；， 可以取到。故选 ABD。故选：ABD。 【填空题】 12．已知 ，，若 ，则 ______． 【答案】 【详解】共线坐标判定：，解得 。也可由 得 、。故答案为：。 13．已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 ______． 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 14．已知 为 中 边的中点，则 ______． 【答案】 【详解】由平行四边形法则，以 、 为邻边的平行四边形的对角线为 （ 为 中点），故 。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $