数学 专项7 空间向量与立体几何（秒解）-【荣恒专项】 2026-2027学年高中数理化公式法 二级结论（高中通用）

高中理化公式法二级结论 专项 空间向量与立体几何 级结论35三射线定理 结论推导 适用题型条件：题中已给出或容易找出三条射线的两两夹角 设问：求二面角或已知二面角求其他 数 学 如图，PA,PB,PC分别是从点P出发的三 c1A、M 条射线，设LAPC=a,∠BPC=B,∠APB= 二级结论 Y,由PA,PC确定的平面记为a1,由PB, C PC确定的平面记为a2,由平面a1,a2形 B /a 成的二面角记为0，则有cosy=cos acos B+sin asin Bcos0 口诀记忆 斜角余弦=两小余弦积+两小正弦积×二面角余弦 ②快解示例：利用三射线定理求二面角 如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB= 3.若01C,且二面角ACPn的正弦值为，则AD D 30秒结论快解 因为PA⊥底面ABCD,DC,ACC平面ABCD,所以PA⊥DC,PA⊥AC.又AD⊥DC,PA∩ AD=A,PA,ADC平面APD,所以DC⊥平面APD.又PDC平面APD,所以DC⊥PD, 因为PA=AC=2,PA⊥AC,所以PC=2√2.设AD=t,∠ACD=y,∠PCD=a,∠PCA=B, 则DC=4-F,Pn=V4,sy=4 4- 2,cos a= 2,sin a= 4+t2 22 cos B=sin B= 设二面角A,GPD的平面角大小为0，则n9=孕，0为锐角sas0=Vm而= 7 √4-√4-72 故cos0=c0sy-c0s&cosB 2 222- sin asin B √4+√2 7,解得t=√3（负值舍去）.故AD=3 三射线定理 222 【答案】V3 36 专顶七空间向量与立体几何 二级结论36空间余弦定理 适用题型求异面直线所成角的余弦值 如图，在空间四边形ABCD中，异面直线AB和CD所 二级结论 成的角0满足：cos0= I(AD2+BC2)-(AC2+BD2)1 2AB·CD B 数 AB2+AD2-BD2 AB2+AC2-BC2 cos∠BAD= ,cos∠BAC= 学 2AB·AD 2AB·AC AB.CD=AB.(AD-AC)=AB.AD-AB.AC 推导过程 =IABIIADI·coS∠BAD-IABIIACI·coS∠BAC (AD2+BC2)-(AC2+BD2) 对边方和相减，除二倍棱长积 2 所以cos6=Ic0s(A店，C可1=I(AD+BC2)-(AC2+BD')1 2AB·CD ®快解示例：利用空间余弦定理求线线角 如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N 分别为AD,BC的中点，则异面直线AN,CM所成角的余弦值是B 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：如图，连接DN,取 如图，连接MN,DN. DN的中点K,连接MK, 由题意知，可取三棱锥 CKM为AD的中点→B< A-NCM.易知AM=CN= B MK∥AN,则∠KMC即为 1,AN=DN=CM=22 直线AN,CM所成的角 所以MN⊥AD, 第二步：由勾股定理易求得AN=DN=CM= 所以MN=√AN2-AM2=√7， 2√2，所以MK=√2.在△CKN中，CK= 设异面直线AN,CM所成的角为0，则 √(2)2+12=3. I(AM2+CN2)-(AC2+MN2)I 第三步：在△CKM中，由余弦定理，得 2AN·CM cos∠KwC=2)2+(22)2-(w3)27 1(12+12)-[32+(√7)2]17 2×J2×22 2x2√2×2W2 P 空间余弦定理 【答案号 3>