3.2 确定圆的条件 同步讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“确定圆的条件”核心知识点，系统梳理三角形外接圆的定义、外心是三边垂直平分线交点的性质，以及锐角、直角、钝角三角形外心位置差异，通过典例解析与变式训练构建学习支架，衔接圆的基本概念与综合应用。 该资料亮点在于分层设计典例与变式题，结合足球射门米勒定理等实际情境题，培养学生逻辑推理（数学思维）和应用意识（数学语言），课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过过关验收查漏补缺，强化知识理解与迁移能力。

3.2 确定圆的条件 内 容 导 航 题型1 三角形的外接圆与外心 考 点 演 练 题型1 三角形的外接圆与外心 解｜题｜知｜识 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【典例1】如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，，点D是⊙O上的动点，且点C，D分别位于AB的两侧． （1）求⊙O的半径； （2）当时，求∠ACD的度数． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，经过A，B，D三点的⊙O交BC于点E，⊙O的直径AF⊥BC． （1）求证：； （2）当AB＝3时，求⊙O的半径． 【变式2】已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 【变式3如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积． 过 关 验 收 1．下列说法中，正确的是（　　） A．弧是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．在圆中直角所对的弦是直径 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆 2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（　　） A．3 B． C． D．6 3．如图，在平面直角坐标系中，则△ABC的外心坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 4．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上．则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 5．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，若∠C＝40°，则∠AOB的度数为（　　） A．40° B．50° C．70° D．80° 6．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 7．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3），则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣1） 9．1471年，德国数学家米勒提出最大视角问题，这一问题一般描述的是：如图1，已知点A、B是∠MON的ON边上的两个定点，点P是边OM上的一个动点，当P在何处时，∠APB最大？ 问题的答案是：当且仅当△ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大．人们称这一命题为米勒定理．在足球比赛中，球员在双方球门前的不同位置起脚射门，对球门的威胁是不同的，触球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图2为室内5人制足球场示意图，设球场长BC大约为40m，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4m，在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上的某点M处射门，为使得张角∠PMQ最大，则BM大约为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 10．如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论： ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°； ④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为． 上述结论中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知锐角△ABC中，AB＝5，，高AD＝4，能完全覆盖△ABC的⊙O的半径r的最小值为（　　） A． B． C． D．3 12．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＜60°，AD为的直径，BE⊥AC交AD于P，BE的延长线交⊙O于点F，连接AF，CF，AD交BC于G，在不添加其他辅助线的情况下，图中除AB＝AC外，相等的线段共有（　　）对． A．2 B．3 C．4 D．5 13．在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使BC的长唯一，其中正确的是（　　） 甲：AC＝4； 乙：AC＝8； 丙：△ABC的外接圆半径为4． A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 14．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　） A．淇淇说得对，且∠A的另一个值是115° B．淇淇说得不对，∠A就得65° C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° D．两人都不对，∠A应有3个不同值 15．直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 　 　 ． 16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，直径CD与AB边交于点E，B是的中点．若CE＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 17．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，P是AB上方一动点，射线AP∥BC，连接BP交△APC的外接圆于点D，则AD的最小值为 　 　 ． 18．直角三角形ABC的两条直角边长是3cm、4cm，则它的外接圆的半径是 　 　 cm． 19．已知Rt△ABC的两直角边分别是6和8，则其外接圆半径为 　 　 ． 20．直角三角形的两边长分别为5cm和12cm，则它的外接圆的半径为　 　 cm． 21．如图，△ABC的三个顶点都在一圆上，且∠C＝119°，固定A点将△ABC依顺时针方向旋转，当至少旋转　 　 度后的△AB'C′的点B'会落在同一圆上． 22．在下列说法中：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②若两条弧的度数相等，则它们是等弧；③直径是圆中最长的弦；④如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；其中说法正确的是　 　 ． 23．方程x2﹣9x+20＝0的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为　 　 ． 24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAO＝24°，则∠ACB＝ 　 　 °． 25．三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为　 　 ． 26．△ABC是⊙O的内接三角形，如果AB＝AC，∠AOB＝100°，那么∠AOC＝　 　 ． 27．如图，△ABC的高AD，BE相交于点F．若AC＝4，BF＝3，则△ABC的外接圆的半径为 　 　 ． 28．一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，则它的外接圆的半径为　 　 cm． 29．已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝　 　 ． 30．已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则它的外接圆的直径为　 　 ． 31．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，1），点C坐标为（2，﹣3）．则能完全覆盖△ABC的最小圆的半径为　 　 ． 32．已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是 　 　 ． 33．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 　 　 ． 34．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝6，则△ABC的面积为　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 确定圆的条件 内 容 导 航 题型1 三角形的外接圆与外心 考 点 演 练 题型1 三角形的外接圆与外心 解｜题｜知｜识 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【典例1】如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，，点D是⊙O上的动点，且点C，D分别位于AB的两侧． （1）求⊙O的半径； （2）当时，求∠ACD的度数． 【答案】（1）4； （2）15°． 【解答】解：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，， 由勾股定理得：， ∵∠ACB＝90°， ∴AB是直径， ∴OA＝4， ∴⊙O的半径为4； （2）连接OC，OD， ∵， ∴CD2＝OC2+OD2， ∴△COD是直角三角形，∠COD＝90°， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝45°， ∵AC＝OC＝OA＝4， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，经过A，B，D三点的⊙O交BC于点E，⊙O的直径AF⊥BC． （1）求证：； （2）当AB＝3时，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析； （2）⊙O的半径为． 【解答】（1）证明：∵⊙O的直径AF⊥BC， ∴， ∴∠ADB＝∠AFE， ∵∠BAD＝∠AEF＝90°， ∴∠ABD+∠ADB＝∠EAF+∠AFE＝90°， ∴∠ABD＝∠EAF， ∴； （2）解：连接AE，BF，EF， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD， 设AD＝CD＝x，则AC＝2x， ∵， ∴AB＝AE＝3， ∵∠BAD＝90°， ∴BD，BC， ∵∠C＝∠C，∠CAE＝∠CBD， ∴△ACE∽△BCD， ∴， ∴， 解得x（负值舍去）， ∴， ∴⊙O的半径为． 【变式2】已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC， ∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO， 在△OAB和△OAC中， ， ∴△OAB≌△OAC（AAS）， ∴AB＝AC 即△ABC是等腰三角形； （2）延长AO交BC于点H， ∵AH平分∠BAC，AB＝AC， ∴AH⊥BC，BH＝CH， 设OH＝b，BH＝CH＝a， ∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6， ∴， 解得，， ∴BC＝2a＝3． 【变式3如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵OD⊥BC， ∴， ∴AB＝AC； （2）解：连接OB， ∵OD⊥BC，BC＝8， ∴BD＝DCBC8＝4， 在Rt△ODB中，OD3， ∴AD＝5+3＝8， ∴S△ABC8×8＝32． 过 关 验 收 1．下列说法中，正确的是（　　） A．弧是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．在圆中直角所对的弦是直径 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】D 【解答】解：A、错误．弧是圆上两点间的部分． B、如图， 弧AB和弧CD长度相等，但是弧AB和弧CD不是等弧，故本选项错误； C、在圆中，圆周角所对的弦才是直径，并不是所有的直角所对的弦都是直径；故错误． D、任意一个三角形有且只有一个外接圆，正确； 故选：D． 2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（　　） A．3 B． C． D．6 【答案】B 【解答】解：如图，连接OA，OB， ∵∠ACB＝45°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝90°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， 在Rt△OAB中，AB＝6， 由勾股定理得：OA2+OB2＝AB2，即2OA2＝36， 解得：OA＝3（负值已舍去）， 即⊙O的半径是3， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，则△ABC的外心坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 【答案】D 【解答】解：如图：分别作出AB和BC的垂直平分线，两直线交于点P，点P即为△ABC的外心． ∵点P的坐标为（﹣2，1）， ∴△ABC的外心坐标为（﹣2，1）． 故选：D． 4．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上．则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【解答】解：如图所示： ∴△ABC的外心是点D， 故选：A． 5．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，若∠C＝40°，则∠AOB的度数为（　　） A．40° B．50° C．70° D．80° 【答案】D 【解答】解：由圆周角定理得：∠AOB＝2∠C， ∵∠C＝40°， ∴∠AOB＝2×40°＝80°， 故选：D． 6．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【解答】解：由图可知，， ∴FA＝FB＝FC， ∴F点在AB，AC，BC三边的垂直平分线上， ∴点F是△ABC外心， 故选：C． 7．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【解答】解：如图，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，连接AE、BE、CE， 由勾股定理得：，，， ∴AE＝BE＝CE， ∴△ABC的外心是点E， 故选：B． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3），则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣1） 【答案】B 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3），如图， ∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作AB与BC的垂直平分线，两垂线的交点O′即为△ABC的外心， 根据坐标可得：O′（﹣2，﹣1）， 故选：B． 9．1471年，德国数学家米勒提出最大视角问题，这一问题一般描述的是：如图1，已知点A、B是∠MON的ON边上的两个定点，点P是边OM上的一个动点，当P在何处时，∠APB最大？ 问题的答案是：当且仅当△ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大．人们称这一命题为米勒定理．在足球比赛中，球员在双方球门前的不同位置起脚射门，对球门的威胁是不同的，触球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图2为室内5人制足球场示意图，设球场长BC大约为40m，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4m，在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上的某点M处射门，为使得张角∠PMQ最大，则BM大约为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解答】解：根据米勒定理可知，当△QMP的外切圆BC相切时，∠PMQ最大，如图， 设△QMP的外接圆的圆心为O，过点O作ON⊥BC于N，OE⊥AB于E，连接OP，当M与点N重合时，∠PMQ最大， ∴四边形EONB是矩形， ∴BN＝OE，即张角∠PMQ最大时，则BM＝BN， ∵球门长PQ大约为4m，宽AB大约为20米， ∴QE＝PE＝2，AE＝BE＝10， ∴OP＝ON＝BE＝10， ∴OE10， ∴BN＝10， 即BM大约为10m． 故选：C． 10．如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论： ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°； ④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为． 上述结论中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：如图，BC＝OB＝OC， 当点A是圆上异于B、C的点时，△ABC为“半径三角形”， 则一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确； 当点A在优弧上，△ABC可能是锐角三角形，当点AB为直径时，△ABC是直角三角形，当点A在劣弧上，△ABC是钝角三角形， 则一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确； 当点A在优弧上，∠A∠BOC＝30°，当点A在劣弧上，∠A＝180°﹣30°＝150°，当AB＝BC时，顶角∠ABC＝120°， 则当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°，故③结论正确； 如图，过点O作OH⊥BC于H，直线OH交优弧于点A，此时，△ABC面积最大， ∵OH⊥BC， ∴BH＝HC，∠BOH＝30°， ∴OH＝OB•cos∠BOH＝2， ∴S△ABC2×（2）＝2，故④结论错误； 故选：C． 11．已知锐角△ABC中，AB＝5，，高AD＝4，能完全覆盖△ABC的⊙O的半径r的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【解答】解：∵，高AD＝4， ∴， ∴BC＝BD+CD＝5， ∴AB＝BC＝5， 过点B作BM⊥AC于点M，作AB的垂直平分线，与AB交于点F，与BM的交点O，即为△ABC的外接圆圆心， ∴AO＝BO，∠AMB＝90°，， ∴BM2， ∵OM2+AM2＝OA2， ∴， 即， 解得． ∴完全覆盖△ABC的圆的最小半径为． 故选：A． 12．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＜60°，AD为的直径，BE⊥AC交AD于P，BE的延长线交⊙O于点F，连接AF，CF，AD交BC于G，在不添加其他辅助线的情况下，图中除AB＝AC外，相等的线段共有（　　）对． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC， ∴， ∵AD经过圆心O， ∴AD⊥BC， ∴BG＝CG， 如图2中，连接CP， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴PB＝PC， ∵BF⊥AC， ∴∠AEH＝∠BGP＝90°， ∴∠PAE+∠APE＝90°，∠GBP+∠BPG＝90°， ∵∠APE＝∠BPG， ∴∠PAE＝∠GBP， ∵∠EAF＝∠GBP， ∴∠EAF＝∠EAP， ∵∠EAP+∠APE＝90°，∠EAF+∠AFE＝90°， ∴∠APE＝∠AFE， ∴AP＝AF， ∵AC⊥FP， ∴EP＝FE， ∴CP＝CF＝BP， ∵OA＝OD， ∴相等的线段共有5对， 故选：D． 13．在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使BC的长唯一，其中正确的是（　　） 甲：AC＝4； 乙：AC＝8； 丙：△ABC的外接圆半径为4． A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 【答案】B 【解答】解：如图，∠ABE＝45°，AB＝6，点C在射线BE上，作AD⊥BE于点D， ∴AD＝BDAB＝3， ∵34， ∴不存在AC＝4的△ABC，故甲不符合题意； ∵AB＝6，AD＝3，AC＝8， 而AC＞6， ∴存在AC＝8的△ABC，如图，点C即是， ∴AC＝8，使得BC的长唯一成立，故乙符合题意； ∵AD＝34，AB＝6＜8， 当△ABC的外接圆半径为4． ∵∠B＝45°， ∴∠AOC＝90°， ∴AC＝4， ∵4＜346＜8， ∴存在两个点C使△ABC的外接圆半径为4．两个外接圆的圆心分别在AB的上，下两侧， 故丙不符合题意； 故选：B． 14．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　） A．淇淇说得对，且∠A的另一个值是115° B．淇淇说得不对，∠A就得65° C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° D．两人都不对，∠A应有3个不同值 【答案】A 【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补． 故∠A′＝180°﹣65°＝115°． 故选：A． 15．直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于　 　 ． 【答案】5 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴直角三角形的斜边10， 所以这个三角形的外接圆的半径10＝5， 故答案为：5． 16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，直径CD与AB边交于点E，B是的中点．若CE＝2，则⊙O的半径为 　 　． 【答案】． 【解答】解：连接OB，设⊙O的半径是R，如图所示： ∵点B是弧CD的中点，CD是⊙O的直径， ∴， ∴OB⊥CD， ∵OC＝OB＝OD＝R， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∠BOC＝90°， ∴∠A∠BOC＝45°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣45°）＝67.5°， 在△BCE中，∠CEB＝180°﹣（∠OCB+∠ABC）＝180°﹣（45°+67.5°）＝67.5°， ∴∠CEB＝∠ABC＝67.5°， ∴CB＝CE＝2， 在Rt△BOC中，OC＝OB＝R， 由勾股定理得：BC， ∴， ∴． 即⊙O的半径为． 故答案为：． 17．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，P是AB上方一动点，射线AP∥BC，连接BP交△APC的外接圆于点D，则AD的最小值为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：取AB中点F，连接CF、CD， ∴BC＝BF＝2， ∵∠CBF＝60°， ∴△BCF是等边三角形， ∴∠CFB＝60°，CF＝BF＝FA． ∵∠CFB＝∠FCA+∠FAC＝60°， ∴∠FCA＝∠FAC＝30°， ∵BC∥AP， ∴∠PAB＝180°﹣60°＝120°， ∴∠PAC＝∠BCA＝120°﹣30°＝90°， ∴CP是⊙O的直径，∠CDP＝∠CDB＝90°， ∴点D在以BC为直径的⊙T上运动． 连接AT交⊙T于点E，当点D与点E重合时，AD最短． 在Rt△ABC中，AC2， 在 Rt△CTA 中，AT． ∴ ∴， 即AD的最小值为 故答案为：． 18．直角三角形ABC的两条直角边长是3cm、4cm，则它的外接圆的半径是　 　 cm． 【答案】． 【解答】解：∵直角三角形ABC的两条直角边长是3cm、4cm， ∴斜边长为， ∴它的外接圆的半径是． 故答案为：． 19．已知Rt△ABC的两直角边分别是6和8，则其外接圆半径为 　 　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵Rt△ABC的两直角边分别是6和8， ∴斜边的长为， ∴Rt△ABC的两直角边分别是6和8，则其Rt△ABC的外接圆半径为5． 故答案为：5． 20．直角三角形的两边长分别为5cm和12cm，则它的外接圆的半径为　 　 cm． 【答案】6或6.5 【解答】解：分为两种情况：①当斜边是12cm时，直角三角形的外接圆的半径是12cm＝6cm； ②当两直角边是5cm和12cm时，由勾股定理得：斜边为13（cm）， 直角三角形的外接圆的半径是13cm＝6.5cm； 故答案为：6或6.5 21．如图，△ABC的三个顶点都在一圆上，且∠C＝119°，固定A点将△ABC依顺时针方向旋转，当至少旋转　 　 度后的△AB'C′的点B'会落在同一圆上． 【答案】58． 【解答】解：如图，连接BB′， ∵四边形AB′BC为圆内接四边形， ∴∠AB′B+∠C＝180°， ∵∠C＝119°， ∴∠AB′B＝180°﹣119°＝61°， 由旋转的性质可知：AB＝AB′， ∴∠ABB′＝∠AB′B＝61°， ∴∠BAB′＝180°﹣61°×2＝58°， ∴至少旋转58度后的△AB'C′的点B'会落在同一圆上． 故答案为：58． 22．在下列说法中：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②若两条弧的度数相等，则它们是等弧；③直径是圆中最长的弦；④如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；其中说法正确的是　 　 ． 【答案】①③． 【解答】解：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．正确． ②两条弧的度数相等，它们不一定是等弧，原说法错误； ③直径是圆中最长的弦，正确； ④两条弦相等，这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误． 故答案为：①③． 23．方程x2﹣9x+20＝0的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为　 　 ． 【答案】或． 【解答】解：∵x2﹣9x+20＝0， 解得x1＝4，x2＝5． ∵方程x2﹣9x+20＝0的两个根分别是直角三角形两边边长， 当4，5是两直角边长时， 则斜边长为， 这个直角三角形的外接圆半径为， 当5是斜边边长时， 则另一条直角边长为， 则这个直角三角形的外接圆半径为， 故答案为：或． 24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAO＝24°，则∠ACB＝ 　 　 °． 【答案】66． 【解答】解：∵OA＝OB，∠BAO＝24°， ∴∠ABO＝∠BAO＝24°， ∴∠AOB＝180°﹣24°×2＝132°， 由圆周角定理得：∠ACB∠AOB＝66°， 故答案为：66． 25．三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为　 　 ． 【答案】2.5 【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5， 又∵32+42＝52， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是2.5． 故答案为：2.5． 26．△ABC是⊙O的内接三角形，如果AB＝AC，∠AOB＝100°，那么∠AOC＝　 　　 ． 【答案】100°． 【解答】解：∵△ABC是⊙O的内接三角形，∠AOB＝100°， ∴∠ACB∠AOB100°＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝50°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝100°， 故答案为：100°． 27．如图，△ABC的高AD，BE相交于点F．若AC＝4，BF＝3，则△ABC的外接圆的半径为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：作△ABC的外接圆，圆心为O，连接并且延长AO交⊙O于点H，连接BH， ∵△ABC的高AD，BE相交于点F， ∴AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E， ∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠DBF＝∠DAC＝90°﹣∠C， ∴△BDF∽△ADC， ∵AC＝4，BF＝3， ∴， ∴BDAD， ∴ABAD， ∵AH是⊙O的直径， ∴∠ABH＝∠ADC＝90°， ∵∠H＝∠C， ∴△ABH∽△ADC， ∴， ∴AHAC4＝5， ∴OAAH5， ∴△ABC的外接圆的半径为， 故答案为：． 28．一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，则它的外接圆的半径为　 cm． 【答案】5． 【解答】解：∵直角三角形两条直角边长分别为8cm，6cm， ∴斜边长为10（cm）， 则外接圆的半径． 故答案为：5． 29．已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝　　 　 ． 【答案】cm． 【解答】解：∵△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm， ∴132＝122+52， ∴该三角形为直角三角形， ∴它的外接圆的半径＝斜边上的中线 cm， 故答案为： cm． 30．已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则它的外接圆的直径为　 　 ． 【答案】10． 【解答】解：∵直角三角形的两直角边分别为6和8， ∴直角三角形的斜边长为， ∴这个直角三角形的外接圆的直径为：10． 故答案为：10． 31．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，1），点C坐标为（2，﹣3）．则能完全覆盖△ABC的最小圆的半径为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由勾股定理得：， 则圆的半径是， 故答案为：． 32．已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是 　 　 ． 【答案】10 【解答】解： ∵AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴△ABC的外接圆的半径是10＝5，即外接圆的直径是10， 故答案为：10． 33．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 　 　． 【答案】． 【解答】解：由勾股定理得：AC2， 则能够完全覆盖这个三角形的最小圆面是以AC为直径的圆，圆的半径是， 故答案为：． 34．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝6，则△ABC的面积为　 　 ． 【答案】18+9或18﹣9 【解答】解：作AD⊥BC于D，如图， ∵AB＝AC， ∴BD＝CDBC＝3， ∴AD垂直平分BC， ∴点O在AD上， ∵∠BOC＝60°， ∴△OBC为等边三角形， ∴OB＝BC＝6， 在△OBD中，OD3， 当等腰△ABC为锐角三角形时，AD＝6+3，此时△ABC的面积6×（6+3）＝18+9； 当等腰△A′BC为钝角三角形时，A′D＝6﹣3，此时△ABC的面积6×（6﹣3）＝18﹣9． 综上所述，△ABC的面积为18+9或18﹣9． 故答案为18+9或18﹣9． 学科网（北京）股份有限公司 $