专题05 点与圆、直线与圆的位置关系（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

专题05 点与圆、直线与圆的位置关系 1.掌握点与圆的位置关系：由点到圆心距离d与半径r大小判断。 2.掌握直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），用圆心到直线距离d和半径r判别。 3.掌握切线判定定理与切线性质定理，能运用定理解决相关问题。 4.掌握切线长定理及相关运用；三角形内切圆、内心等相关概念。 5.体会数形结合：图形位置关系和数量(d、r)之间双向转化。 6.掌握切线证明的两类辅助线添加方法，发展演绎推理能力。 7.感受切线在生活工具中的应用；区分外心、内心，体会几何概念的严谨。 点与圆的位置关系（设圆半径为r，点到圆心的距离为d）： 如果d>r，点在圆外；如果d=r，点在圆上；如果d<r，点在圆内。 直线与圆的位置关系（设圆半径为r，圆心到直线距离为d）： 如果d<r，直线与圆相交，有两个公共点； 如果d=r，直线与圆相切，有唯一公共点； 如果d>r，直线与圆相离，没有公共点； 当直线与圆有唯一公共点时，我们称直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线（tangent line of circle），这个公共点叫作切点（tangent point）； 圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长（length of zhe tangent）。 切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等。这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆（inscribed circle of triangle），内切圆的圆心叫作三角形的内心（incenter of triangle）；这个三角形叫作圆的外切三角形。 内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边距离相等。 证明切线的策略： 有公共点：连半径，证垂直； 无公共点：作垂直，证半径。 已知切线：连接圆心与切点，得到垂直关系。 切线长模型：圆外一点引两条切线，切线长相等；该点与圆心连线平分夹角。 内心题型：内心到三边距离相等，可结合面积分割法计算。 题型01 点与圆的位置关系的判断 【典例】（25-26九年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离，．点在内． 【变式1】（25-26九年级下·辽宁阜新·月考）若⊙O的半径为，点A与圆心O的距离为，则点A与⊙O的位置关系是______． 【答案】圆外 【详解】解：∵⊙O的半径为，点A与圆心O的距离为，∴点A在⊙O外． 【变式2】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【详解】解：在中，，，，由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径，，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径，，点在圆内部． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期中）我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”作出的圆心，再证明点也在上，在用反证法证明时，假设结论“点在上”不成立，那么点与圆的位置关系是（    ） A．点只能在内 B．点只能在外 C．点在圆心或在外 D．点在内或外 【答案】D 【详解】解：∵ 假设点D不在上，∴ 点D到圆心O的距离不等于半径， 即点D在内（距离小于半径，包括与圆心重合）或点D在外（距离大于半径）． ∴ 点D与的位置关系是点D在内或外．故选：D． 题型02 点与圆的位置关系的运用 【典例】（2026·云南昭通·一模）某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点在圆形桌面上，圆形桌面所在圆的半径，圆心为， ∴点在内或上，∴，故观察选项，只有符合该范围． 【变式1】（25-26九年级下·江苏泰州·月考）已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【答案】B 【详解】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4，∴点P到圆心O的距离d满足； A选项，不符合要求；B选项，即，符合要求； C选项，不符合要求；D选项，不符合要求． 【变式2】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点P在圆O外，点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径，．故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，点在边上，且，连接．以点为圆心，以为半径画圆，若点中只有2个点在圆内，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，，，，∴，， ∵点中只有2个点在圆内，，∴，故选：C． 题型03 利用点与圆的位置关系求半径 【典例】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：设点与圆心距离为d，半径为r， 当点在圆外时，∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，，即，代入，得； 当点在圆内时，∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，，解得：；∴圆的半径为或．故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 【答案】2或4 【详解】解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外，由题意得：两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得：，解得：．综上，的半径为2或4．故答案为：2或4． 【变式2】（25-26九年级上·四川广安·期末）点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是___________ 【答案】或． 【详解】如图所示，当点P在圆内时， ∵，，∴，∴的半径是； 如图所示，当点P在圆外时， ∵，，∴，∴的半径是； 综上所述，的半径是或．故答案为：或． 【变式3】（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时，有 ，，∴ 两式相加：，，代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时，有 ，，∴ 两式相加：，．故选：C． 题型04 直线与圆的位置关系的判断 【典例】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为，由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短，∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为，∴不可能大于，∴直线不可能与相离． 【变式1】（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：作于点， ∵，，∴， ∵的半径为3，，∴与直线的位置关系是相离. 【变式2】（25-26九年级下·江苏常州·月考）如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】解：∵的半径，圆心到直线的距离， ∴，根据判定规则可得和直线的位置关系是相交． 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径等于3，圆心到直线上一点的距离为9，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【答案】D 【详解】解：设圆心到直线的距离为， ∵圆心到直线上一点的距离为9，根据垂线段最短的性质，∴， 又∵的半径，∴可能满足（此时直线与圆相离），或（此时直线与圆相切），或（此时直线与圆相交），∴直线与的位置关系以上都有可能．故选：D． 题型05 已知直线和圆的位置关系求半径的取值范围 【典例】（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：∵点M的坐标为，∴圆心M到轴的距离，到轴的距离， ∵圆与轴相交，与轴相离，∴且，即，观察选项，只有满足该范围，因此选B． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6，∴，故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·月考）已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 （d为C到的距离），即 ，， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交，为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵直线l与相离，∴圆心到直线的距离半径， 已知，∴．观察选项中只有A．，满足条件．故选：A． 题型06 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例】（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为4，点到直线的距离为d．若直线与公共点的个数为2，则的值可能为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵直线与的公共点个数为2，∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离半径．观察选项，只有，符合条件；故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：∵与直线没有公共点，∴与直线相离， 已知的半径，∴圆心到直线的距离，观察选项，只有选项A中的6满足，故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·月考）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵半径为的与直线l相离，∴圆心O到直线l的距离大于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意，故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直径为，∴半径 ∵与直线有个公共点，∴直线与相交，∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．故选：A． 题型07 圆与平移相关问题 【典例】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为．故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·月考）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或．故选D． 【变式2】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则______秒时与直线相切． 【答案】2或6 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图，， ，，的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）．故答案为：2或6． 题型08 有关切线的概念辨析 【典例】（25-26九年级上·山东日照·期中）下列命题中，是真命题的为（   ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【详解】A选项：三点确定一个圆，但三点必须不共线，否则不能确定圆，故A是假命题，不符合题意； B选项：同弦所对的圆周角相等或互补，故B是假命题，不符合题意； C选项：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C是真命题，符合题意； D选项：垂直于半径的直线不一定经过切点，因此不一定是切线，故D是假命题，不符合题意．故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列判断正确的是（   ） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【详解】解：A、弧长相等的弧是等弧，错误，应为能够完全重合的弧是等弧，故不符合题意； B、过三点可以确定一个圆，不一定成立，应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意； C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意，故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）下列命题中，是真命题的为（    ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．对角互补的四边形四点共圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【详解】解：．不共线的三点确定一个圆，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．对角互补的四边形四点共圆，原命题是真命题，故该选项符合题意； ．经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题是假命题，故该选项不符合题意；故选：C． 题型09 切线的判定定理的相关运用 【典例】（2026九年级·江苏·专题练习）如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是________（填序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：如图，连接． 是的直径，．，． ①，，． 又，是等边三角形，， ，，是的切线．∴①正确； ②，，是等边三角形，． ，，，是的切线．∴②正确； ③，．，．，． ，，，是的切线．∴③正确； 综上所述，能使成为的切线的是①②③．故答案为：①②③． 【变式1】（25-26九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径，∴AT是圆O的切线，故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【变式2】（25-26九年级上·江苏·期末）如图，在中，的半径为3．请判断直线与的位置关系，并说明理由．    【答案】相切，理由见解析 【详解】解：直线与相切．理由如下：过点作于点．    ，．在中，． 的半径为3，为的半径．是的切线． 【变式3】（2026·吉林·一模）如图，在中，，是的中线，以点O为圆心，为半径作．求证：是的切线． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，是的中线，∴． 又为半径，∴是的切线． 【变式4】（25-26九年级下·江苏连云港·月考）如图，已知内接于，是的直径． (1)尺规作图：确定点的位置，使得点是弧的中点，交直线于点；（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（）的条件下，求证：是的切线． 【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）证明：如图，连接，设交于点，∵点是弧的中点， ∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∵是的半径，∴是的切线． 【变式5】（25-26九年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，以为直径的交于点，是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)写一个与相等的角________；(2)求证：是的切线． 【答案】(1)（或）(2)见解析 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径，∴，∴， ∵E是的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴与相等的角为和； （2）证明：连接，，是的直径，，∴， 是的中点，，，，， ，，．， 又点在上，是的切线． 题型10 切线的性质定理的运用 【典例】（2025·安徽宣城·一模）如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如下图所示，连接并延长到点， 五边形是正五边形，， 又、是的切线，， ，，， ．故选：D． 【变式1】（2026·海南海口·一模）如图，经过的圆心O，与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，∵是的切线，∴， ∵，∴，∴． 【变式2】（2026·重庆·一模）如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：与分别是中所对的圆周角和圆心角，， 是的两条切线，，，， 在四边形中，． 【变式3】（2026·湖南长沙·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∵是的切线，∴，∴，∴． 【变式4】（2026·重庆·一模）如图，，是⊙的两条切线，、是切点，是优弧上一点，且，则的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．80° 【答案】C 【详解】解：是的两条切线，， ，． 题型11 切线的性质定理与判定定理综合运用 【典例】（2026·吉林长春·一模）如图，四边形为菱形，以为直径作交于点F，连接交于点H，E是上的一点，且，连接． (1)求证：是的切线；(2)若，，则四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析(2)20 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形为菱形，∴，，， ∵，∴，∴，∴；∴． ∵是的直径，∴，∴ ∵，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线； （2）解：如上图，连接，∵是的直径，∴，∴， ∵，，∴， 在和中，∵，， ∴，∴， ∴，∴．∴， ∴．即四边形的面积是20． 【变式1】（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图，四边形内接于，是的直径，于点，平分．(1)求证：是的切线；(2)如果，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接如图所示： ∵，∴，∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，即，又∵是半径，∴是的切线； （2）解：延长交于点，如图所示： ∵为的直径，∴，∵， ∴四边形为矩形，∴，，∴， ∴在中，， 设的半径为，则，， ∴在中，，∴，解得：． 【变式2】（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，是的高，以为直径作交的延长线于点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析(2)12 【详解】（1）证明：连接． ∵，∴．∵，，∴． ∵是的高，∴．∴． ∴．∴，即， 又∵是的半径，∴是的切线； （2）解：由题意知：，，设，则， 由（1）知，∴在中，， 即，解得．∴．∴的面积． 【变式3】（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺及圆规在图1中作，使得圆心O在边上，经过点C且与边相切；（不写作法，保留作图痕迹）；(2)若，则________． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）解：如图所示，作的垂直平分线交于点H，过点H作交于点O，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求； ∵，的垂直平分线交于点H，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴与相切． （2）解：如图所示，过点作，垂足为，∵，，∴， ，，，， ，． 【变式3】（2026·湖北黄石·一模）在中，已知为直径，点E是弧上一点，弦，且．连交于点N，点P在的延长线上，．(1)求证：是的切线：(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： ∵，∴，∵，∴． ∵，∴，∴，即，∴， ∵是半径，∴是的切线； （2）解：连接，如图2所示：∵，∴，∴为的直径． ∵，∴，设的半径为，∴， 在中，由勾股定理，得：，∴，解得， ∴．∴． 【变式4】（2026·山东德州·一模）如图，点是外一点，直线交于点，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，过，作直线，交于点（点在外）：以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． (1)线段与的数量关系为：_______；(2)求证：是的切线；(3)若，，求的长． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：由作法得垂直平分，即． （2）证明：如图：连接，， 由作法得垂直平分，，，，， 的内角和为，，即， ∴，即， 又点在上，是的切线； （3）解：设半径为，则，，由（2）可知，， 在中，根据勾股定理，，∴，解得，； ． 题型12 切线长定理及其运用 【典例】（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【详解】解：连接、，∵，是的半径，∴是的切线， ∵是的切线，∴，，， ∵，∴，∴，∴， ∴，在中，，∴，故选：C． 【变式1】（2026·青海西宁·一模）如图，内切于四边形，且，则四边形的周长_______． 【答案】26 【详解】解：如图所示，与相切于点，与相切于点，与相切于点，与相切于点， ∵内切于四边形，即是的切线，∴， ∴， ∴四边形的周长为． 【变式2】（2026·山东淄博·一模）如图，在四边形中，，，分别与扇形相切于点，．若，，则的长为（    ） A．8 B． C． D．9 【答案】D 【详解】解：连接，作于点，则， ，分别与扇形相切于点，，，， ，，，， ，， ，，，四边形是矩形， ，，， 在中，根据勾股定理可得：，解得：． 【变式3】（25-26九年级下·四川广安·开学考试）如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，分别相切于点，， ，分别与相切于点，， 分别与相切于点，， ． 题型13 三角形的内切圆问题 【典例】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．32 B．28 C．26 D．30 【答案】C 【详解】解：∵分别与相切于点，∴，，， ∴ 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，，∴， 设内切圆的半径为r，则有：，∴；故选：A． 【变式2】（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∵是的内切圆，∴平分，∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点是的内心，过点作，垂足为点．如果的面积为，那么的周长为__________． 【答案】 【详解】解：连接，过点作， ∵点是的内心，∴平分，平分，平分， ∵，，∴，∵的面积为， ∴，即， ∴．故答案为：． 题型14 内切圆与外接圆综合 【典例】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（   ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 【答案】D 【详解】解：∵三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点． ∴A选项说法错误，B选项说法错误； ∵等腰直角三角形的外心在斜边中点处，内心在三角形内部，二者不重合．∴C选项说法错误； ∵等边三角形的内角平分线与三边垂直平分线重合，其内心与外心为同一点．∴D选项说法正确．故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，∵I是的内心，，∴， ∵点O是的外心，∴， ∵，∴，故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作的外接圆，∵点O是的外心，∴的外接圆的圆心为点O， ∵，，∴，∴， ∵点I是的内心，∴平分，平分， ∴，∴， ∴，故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【答案】 【详解】解：如图，∵三角形三边分别为5，12，13，∴， 根据勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，外接圆的半径：， 如图，设，， 设的内切圆的半径为r，则， ∵，∴， ∴，解得，∴， 在中，，根据勾股定理得∴， 则该三角形内心与外心之间的距离为，故答案为：． 【变式4】（25-26九年级下·湖北襄阳·自主招生）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．现给出以下四个判断：（1）；（2）； （3）；（4）．则正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：（1）∵点是的内心，∴，， ∵，∴， ∴，故（1）不正确； （2）∵的延长线和的外接圆相交于点，∴四边形是的外接圆的圆内接四边形， ∴，∴，故（2）正确； （3）∵点是的内心，∴平分，平分， ∴，，∴， ∴，∴，∴，故（3）正确； （4）∵点是的内心，∴平分，∴， ∴，∴，故（4）正确；∴正确的结论是：（2）（3）（4）， ∴正确结论的个数为3．故选：C． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C．三角形有且只有一个内切圆 D．三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 【答案】C 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； B、在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，则不一定相等； C、三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个； D、三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等．由此可见只有选项C是正确的． 故选：C． 2.（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形，∴． ∵，． ，是⊙O的切线，，， ．故选：C． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设的半径为，∵点在圆外且，∴， ∵点在圆内且，∴，∴的半径是，∴选项符合题意，故选：． 4．（25-26九年级上·湖北鄂州·月考）已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【详解】解：∵ 直线与没有公共点，∴ 直线l与相离， ∴ 圆心O到直线l的距离半径r，∵，∴，故选：D 5．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 【答案】B 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵中，∴， ∵点是边的中点，∴， ∴点在外，点在外，故选项A正确；选项B错误； ∵，，∴，∵，，∴， ∴、是的中位线，∴，， ∴与相切，与相交，故选项C、D正确．故选：B． 6．（25-26九年级下·福建厦门·月考）如图，，是的切线，切点分别为，，点在上，如果，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接、， ∵四边形内接于，，∴，∴， ∵，是的切线，切点分别为，，∴，， ∴，，∴，即平分， ∴． 7．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，已知，，，则它的内切圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 【答案】A 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， ∴四边形是矩形．设半径为，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的内切圆的半径为1． 8．（2026·安徽阜阳·二模）如图，点为中边上一点，以点为圆心、长为半径，作恰与边相切于点，若，则___________． 【答案】/度 【详解】解：，，， 恰与边相切于点，，． 9．（2026·四川内江·一模）设方程的两根为的两条直角边的长，则内切圆的半径是______． 【答案】2 【详解】解：解方程．因式分解得．解得，． 即的两条直角边的长分别为和．由勾股定理得，的斜边长为． 设内切圆的半径为，直角三角形内切圆半径公式为，其中a，b为直角边长，为斜边长．代入得． 10．（2026·浙江·模拟预测）在中，，． (1)尺规作图：作，使圆心O在上，经过A，B两点（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：是（1）题所作的切线． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：连接， ∵，，∴， ∵，∴，∴，即， ∵为半径，∴是的切线． 11．（2026·江苏无锡·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，．(1)判断与的位置关系并证明；(2)若的半径为4，求的面积． 【答案】(1)与相切，见解析(2) 【详解】（1）解：与相切，证明如下：连接， ，，∵，． ，∴， ，即，与相切． （2）解：过点B作于点H，∵，∴， ， ，∴， ，，，∴， 又，，． 【强化训练】 1．（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示： 在中，令，则，即与y轴的交点为， 令， 则，即与x轴的交点为，∴， 连接圆心O与切点C，则，， ∵， ∴ ，∴ 同理当直线与圆相切时且函数经过二、三、四象限， ， 综上所述： 当直线与圆相交时，b的取值范围是 ；故选：C． 2．（2026·福建泉州·三模）如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点E．若的半径为5，且，则的长度为（    ）． A．5 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，，， 与正方形的两边，相切，且与相切于点E，， 正方形，且，， ，四边形为矩形， ，的半径为5，四边形为正方形， ，． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，，∴，∴是直角三角形， ∴，∴ ∴∴，∴∴， 设，则，，， ∵，∴，解得：，∴， 在中，， ∵，，∴是的垂直平分线，∴， ∵，即，解得，∴． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【详解】解：如图，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为， 则，， ∴的周长为， ∵在中，，，，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴四边形是矩形，∵， ∴四边形是正方形，∴， ∴，∴的周长为． 故选：C． 5．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点分别是的内心和外心，则的长为（    ） A．3 B．2.5 C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，，，过向三边作垂线，垂足分别为、、， ∵在中，，∴， ∵点分别是的内心和外心， ∴平分，平分，平分，是的中点， ∴，，∵过向三边作垂线，垂足分别为、、， ∴，， ∴四边形是正方形，∴， 设，则，， ∵，，，∴， ∴，同理可证， ∵，∴，解得，∴，， ∴，∴，故选：C． 6．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（    ） A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2 【答案】B 【详解】解：设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、， ∵，∴，， ∵为斜边上的中线，∴，， ∵的内切圆圆心，切点分别为、、，的内切圆半径为， ∴，，，， ∴， ∴，同理可得， ∴，故选：B． 7．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 【答案】2或 【详解】解：根据题意得，或， 把直线l向上平移或才能使l与相切；故答案为：2或 8．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 【答案】5或1 【详解】解：点到上的点的最小距离是4，最大距离是6， 当点在圆内时，的半径； 当点在圆外时，的半径，综上所述，的半径为5或1．故答案为：5或1． 9．（2026·山东临沂·一模）按要求解答： (1)课本再现：如图①，，是的两条切线，切点分别为，．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由． (2)知识应用：如图②，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线． 【答案】(1)的长度是，的度数是(2)证明见解析 【详解】（1）解：的长度是，的度数是，理由：如图，连接、， ∵，是的两条切线，切点分别为、， ∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，； （2）证明：∵、、分别与相切于点、、，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵是的半径，∴是的切线． 10．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图1，点为上一点，且于点． (1)下列说法正确的是（    ） A．与相离                            B．与相切     C．与相交                            D．以上说法均不正确 (2)过点作的切线，切点为，且点与点不重合（保留作图痕迹，简单写出作图方法）； (3)如图2，在图1的基础上，连接并延长交于点和点，过点作，交的延长线于点，交于点，连接．若四边形是平行四边形，且，求的长． 【答案】(1)B(2)见解析(3)2 【详解】（1）解：∵点为上一点，且于点，∴是半径，是的切线， ∴与相切，故选：B； （2）解：以点P为圆心，的长为半径作圆交于点B，点B即为所求； 在和中，，∴，∴，∴， 又∵为半径，∴为的切线； （3）解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形， ∴，∴，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，即，∴，， ∴，，∴，∴． 11．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：①选择小明． 理由：如图①，过点O分别作，，垂足分别为E、F，连接、， ∵，且过圆心O，∴， ∵，且经过点O，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∴，即O到、的距离相等； ②选择小红．证明：如图①，连接， ∵，∴，∴，∴，∴，∴； （2）解：如图②中，即为所求． ∵，∴，∴， 当是的内切圆时，则有，解得， 当过点时可得， 又因为得满足与三边相交，∴．故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，对于与，若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． (1)如图1，的半径为1，．设． ①当，说明为的“点A关联三角形”； ②若为的“点A关联三角形”，则a的最小值为________． (2)如图2，的半径为1，，B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围． (3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A．．若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①见解析；②(2)(3)或 【详解】（1）解：①如图， ∵，∴，∴， 又∵的半径为1，∴点在上，∵交于点，∴为的“点A关联三角形”； ②过点C作的切线，连接，当点A在y轴右侧时，则，，∴， 过点A作轴于H，则，∴，∴， 当点A在y轴左侧时，由对称性得，∴，∴a的最小值为；故答案为：； （2）解：如图2，∵为的“点A关联三角形”，∴线段和除点A外不与有交点， 当与相切时，∴轴，此时，点A的横坐标为1， 则点C的横坐标为1，即，∴时，线段除点A外不与有交点； 当点B恰好在上，即点B在处，记作点，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵为等边三角形，∴，， 在中，，∴， 过点作轴于G，∴，，∴， 在上取一点M，连接，使得，∴， 在中，则，，∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴，∴， ∴时，线段除点A外不与有交点； ∴综上所述，m的取值范围为； （3）解：∵为的“点A关联三角形”，∴分如下情况讨论： ①当与有交点，直到点落在上时， ∵直线与在第一象限的交点为A，∴， 过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，交延长线于点， 则，∴， ∵，∴，∴， ∵∴，∴，即， 解得，此时不满足题意，∴； ②当与相切时，如图，由图可知，点与点重合， ∵，∴，∴， 当时，与有两个交点，不符合题意，∴； ③当与相交时，且点在内，即， 过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，交延长线于点， 同理可证，∴，， ∴，， ∴，∴，即， ∴点在外，∴与必有一个交点，符合题意，∴； ∴综上所述，r的取值范围为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 点与圆、直线与圆的位置关系 1.掌握点与圆的位置关系：由点到圆心距离d与半径r大小判断。 2.掌握直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），用圆心到直线距离d和半径r判别。 3.掌握切线判定定理与切线性质定理，能运用定理解决相关问题。 4.掌握切线长定理及相关运用；三角形内切圆、内心等相关概念。 5.体会数形结合：图形位置关系和数量(d、r)之间双向转化。 6.掌握切线证明的两类辅助线添加方法，发展演绎推理能力。 7.感受切线在生活工具中的应用；区分外心、内心，体会几何概念的严谨。 点与圆的位置关系（设圆半径为r，点到圆心的距离为d）： 如果d>r，点在圆外；如果d=r，点在圆上；如果d<r，点在圆内。 直线与圆的位置关系（设圆半径为r，圆心到直线距离为d）： 如果d<r，直线与圆相交，有两个公共点； 如果d=r，直线与圆相切，有唯一公共点； 如果d>r，直线与圆相离，没有公共点； 当直线与圆有唯一公共点时，我们称直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线（tangent line of circle），这个公共点叫作切点（tangent point）； 圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长（length of zhe tangent）。 切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等。这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆（inscribed circle of triangle），内切圆的圆心叫作三角形的内心（incenter of triangle）；这个三角形叫作圆的外切三角形。 内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边距离相等。 证明切线的策略： 有公共点：连半径，证垂直； 无公共点：作垂直，证半径。 已知切线：连接圆心与切点，得到垂直关系。 切线长模型：圆外一点引两条切线，切线长相等；该点与圆心连线平分夹角。 内心题型：内心到三边距离相等，可结合面积分割法计算。 题型01 点与圆的位置关系的判断 【典例】（25-26九年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【变式1】（25-26九年级下·辽宁阜新·月考）若⊙O的半径为，点A与圆心O的距离为，则点A与⊙O的位置关系是______． 【变式2】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期中）我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”作出的圆心，再证明点也在上，在用反证法证明时，假设结论“点在上”不成立，那么点与圆的位置关系是（    ） A．点只能在内 B．点只能在外 C．点在圆心或在外 D．点在内或外 题型02 点与圆的位置关系的运用 【典例】（2026·云南昭通·一模）某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·江苏泰州·月考）已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【变式2】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，点在边上，且，连接．以点为圆心，以为半径画圆，若点中只有2个点在圆内，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型03 利用点与圆的位置关系求半径 【典例】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 【变式2】（25-26九年级上·四川广安·期末）点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是___________ 【变式3】（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 题型04 直线与圆的位置关系的判断 【典例】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【变式1】（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式2】（25-26九年级下·江苏常州·月考）如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径等于3，圆心到直线上一点的距离为9，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 题型05 已知直线和圆的位置关系求半径的取值范围 【典例】（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·月考）已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型06 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例】（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为4，点到直线的距离为d．若直线与公共点的个数为2，则的值可能为（    ） A．5 B． C．4 D． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·月考）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 题型07 圆与平移相关问题 【典例】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·月考）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式2】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则______秒时与直线相切． 题型08 有关切线的概念辨析 【典例】（25-26九年级上·山东日照·期中）下列命题中，是真命题的为（   ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列判断正确的是（   ） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）下列命题中，是真命题的为（    ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．对角互补的四边形四点共圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 题型09 切线的判定定理的相关运用 【典例】（2026九年级·江苏·专题练习）如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是________（填序号）． 【变式1】（25-26九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 【变式2】（25-26九年级上·江苏·期末）如图，在中，的半径为3．请判断直线与的位置关系，并说明理由．    【变式3】（2026·吉林·一模）如图，在中，，是的中线，以点O为圆心，为半径作．求证：是的切线． 【变式4】（25-26九年级下·江苏连云港·月考）如图，已知内接于，是的直径． (1)尺规作图：确定点的位置，使得点是弧的中点，交直线于点；（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（）的条件下，求证：是的切线． 【变式5】（25-26九年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，以为直径的交于点，是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)写一个与相等的角________；(2)求证：是的切线． 题型10 切线的性质定理的运用 【典例】（2025·安徽宣城·一模）如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·海南海口·一模）如图，经过的圆心O，与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·重庆·一模）如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·湖南长沙·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·重庆·一模）如图，，是⊙的两条切线，、是切点，是优弧上一点，且，则的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．80° 题型11 切线的性质定理与判定定理综合运用 【典例】（2026·吉林长春·一模）如图，四边形为菱形，以为直径作交于点F，连接交于点H，E是上的一点，且，连接． (1)求证：是的切线；(2)若，，则四边形的面积为 ． 【变式1】（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图，四边形内接于，是的直径，于点，平分．(1)求证：是的切线；(2)如果，，求的半径． 【变式2】（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，是的高，以为直径作交的延长线于点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的面积． 【变式3】（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺及圆规在图1中作，使得圆心O在边上，经过点C且与边相切；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，则________． 【变式3】（2026·湖北黄石·一模）在中，已知为直径，点E是弧上一点，弦，且．连交于点N，点P在的延长线上，．(1)求证：是的切线：(2)若，，求的长． 【变式4】（2026·山东德州·一模）如图，点是外一点，直线交于点，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，过，作直线，交于点（点在外）：以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． (1)线段与的数量关系为：_______；(2)求证：是的切线；(3)若，，求的长． 题型12 切线长定理及其运用 【典例】（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【变式1】（2026·青海西宁·一模）如图，内切于四边形，且，则四边形的周长_______． 【变式2】（2026·山东淄博·一模）如图，在四边形中，，，分别与扇形相切于点，．若，，则的长为（    ） A．8 B． C． D．9 【变式3】（25-26九年级下·四川广安·开学考试）如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 题型13 三角形的内切圆问题 【典例】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．32 B．28 C．26 D．30 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点是的内心，过点作，垂足为点．如果的面积为，那么的周长为__________． 题型14 内切圆与外接圆综合 【典例】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（   ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 【变式1】（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【变式4】（25-26九年级下·湖北襄阳·自主招生）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．现给出以下四个判断：（1）；（2）； （3）；（4）．则正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C．三角形有且只有一个内切圆 D．三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 2.（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北鄂州·月考）已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 5．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 6．（25-26九年级下·福建厦门·月考）如图，，是的切线，切点分别为，，点在上，如果，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，已知，，，则它的内切圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 8．（2026·安徽阜阳·二模）如图，点为中边上一点，以点为圆心、长为半径，作恰与边相切于点，若，则___________． 9．（2026·四川内江·一模）设方程的两根为的两条直角边的长，则内切圆的半径是______． 10．（2026·浙江·模拟预测）在中，，． (1)尺规作图：作，使圆心O在上，经过A，B两点（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：是（1）题所作的切线． 11．（2026·江苏无锡·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，．(1)判断与的位置关系并证明；(2)若的半径为4，求的面积． 【强化训练】 1．（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·三模）如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点E．若的半径为5，且，则的长度为（    ）． A．5 B．6 C． D． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 5．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点分别是的内心和外心，则的长为（    ） A．3 B．2.5 C． D． 6．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（    ） A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2 7．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 8．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 9．（2026·山东临沂·一模）按要求解答： (1)课本再现：如图①，，是的两条切线，切点分别为，．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由． (2)知识应用：如图②，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线． 10．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图1，点为上一点，且于点． (1)下列说法正确的是（    ） A．与相离                            B．与相切     C．与相交                            D．以上说法均不正确 (2)过点作的切线，切点为，且点与点不重合（保留作图痕迹，简单写出作图方法）； (3)如图2，在图1的基础上，连接并延长交于点和点，过点作，交的延长线于点，交于点，连接．若四边形是平行四边形，且，求的长． 11．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明．(2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 12．（25-26九年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，对于与，若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． (1)如图1，的半径为1，．设． ①当，说明为的“点A关联三角形”； ②若为的“点A关联三角形”，则a的最小值为________． (2)如图2，的半径为1，，B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围． (3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A．．若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $