数学（快练）-【荣恒专项】 2026-2027学年高中数理化公式法 二级结论（高中通用）

数学 @)结论快练1-2集合 答案见P37 1.设U为全集，对集合X,Y定义运算“*”：X*Y=C(X∩Y).对于任意集合X,Y, Z,则(X*Y)*Z=( 数 学 A.(XUY)(CZ) B.(XnYU(CZ) C.[(Cx)U(CoY)]nz D.[(Cx)n(CY)]UZ 2.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小 组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理 小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组 的有 人 (@)结论快练3-6不等式 答案见P37 3.(多选)已知a>0,b>0,且a+b=1,则() +w城≥对 2号 C.log2a+log2b≥-2 D.√a+b≤√2 4.已知a,b>0,a+b=5,则√a+1+√b+3的最大值为() A.18 B.9 C.32 D.23 5若>>y≥0，且满足x+y=1,则寸1的最小值是 1+2y x-y 6.已知5<84,134<8，设a=log53,b=logs5,c=log138,则( A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b ©)结论快练7-9函数 答案见P37 7.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x+1)是偶函数，y=f(x+2)是奇函数，且 当x∈[0,1]时f(x)=2-1,则下列结论正确的有() A.f(x)的一条对称轴是直线x=1 B.f(x)的一条对称轴是直线x=2 数 学 c2)=2-1 D.f(-1)+f(3)=0 8.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=-f(-x+1),且f(2-x)=f(x+2),则 f(2027)=() A.1 B.-1 C.0 D.2 9.若函数f(x)=2x3-3ax2+1的对称中心为(1，f(1),则a= 0)结论快练10-11三角函数 答案见P37 10.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1, 2 a),B(2,b),且cos2a=3,则1a-b1= 11.函数f(x)=sin+sin3x 的最小正周期是( cos x+cos 3x .2 2T . C.π D.2T @)结论快练12-24平面向量及其应用 答案见P37 12.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=( A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 13.若M是△ABC内一点，且满足3AM-AB-AC=0,则△ABM与△ABC的面积之比 为() A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:5 (2 14在△ABC中，C=2,AC=BC=2,M为边AC的中点，若点P在边AB上运动（点P 可与点A,B重合)，则M亦·C乎的最小值为 15.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2,P 是△BCD内（含边界）任意一点.设OP=OC+uOi(入，4eR),则A+u的取值范 围是 数 学 16.已知点0，N,P在△ABC所在平面内，且1OA1=1OB1=10C1,Ni+N2+NC=0, PA.PB=P.P元=P元.PA,则点O,N,P依次是△ABC的() A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 17.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,c=4,∠BAC的平分线 交边BC于点D,且AD=2,则a= 18.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3，D为BC 的中点，且AD=1.若b2+c2=8,则∠ADC= 1但在△A0C中，内角A,B,C的对边分别为a,6c,已知A=,4切为角A的平分线， 且AD=2,则AB+2AC的最小值是() A.2+√2 B.2+2√2 C.3+22 D.6+42 20.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2 bcos B=acos C+ccos A,则B= 21.已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin2B+sin2C=1,其面积S=2,则△ABC 的外接圆半径R=() A.2 B.22 C.4 D.42 22.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若tanA+tanB+tanC= √3 tan Btan C,则A的值为 3 28在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a6,c且。-6=c,C=行，则角B= 24在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin(B-A)=-1,& 4,a2-62= 数 学 2,则sn= A. 2 2 c D.1 @结i论快练25-34立体几何 答案见P37 25.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC,△ABC是边长为 2的正三角形，E,F分别是PA,AB的中点，∠CEF=90°，则球0的体积为( A.8√6T B.46m C.26m D.6π 26设直三棱柱ABC-A,B,C1的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且AB= AC=A41,∠BAC=120°，则此直三棱柱的表面积是() A.16+83 B.8+123 C.8+163 D.16+123 27.在三棱锥A-BCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥ 平面BCD,则该三棱锥外接球的表面积为 500π 28.如图，已知圆台上、下底面的半径分别为3和4，圆台的外接球0的体积为3， 则该圆台的侧面积为() 0. A.60m B.75m C.35m D.35√2π 4 29.如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD,且2AB2+BD2=4,沿BD将四边形折起， 使得平面ABD⊥平面BDC,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为() 数 学 A. 2 B.2π C.4m D.16m 30.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面 ABCD,且PD=2,若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为 B 31.在长方体ABCD-A,B1C,D1中，AB=BC=2,BB1=1,M是平面B1CD内的动点，且 MA⊥MC,则MC的最大值为() A.25 35 B c.45 D.5 5 5 32.如图，正方体ABCD-AB1C1D1的棱长为4，E,F分别为A1D1,C1B1的中点，CG= 3GC,,则平面BEF与平面BEG夹角的余弦值为 D 5 33.已知AB为圆锥PO的底面圆直径，O为底面圆心，正三角形ACD内接于圆O.若 PA=6,圆锥的侧面积为122π，则PA与BD所成角的余弦值为() A.② 6 B③ 0② 5 3 数 34.已知正三棱锥S-ABC的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为 学 () 4.22 B.22 3 3 3 D. 3 0结论快练35-36空间向量与立体几何 答案见P39 35.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD,且AB=BC=BD=2,∠ABC= ∠DBC=120°，E,F分别为AC,DC的中点，则二面角E-BF-C的正弦值为 B D 36.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD,且PD=CD= 2AD=2,则异面直线PC与BD所成角的余弦值为() A. 5 5 B.26 C.0 D.5 5 (6 0)结论快练37-45圆锥曲线 答案见P39 37.过点P(1,-1)且与圆C:x2+y2-4x+2=0相切的直线方程为 38已知P是双曲线名、 =1(a>0,b>0)上的动点，F1,F2分别是其左、右焦点，0为 IPF I+IPF,I 坐标原点.若 的最大值是6，则此双曲线的离心率是() 数 IOPI 学 A.√3 B.6 c D.2 39.已知F是抛物线y2=2x(p>0)的焦点，AB,CD是过点F的弦，且AB⊥CD,直线 AB的斜率大于0，且A,C两点在x轴上方，则下列结论中不成立的是() A.、1 ,1.1 ·IAB1'ICDI2p B.四边形ACBD面积的最小值为16p2 C.若IAFI·IBF1=4p2,则直线CD的斜率为-√3 D.o.op 40已知椭圆c: I(Q>b>0)的离心率为2过右焦点F且斜率为k(6>0的 线与C相交于A,B两点.若A=3FB,则k=( 2 A. B.1 2 C.√2 D.3 41,设A,B为双曲线-号-1上两点，下列四个点中，可为线段B中点的是() A.（1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) x2 42设R,B为椭圆C:5+y=1的两个焦点，点P在C上，若PF·PF=0,则 1PFI·1PF21=() A.1 B.2 C.4 D.5 7 43.已知椭圆23、 ,=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,以F,F2为边作正三角形，若椭圆 恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 44.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为120°的直线l与抛 物线C交于M,N两点.0为坐标原点，若M1-5,则△OMN的面积为() 数 学 A43 3 B.83 D.4√3 3 45.已知抛物线x2=16y的焦点为F,过点F的直线1与抛物线交于A,B两点，分别 过点A,B处的切线交于点P,若点P的横坐标为2，则直线AB的方程为() A.x+2y-8=0 B.x-2y+8=0 C.x-4y+16=0 D.x+4y-16=0 (@)结论快练46-47数列 答案见P40 46.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5,S6=21S2,则S。=() A.120 B.85 C.-85 D.-120 47.已知数列{an}的通项公式为an=(n-2)·3-1,其前n项和为Sn,则Sn= (0)结论快练48-51导数 答案见P40 48.已知a= 31 32 .b=cos 4,c=4sin4,则( A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 49.函数y-血(x+1)（0<x<1)的值域为 50.设f(x)= s血：，若对任意的x≥0，都有代x)≤ax,则a的取值范围为 2+cos x 51.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值为 8答案快解 数学 @结论快练1-2 △PAC是全等三角形，所以三棱锥P-ABC 1.B2.8 中PA,PB,PC两两垂直.将三棱锥P-ABC 放到正方体中，如图2，则正方体的棱长为 (@结论快练36 √2，则正方体的外接球即为三棱锥P-ABC 3.ABD4.C5.26.A 的外接球.易求得正方体的体对角线长 (⊙结论快练7-9 7.AC8.C9.2 为6，故球0的半径R=5,则球0的体 (@结论快练10-11 105 11.A 选D. (@结论快练12-24 12.B13.B 14.8 16.C17.32 18 19.D20. 图1 图2 21.A22.T 24.C 26.D 27.80m (0)结论快练25-34 【解析】如图，取CD的中点E,连 3 25.D【解析】如图1，取AC的中点G,连接 接AE,BE.因为△ACD和△BCD都是边 PG,BG,则PG⊥AC,BG⊥AC.又PG∩ 长为4的正三角形，所以AE⊥CD,BE⊥1 BG=G,PG,BGC平面PBG,所以AC⊥平 CD,AE=BE=2√3.又平面ACD⊥平面 面PBG.因为PBC平面PBG,所以PB⊥ BCD,平面ACD∩平面BCD=CD,AEC平 AC.又E,F分别是PA,AB的中点，所以 面ACD,所以AE⊥平面BCD,所以三棱 EF∥PB.由∠CEF=90°，得EF⊥EC,故 锥A-BCD的高h=AE=2√3.取△BCD的 PB⊥EC.因为AC∩EC=C,AC,ECC平 外心O1,显然点01在BE上，连接O1C,则 面PAC,所以PB⊥平面PAC,所以PB⊥ PA,PB⊥PC.又因为△PAB,△PBC, △BCD的外接圆半径r=0,C=4 3,0,到 37 23 16 CD的距离d=O,E= 设外接球球心为 3 DE,所以CE=√CD+DE2 1/4 5 rR2=r2+m2, 65 5 0,半径为R,001=m,则 ，所以MC的最大值为 故选D. R2=d+(h-m)2, 5 /R16 +m2, 2 R2、20 3, 即 解得 所 e=4+(23-m), 25 m= 3 以该三棱锥外接球的表面积为4πR= 80m 32.5 【解析】因为E,F分别为AD1,CB, 3 的中点，所以EFLA,B1,所以EF⊥平面 BB,C1C,所以EF⊥BF,EF⊥FG.又BF= √BB+B,F2=2V5,FG=√FC+C,G2= √/5，BG=√BC2+CG2=5,所以BF2+FG2= BG2,所以BF⊥FG.因为EF∩BF=F, EF,BFC平面BEF,所以FG⊥平面 28.D29.C30.2-√/2 BEF,所以△BEG在平面BEF中的投影 31.D【解析】如图，连接A1D,过点A作 为△BEF.设平面BEF与平面BEG的夹 AE⊥AD,垂足为E,连接ME,CE.易知 角为a,则cosa SAF.因为EF1BF,所 A1B1⊥平面AA,D1D,AEC平面AA,DD, 1 则AB1⊥AE.因为AB1∩AD=A1,A1B1, 以SABEF= :·BF·EF= 2 2×25×4= A1DC平面A1B,CD,所以AE⊥平面 45,EB=√BF+EF2=6.易知EG= AB,CD,所以MA在平面AB1CD内的射 √EF+FG=√21，所以由余弦定理可知 影为ME.由MA⊥MC,以及三垂线定理 的逆定理，可知ME⊥MC,所以点M在以 COS LEBG-EBBG-EG6-(1) 2EB·BG 2X6×5 CE为直径的圆上，所以MC的最大值为 CE的长度.在长方形AA,DD中，A,D= 所以血∠BG=气，所以Sc 2 VA4+AD=5,所以AE=A,A,AD AD 2B·BG·sin /EBG=55,所以cosa= 后亏，所以DE=aD-E4 2_25 4 SABEF 454 5 SABEG 555,即平面8EF与平面BC 45 4 易知CD⊥平面AADD,所以CD⊥ 的夹角余弦值为 5 -38- 33.A【解析】如图，过点A作AE∥BD交圆 AD=√6.因为E,F分别为AC,DC的中 O于点E,则PA与BD所成的角即PA与 AE所成的角，即∠PAE.设圆锥的底面半 点，所以EF=106 22 设二面角E-BF-C 径为r,母线长为l,则l=PA=6,圆锥侧面 的大小为0，∠FBE=a,∠FBC=B,∠EBC= 积S=mrl=6mr=122m,解得r=22,所 Y.在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC= 以OA=2√2.因为正三角形ACD内接于 120°，E为AC的中点，所以Y=60°，BE⊥ 圆O,所以∠ABD=∠ACD=60°.因为AE∥ AC,所以BE=BC·cos60°=1.在△CBD BD,所以∠BAE=∠ABD=60°.因为PA 中，同理可得B=60°，BF=1.在△BEF BE2+BF2-EF2 在底面的投影为OA,所以cos∠PAB= 中，由余弦定理得cosa= 2BE·BF PA6=,所以由三余弦定理 0A_22-√2 知cOS∠PAE=cOS∠PAB·cOS∠BAE= 2×1×1 4,所以sina 4°所以 2x1-2 3*26故选A 由三射线定理得cos9=c0sy-cos acos B sin asin B D 111 2425 25 15√3 5,放sim0= 所以二面 42 5 角E-BF-C的正弦值为 5 34.C 36.C【獬析】设异面直线PC与BD所成的 角为6.可取三棱锥P-DBC.由题中条件 (@)结论快练35-36 得，PC=2√2，BD=√5，PD=2,BC=1,PB=3, 35. 25 【解析】因为平面ABC⊥平面BCD, CD=2,所以由空间余弦定理得cos0= 5 1PD2+BC2-PB2-CD21122+12-32-221 所以二面角A-BC-D的大小为7，所以由 2PC·BD 2×22x5 三射线定理得cos∠ABD=cos（T w10 故选C 5 ∠ABC)·cos(T-∠DBC)=cos∠ABC· cOs∠DBC.因为∠ABC=∠DBC=120°， @结论快练37-45 所以ABD=-子在△ABD中，由余 37.x+y=0 38.B【解析】不妨设P(x,y)(x≥a)为右 弦定理，可得AD2=BD2+AB2-2BD· 支上的一点，则IPF1I=a+ex,IPF2I= ABco LABD=-4+4-2x2x2x-6,所以 -a+ex, 多1甲-字-.所以 39- 10P1=√e2+y = 的性质可知，x1x2= 4y%=p2,则0元. IPF 1+IPE2I 2ex 2e 3 （x≥ IOPI 26 0d=*+y=-4P,D正确故选B. Va2 x2 IPF1+IPF a),所以当x=a时， —取得最 IOPI 2e 大值，所以 ==2e=√6，所以e= 2 40.B 41.D42.B43.5-1 2故选B 44.A 【解析】由题意得sina=sin120°= 39.B【解析】设直线AB的倾斜角为0， 2p ,由焦点弦公式得IMWI= 2 in2(T-a) 0<c牙，如图，则直线cD与x轴的夹 im。3,则p=2,所以由面积公式得 2p16 nCDI 角为7-0，所以1AB1=2 p2-4_43 故选A. 2p 2p 1 SAOMN 2sina√5 3 sim2( 断以a+d山 cos20' 45.C【解析】易得抛物线的焦点F(0,4), 准线方程为y=-4.由题意可知，△PAB 2力A正确易知S动D= IABIICDI= 2 为阿基米德三角形，且弦AB过焦点，则 2p2 8p2 点P必在抛物线的准线上，且PF⊥AB, sin20cos20 sin220 ≥82，当且仅当0=T 所以点P(2,-4),直线PF的斜率为 时，等号成立，B错误.由抛物线的焦点弦 4(-4).-4,所以直线AB的斜率为4 1 0-2 性质可知IAFI= 1-cos g'IBFI=- 1+cos 0 1 所以直线AB的方程为y= 4x+4,即x 若1AFI·1BF1=4p2,则， 1-c0s2 =4p2,解 4y+16=0.故选C. 得cosg= (负值舍去)，故6=π，所以 @)结论快练46-47 2 6 46.C47. (2n-5)·3"+5 直线AB的斜率为tan0= 3因为AB1 4 @结论快练4851 CD,所以直线CD的斜率为-√3，C正确， 设C(x1,y1),D(x2,y2),由抛物线焦点弦 48.A【解析】先比较b,c.由tanx>x x∈ 40 (o,)可得am子所以4子 1.1 【-1,】,所以a≥行综上，a的取值范 CoS 子，即c>a再比较6，a由泰勒公式 围为[兮+)小 o0,得1分× 1 知c0sx>1- 51.33 【解析】易知f(x)为奇函数，周期 (仔}广-费用6>a综上o0a T=2m,f(x)=2sin x+sin 2x=sin x+sin x+ sin(π-2x),所以只需研究x∈[0，π]上 49.h2,)【解折1令f代)=n(+D(0< 的函数.令g(x)=sinx,xe[0,T],则 x-In(x+1) g"(x)=-sinx≤0，由琴生不等式可得 c1),则f(x)= ,构造函数 x1+x2+X3 g(x1)+8(x2)+g(x3 3 ,所 3 g(x)=花-1n(x+1)(0<x<1),则g(x)= x+1 x1+x2+x3 sin x+sin x2+sin x3 以sin 3 3 (x+1)<0,所以函数g(x)在(0,1)上 当且仅当x1=x2=x时，等号成立.令x1=x, 单调递减，所以当x∈(0,1)时，g(x)< x2=x,x3=T-2x,x1,x2,x3∈[0，T],即x∈ g(0)=0,则f'(x)<0,所以函数f(x)= [0,],所以sm x+x+T-2x 3 ≥ 血(x+1在(0,1)上单调递减，所以f(x)> sin x+sin x+sin(T-2x) ≥ n(x+1)= 3 sin 即 f(1)=ln2,而当x→0*时，lim 0 sin x+sin x+sin(T-2x) 3 所 以 1 x+1 lim 0*1 =1,所以函数y= n(x+1(0<x< sin x+sin x+sin(m-2x)3 ≤ 3 所以f(x)≤ 1)的值域为(ln2,1). 35 50. 【解析】当x=0时，f(x)≤ ,当且仅当x=号时，等号成立当x∈ ax对任意a恒成立；当x>0时，f(x)≤ax [7]时，me0,,an2xe-1,0, 等价于)≤a,由拉格朗日中值定理， 32 可知存在xg>0使得八x)0 所以f()≤2综上，(x)≤2，即 x-0 2=f'(xo), 32 故只需a≥f'(xo)恒成立即可.又f'(x)= f八)m=2又因为代x)为奇函数，所 2c0sx0+1 =-3(11121 以f(x)n= 3W3 (2+cos xo)2 coso+23)+3∈ 2 41-