专题03 平面向量专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题03　平面向量 群哥高中数学辅导资料 专题03　平面向量 一、核心知识 1．向量：既有大小又有方向的量。大小叫模 ； 长度为 的向量叫零向量 （方向任意）； 长度等于 的向量叫单位向量。 2．向量相等：大小相等且方向相同；与起点无关（自由向量）。 与 大小相等、方向相同。 3．加减法：首尾相接用三角形法则，共起点用平行四边形法则； ，其中 （终点指向终点）。 4．数乘： 的模为 ； 与 同向， 反向；共线定理 。 5．平面向量基本定理：不共线的 可作为基底，平面内任一向量 可唯一表示为 。基底必须不共线，这是前提。 6．坐标表示：；若 ，则 （终点坐标减起点坐标）。 7．坐标运算：加减、数乘按分量分别进行；共线的坐标条件 （设 ，）。 8．数量积：（ 为夹角），坐标公式 ；。 9．模与夹角：；求模用 ，；。 10．垂直与投影：； 在 上的投影为 。 11．应用：用向量法处理长度、角度、共线、共点、最值问题；三角形四心中，重心满足 ，外心到三顶点距离相等。 二、题型精练 题型一　平面向量的概念与线性运算 【方法与技巧】 向量的“运算”和实数不同，没有除法；判断向量关系先看方向再看大小。 ① 加减 —— 首尾相接用三角形法则，共起点用平行四边形法则；求差 （终点指向终点），别数错方向。 ② 数乘与共线 —— 是共线的充要条件（反向即 ）；证明共线先找系数关系。 ③ 基底表示 —— 把未知向量用已知不共线向量线性表示，是解几何向量题的基本功，先选定两个不共线向量作基底。 【例题精讲】 1．设 为不共线的向量，若 ，，则（　　） A． B． 与 共线 C． D．无法确定 【答案】B 【详解】，故 与 共线。故选：B。 2．在 中，（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】首尾相接回到起点，和为零向量。故选：C。 3．已知向量 满足 且 与 垂直，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，即 ，故 ，。故选：B。 【变式训练】 1．化简 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式 。故选：D。 2．设 为非零向量，则“”是“”的（　　） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【详解】相等 平行（充分）；平行推不出相等（方向可相反、长度可不同），必要性不成立。故选：D。 3．已知向量 ，，则 与 的关系是（　　） A．共线且反向 B．垂直 C．共线且同向 D．既不平行也不垂直 【答案】C 【详解】，共线且方向相同。故选：C。 4．在平行四边形 中，（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平行四边形法则，。故选：A。 5．若 ，则四边形 是（　　） A．平行四边形 B．梯形 C．矩形 D．无法确定 【答案】B 【详解】 说明 且 ，一组对边平行且不相等，是梯形。故选：B。 6．设 为单位向量，，且 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 【巩固练习】 1．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 2．设 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】共线条件 ，得 ，故 。故选：B。 3．在 中，点 是 中点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以 为顶点、 为中点的平行四边形中，。故选：D。 4．已知向量 与 不共线，且 ，，若 ，则（　　） A．一定成立 B． C． D．不可能 【答案】D 【详解】若 ，则存在 使 。由 不共线得 且 ，矛盾，故不可能。故选：D。 5．化简 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】；。故原式 。故选：A。 6．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 。故选：C。 7．若 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，数量积 ，故垂直。故选：A。 8．已知 ，，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 题型二　平面向量基本定理与坐标表示 【方法与技巧】 坐标化是向量题最稳的打法：能建系就建系，把几何条件翻译成代数等式。 ① 基底表示 —— 在平面内任取两个不共线向量作基底，把目标向量拆成 ，系数唯一。 ② 坐标运算 —— 加减数乘逐分量做； 终点减起点，中点是坐标平均。 ③ 共线坐标条件 —— ；求参数时先列这个等式再解，解完代回确认分母不为零。 【例题精讲】 1．已知向量 不共线，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由基本定理系数唯一，，故 。故选：A。 2．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 3．已知向量 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】共线条件 ，得 。故选：D。 【变式训练】 1．已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】共线条件 ，得 。故选：C。 2．点 ，，则线段 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中点 。故选：A。 3．已知向量 ，，则 与 （　　） A．共线且同向 B．垂直 C．共线且反向 D．不共线 【答案】C 【详解】，共线且方向相反。故选：C。 4．在 中，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 5．设 ，，若 与 共线且方向相反，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】共线得 ，即 ；方向相反要求 且 ，取 时 ，反向； 时同向。故 。故选：A。 6．已知向量 ，则与 反向的单位向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，反向单位向量 。故选：B。 【巩固练习】 1．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 2．点 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。故选：B。 3．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 4．