第三章 圆 单元测试卷2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第三章《圆》单元浏试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，下列各角是圆心角的是() A.∠ACO B.∠BED C.∠BOC D.∠BAC 2.如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，BC=DC,∠A=25°，则∠D的度数是() 5 A.25° B.40° C.60° D.65 3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，⊙0的半径为3，则AB的长为() D A.2 B.3 C.5 D.25 4.如图，PA、PB分别与⊙0相切于A、B,∠P=60°，C为⊙0上一点，则∠ACB的度数为 A B A.110° B.120° C.125° D.130° 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB垂足为点M,连接OC,DB.如果OC∥DB,OC=4, 那么图中阴影部分的面积是() B )M O A.37 B.2π c D.4π 6.如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画AE分别交AC,BC于点D,E,若 CD=AB,∠B=87° 则DE 的度数为() A.30° B.31° C.32° D.33° 7.如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则BCD的长为 2V7 7 14 A.3π B.2π C. D.3元 8.如图，右平面宜龚坐标系中，点从B在反比例函数y黄(30：0)的图象上，分别 以点A,1为半径作圆，当⊙A与y轴相切，连接AB.若AB=3V2,则k的值为() A.2 B.3 C.3V2 D.4 9.如图，△ABC内接于⊙O,DE是⊙O的直径，与AC相交于点M,且DE⊥AB,若⊙O的半径 为2V5,BC=2V6,则AM2+CM2的值为() M A.12 B.20 C.24 D.28 10.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=2V5,对角线AC与BD交于点O,点P在过B,O, C三点的圆孤上运动，当P长取最小值时，P与严的长分别为(） 2V3元 A.27-25,3 B.27-2W3,元 2√3π C.23-2,3 D.25-2,元 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么AC所对的圆心角度数是 12.如图，在⊙0中，AB、CD是两条直径，弦CEI‖AB，若EC所对圆心角的度数是40°，则 ∠BOD= 13.如图，AB是⊙0的直径，弦CD‖AB,若∠CAB=65°，则LBCD= D 14.如图，在矩形ABDE中，以B为圆心，BA为半径画▣弧交DE于点C,连接BC,BD=2, ABDC 的面积为1，则图中阴影部分的面积为 (结果保留工和根号) B D E 15.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用 一个锐角为30°的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的 半径.若三角尺与铁环相切，且测得PA=5cm,则铁环的半径为 0 0cm51015202530 16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6,点D是半径为4的⊙A上一动点，点 M是CD的中点，则S△wc的取值范围是 D 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(4分)如图，△ABC内接于⊙0，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙0于点D,连接BD, 延长AC,BD相交于点E,求证：AB=AE, C δ B 18.(4分)如图，在菱形ABCD中，点E,F,G,H分别为各边的中点.求证：E,F,G,H 四点在同一个圆上. D H O C E B 19.(6分)如图，⊙O的半径为4，正六边形ABCDEF内接于⊙O,求△OAB的面积. E D B 20.(8分)如图，AB是⊙0的直径，C为⊙0上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线 于点D,CE⊥AB,垂足为E. C (I)求证：CA平分∠DCE」 (2)若∠DCA=25°，AB=6,求AC的长. 21.(8分)如图，△ABC内接于⊙O,AD、BE是△ABC的高，H是AD、BE的交点，AD的延 长线交⊙0于G. B D G (1)试说明：HD=DG. (2)若∠BAD=30°，BH=4,求⊙0的面积. 22.如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB为⊙0的直径，∠ACB的平分线CD交AB于点F,交⊙O 于点D,连接AD,过点D作DEI‖AB,交CB的延长线于点E E D F 备用图 (1)若∠BAC=20°，求∠ADC的度数； (2)求证：直线DE是⊙O的切线； (3)是否存在常数m,n,使得等式ACBC=mCD-nAD成立？若存在，请直接写出一个m的值 和一个n的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 23.(10分)如图，AB为⊙O的直径，CB,CD分别切⊙0于点B,D,CD交BA的延长线于 点E,CO的延长线交O0于点G,EF⊥OG于点F若BC=6,DE=4. C G (I)求证：∠FEB=∠ECF; (2)求⊙0的半径长： 24.(10分)仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按 要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： 图① 图② (1)如图①，在⊙0内，作任意两条直径AB、CD,顺次连接A、C、B、D,则画出了⊙0的 一个内接矩形，请说明理由； (2)如图②，AB是OO的直径，CD是弦，且AB‖CD,画出⊙O的内接正方形.（保留画图痕 迹，不写作法) 25.(10分)如图，P是⊙0外一点，PA是⊙0的切线，A是切点，B是⊙0上一点，且 PB=PH,射线P0交O0于C、D两点. C B (1)求证：PB是⊙0的切线； (2)求证：AC平分∠PAB; (3)若⊙0的直径是6，AB=2V5,则点D与△PAB的内切圆上各点之间距离的最大值为 参考答案 一、选择题 1.C 解：A、∠ACO不是圆心角，不符合题意； B、∠BED不是圆心角，不符合题意； C、∠BOC是圆心角，符合题意； D、∠BAC不是圆心角，不符合题意. 2.B 解：设OC与BD交于点E,如图所示： :BC=DC,∠A=25°， ∴.∠COD=2∠A=50°， :BC=DC,OC为半径， .OC⊥BD, ∴.∠0ED=90°， ∴.∠D=90°-50°=40°. 3.B 解：：正六边形ABCDEF内接于⊙0，⊙O的半径为3， 360° ∠AOB= =60° 6 OA=OB=3, .△AOB 是等边三角形， ∴.AB=OA=3 4.B 解：如图所示，连接OA,OB,在优弧AB上取点D,连接AD,BD, D B .APBP⊙O 阁 切线， .∴.∠OAP=∠OBP=90° .∠A0B=360°-90°-90°-60°=120° ·∠ADB=∠A0B=60° 又圆内接四边形的对角互补， .∠ACB=180°-∠ADB=180°-60°=120° 5.A 解：OC∥DB, .∠OCD=∠BDC ,CD⊥AB ∴.CM=DM∠CMO=∠DMB=90° 3 .∴△OCM三ABDM ..S.OCM =S.BDM 一阴影部分的面积 S扇形0CB ·.·∠OCD=∠BDC∠COB=2∠BDC ∴.∠COB=2∠OCD .∠CM0=90° ∴.∠C0B=60° .0C=4 nπr2_60m×428π .阴影部分的面积为S0m=360=360=3· 6.B 解：如图，连接BD, D B E 由题意得，AB=BD, ∴∠DAB=∠ADB, .CD=AB, .'CD=BD, .∠DBC=∠C, .∠ADB=∠DBC+∠C, .∠DAB=∠ADB=2∠DBC=2∠C, .∠ABC=87°，∠BAC+∠C+∠ABC=180°， .∴.∠BAC+∠C=3∠DBC=93°， ∴.∠DBC=31°， .DE的度数为31° 故选：B. 7.A 解：如图，由题意可得：O为BCD所在圆的圆心，为格点，取格点4，E,F,连接 OF,Bf,BE,DE,AD,0AOB.OD,BD.t0作OH LAD.于H, 过作 H,A、 .由题意可得：OF=4=BE=AD,∠OFB=120°=∠BED=∠OAD,BF=OA=DE=2, ∴.△OBF≌aDOA≌△BDE, ∴.OB=DO=BD ∴.△BOD为等边三角形， ∴.∠BOD=60°， 由等边三角形的性质可得：∠AOH=30°，OA=2,而∠AH0=90°， .AH=1OH=V22-P=5 .DH=5, .0D=V52+5-28=27. 60元×2W7_27 .BCD的长1803； 故选：A 8.D 解：过A点作AC⊥x轴于点C,过B点作BDLy轴于点D,BD相交于E点， D- E ,圆的半径为1，⊙A与y轴相切， A点横坐标为1，B点纵坐标为1， :点小，B在反比例函数y=x,(>0)的图象上， A点纵坐标为k,B点横坐标为k, .'AE=k-1,BE=k-1, ,在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=3V2, ∴.AE2+BE2=AB2, :(k-+(k-=18 .k=4或k=-2, .k>0, .k=4. 故选：D 9.C 解：过O作OF⊥BC于F,连接OB,OC,BM, A M B BF-CF-I8C-6 2 :⊙0的半径为25， 0F=OB2-BF=V25-(6-6=BF, :∠0BF=∠0B-180-,∠0EB=45 2 .OB=OC, ∴.∠B0C=2∠BOF=90°， :2A=3B0c=45, .直径DE⊥AB, .DE平分AB, ∴.MA=MB, ∴.∠MAB=∠MBA=45°， ∴.∠AMB=90°=∠BMC, ∴.AM2+CM2 BM2+CM2 =BC2=(26)}=24 10.D 解：在矩形ABCD中，AB=2,BC=AD=2V5,∠ADC=90° .AC=AB2+BC2=4 ∴.OA=OB=OC=2 B E G 设过B,O,C三点的圆的圆心为M,半径为R,连接MO交BC于点E,连接BM,连接AM,交 圆M于点P', 则点M在BC的垂直平分线上 BE-IBC- 在Rt△OBE中，OE=VOB-BE=1 ∴.ME=MO-OE=R-1 在RtAMBE中，MB2=ME2+BE2,即R2=(R-1)2+3 解得R=2, .ME=1 过M作MG⊥AB交AB延长线于G, .矩形ABCD中，∠ABC=90° ∴.∠GBC=180°-90°=90°， .∴∠GBC=∠G=∠BEM=90° ∴.四边形BGME是矩形， 则BG=ME=1,GM=BE=√5 .AG=AB+BG=3 在Rt△AGM中，AM=VAG2+GM=V32+(N5=25 .'AP+PM≥AM 当A,P,M共线时，AP取最小值，此时点P在点P'的位置， :1m=AM-R=2V5-2 在△AMC中，AM2=(2=I2,MC:=R=4,AC=4=16 .AM2+MC2=AC2 ∴.∠AMC=90° _90m×2 =180 =π ·弧CP的长即为 二、填空题 11.90° 解：连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平分线，即可得到圆心O, 由图可得：C0=A0=1P+2=5,AC2=P+32=10, ..co'+AO=AC2 故∠A0C=90°， 即AC所对的圆心角为90°. 故答案为：90° 12.110° 解：如图所示，连接OE, .EC所对圆心角的度数是40° ∴.∠C0E=40°， ..OE =OC, :∠0CE=∠0EC=180°-∠C0E=70° 2 CEl AB ∴.∠AOD=∠OCE=70°， ∴.∠BOD=180°-∠AOD=110°， 故答案为：110°. A D 13.25 解：，AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .∠CAB=65°， .∠ABC=90°-65°=25°， ,CD‖AB, ∴.∠BCD=∠ABC=25°. 14.25-10 解：，四边形ABDE是矩形， ∴.∠D=90°AB1/CD :BD=2△BDC 的面积为1， .CD=√2 ∴BD=CD .∴.△BCD 是等腰直角三角形， .∠BCD=45°，BC=2 .'AB=BC=2, :AB∥DE ∴.∠ABC=∠BCD=45° “图中阴影部分的面积=2x万-1-45xx2=22-1- 360 2 15.5W3cm 解：过O作O0LAB于，连接OP、OA,如图， 0cm51015202530 ,AP为⊙0的切线，AQ为⊙0的切线， ∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO=∠QAO, 又：∠BAC=60°，∠PA0+∠QA0+∠BAC=180°， .∠PAO=∠QAO=60°， ∴.∠P0A=30°， 在Rt△OPA中，PA=5cm,∠POA=30°， ∴.OA=2PA=10cm, :OP=VOf-PF=Vi0-5=55(cm）,即铁环的半径为53cm. 16.6≤S4Bwc≤18 解：取AC的中点N,连接MN,取BC的中点F,连接FN,AD, B .FN是△ACB的中位线， F-号8-8=4，N好/， .∠ABC=90°， ∴.NF⊥BC, ,M是CD的中点，N是AC的中点， ∴.MN是△ACD的中位线， .MN-14D 2 .点D在半径为4的⊙4上， ∴.AD=4, .MN=2,即点M在以N为圆心，2为半径的圆上运动， 设点M到BC的距离为h, ,点M在以N为圆心，2为半径的圆上，且圆心N到BC的距离为4， ∴.NF-MN≤h≤NF+MN, .4-2≤h≤4+2，即2≤h≤6， 5ae6xkh 1 3x2≤SBMc≤3x6, .6≤SANCS18 三、解答题 17.证明：.AB是直径， .∠ADB=90°，即AD⊥BE, ∴.∠BAD+∠ABD=90°，∠EAD+∠E=90°. .AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠EAD, ∴.∠ABD=∠E, .'AB=AE. 18.证明：四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,即∠AOD=90°，AD=AB=BC=CD. ,H是AD的中点， :0H-号4D 同理可得：0E=)AB,OF=BC,OG=cD 2 ∴.OH=OE=OF=OG. ∴E,F,G,H四点在以点O为圆心，OH为半径的圆上， 即E,F,G,H四点在同一个圆上. 19.解：正六边形ABCDEF内接于⊙O, ∠40B=360° =60° 6 .OA=OB ∴△AOB 是等边三角形， ∴.AB=OA=OB=4 如图，过O作AB的垂线OH, E D B 则4H=BH=2AB=2,∠AH0=90, :.0H=VOA2-AH2=V42-22=25 ∴S.aB=号AB-0H=x4x2V5=4N5 20.(1)证明：连接0C, C B D E .CD是⊙O的切线， ∴.∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°， ,CE⊥AB, .LCAE+∠ACE=90°， 又.OC=OA, .∠CAE=∠ACO, .∠DCA=∠ACE, ∴.CA平分∠DCE. (2).∠DCA=∠ACE,∠DCA=25°， ∴.∠ACE=25° 又：∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE=∠ACO, .∠CAE=∠AC0=65°， ∴.∠AOC=180°-∠CA0-∠AC0=50°， 5065 π=二π .AC的长=180*2π6”。 21.(1)解：连接BG. 0 B 是 的高， G ,AD、BE△ABC ∴.∠AEH=∠BDH=90° ·.·∠AHE=∠BHD .∠DBH=∠EAH .∠CBG=∠CAG ∴.∠HBD=∠GBD 在△BDH与△BDG中， ∠HBD=∠GBD BD=BD ∠BDH=∠BDG=90° ∴.△BDH≌ABDG(ASA) .DH DG (2)解：连接OB、OG. B G :∠BAD=30° ∴.∠BOG=2∠BAG=60° .OB=OG ∴.△OBG 为等边三角形， ∴.BG=OB=OG ·.·△BHD≌△BGD ∴.BH=BG=4 ∴.OB=OG=4 .S=42.元=16π 22.(1)解：AB是⊙0的直径， ∴.∠ACB=90° .在Rt△ABC中，∠BAC=20°， ∴.∠ABC=90°-∠BAC=70°， ∴.∠ADC=∠ABC=70° (2)证明：连接OD,BD, D 6 .CD是∠ACB的平分线， 由(1)知，∠ACB=90°， ∴.∠ACD=∠BCD=45°， .AD=BD, .'AD BD. 又，OA=OB, ∴.OD⊥AB. DE‖AB, ∴.DE⊥OD. .OD是⊙0的半径， ∴直线DE是⊙O的切线. (3)存在，m=1,n=1. 证明：连接BD,过点A作AH⊥CD于点H,过点B作BG⊥CD于点G,设AH=a,DH=b, 则∠AHD=∠DGB=90°， ∴.∠ADH+∠DAH=90° ,AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， ∴.∠ADH+∠BDG=90°， ∴.∠DAH=∠BDG, 由(2)知，AD=BD, .△ADH≌△DBG(AAS). ∴.DG=AH=a,BG=DH=b, 由(2)知∠ACD=∠BCD=45°， .∠AHC=∠BGC=90°， ∴.△ACH和△BCG都是等腰直角三角形， ∴.CH=AH=a,BG=CG=b, AC-AH+CH-a BC=BG+CG-2 ∴.AC.BC=2ab, .CDi=(CH+HD)=a+2ab+b2 AD2=AH2+DH2=d2+b2 ∴.CD2-AD2=2ab .AC.BC=CD2-AD2, 即AC·BC=1CD2-1·AD2, ∴.m=l,n=1成立. 23.(1)证明：CB,CD分别切⊙O于点B,D, .∠ECO=∠BCO,OB⊥BC, ∴.∠ABC=90°， ∴.∠BC0+∠COB=90°， .EF⊥OG, ∴.∠EFO=90°， ∴.∠FEB+∠FOE=90°， .∠COB=∠FOE, ∴.∠FEB=∠BCO, ∴.∠FEB=LECF; (2)解：①连接OD, D B O G :CB,CD分别切⊙O于点B,D, ∴.CD=CB=6,OD⊥CE,OB⊥BC, ∴.∠EDO=∠ABC=90°，CE=CD+DE=6+4=10, 在RtABCE中，BE=VCE2-BC=V02-6=8 设⊙0的半径为r,则OD=OB=r,OE=8-r, 在RtAODE中，OD2+ED2=OE2, :产2+4=(8-r} 解得r=3, .⊙0的半径长为3； 24.(1)AB,CD是直径， ∴.∠CAD=∠ADB=∠DBC=∠ACB=90°， ∴.四边形ACBD是矩形； (2)解：如图所示，连接AC,BD并延长交于点E,连接AD,BC交于点F,连接EF并延 长交⊙O于G,H,连接AH,HB,BG,GA,则四边形AHBG即为所求. H 图② ABII CD .∠ABC=∠DCB, .AC=BD, ∠ABC=∠DAB,AD=BC, ∴.AF=BF,∠CAB=∠DBA, ∴.EA=EB,即E在AB的垂直平分线上， AC=BD ∴.∠ABC=∠DAB, ∴.FA=FB,即点F在AB的垂直平分线上， ∴.EF垂直平分AB, .GA=GB,HA=HB,GH经过AB的中点， ∴.GH是⊙0的直径， ∴.∠GBH=∠GAH=90°， .AB是⊙O的直径， ∴.∠AGB=∠AHB=90°， ∴.四边形AHBG是矩形， 又，GA=GB, ∴四边形AHBG是正方形. 25.(1)证明：如图1中，连接0A,OB. B 图1 :PA是切线， PA⊥OA .∠PA0=90° 在△PAO和△PBO中， (PA=PB PO=PO OA=OB’ ∴.△PAO≌△PBO(SSS) ∴.∠PBO=∠PAO=90° .PB⊥OB OB为半径， PB是OO 的切线 (2)证明：如图1中，设∠PAC=a. B 图1 :∠PAO=90° .∠OAC=90°-a .0A=OC ∴.∠OCA=∠OAC=90°-a .PA=PB,OA=OB ..PO 垂直平分B, .∠CAB=90°-∠AC0=90°-(90°-a)=a ∴.∠PAC=∠CAB ..AC 平分<PAB (3)解：如图2中，设AB交OP于点M. D B 图2 PAPB是OO 的切线， ..OP 平分<APB .AC 平分<PAB 六点C是PM C 的内心，设8的内切图OC交P心于， *⊙0 6 的直径为， .OA=3 .OP 垂直平分1B,AB=2V5 :AM BM=5 ∴OM=VOA2-AM2=V32-(5)2=2 0C=3 ∴.CH=CM=3-2=1 ”点P到C上各点的大距为D 心最大距离 DH=CD+CH=6+1=7