第3章 圆（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材苏科版九年级上册

第3章 圆·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024·四川成都·二模）如图，中，为弦，为半径，且于点．若，则的度数为（    ） A．28° B．26° C．25° D．24° 2．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 3．（2026·河南周口·二模）如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．正十八边形 5．（2026·广东肇庆·一模）如图，为的直径，弦，若，的半径为，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（　　）． A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2026·山西长治·三模）如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·四川南充·一模）如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 9．（2026·四川广元·中考真题）如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·湖北武汉·一模）如图，，，，内切圆半径为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026·北京东城·一模）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 12．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的直径为，若点到点的距离为，则点在________．（填“内”“外”或“上”） 13．如图，是的内接三角形，点是弧的中点，已知，，则 ______度． 14．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 15．（2026·安徽马鞍山·三模）如图，的外切正六边形的边长为4，则图中阴影部分的面积为______． 16．（2026·江苏南京·三模）如图，在正五边形中，过点的分别与边相切于点为上一点，则__________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法． (1)作圆心和的中点． (2)连接，交于点，若，，求的半径． 18．（6分）（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 19．（6分）（2026·湖北孝感·二模）如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 20．（8分）（2026·湖北武汉·中考真题）如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 21．（8分）（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点E在的延长线上，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，求的长． 22．（9分）（2025·吉林长春·模拟预测）（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹． （2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． ①如图2，过点O作的垂线，交于； ②如图3，点B在上，过点B作弦． 23．（9分）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）矩形中（），对角线，交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以点为圆心，为半径作圆，在不添加任何辅助线的情况下，若与相切，请直接写出长度等于的线段． 24．（10分）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、相交于点E，点F在弦上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作于点H，连接、，若，，求的面积． 25．（10分）（2026·河北邯郸·模拟预测）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)如图1，连接、，则是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)如图2，在半圆弧上取点P、Q（P在Q的右侧）和直径上的点O、B，顺次连接这四个点构成的四边形是菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图3，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆 (4) (5) ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由； ②如图4，半圆与相切时，求出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024·四川成都·二模）如图，中，为弦，为半径，且于点．若，则的度数为（    ） A．28° B．26° C．25° D．24° 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理．由题意易得，进而可得，再根据等边对等角即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 2．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 3．（2026·河南周口·二模）如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用切线的性质可得，得到直角，在中，求出的度数，利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：连接， ∵射线与相切于， ∴， ∵， 在中，， ∴． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．正十八边形 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆的关系以及圆周角定理，掌握构造同弧所对的圆心角是解题的关键． 构造弧所对的圆心角后，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， 是正九边形的一条边． 故选：A． 5．（2026·广东肇庆·一模）如图，为的直径，弦，若，的半径为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先证明，求出，再利用弧长公式计算即可 【详解】解：如图，连接， 为的直径，， ， ，的半径为， 的长为， 的长为，选项符合题意． 6．如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（　　）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据是的切线，则，再求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵为的切线， ∴． ∵为的切线， ∴． ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键． 7．（2026·山西长治·三模）如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 8．（2026·四川南充·一模）如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，由轴对称性可得，则，故当三点共线时，最小，最小值为，由弧和圆心角的关系可求，进而求出，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接， ∵点与点关于对称， ， ， 则当三点共线时，最小，最小值为， ∵是的直径，，点是的中点， ， ， 又， ， ∴的最小值为2． 9．（2026·四川广元·中考真题）如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，则， 由内心的定义可得 平分， 可得， 进一步可证明，利用勾股定理可得，设的内切圆半径为， 根据，可求出， 过点作于点，则，解直角三角形即可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， 为 的直径， ， 点为的内心， 平分， ， 弧 弧， ， 在 中，由勾股定理得， 在 中，由勾股定理得； 设的内切圆半径为， 点 为的内心， 点到的三边的距离都等于， ， ， ， ； 如图所示， 过点作于点， 则， 在中，， 是等腰直角三角形 ， ． 10．（2026·湖北武汉·一模）如图，，，，内切圆半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图中A、B、C、D四点共圆，且，可得，因此是圆的直径，进一步可得，同时．先在中用勾股定理求的长度，再在中求出的长度．过点A作于点E，用勾股定理求出的长度，即得的长度。设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H，则，由，代入的值，即可求出内切圆半径． 【详解】解：连接，∵， ∴，， ∴， ∴是圆的直径． ∴， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴ ． 过点A作于点E， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H， 则， ∵， ∴， 化简得， 解得． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026·北京东城·一模）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 12．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的直径为，若点到点的距离为，则点在________．（填“内”“外”或“上”） 【答案】外 【分析】先根据的直径求出圆的半径，再比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可． 【详解】解：的直径为， 的半径， 点到圆心的距离， ， 点在外． 13．如图，是的内接三角形，点是弧的中点，已知，，则 ______度． 【答案】100 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，弧，弦，角之间的关系，根据圆周角定理，求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，圆内接四边形的对角互补，求出的度数，等弧对等弦，得到，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内接三角形，点是弧的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：100． 14．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，根据圆的内接四边形的性质，圆心角与圆周角关系，垂径定理推论，求解即可． 【详解】解：如图，在优弧上任取点F，连接， 则四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ∵点M是弦的中点，， ． 15．（2026·安徽马鞍山·三模）如图，的外切正六边形的边长为4，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】设与的切点是点，连接，则，首先根据正六边形的性质可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可以求出，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示， 设与的切点是点，连接， 则， 在正六边形中，，， 是等边三角形， 正六边形的边长为， ， ， ， ， ． 16．（2026·江苏南京·三模）如图，在正五边形中，过点的分别与边相切于点为上一点，则__________． 【答案】54 【分析】连接，先证明四边形是等腰梯形，即可证明，则，那么，即可求解，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接 ∵正五边形 ∴， ∵分别与相切， ∴， ∴在五边形中，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，而不平行于， ∴四边形是梯形， 又∵ ∴四边形是等腰梯形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法． (1)作圆心和的中点． (2)连接，交于点，若，，求的半径． 【答案】(1)如图，点和点即为所求， (2) 【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，的垂直平分线与的交点即为点； （2）连接，由垂径定理的逆定理可得，，使用勾股定理计算出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知，点是的中点， ∴， ∴， 在中，． 18．（6分）（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵，点G恰好是的中点 ∴ ∴， ∴； (2)2 【分析】（1）根据同角的余角相等以及直角三角形斜边中线的性质证明即可； （2）连接，连接并延长交于点，先得到，再由垂径定理的推论得到，利用三线合一得到，设，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，连接并延长交于点， ∵ ∴ ∴ ∵经过圆心， ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴． 19．（6分）（2026·湖北孝感·二模）如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； (2)5 【分析】（1）如图，连接，则，易证，从而得到，进而求得，再根据切线定义即可证明结论； （2）如图，连接，过点作于，易证四边形是矩形，则，利用垂径定理可得，在中，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：如图，连接，过点作于， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ， 在中，， 的半径长为5． 20．（8分）（2026·湖北武汉·中考真题）如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质，推出，得到，利用等边对等角得到，进而得到，即可； （2）连接，交于点，连接，交于点，分割法求阴影部分面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点，连接，交于点， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 21．（8分）（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点E在的延长线上，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定即可得出结论； （2）先证明，得出为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 22．（9分）（2025·吉林长春·模拟预测）（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹． （2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． ①如图2，过点O作的垂线，交于； ②如图3，点B在上，过点B作弦． 【答案】 （1）如图，六边形即为所求； （2）①如图，即为所求； ②如图，即为所求； 【分析】（1）先作直径，分别以为圆心，为半径画弧，与的交点分别为，再顺次连接即可得到正六边形； （2）①取格点，连接交于，过作直线交于即可； ②取格点，连接交于，过作直线交于，连接交于，连接并延长交于，连接，则即为所求． 【详解】解：（1）理由：连接， 由作图可得：， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴六边形为的正六边形； （2）①理由：由格点图形可得：四边形为正方形， ∴， ∴，即； ②理由：由（2）得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作圆的内角正六边形，垂径定理的应用，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理的应用，平行线的判定，熟练的作图是解本题的关键． 23．（9分）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）矩形中（），对角线，交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以点为圆心，为半径作圆，在不添加任何辅助线的情况下，若与相切，请直接写出长度等于的线段． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）连接，由矩形的性质得 ，再由点B和点关于对称， 得 垂直平分，进而得，，，然后，由三角形的内角和为，得，进而得出，即； （2）连接，，设的半径为r，即，首先，由矩形的性质得 ，由点B关于的对称点为， 点O为的中点，证得是的中位线，得，，， 再由以点为圆心，为半径作圆，与相切，证得与相切，得，是等腰三角形，进而证得， 得，可证得是等边三角形， ，再证得 ， 从而得， 最后，得，即． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∵点B和点关于对称， ∴ 垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，，设的半径为r，即， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点B关于的对称点为， ∴点E是的中点，，， 又∵点O为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 由（1）知， ∴． ∵与相切，点是矩形对角线的交点，又是的圆心， ∴点到两平行线间的距离相等， ∴与相切， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴的长度等于． 【点睛】由点B关于的对称点为， 点O为的中点，证得是的中位线，得，，， 再由以点为圆心，为半径作圆，与相切，证得与相切，得，是等腰三角形，进而证得， 得，可证得是等边三角形，是本题解题的关键． 24．（10分）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、相交于点E，点F在弦上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作于点H，连接、，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：连接，如图所示， ， ， ， ． (2)证明：，， 四边形为等腰梯形， ， ，， ， ． ， ， 为等边三角形， ． ， ，， ， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ． (3)15 【分析】（1）根据同圆中相等的弦所对的弧相等和等弧所对的圆周角相等推出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． （2）利用等腰梯形的判定和性质推出，结合邻补角定义和等腰三角形的性质推出结合已知条件，推出等边，结合平行线的性质推出等边三角形，最后利用证明，即可推出． （3）根据垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理求出的长度，利用等边三角形的性质求出关系，设参数，，结合勾股定理表示出关系，利用完全平方公式求出和的值即可求出相应的线段，面积从而求出最后利用等底同高即可求出面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ， ， ，， ，， ， 在中，，， ． ，， ． 和为等边三角形，，， ， 设，则，，，， ， ， 在和中，， ， 在和中，，， ， ， ①，②， ②-①得，则， ， 即， 即， ，， ． ，是和的高， ． 【点睛】本题考查了圆与内接四边形的综合，解题的关键是要设和参数，利用整体化思想和完全平方公式求出长度． 25．（10分）（2026·河北邯郸·模拟预测）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)如图1，连接、，则是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)如图2，在半圆弧上取点P、Q（P在Q的右侧）和直径上的点O、B，顺次连接这四个点构成的四边形是菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图3，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆 (4) (5) ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由； ②如图4，半圆与相切时，求出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 【答案】(1)直角 (2) (3)①解：点O在半圆上．理由如下： 如图，连接，，． ∵是的一条弦，是以为直径的圆的圆心， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∵的直径， ∴的半径， ∴， 解得：， 即， ∴点O在半圆上． ② ③点P到的距离为或 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角即可得到答案； （2）以点B为圆心，的长为半径画弧交于点P，以点P为圆心，的长为半径画弧交于点Q，连接，，，则四边形即为所求； （3）①连接，，．由垂径定理得到，，由勾股定理得，解出，即有，则点O在半圆上； ②根据题意可得半圆与相切时，切点为点O，则可求出，再运用扇形面积公式进行计算即可； ③分点在点O的右侧以及点在点O的左侧，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∴是直角三角形． （2）略 （3）①略 ②解：∵点O在半圆上， ∴半圆与相切时，切点为点O， ∴， ∵由①可知，， ∴， ∴， ∴． ③解：点P到的距离为或．理由如下： 如图，当点在点O的右侧时，过点作于点N，过点P作于点M． ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴点P到的距离为； 如图，当点在点O的左侧时，过点作于点S，过点P作于点R． 同理可证， ∴同理可得， ∴， 同理可得点P到的距离为； 综上所述，点P到的距离为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $