专题04 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理圆中阿基米德折弦与婆罗摩笈多模型知识体系，按“模型来源-知识储备-证明方法-易错总结”递进呈现，结合圆性质、全等三角形等基础，用思维导图关联折弦线段和差、垂直中点转化等重难点，清晰展现内在逻辑。 讲义亮点是分层练习设计与方法创新，A组基础题巩固模型识别，B组提升题结合中考模拟（如2025江西二模），C组压轴题深化综合应用，通过“截长法”“直角互余倒角”等技巧培养推理意识与几何直观，易错口诀帮助学生规避错误，教师可据此实施分层教学，支持不同学生提升。

专题04.圆中的重要模型之阿基米德折弦与婆罗摩笈多（定理）模型 阿基米德折弦模型主要解决：圆内折弦结构的线段和差证明与长度计算，是圆几何线段转化的 “终极工具”。该模型定理可考阅读、可考探究、可层层变式，区分度极高，是尖子生拔高必备模型。 婆罗摩笈多模型主要实现：垂直条件与中点条件的无条件双向转化，是圆内倒角、证垂直、证中点的终极工具。此定理完美体现几何 “对称、互逆、统一” 的美感， 中考命题人极其偏爱：条件隐蔽、结论炸裂、推导简洁、区分度极强。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.阿基米德折弦（定理）模型 2 模型2.婆罗摩笈多（定理）模型 9 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 22 C组（综合压轴题） 30 折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型‌。 数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求‌尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史研究者津津乐道。 婆罗摩笈多（定理）模型以‌7世纪印度数学家婆罗摩笈多‌（Brahmagupta）命名，他是首个系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的音译差异。‌ 1）圆核心性质：等弧对等弦、同弧或等弧对等圆周角；圆内接四边形对角互补；垂径定理、勾股定理。 2）全等三角形 SAS、AAS 证明。 3）几何核心辅助线：截长法、补短法（线段和差专属）。 4）等腰三角形三线合一；等角对等边（等腰判定）；直角互余倒角模型；直角三角形斜边中线定理。 模型1.阿基米德折弦（定理）模型 【模型提炼与证明】 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 【模型运用】 【典例1】（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【答案】B 【详解】解：∵点是的中点，∴， ∵，∴，则选项A正确； 如图，连接，，，∵，∴， ∵，∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下：∵是的直径，∴， 又∵，∴，∴，∴平分，则选项D正确；故选：B． 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．    阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），．M是的中点，则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．    这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接． ∵M是的中点，∴． 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知等边三角形内接于，D为上一点，．于点E，，连接，求的周长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，，       ∵，，∴． 又∵，∴，∴，． ∵，，∴． ∴．∴． （2）解：如图，∵是等边三角形，∴，． ∵．∴． ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴点C是的中点．∴由（1）的结论得，， ∴的周长是． 【典例3】（25-26九年级上·江苏·校考期末）【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC① 又∵∠A＝∠C② ∴△MAB≌△MCG③ ∴MB＝MG 又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA 根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：①　 　 ，②　 　 ，③　 　 ； 【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　 　； 【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长． 【答案】（问题呈现）相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；（理解运用）1；（变式探究）DB＝CD+BA；证明见解析；（实践应用）7或． 【详解】（问题呈现）①相等的弧所对的弦相等 ②同弧所对的圆周角相等 ③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等； （理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5， BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案为：1； （变式探究）DB＝CD+BA．证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG， ∵M是弧AC的中点，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG． 又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG， 又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA； （实践应用）如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°． 因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8． 已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1， 所以AG1＝（6+8）＝7．所以AD1＝7．如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝． 所以AD的长为7或． 【典例4】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图1，已知圆内接中，，D为弧的中点． (1)写出与相等的角（不添加任何线段） ___________； (2)过点D作于E，判断之间的数量关系并证明；(3)求证：． 【答案】(1)(2)，见解析(3)见解析 【详解】（1）解：∵D为弧的中点，∴，∴，故答案为：； （2）数量关系：．证明：在上截取，连，如图2， ∵D为弧的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴，而，∴， ，即． （3）由（2）知：，又∵， ∴．即． 【典例5】2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3(2)，证明见解析；(3)或． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ，，，； （2）解：，证明如下：如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点，，， 在和中，，，，， ，，，即； （3）解：是的直径，， 的半径为10，，，由勾股定理得：，， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ，，，，， ，即点是的中点，， ，； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，，，，即点是的中点， 由（2）可知，，，在中，， 综上可知，长为或． 模型2.婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 【模型提炼与证明】 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理） 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD． 结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 【模型运用】 【典例1】（2026福建漳州·模拟预测）求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边作垂线，其延长线必平分对边．要求：（1）在给出的圆内接四边形作出PE⊥BC于点E，并延长EP与AD交于点F，不写作法，保留作图痕迹（2）利用（1）中所作的图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】（1）见解析；（2）DF=FP=AF，点F为AD的中点，过程见解析 【详解】解：（1）补全的图形如图所示；         （2）已知：四边形ABCD为圆内接四边形，AC⊥BD，PE⊥BC．延长EP交AD于点F． 求证：点F为AD的中点 证明：∵AC⊥BD，PE⊥BC∴∠CPD=∠CEF=∠APD=90° ∵EF是线段  ∴∠CPE+∠CPD+∠DPF=180°，即∠CPE+∠DPF=90° ∵在Rt△CEP中，∠CPE+∠ECP=90°∴∠ECP=∠DPF ∵∠ACB与∠ADB为同弧所对的圆周角∴∠ACB=∠ADB，即∠ECP=∠PDF ∴∠DPF=∠PDF∴△DPF为等腰三角形，DF=FP ∵∠APF=∠APD -∠DPF=90°-∠DPF，∠PAF=90°-∠PDF∴∠APF=∠PAF ∴△APF为等腰三角形，PF=AF即DF=FP=AF，点F为AD的中点． 【典例2】（2026·河南周口·二模）婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．则． 证明：∵，，∴， ∴，，∴， ∵，∴． 又∵，∴，∴．… 任务：(1)将上述证明过程补充完整； (2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若，则．请证明该命题． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【详解】（1）在Rt△ADM中，∠ADM＝90°， ∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD （2）在Rt△AMD中，AF＝FD，∴FM＝AF＝FD，∴∠MAD＝∠AMF，∠ADM＝∠FMD， ∵，∴∠MAD＝∠CBD，∵∠BME＝∠FMD，∴∠BME＝∠ADM， ∴∠CBD+∠BME＝∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠BEM＝90°，∴FE⊥BC． 【典例3】（2026·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即，，， 在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，，即， ，，在中，，， 又∵，∴，∴， ∵，∴∴，∴； （2）证明：∵∴，∴ 又∵，∴， ∵，∴∴，∴； （3）解：如图，连接，设交于点M， ，， ，，即，，， ，，，由（1）中结论可得， ，，在中，，． 模型常见易错点 1）弧中点找反（最高频错误） 错误：随便取中点，分不清优弧 / 劣弧中点，结论完全写反。 解决方案： 长弦对应优弧中点，短弦对应劣弧中点； 做题第一步：先判断谁是长弦，再定中点位置。 2）大题直接默写定理结论 错误：解答题直接写 “由折弦定理得”，中考直接扣分。 解决方案： 折弦定理属于课外定理，大题必须完整截长补短 + 全等推导，仅选择填空可直接用结论。 3）线段和差记反 错误：分不清谁加谁、谁减谁。 解决方案： 固定口诀：长弦远端 = 短折弦 + 近端小段，永远不会记反。 4）不会构造辅助线 解决方案： 见折弦 + 弧中点，优先截长，不优先补短，截长法步骤最简、阅卷最认可。 5）忘记两大前提（致命错误） 错误：任意四边形乱用模型 解决方案： 必须同时满足：①圆内接 ②对角线垂直，缺一不可！ 6）两套婆罗摩笈多模型混淆 解决方案：全等版：双等腰直角共顶点；圆内版：圆内接四边形 + 垂直对角线 完全不同图形，绝不混用！ 7）大题直接用定理 解决方案： 中考禁止直接写定理名称，必须倒角证等腰、证中点 / 垂直。 8）找错对边 解决方案： 垂线垂直哪条边 → 平分它的对边，不是邻边。 解题方法总结 阿基米德折弦模型问题解题步骤： 1）模型识别：圆内出现折弦结构 + 弧中点 + 弦上垂线 → 阿基米德折弦模型 2）辅助线操作：在长弦上截取线段等于短折弦 3）利用弧中点：证等弧对等弦、等角 4）SAS 全等：转移边、转移等腰 5）三线合一：得到短线段相等；等量代换：得出线段和差关系；勾股 / 垂径：计算最终弦长 婆罗摩笈多模型问题解题步骤： 1）模型识别：见「圆内接四边形 + 对角线垂直 + 交点垂线 / 中点」→ 婆罗摩笈多模型 2）直角互余倒角：利用多组 90° 找等角 3）圆周角转移角度：同弧角相等 4）证两组等腰三角形；得出中点 / 垂直结论；结合斜边中线、勾股计算定值 终极双模型总口诀：折弦看弧中点，截长全等和差显； 圆内垂对四边形，垂直中点可互换。 1．（24-25九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在上截取，连接，，，， 是的中点，，， 和都是所对的圆周角，， 在和中，，，， 又，，，故C选项正确， 现有条件不能证明选项A，B，D中的结论一定成立，故选C． 2．（2025·广西贵港·一模）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点． (1)根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点（，两点不重合），连接； (2)请连接，，，，引理的结论为：．请你证明此结论． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：作出线段的垂直平分线，连接；   以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2）证明：由作图可得：是的垂直平分线， 四边形是圆的内接四边形， ， ． 3．（25-26·重庆·九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． (1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，C是劣弧的中点，直线于点E，则．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．C是劣弧的中点，直线于点E，则．可以通过延长、相交于点F，再连接证明结论成立．请写出证明过程； (3)如图3，，组成的一条折弦．C是优弧的中点，直线于点E，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．    【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析 【详解】（1）如图1，连接，，          ∵C是劣弧的中点，∴，∵，∴， ∴，，∴，∴是等腰三角形，∵，∴； （2）如图2，延长、相交于点F，再连接， ∵四边形是圆内接四边形，∴，∵C是劣弧的中点，∴， ∵，∴∵∴∴ ∴，，∴，∴，∴ （3）．理由如下：连接，，，与相交于点F， ∵，∴，∵，∴，， ∵，∴，∴，，∴，   ∴，，∴，∴，∴． 4．（2026·江苏·校考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 【答案】（1）见解析；（2）菱形 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 证明： ，， ，，， 同理可证，，∴点E是的中点 故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 （2）四边形是菱形 理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点， 是中点 ∴四边形是菱形故答案为：四边形是菱形 5．（2025·内蒙古·校考一模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的． 其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．    (1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________． (2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：根据“折弦的中点”定义可得：， 故答案为：． （2）证法一：如图所示，在上截取，连接、、、． ∵为的中点，， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴；    证法二：如图所示，过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、， ∵为的中点，，， 在和中，，，， 在和中，，， ，． 6．（2026·江苏苏州·校考一模）阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点， 于点，延长交于点．求证：． 证明：，，，，．…… 任务：(1)请完成该证明的剩余部分；(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长． 【答案】(1)证明：，，，，， ，，，，同理，，； （2）四边形是内接四边形，， ，，，，，，． 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在中，四边形是“婆氏四边形”，对角线相交于点E，过点E作于点H，延长交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，故选A． 2．（25-26九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    【答案】1 【详解】解：连接，交于点E，连接并延长交于F，连接，设的半径为r，      ∵是直径，∴，由题意知，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，∵， ∴，同理可得， ∴，∴，即的半径为1，故答案为：1． 3．（2025·山东济宁·校考一模）阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 【定理模型】如图①，已知AB和BC是的两条弦（即折线ABC是的一条折弦），，M是的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程： 如图②，延长DB至点F，使，连接MF，AB，MC，MA，AC，… 【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程． 【问题解决】如图③，内接于，已知，D为上一点，连接AD，DC，，，求的周长． 【答案】[定理证明]见解析；[问题解决] 【详解】[定理证明]证明：∵M是的中点，∴，∴， ∵，，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； [问题解决] 解：过点A作交于E， ∵，，， ∴，，∴为等边三角形，∴， 根据阿基米德折线定理，，∴的周长为． 4．（2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点，．．．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 【答案】(1)证明：是的中点，，，在中，， 在和中，，，， ，，． （2）解：如图，过点作于点，于点，连接，，， 由（1）可知，过圆心且，，， ，四边形是矩形，， ，，， ． 5.（25-26九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】(3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】(4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 【答案】(1)3(2)见解析(3)(4)或 【详解】（1）解：是的切线，为切点，，， ，，，，是折线段的中点，，故答案为：3； （2）证明：在上截取，连接、、、， 点是的中点，，，（SAS），， ，，，是折弦的中点； （3）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接、、、，点是的中点，， ，（SAS），，， ，，； （4）解：是的直径，， ，，，当点在上时，如图， ，，过点作交于点， ，，； 当点在上时，如图，，过点作交于点， ，，； 综上所述：的长为或，故答案为：或． 6．（2026·江苏·校考一模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故； 【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）； 【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点； （2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长． 【答案】【思考】真命题；【探究】（1）证明见解析；（2）4． 【详解】解：【思考】“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．理由如下：如下图， ∵，为的中点，∴．∴． ∵，∴．∵， ∴．∴．∴．即：． ∴命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题． 故答案为：真命题． 【探究】（1）如下图，过点作，交的延长线于点， ∵，∴．∵，∴． ∵，∴．∴． ∵，∴．∵，∴．∴． ∵为等腰直角三角形，∴．在和中， ∴．∴．∵，∴． 在和中，∴．∴．即是的中点． （2）如下图，过点作，交的延长线于点， ∵，∴． 在和中，∴． ∴．∴． ∵，∴． ∵，∴． 在和中，∴．∴． 1．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．那么如何来证明这个结论呢？小明运用“截长法”来证明此结论． 具体证明思路是：如图2，在上截取，连接、、和，……，请你按照小明的思路完成证明过程． （2）【理解运用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： ①如图3，已知等边三角形内接于，，点是上的一点，，于点，则的周长为________． ②如图4，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则的长为________； ③如图5，是的直径，点A圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，求长． 【答案】（1）证明：如图2，在上截取，连接、、和， ∵是的中点，∴，∴（相等的弧所对的弦相等）， 又∵（同弧所对的圆周角相等），∴，∴， 又∵，∴，∴，即． （2）①解：∵，，∴是等腰直角三角形，∴， ∵是等边三角形，∴，，∴，∴点A是的中点， ∵，∴由（1）可得， ∴；故答案为： ②在上截取，，连接、、、，    是弧的中点，∴，， 又，，，， 又，，∵，∴， ∴；故答案为：8 ③解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接， ∵是圆的直径，∴，∵，圆的半径为5，∴， ∴在中，， ∵，∴， ∴，∴∴由②可得， ∴，∴在等腰中，； 当点在上方时，，同理得，综上所述：的长为或． 2．（2026·广东·校考一模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即， ，，在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】(1)证明：，，即， ，，在中，，， 又∵，∴，∴， ∵，∴∴，∴； (2)证明：∵∴，∴ 又∵，∴， ∵，∴∴，∴； （3）解：如图，连接，设交于点M， ，， ，，即， ，， ，，，由（1）中结论可得， ，，在中，，． 3．（2025·山西晋中·三模）阅读与思考 请认真阅读材料，并完成相应任务． 婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！ 如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍． 下面是他的探究思路：于点，． ．（依据1） 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接，则．（依据2）． 又，．，．．．…… 任务：(1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ；(2)请完成材料中的剩余证明； (3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ． 【答案】(1)勾股定理；直径所对的圆周角是直角 (2)证明：于点，， ，如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则，，又，， ，．，，， ， 即等于⊙O半径平方的4倍； （3）解：根据（2）中结论可得，，故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】对角线互相垂直的圆内接四边形，称为婆氏四边形．   注：婆氏（婆罗摩笈多 Brahmagupta，598-668年，印度数学家和天文学家） 【性质探究】（1）婆氏定理：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．即如图，四边形是的婆氏四边形，过点M作于E，延长交于F，求证：F为中点； （2）如图，在直径为d的中，弦互相垂直，垂足为M．  求证： 【性质运用】（3）如图， 是圆中两条互相垂直的弦，交点为M，分别以为弦作直角扇形（即扇形的圆心角为），若此圆的面积为S，这四个直角扇形的面积之和为S1，是否为定值？若是，求出这个值；若否，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是的婆氏四边形， ∴，∴，即. ∵，∴，∴， 即，∴. ∵，∴， ∴，即，则点F是的中点； （2）证明：作直径，连接，∴. ∵，，∴，∴，∴，∴， ∴， ∴； （3）解：是，由（2）得， 则，，∴为定值. 5．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应学习任务：对角线互相垂直的四边形的性质探究 在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？容易得知： 对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，证明过程如下： 如图1，在四边形中，对角线，垂足为． 求证：． 证明：∵于点， ∴（依据1） 若对角线互相垂直的四边形内接于圆，它还有什么特殊性质呢，通过探究，我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形，每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的4倍，证明过程如下（不完整）： 如图2，已知的半径为，四边形内接于，且． 求证：． 证明：过点作直径，分别连接． ∵是的直径，∴（依据2）∴， ∵，∴． 学习任务：(1)小宇同学的论文中，画横线部分的“依据1”和“依据2”分别是： 依据1：______________；依据2：______________．(2)请完成图2的剩余证明过程； (3)如图3，已知四边形内接于，为上一点，，若的直径为8，，请直接写出的长度． 【答案】(1)勾股定理（或直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）；直径所对的圆周角等于90° (2)见解析(3) 【详解】（1）解：勾股定理（或直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）； 直径所对的圆周角等于90°． （2）证明：过点作直径，分别连接． ∵是的直径，∴，∴，∵，∴． ∵，∴，∵，；∴， ∴，∴， ∴ （3）连接交于，如图，∵，，∴， ∴，，由（2）得：， ∴，解得：，∴． 6．（2025·江苏淮安·校考二模）【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到； 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得； (1)根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． (2)【类比探究】如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． (3)【迁移应用】【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)，见解析(3)；存在最小值，其最小值为 【详解】（1）解：延长到E，使得，连接，如图①，， 在和中，，，． ，，．故答案为：； （2）解：与的数量关系为：． 理由如下：延长至点G，使，连接，如图，则． 是的边上的中线，， 在和中，，， ，，，． ，．，． 在和中，，，．． （3）解：应用1：过点O作于点E，于点F，如图， 则，．，，， ，，．，． ，． 在和中，，， ，．； 应用2：存在最小值，其最小值为， 理由如下：取的中点F，连接，延长DF至点H，使，连接，，如图， ，．，， ，，即． 在和中，，，， ∴点E，D，G、B四点共圆，，， ∵F为的中点，∴．，， ∴四边形为平行四边形，，，． ，．，． 在和中，，， ，． 若的度数发生改变，当点G，D，F三点在一条直线上时，的值最小为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04.圆中的重要模型之阿基米德折弦与婆罗摩笈多（定理）模型 阿基米德折弦模型主要解决：圆内折弦结构的线段和差证明与长度计算，是圆几何线段转化的 “终极工具”。该模型定理可考阅读、可考探究、可层层变式，区分度极高，是尖子生拔高必备模型。 婆罗摩笈多模型主要实现：垂直条件与中点条件的无条件双向转化，是圆内倒角、证垂直、证中点的终极工具。此定理完美体现几何 “对称、互逆、统一” 的美感， 中考命题人极其偏爱：条件隐蔽、结论炸裂、推导简洁、区分度极强。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.阿基米德折弦（定理）模型 2 模型2.婆罗摩笈多（定理）模型 9 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 22 C组（综合压轴题） 30 折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型‌。 数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求‌尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史研究者津津乐道。 婆罗摩笈多（定理）模型以‌7世纪印度数学家婆罗摩笈多‌（Brahmagupta）命名，他是首个系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的音译差异。‌ 1）圆核心性质：等弧对等弦、同弧或等弧对等圆周角；圆内接四边形对角互补；垂径定理、勾股定理。 2）全等三角形 SAS、AAS 证明。 3）几何核心辅助线：截长法、补短法（线段和差专属）。 4）等腰三角形三线合一；等角对等边（等腰判定）；直角互余倒角模型；直角三角形斜边中线定理。 模型1.阿基米德折弦（定理）模型 【模型提炼与证明】 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 【模型运用】 【典例1】（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．    阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），．M是的中点，则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接． ∵M是的中点，∴． 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知等边三角形内接于，D为上一点，．于点E，，连接，求的周长． 【典例3】（25-26九年级上·江苏·校考期末）【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC① 又∵∠A＝∠C② ∴△MAB≌△MCG③ ∴MB＝MG 又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA 根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：①　 　 ，②　 　 ，③　 　 ； 【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　 　； 【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长． 【典例4】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图1，已知圆内接中，，D为弧的中点． (1)写出与相等的角（不添加任何线段） ___________； (2)过点D作于E，判断之间的数量关系并证明；(3)求证：． 【典例5】2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 模型2.婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 【模型提炼与证明】 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理） 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD． 结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 【模型运用】 【典例1】（2026福建漳州·模拟预测）求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边作垂线，其延长线必平分对边．要求：（1）在给出的圆内接四边形作出PE⊥BC于点E，并延长EP与AD交于点F，不写作法，保留作图痕迹（2）利用（1）中所作的图形写出已知、求证和证明过程． 【典例2】（2026·河南周口·二模）婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．则． 证明：∵，，∴， ∴，，∴， ∵，∴． 又∵，∴，∴．… 任务：(1)将上述证明过程补充完整； (2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若，则．请证明该命题． 【典例3】（2026·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即，，， 在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 模型常见易错点 1）弧中点找反（最高频错误） 错误：随便取中点，分不清优弧 / 劣弧中点，结论完全写反。 解决方案： 长弦对应优弧中点，短弦对应劣弧中点； 做题第一步：先判断谁是长弦，再定中点位置。 2）大题直接默写定理结论 错误：解答题直接写 “由折弦定理得”，中考直接扣分。 解决方案： 折弦定理属于课外定理，大题必须完整截长补短 + 全等推导，仅选择填空可直接用结论。 3）线段和差记反 错误：分不清谁加谁、谁减谁。 解决方案： 固定口诀：长弦远端 = 短折弦 + 近端小段，永远不会记反。 4）不会构造辅助线 解决方案： 见折弦 + 弧中点，优先截长，不优先补短，截长法步骤最简、阅卷最认可。 5）忘记两大前提（致命错误） 错误：任意四边形乱用模型 解决方案： 必须同时满足：①圆内接 ②对角线垂直，缺一不可！ 6）两套婆罗摩笈多模型混淆 解决方案：全等版：双等腰直角共顶点；圆内版：圆内接四边形 + 垂直对角线 完全不同图形，绝不混用！ 7）大题直接用定理 解决方案： 中考禁止直接写定理名称，必须倒角证等腰、证中点 / 垂直。 8）找错对边 解决方案： 垂线垂直哪条边 → 平分它的对边，不是邻边。 解题方法总结 阿基米德折弦模型问题解题步骤： 1）模型识别：圆内出现折弦结构 + 弧中点 + 弦上垂线 → 阿基米德折弦模型 2）辅助线操作：在长弦上截取线段等于短折弦 3）利用弧中点：证等弧对等弦、等角 4）SAS 全等：转移边、转移等腰 5）三线合一：得到短线段相等；等量代换：得出线段和差关系；勾股 / 垂径：计算最终弦长 婆罗摩笈多模型问题解题步骤： 1）模型识别：见「圆内接四边形 + 对角线垂直 + 交点垂线 / 中点」→ 婆罗摩笈多模型 2）直角互余倒角：利用多组 90° 找等角 3）圆周角转移角度：同弧角相等 4）证两组等腰三角形；得出中点 / 垂直结论；结合斜边中线、勾股计算定值 终极双模型总口诀：折弦看弧中点，截长全等和差显； 圆内垂对四边形，垂直中点可互换。 1．（24-25九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西贵港·一模）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点． (1)根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点（，两点不重合），连接； (2)请连接，，，，引理的结论为：．请你证明此结论． 3．（25-26·重庆·九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． (1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，C是劣弧的中点，直线于点E，则．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．C是劣弧的中点，直线于点E，则．可以通过延长、相交于点F，再连接证明结论成立．请写出证明过程； (3)如图3，，组成的一条折弦．C是优弧的中点，直线于点E，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．    4．（2026·江苏·校考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 5．（2025·内蒙古·校考一模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的． 其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．    (1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________． (2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明． 6．（2026·江苏苏州·校考一模）阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点， 于点，延长交于点．求证：． 证明：，，，，．…… 任务：(1)请完成该证明的剩余部分；(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长． 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在中，四边形是“婆氏四边形”，对角线相交于点E，过点E作于点H，延长交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    3．（2025·山东济宁·校考一模）阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 【定理模型】如图①，已知AB和BC是的两条弦（即折线ABC是的一条折弦），，M是的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程： 如图②，延长DB至点F，使，连接MF，AB，MC，MA，AC，… 【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程． 【问题解决】如图③，内接于，已知，D为上一点，连接AD，DC，，，求的周长． 4．（2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点，．．．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 5.（25-26九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】(3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】(4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 6．（2026·江苏·校考一模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故； 【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）； 【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点； （2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长． 1．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．那么如何来证明这个结论呢？小明运用“截长法”来证明此结论． 具体证明思路是：如图2，在上截取，连接、、和，……，请你按照小明的思路完成证明过程． （2）【理解运用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： ①如图3，已知等边三角形内接于，，点是上的一点，，于点，则的周长为________． ②如图4，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则的长为________； ③如图5，是的直径，点A圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，求长． 2．（2026·广东·校考一模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即， ，，在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 3．（2025·山西晋中·三模）阅读与思考 请认真阅读材料，并完成相应任务． 婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！ 如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍． 下面是他的探究思路：于点，． ．（依据1） 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接，则．（依据2）． 又，．，．．．…… 任务：(1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ；(2)请完成材料中的剩余证明； (3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ． 4．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】对角线互相垂直的圆内接四边形，称为婆氏四边形．   注：婆氏（婆罗摩笈多 Brahmagupta，598-668年，印度数学家和天文学家） 【性质探究】（1）婆氏定理：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．即如图，四边形是的婆氏四边形，过点M作于E，延长交于F，求证：F为中点； （2）如图，在直径为d的中，弦互相垂直，垂足为M．  求证： 【性质运用】（3）如图， 是圆中两条互相垂直的弦，交点为M，分别以为弦作直角扇形（即扇形的圆心角为），若此圆的面积为S，这四个直角扇形的面积之和为S1，是否为定值？若是，求出这个值；若否，请说明理由． 5．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应学习任务：对角线互相垂直的四边形的性质探究 在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？容易得知： 对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，证明过程如下： 如图1，在四边形中，对角线，垂足为． 求证：． 证明：∵于点， ∴（依据1） 若对角线互相垂直的四边形内接于圆，它还有什么特殊性质呢，通过探究，我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形，每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的4倍，证明过程如下（不完整）： 如图2，已知的半径为，四边形内接于，且． 求证：． 证明：过点作直径，分别连接． ∵是的直径，∴（依据2）∴， ∵，∴． 学习任务：(1)小宇同学的论文中，画横线部分的“依据1”和“依据2”分别是： 依据1：______________；依据2：______________．(2)请完成图2的剩余证明过程； (3)如图3，已知四边形内接于，为上一点，，若的直径为8，，请直接写出的长度． 6．（2025·江苏淮安·校考二模）【问题情境】学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到； 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得； (1)根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． (2)【类比探究】如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． (3)【迁移应用】【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $