数学 专项6 立体几何（秒解）-【荣恒专项】 2026-2027学年高中数理化公式法 二级结论（高中通用）

高中理化公式法二级结论 专项六 立体几何 级结论25墙角模型的外接球半径公式 二 结论推 ,适用题型与三棱锥的外接球相关的问题 (1)一顶点引出的三条棱两两垂直的三棱锥，如图1； 学 (2)底面为直角三角形，侧棱垂直于底面，垂足为三角形的非直角顶点 的三棱锥，如图2； (3)对棱相等的三棱锥，如图3； (4)顶点在底面的投影恰与底面三个顶点构成长方形的三棱锥，如 图4 二级结论 A A 6 /a BC- b c R-Va2+b+c2 R-Va2+B2+c2 R=a24b2+c2 R=√a24b2+c2 2 2 22 2 图1 图2 图3 图4 易错提醒 注意模型的匹配，以及结论(3)中的分母为2√2 ②快解示例：利用外接球模型求半径 已知四面体ABCD的棱长AB=CD=6,其余棱长均为√34，则该四面体外接球的半径 为() 6 5 B. C.√13 D.2√/13 30秒结论快解 由题意可知该四面体的对棱相等，所以该四面体外接球的半径为 W6+(√34)2+（√34）2 22 √13. 模型(3)的外接球半径公式 【答案】C 26 专项立体几何 二级结论26汉堡模型的外接球半径公式 适用题型与圆柱、直棱柱的外接球相关的问题 圆柱 直三棱柱 有一侧棱垂直于底面的棱锥 数 二级结论 学 0 B R= +r /份r R=/ 图1 图2 图3 易错提醒对于图3，常常将三棱锥补形为直三棱柱，再利用汉堡模型求解 ®快解示例：利用外接球模型求棱锥的高 已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平 面ABC,则SA 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：设△ABC的外接圆圆心为O1, 连接O,A,则△ABC的外接圆半径r=O1A= 如图，设△ABC的外接 圆圆心为01，连接01A, 2x 32 x3=√3. 则△ABC的外接圆半径 第二步：设三棱锥S-ABC的外接球球心为 2w3 r=0A=3×3=5. B 0,连接O01,则O01⊥平面ABC.又SA⊥平 面ABC,所以O01SA.连接OS,OA,则OS= 将三棱锥S-ABC补成正三棱柱SB,C1-ABC, OA=2.过0作SA的垂线，垂足为H,则四 由SA⊥平面ABC,可知SA=h,设球心为 边形A01OH为矩形，所以001=AH 0,连接0，0A,则0，=2SM=2h.又球 第三步：由OS=OA可知H为SA的中点，故 00,=AH=号SM.在Rt△00，A中，0A= 的半径R=2,则R= +r2=2,解得 00+0,,图4=子8+3，解得3M=2 h=2,即SA=2. 模型(3)半径公式 【答案】2 【答案】2 27 高中理化公式法二级结论 二级结论27锥体模型的外接球半径公式 适用题型与锥体的外接球相关的问题 (1)圆锥：如图1，已知圆锥P01的底面圆半径为r,高为h,外接球的半 若点0在点0，下方，则O0,=R-h, 径为R,球心为0，则R=(-R)2+2R2=R-hP+P (2)顶点在底面的投影是底面外接圆的圆心的棱锥：如图2，已知 数 △ABC的外接圆圆O1的半径为r,点P在平面ABC上的投影为点O1, 三棱锥的高为h,外接球的半径为R,球心为O,则R2=(h-R)+r2 (3)有一个侧面垂直于底面的棱锥：如图3，在三棱锥A-BCD中，平面 ABC⊥平面BCD,三棱锥的高为h,外接球的半径为R,球心为O,△BCD的 二级结论 R2=72+m2, 外接圆圆O,的半径为r,O1到BC的距离为d,O01=m,则 R=P+(h-m)2 若点0在点0，下方， ih-m 则R2=d2+(h+m)2 R im 0 D 图1 图2 图3 ②快解示例：利用外接球模型求三棱锥的体积最大值 设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积 为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( ) A.123 B.18V3 C.243 D.543 30秒结论快解 设点M为△ABC的中心，连接DM,显然当DM⊥平面ABC时，三棱锥D-ABC的体积最 大，此时h=DM. AB 由题意知，SA4Bc= 44B=95,解得AB=6,则2sim60=25. 又球的半径R=4,则R2=(h-R)2+r2,即42=(h-4)2+(23)2,解得h=2或=6， 因此，当=6时，三楼锥DAB℃体积最大，分×93x6=18,瓦。 模型（2)半径公式 【答案】B 28 专项立体几何 二级结论28台体模型的外接球半径公式 适用题型与台体的外接球相关的问题 已知圆台O1O2的高为h,上、下底面的半径分别为r1,r2(r1<r2),外接 球的半径为R, 若外接球球心0在线段0,02上，如图1，则√R-+√R-=h; 数 学 若外接球球心0在射线0，O2上，如图2，则√R-子-√R-=h (棱台也是类似的，只是需要找到上、下底面外接圆的圆心) 二级结论 图1 图2 易错提醒 若不确定球心的位置（在台体内部或外部），则需要分类讨论 ®快解示例：利用外接球模型求表面积 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为( A.100m B.128m C.144π D.192m 30秒结论快解 设正三棱台的上、下底面外接圆半径分别为T1,2,外接球半径为R, 33 43 由正弦定理得2r, sin60° 2r2 in600,解得r1=3,2=4, 则√R-32+√R-42=1(无解，舍去)或√R-32-√R2-42=1,解得R2=25, 则该棱台外接球表面积S=4πR2=100m. 【答案】A 台体模型的外接球半径公式 29 高中理化公式法二级结论 二级结论29双外心模型的外接球半径公式 结论推 适用题型与二面角有关的外接球问题 如图，在四面体ABCD中，点O为四面体ABCD的 外接球球心，点O1,O2分别为△ABC,△ABD的外D 数 接圆圆心，二面角O1AB-O2的平面角为α，E为 二级结论 学 AB的中点，O1E=m,O2E=n,AB=L,四面体ABCD 的外接球半径为R,则2-m+n2-2 mncos&,正 sin'a 4 易错提醒 注意公式对应的字母所代表的角度和线段的长度 ®快解示例：利用外接球模型求表面积 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，现将△ABD 沿对角线BD折起到△PBD的位置，得到三棱锥P-BCD,则 当=面角PBD.C的大小为号时，三装锥PBCD的外接球的 表面积为 30秒结论快解 易知△PBD,△CBD均为边长为2的等边三角形 P 如图，取△CBD的外心O1,△PBD的外心O2,BD的中点M,连接 0,0M,则0，M=0,Mx2x- 2T 00 C)=?,∠0，M02=3 设三棱锥P-BCD的外接球球心为O,半径为R,连接O01,O02, 01M2+02M2-20,M·0,Mcos 2m 1 1+1-2x1x 则R= 3BD23+3 27 sin22 4 4-31 728m 所以外接球的表面积为4R=4×3=3 →双外心模型的外接球半径公式 8T 【答案】 3 30 专项公立体几何 二级结论30内切球万能公式 适用题型求几何体内切球的表面积、体积问题 若一个几何体存在内切球，设该几何体表面积为S,体积为V,则内切 二级结论 3V 球的半径R= 体积三倍除表面，内切半径在眼前 数 学 以三棱锥为例，如图，若三棱锥A-BCD的内切球 球心为O,半径为R,表面积为S,体积为V,则 V=V三棱锥O-A8c+V三棱维O-BCD+V三棱锥0-ACD+V三棱锥O-ABD= 推导过程 SAABC·R,S△BCD·R,SAACD·R,SAABD·R 3 3 3 3 1 3 S△ac+San+Sam+SAm)R=SR,则R=3y 3 ②快解示例：利用内切球万能公式求体积 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 3分钟常规解析 30秒结论快解 当球内切于圆锥时，球的体积最大， 易知当球内切于圆锥时，球的体 如图，画出圆锥轴截面△ABC,其中圆 积最大， 锥底面圆心为O1,顶点为A,内切球 由勾股定理可得圆锥的高为 球心为O,AC与球O相切于点D,AB= 0 √32-1=22， 3,B01=C01=1,则A01=√32-12= 22.设球的半径为R,由△A0D~△4C0,可得尽 则R=3 3x3mx1225 2 1 T×12+T×1×3 2 22-R 4 4 故球的体积为 3 解得R= ，故球的体积为子mR= 3 m. 3 (答案。 【管案) 内切球万能公式 31 高中理化公式法二级结论 三级结论31三垂线定理及其逆定理 结论推 适用题型判断平面斜线相关的垂直问题 OA是PA在平面a内的射影 ①为三垂线定理，②为三垂线逆定理 二级结论 e aca aca 0 A ① ② →a⊥PA; →a⊥OA a 学 a⊥0A a⊥PA 口诀记忆 垂影必垂斜，垂斜必垂影 ®快解示例：利用三垂线定理及其逆定理判断垂直关系 (多选)如图，在下列各正方体中，O为下底面的中心，M,N为顶点，P为所在棱的中 点，则满足MN⊥OP的有( B D 30秒结论快解 对于A,如图1，易知OP在上表面的射影为QN,其中Q为MN的中点，显然QN与MN重 合，所以MW与OP不垂直，A错误； 对于B,如图2，易知OP在左侧面的射影为QP,其中Q为AM的中点，在正方形ANBM 中，易知QP⊥MN,所以MN⊥OP,B正确； 三垂线定理 对于C,如图3，易知OP在右侧面的射影为QR,其中Q,R分别为AN,BN的中点，在正方 形ANBM中，易知MN⊥QR,所以MN⊥OP,C正确； 三垂线定理 对于D,如图4，易知OP在后表面的射影为QR,其中Q,R分别为BN,AM的中点，在正方 形ANBM中，QR与MN相交，且不垂直，所以MN与OP不垂直，D错误 M B 图1 图2 图3 图4 【答案】BC 32 专项立体几何 二级结论32面积射影定理 适用题型求二面角 △ABC在平面a内的射影为△A,BC(A在a外).记△ABC和△A,BC 二级结论 的面积分别为S和S1,平面ABC与平面α所成二面角为0，当0∈0， S 数 2 (m]时，os0= 学 以0为锐角时为例，如图，过A1作AD⊥BC于点D, 连接AD.由AA1⊥平面a,得AA1⊥BC. 又AA1∩A1D=A1,AM1,ADC平面AAD, 所以BC⊥平面AAD.又ADC平面AA,D,所以BC⊥ 推导过程 AD,即∠ADA1是二面角A-BD-A1的平面角，故cos0= AD AD S A D 又s=2BC·AD,S=2BC·AD,所以CD故o0=S ®快解示例：利用面积射影定理求二面角 如图，点B在以AC为直径的圆0的圆周上，∠40B=写，PA1平面 ABC,2PA=AC=4,则二面角P-BC-A的平面角的大小为 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：因为∠A0B=胥，0A=0B,AC=4, 设二面角P-BC-A的平面角为0， 所以AB=OA=2. 则由图知0为锐角. 第二步：由题意知，AB⊥BC.因为PA⊥平面ABC, 因为PA⊥平面ABC, BCC平面ABC,所以PA⊥BC.又PA∩AB=A,PA, 所以cos0= SAABG面积射影定理 ABC平面PAB,所以BC⊥平面PAB.又PBC平面 SAPBC PAB,所以BC⊥PB. 易得SAABC=23,SAPRG=2√6， 第三步：所以∠PBA是二面角P-BC-A的平面角. 则c0s0 25_√2 第四步：因为AB=PA=2,PA1AB,所以∠PBA=T 262,放0=” 4 〔答案1 【答案日 33 高中理化公式法二级结论 二级结论33三余弦定理（最小角定理） 适用题型求线面角 设A为平面a上一点，过点A的斜线AO在平面a上的射影为AB,AC 二级结论 为平面a内任意一条直线，则cos∠OAC=cos∠OAB·cos∠BAC 数 过点B向AC作垂线，垂足为C,连接OC,如图， 0,a∠BMc=1C2 cos∠0AB=AB AB 因为BC⊥AC,OB⊥AC,BC∩OB=B,BC,OBC平 推导过程 面OBC,以AC⊥平面OBC.又OCC平面OBC, 所以AC⊥OC,故cos∠OAC= 由①②③得cos∠OAC=cos∠OAB·cos∠BAC ®快解示例：利用三余弦定理求线面角 如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以 DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置.若平面 PEF⊥平面ABFD,则DP与平面ABFD所成角的正弦值为 B 30秒结论快解 如图，过点P作PH⊥EF,垂足为H,连接DH,则由平面PEF⊥平 面ABFD得PH⊥平面ABFD,所以易知DE⊥PE.设DP=2,则 DE=1,故PE=√3，∠PDE=60°.又PF=1,EF=2,所以PE⊥PF, 则PH-H=,所以DM=空故∠E DE_2√/13 DH 13 易知DP与平面ABFD所成角为∠PDH,则cos∠PDH·cos∠HDE=cos∠PDE=cos60°= }则w∠PmI=年则LPmH=年 三余弦定理 【信案 34 专项立体几何 二级结论34三正弦定理（最大角定理） 适用题型二面角、线面角、线线角知二求 设二面角M-AB-N的平面角为y,平面MAB上有一条射线AC,它和棱 二级结论 AB所成角为B,和平面NAB所成角为a,则sina=sinB·siny 如图，过点C作CB⊥AB,垂足为B,作CO⊥ 数 平面NAB,垂足为O,连接AO,B0,则 学 ∠CBO=y,∠CAB=B,∠CAO=x 推导过程 易知△OBC,△OAC,△ABC均为直角三 但0 角形， B CO BC 所以siny BC,sin B= AC,sin a= C,所以sina=sinB·siny C 口诀记忆 线面正弦=线棱正弦×面面正弦 D快解示例：利用三正弦定理求线面角 如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2V2,PA=PB=PC=AC=4,若点M在棱BC上， 且二面角M-PA-C为30°，则PC与平面PAM所成角的正弦值为 30秒结论快解 由题意知，直线PC与PA所成角为∠CPA=60°，即B=60°，二面角M-PA-C的大小为30°， 即y=30° 设PC与平面PAM所成角为a, 则sina=sinB:smy=sin60,sin30°- 4 三正弦定理 35