数学 专项10 导数（秒解）-【荣恒专项】 2026-2027学年高中数理化公式法 二级结论（高中通用）

专项十导数 专项十 导数 二级结论48泰勒公式 结论 →适用题型含e,ln(1+x),sinx,cosx等式子的大小比较问题 f'() 若函数f(x)在x=xo处n阶可导，则f(x)=f(xo) "(x) x-x0)+ (x- 数 21 学 二级结论 x0)2++ f()(xo) x-x)”+…(f(xo)表示f(x)在处的n阶导函数) n! (1)(n) x”+…(-1<x<1); n! (2)e=1+x2x3 '1！2!3!n！ 常用公式 ((号5f-r(e1e: n t2*7 (4)sin x=x- ！51 -…+(-1)” +… (2n+1)！ (5)cos x=1- 2！4！ -+(-1)” 十* (2n)！ ®快解示例：利用泰勒公式比较大小 1 设a=0.1e01,b= ,c=-ln0.9,则( A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 30秒结论快解 因为e*=1+x 2t3i+…,n(1+x)=x 23 -…(-1<x≤1)， 泰勒公式 所以a=01e1=a1x1+01+分x0o1+石×00）=a10517,e=-a(1-a1) (-a1-0g00gwm）-a1,g",0ga2又-a1i1以ad法c 【答案】C 49 高中理化公式法二级结论 二级结论49洛必达法则 适用题型判断解析式含不定式的函数的极限 函数f(x)与g(x)在极限点附近都存在导数f'(x),g'(x),g'(x)≠0. (1)x→a的情形：若limf(x)=limg(x)=0或o,则lim f(x) 0 "g(x) 称为。或 0 数 型不定式，若li f'(x) =A或o,此时有lim f(x) ≥lim '(x) “g'(x) 例如： 0g(x）g'(x) -1 (x-1)' 换为xat,x→a同样成立 lim, =lim n x(In x)' limx=1. 二级结论 (2)x→o的情形：若limf(x)=limg(x)=0或∞，则lim f(x g(x 称为。或 型不定式，若lim ()=A或0，此时有i f(x) =lim f'(x) g(x)g'(x） 例如： g'(x) 1 1 lim- =1im -lim 一=0.换为x→+∞，x→-∞同样成立 一+e t(e*)-+西e +00 0 注：洛必达法则仅适用于 型和”型，可以连续多次使用 ®快解示例：利用洛必达法则求参 已知函数f(x)=e-aln(1+x)-1,若f(x)在(-1,0)U(0,+∞)上存在零点，则a的 取值范围是 30秒结论快解 e*-1 n（1+当xe(0,+0)时，e-1的增长速度大于 e*-1 令x)=0,则an（1+令g(x) e*-1 ln(1+x),所以g(x)在(0，+o)上单调递增，且1limg(x)=+o,limg(x)=lim 0ln(1+x） lime(1+x)=1,所以g(x)∈(1，+∞)； 洛必达法则 当xe(-1,0)时，ln(1+x)在x→-1处的增长速度远大于e-1,且在x0处，两者增长速 度逐渐相等，则g(x)在(-1,0)上单调递增，且limg(x)=0,所以g(x)∈(0,1). 综上，g(x)∈(0,1)U(1,+∞)，故a∈(0,1)U(1,+∞). 【答案】(0,1)U(1,+0) 50 专顶中导数 二级结论50拉格朗日中值定理 适用题型不等式恒成立求参问题 若函数f(x)满足条件： (1)f(x)在闭区间[a,b]上连续； 二级结论 (2)f(x)在开区间(a,b)上可导， 数 则在开区间(a,b)上至少存在一点专，使得f(b)-f(a)=f'()(b-a), 学 即f'(E)=6)fa) b-a 如图，在满足定理条件的曲线y=f(x)上至 f()= fb)-fa〉 ⊙ 少存在一点P(传，f(),使得曲线y=f(x) b-a 几何意义 在该点处的切线平行于曲线两端点的连 y=f(x) 线，即kwf(传)=fb)fa) b-a aξ ②快解示例：利用拉格朗日中值定理求参 已知()=hx+了(a>0).若对于任意两个不等的正实数1，都有 f(x1)f(x2 >2恒成立，则a的取值范围是 x1-x2 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：不妨设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)>2x1-2x2, 则fx1)-2x1>fx2)-2x2 由题意得，当x>0时， 第=步：令g(x)=f(x)-2x=alhx+742-2x,则 f'(x)=a+x≥2恒成立， g(x1)>g(x2),故g(x)在(0，+∞)上单调递增 即a≥2x-x2在(0，+∞)上恒 第三步：故g(x)-+x-2≥0，即a≥2x-对任意 成立.拉格朗日中值定理 又当x>0时，(2x-x2)mx=1, 的x>0恒成立. 所以a≥1. 第四步：当x>0时，2x-x2=-(x-1)2+1≤1， 【答案】[1，+∞) 当且仅当x=1时，等号成立，所以a≥1. 【答案】[1，+o∞) 51 高中理化公式法二级结论 二级结论51琴生不等式 适用题型求函数名称相同的和式的最值 设函数f(x)在区间D上二阶可导，记f'(x)的导函数为f"(x),则 x∈D(i=1,2,,n),且入>0，】 :=1, 数 当时， 二级结论 (D若f()≥0，则/(As立A)园 当且仅当x1=x2=…=xn时，等号成立 (2)若(x)≤0，则f(∑A)≥∑，x) 当入，=时，f++ fx)+++f】 当且仅当x1=x2=…=x时，等号成立 n ®快解示例：利用琴生不等式求函数名称相同的和式的最值 fx)=5cos-cos5x在区间[0，牙]上的最大值为 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：由题意得f'(x)=-5sinx+5sin5x= 对于y=cosx,y'=-sinx,y"=-cosx,在 5×2c0s 5x+x. 5x-=10sin 2xcos 3x, sin 2 2 [0,上0成立. 第二步：令f()=0,由xe[0,牙]，得m2x≥ 所以f(x)=5c0sx-cos5x=5cosx+ 0,故只考虑c03x=0的情况，此时x=君 当 cos (T-5x)=cos x+cos x+cos x+cos x+ 5x+π-5x xe(0,石）时，f(x)>0fx)单调递增；当x∈ C0sx+c0s(T-5x)≤6c0s 6 一琴生不等式 （石牙)时，f()<0,)单调递减 33,当且仅当=，即=石时，等 第三步：所以x)f）=33。 号成立，故f(x)mm=33.。 【答案】33 【答案】35 52