已知向量 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】共线条件 ，得 。故选：B。 5．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，和为 。故选：C。 6．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 7．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 8．已知 ，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 题型三　平面向量的数量积 【方法与技巧】 数量积把“长度、角度、垂直”统一到一个运算里，是向量考法的核心。 ① 定义与坐标 —— 优先用坐标公式 ，比套 省事且不易错。 ② 求模 —— ，，开平方前先平方。 ③ 求夹角 —— 先算数量积和模，再代 ；垂直是数量积为零的特例，看到垂直先写数量积为零。 【例题精讲】 1．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 2．已知 ，， 与 夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 3．已知向量 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故垂直，夹角 。故选：C。 【变式训练】 1．已知向量 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 2．已知向量 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】垂直得 ，得 。故选：B。 3．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 4．已知向量 ，，则 在 上的投影为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】投影 。故选：B。 5．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故 。故选：D。 6．若 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故 。故选：D。 【巩固练习】 1．已知向量 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 2．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】垂直得 ，得 。故选：D。 3．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 4．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。故选：B。 5．已知向量 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，故 ，。故选：B。 6．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 7．若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故 。故选：D。 8．已知 ，，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 题型四　向量的最值与取值范围 【方法与技巧】 向量法的威力在于把“形”的问题转成“数”的运算，尤其适合最值和几何证明。 ① 几何最值 —— 把所求量表示成某个向量的模或数量积，用 或几何意义求最值。 ② 四心表征 —— 重心 ；外心到三顶点距离相等；垂心三高交于一点。 ③ 定值与证明 —— 用基底或坐标把线段关系、角相等翻译成向量等式，逐项展开化简，注意 的反复使用。 【例题精讲】 1．已知 ，动点 在圆 上运动，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】建系设 ，由 在圆上知 ；，故取值范围为 。建系法把数量积化为一元函数是处理圆上动点问题的通法。故选：A。 2．已知向量 满足 ，，若向量 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。条件 说明 的终点落在以 的终点为圆心、半径为 的圆上，而 是该圆上的点到原点的距离，圆心到原点距离 ，故 。几何法（隐圆）的关键是把条件翻译成动点的轨迹。故选：A。 3．已知向量 ，，若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 且 【答案】A 【详解】夹角为锐角需 且 不共线： 得 ；共线时 即 （此时同向共线，夹角为 ），需排除。故 且 。故选：A。 【变式训练】 1．已知向量 满足 ，， 与 的夹角为 ，若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。，对称轴 ，最小值 ，故 的最小值为 。故选：A。 2．已知点 在圆 上，， 为坐标原点，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】设 ，则 ，为定值。圆方程代入是处理圆上动点数量积的巧法。故答案为：。 3．已知向量 为单位向量，且 ，若向量 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即 。 的终点在以 终点为圆心、半径 的圆上，该圆恰过原点，故 。故选：A。 4．已知向量 ，，若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 【答案】A 【详解】夹角为钝角需 且不反向共线： 得 ；反向共线时 即 ，不在范围内无需排除。故 。故选：A。 5．已知 为坐标原点，，点 在直线 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，，当 （即 与 重合）时取最小值 。故选：A。 6．已知 ，，则 的取值范围是　　　　．　　　　 【答案】 【详解】，故 。三角换元后利用 的有界性是常规套路。故答案为：。 【巩固练习】 1．已知向量 满足 ，，则 的取值范围是　　　　．　　　　 【答案】 【详解】，分别对应反向共线与同向共线。故答案为：。 2．已知向量 ，，若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 且 【答案】A 【详解】 得 ；共线时 即 （同向共线）需排除。故 且 。故选：A。 3．已知点 在圆 上，， 为坐标原点，则 的取值范围是　　　　．　　　　 【答案】 【详解】设 ，，由 得取值范围 。故答案为：。 4．已知 为单位向量，且 ，则 （ 为任意实数）的最小值为　　　　．　　　　 【答案】 【详解】，当 时取最小值 ，故所求最小值为 。故答案为：。 5．已知 ，，则 （ 为任意实数）的最小值为　　　　．　　　　 【答案】 【详解】，最小值为 ，故所求为 。故答案为：。 6．在 中，点 在线段 上，且 ，则 （　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】 在直线 上时系数和为 （等和线基准）：，系数和恒为 。故选：A。 7．在矩形 中，，，点 在矩形 内部（含边界），且 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】建系： 为原点，，，则 满足 ，，。该线性目标在顶点处取得最值： 处为 ， 处为 ，故取值范围 。故选：A。 8．已知点 在圆 上，，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，。圆上 （几何法：原点到直线 距离不超过 ），故取值范围 。故选：A。 题型五　向量在平面几何中的应用 【方法与技巧】 四心一句话记：重心分中线 2:1、垂心三高交点、外心垂直平分线交点、内心角平分线交点。 ① 中点公式 与重心公式 是几何应用的两大基石，别混。 ② 判断点的身份（四心）标准流程：把条件移项变形成 （垂直）或系数和关系（等和线），再对号入座。 ③ 等和线结论： 在直线 上时 ；在 同侧时系数和即“高度比”，面积比直接用。 【例题精讲】 1．在 中，若 为重心，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】重心的重要性质：三条由顶点指向重心的向量之和为零向量。故选：A。 2．已知 为非零向量，且 ，则以 为邻边的平行四边形是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】A 【详解】两边平方得 ，得 ，即 ，邻边垂直的平行四边形是矩形。故选：A。 3．已知点 是 的外心，且外接圆半径为 ，则 到三个顶点 、、 的距离（　　） A．都等于 B．成等差数列 C．互不相等 D．无法确定 【答案】A 【详解】外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，都等于外接圆半径 。故选：A。 【变式训练】 1．在 中，若 ，则 （　　） A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定 【答案】A 【详解】 与 的夹角为 ，其数量积为正说明 ，即 ，故 ，为钝角。故选：A。 2．已知 ，，，则 的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】，；，；，。，故为等腰三角形。故选：A。 3．设 为 所在平面内任意一点，若 ，则（　　） A． 为 的中点 B． 为 的重心 C． 为 的外心 D．无法判定 【答案】A 【详解】移项得 ，即 ，说明 为 的中点（结论与 的选取无关）。故选：A。 4．已知 为单位向量，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选：A。 5．在矩形 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】矩形对角线 的长度 。故选：A。 6．已知点 是 的内心，则 到三角形三边的距离（　　） A．相等 B．成等比数列 C．互不相等 D．无法确定 【答案】A 【详解】内心是三条角平分线的交点，也就是内切圆的圆心，到三边距离都等于内切圆半径 。故选：A。 【巩固练习】 1．在 中， 为 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中点公式：。也可由 展开验证。故选：A。 2． 为 所在平面内一点，若 ，则 为 的（　　） A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 【答案】A 【详解】由 得 ，即 ，；同理 ，故 为垂心。故选：A。 3．在 中，，， 为重心，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】 在中线 上且 ；，故 ；于是 。故答案为：。 4．已知 的重心为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在中线 上，。故选：A。 5．在 中，若 ，则 与 的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，点 与 在直线 同侧，且 到 的距离为 到 距离的 （等和线结论：系数和即“高度比”），故面积比为 。故选：A。 6．已知 为 的外心，，，，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】，外心 为斜边 的中点，外接圆半径 ，故 。故答案为：。 7．已知向量 满足 ，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，得 ；，故 。故选：C。 8．在 中，，， 为 的中点， 为 的中点，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故 。故选：D。 2．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 3．设 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 。故选：C。 4．已知向量 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】共线条件 ，得 。故选：C。 5．已知向量 ，，则 在 上的投影为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】投影 。故选：A。 6．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 7．若 ，， 与 的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 8．已知向量 ，，则 与 的夹角余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故垂直，。故选：A。 【多项选择题】 9．下列关于平面向量的结论中，正确的是（　　） A． 的方向是任意的 B．若 且 ，则 C． D．若 且 ，则 【答案】AC 【详解】零向量方向任意，A 对；平行传递性在 时失效（如 任意、、 任意），B 错；，C 对；由 推不出 （可能 ），D 错。故选：AC。 10．已知向量 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】，故平行且 ，A、C 对；，B 对；不垂直，D 错。故选：ABC。 11．关于平面向量基本定理，下列说法正确的是（　　） A．任意两个向量都可作为基底 B．不共线的两个向量可作为基底 C．平面内任一向量可唯一表示为基底的线性组合 D．基底选定后，向量的表示与基底选择无关 【答案】BC 【详解】基底必须是不共线的两个向量，A 错、B 对；基本定理保证唯一表示，C 对；表示的系数依赖于基底选择，D 错。故选：BC。 【填空题】 12．已知向量 ，则与 同向的单位向量为　　　　．　　　　 【答案】 【详解】，单位向量 。故答案为：。 13．已知 ，，且 ，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】，得 。故答案为：。 14．若 ，，，则 　　　　．　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题03　平面向量 群哥高中数学辅导资料 专题03　平面向量 一、核心知识 1．向量：既有大小又有方向的量。大小叫模 ；长度为 的向量叫零向量 （方向任意）；长度等于 的向量叫单位向量。 2．向量相等：大小相等且方向相同；与起点无关（自由向量）。 与 大小相等、方向相同。 3．加减法：首尾相接用三角形法则，共起点用平行四边形法则；，其中 （终点指向终点）。 4．数乘： 的模为 ； 与 同向， 反向；共线定理 。 5．平面向量基本定理：不共线的 可作为基底，平面内任一向量 可唯一表示为 。基底必须不共线，这是前提。 6．坐标表示：；若 ，则 （终点坐标减起点坐标）。 7．坐标运算：加减、数乘按分量分别进行；共线的坐标条件 （设 ，）。 8．数量积：（ 为夹角），坐标公式 ；。 9．模与夹角：；求模用 ，；。 10．垂直与投影：； 在 上的投影为 。 11．应用：用向量法处理长度、角度、共线、共点、最值问题；三角形四心中，重心满足 ，外心到三顶点距离相等。 二、题型精练 题型一　平面向量的概念与线性运算 【方法与技巧】 向量的“运算”和实数不同，没有除法；判断向量关系先看方向再看大小。 ① 加减 —— 首尾相接用三角形法则，共起点用平行四边形法则；求差 （终点指向终点），别数错方向。 ② 数乘与共线 —— 是共线的充要条件（反向即 ）；证明共线先找系数关系。 ③ 基底表示 —— 把未知向量用已知不共线向量线性表示，是解几何向量题的基本功，先选定两个不共线向量作基底。 【例题精讲】 1．设 为不共线的向量，若 ，，则（　　） A． B． 与 共线 C． D．无法确定 　 　 　 2．在 中，（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．已知向量 满足 且 与 垂直，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．化简 （　　） A． B． C． D． 2．设 为非零向量，则“”是“”的（　　） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 3．已知向量 ，，则 与 的关系是（　　） A．共线且反向 B．垂直 C．共线且同向 D．既不平行也不垂直 4．在平行四边形 中，（　　） A． B． C． D． 5．若 ，则四边形 是（　　） A．平行四边形 B．梯形 C．矩形 D．无法确定 6．设 为单位向量，，且 ，则（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．设 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．在 中，点 是 中点，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知向量 与 不共线，且 ，，若 ，则（　　） A．一定成立 B． C． D．不可能 5．化简 （　　） A． B． C． D． 6．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 7．若 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，则 　　　　．　　　　 题型二　平面向量基本定理与坐标表示 【方法与技巧】 坐标化是向量题最稳的打法：能建系就建系，把几何条件翻译成代数等式。 ① 基底表示 —— 在平面内任取两个不共线向量作基底，把目标向量拆成 ，系数唯一。 ② 坐标运算 —— 加减数乘逐分量做； 终点减起点，中点是坐标平均。 ③ 共线坐标条件 —— ；求参数时先列这个等式再解，解完代回确认分母不为零。 【例题精讲】 1．已知向量 不共线，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．已知向量 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．点 ，，则线段 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．已知向量 ，，则 与 （　　） A．共线且同向 B．垂直 C．共线且反向 D．不共线 4．在 中，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 5．设 ，，若 与 共线且方向相反，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知向量 ，则与 反向的单位向量为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．点 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知向量 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知 ，则 　　　　．　　　　 题型三　平面向量的数量积 【方法与技巧】 数量积把“长度、角度、垂直”统一到一个运算里，是向量考法的核心。 ① 定义与坐标 —— 优先用坐标公式 ，比套 省事且不易错。 ② 求模 —— ，，开平方前先平方。 ③ 求夹角 —— 先算数量积和模，再代 ；垂直是数量积为零的特例，看到垂直先写数量积为零。 【例题精讲】 1．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．已知 ，， 与 夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．已知向量 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．已知向量 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知向量 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知向量 ，，则 在 上的投影为（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 6．若 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知向量 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知向量 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 7．若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，则 　　　　．　　　　 题型四　向量的最值与取值范围 【方法与技巧】 向量法的威力在于把“形”的问题转成“数”的运算，尤其适合最值和几何证明。 ① 几何最值 —— 把所求量表示成某个向量的模或数量积，用 或几何意义求最值。 ② 四心表征 —— 重心 ；外心到三顶点距离相等；垂心三高交于一点。 ③ 定值与证明 —— 用基底或坐标把线段关系、角相等翻译成向量等式，逐项展开化简，注意 的反复使用。 【例题精讲】 1．已知 ，动点 在圆 上运动，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．已知向量 满足 ，，若向量 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 　 　 3．已知向量 ，，若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 且 【变式训练】 1．已知向量 满足 ，， 与 的夹角为 ，若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知点 在圆 上，， 为坐标原点，则 　　　　．　　　　 3．已知向量 为单位向量，且 ，若向量 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知向量 ，，若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 5．已知 为坐标原点，，点 在直线 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 的取值范围是　　　　．　　　　 【巩固练习】 1．已知向量 满足 ，，则 的取值范围是　　　　．　　　　 2．已知向量 ，，若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 且 3．已知点 在圆 上，， 为坐标原点，则 的取值范围是　　　　．　　　　 4．已知 为单位向量，且 ，则 （ 为任意实数）的最小值为　　　　．　　　　 5．已知 ，，则 （ 为任意实数）的最小值为　　　　．　　　　 6．在 中，点 在线段 上，且 ，则 （　　） A． B． C． D．无法确定 7．在矩形 中，，，点 在矩形 内部（含边界），且 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知点 在圆 上，，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型五　向量在平面几何中的应用 【方法与技巧】 四心一句话记：重心分中线 2:1、垂心三高交点、外心垂直平分线交点、内心角平分线交点。 ① 中点公式 与重心公式 是几何应用的两大基石，别混。 ② 判断点的身份（四心）标准流程：把条件移项变形成 （垂直）或系数和关系（等和线），再对号入座。 ③ 等和线结论： 在直线 上时 ；在 同侧时系数和即“高度比”，面积比直接用。 【例题精讲】 1．在 中，若 为重心，则 （　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．已知 为非零向量，且 ，则以 为邻边的平行四边形是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 　 　 　 3．已知点 是 的外心，且外接圆半径为 ，则 到三个顶点 、、 的距离（　　） A．都等于 B．成等差数列 C．互不相等 D．无法确定 　 　 　 【变式训练】 1．在 中，若 ，则 （　　） A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定 2．已知 ，，，则 的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．设 为 所在平面内任意一点，若 ，则（　　） A． 为 的中点 B． 为 的重心 C． 为 的外心 D．无法判定 4．已知 为单位向量，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．在矩形 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知点 是 的内心，则 到三角形三边的距离（　　） A．相等 B．成等比数列 C．互不相等 D．无法确定 【巩固练习】 1．在 中， 为 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 2． 为 所在平面内一点，若 ，则 为 的（　　） A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 3．在 中，，， 为重心，则 　　　　．　　　　 4．已知 的重心为 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．在 中，若 ，则 与 的面积之比为（　　） A． B． C． D． 6．已知 为 的外心，，，，则 　　　　．　　　　 7．已知向量 满足 ，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 8．在 中，，， 为 的中点， 为 的中点，则 　　　　．　　　　 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．设 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知向量 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知向量 ，，则 在 上的投影为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 7．若 ，， 与 的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知向量 ，，则 与 的夹角余弦值为（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．下列关于平面向量的结论中，正确的是（　　） A． 的方向是任意的 B．若 且 ，则 C． D．若 且 ，则 10．已知向量 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．关于平面向量基本定理，下列说法正确的是（　　） A．任意两个向量都可作为基底 B．不共线的两个向量可作为基底 C．平面内任一向量可唯一表示为基底的线性组合 D．基底选定后，向量的表示与基底选择无关 【填空题】 12．已知向量 ，则与 同向的单位向量为　　　　．　　　　 13．已知 ，，且 ，则 　　　　．　　　　 14．若 ，，，则 　　　　．　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $