数学 专项5 平面向量及其应用（秒解）-【荣恒专项】 2026-2027学年高中数理化公式法 二级结论（高中通用）

专顶五平面向量及其应用 专项五 平面向量及其应用 二级结论12 “鸡爪”定理 结论推导 适用题型条件：已知三角形中一边上一点分线段成比例 设问：求共起，点的向量间的数量关系 数 如图，在△ABC中，D为线段BC上一点，且B配= 学 AD心，则=花+入4C(鸡爪定理). 二级结论 1+入1+λ 推论：若点P在线段AB上，且AP=a,PB=b,则对 平面内的任意一点0，都有0币=60+a 0成 atb atb Bd=D心Bd=,入Bd 1+ 而=亦成=孤本〔C一 1+入 推导过程 AD=AB+BD AD=1A店+入AC一线段分比入比1，和为1+入作分母，分子交叉看 1+入 1+入 ②快解示例：利用鸡爪定理求共起点的向量间的关系 在边长为1的正方形ABCD中，B为线段CD的三等分点，CB=DE,成=AB团+ uBC,则A+u= 3分钟常规解析 30秒结论快解 第-步：因为cB=2DE,所以匠-号D心， 因为CB=2D,所以D成=2d, 第二步：所以B配=B币+D成=B币+2D元=BD+ 所以励品动成 1+2 子（配-励）=丽子丽+子8C=}励+子8配 又B丽=BA+BC,则B盛-子(i+B心)+ 第三步：又B励=B+BC,所以驼-(+BC)+ 2C=}成+BC,则入=3u=1,故入+ 子8C=号+8C,则A=号u=1,故Atu=子 23 鸡爪定理 【答案1 【答案1号 13 高中理化公式法二级结论 二级结论13弃驰定理 结论 适用题型平面向量中求三角形面积的比值 已知0为△4BC内任意一点，则有S60c·0A+S64oc·0成+SA4B· 0元=0. 二级结论 推论：已知a0A+b0B+c0C=0(a>0,b>0,c>0),则有SA4oB:SAoc： 学 SAAoc=c:a:b 记S AABC,S AAOR,SAAOG,SAROG分别为S,S1,S2,S3·延长A0交BC于点Q, 如图，由三角形面积比可知0成-÷0，故动-0-0心-8格d 推导过程 -SnS,所以由“鸡爪定 BQ_SAB_SAoB0_S△AB0-S△oB0_S 理”得A0=。 +S2 S1+S,2 整理得(S-S2-S1)A0=S20B+S10C,即S,0A+S,0B+S10C=0 ®快解示例：利用奔驰定理求三角形的面积之比 设0点在△ABC内部，且有3Oi+20+0元=0，则S6AOc:SAMB= 3分钟常规解析 30秒结论快解 第-步：设0A=301,0B=20i,0C=0元 则OA+0B+0C=0,所以点0是△AB,C1的重心. 第二步：取A1B1的中点E,连接0E,则OE=CE, 因为30A+20i+0元=0， 1 所以S△AOB:SABOC：SAA0G三 所以Sa4,a,=3S4,G同理，Sa40G,=3SaA,BG 1:3:2, 奔驰定理 S△AOB-0A·0B-1SA40c=」 OA·OC 故SAA0c:SA40B=2:1. 第三步：又34B301·20B6SA4 30A·0C 【答案】2：1 3放Saoc:SAAOR=2:1. 【答案】2：1 专顶团平面向量及其应用 二级结论14极化恒等式 适用题型条件：已知两向量的模长构成三角形的底边与中线长度 设问：平面向量中求解数量积的问题 在△ABC中，若D为BC的中点，则AB.AC=IAD2-ICBI2 二级结论 中线方，减底半方，等于数量积 数 学 AB=AD+DB.AC=AD+DC AB.A元=(AD+DB)·(AD-DB)=AD- 推导过程 D为BC的中点→D元=-DB】 ②快解示例：利用极化恒等式求解数量积问题 在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1,则 PA.P的取值范围是( A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：AB=√AC2+BC2=5. 由AC=3,BC=4,∠C=90°， B 第二步：取AB的中点M,连接PM,则P.P= 得AB=5.如图，取AB的中 (PM+M）·(PM+MB)=(PMi+M·(PM- 点M,连接PM,则pi·P= =p7-=1Pi2子P=1pm-25 1p成P.-P2 4 极化恒等式 第三步：由PC=1,知点P在以点C为圆心，1 由PC=1,知点P在以点C为圆心，1为 为半径的圆上运动，则CM-1≤PM≤CM+1.易 半径的圆上运动，则CM-1≤PM≤CM+ 知CM=B=3,则≤1Pm1≤7，故PA: 1易知GwB=则2≤m1≤ 市=mr-空[-4.61 子放风，i=1网i空e-46 【答案】D 【答案】D 15 高中数理化公式法二级结论 二级结论5等和线定理 结论 ~适用题型条件：已知0=入0+u0店设问：求入+μ的值或取值范围 如图，设0，A,B是平面上不共线的三点，对于平面内 的任一向量OP=入OA+uOB(入，∈R),若点P在直 线AB上或者在平行于AB的直线MWN上，则入+u= 数 二级结论 (1元，4,4分别为点0到直线B,N的距 离).其中，当点P在直线AB上时，入+u=1 (1)P,A,B三点共线→0P=aOA+u0B(A+μ=1，入，∈R); (2)AB∥MN,P,M,N三点共线→O=xOM+yO(x+y=1,x,y∈R) 推导过程 Oi=k0i,0N=dO=xO+y0N=k:0i+0店一→A=x,4=y→A+ =k(y)=61=1oi_1o成i4 10A101d1 系数和为定值，平行于底边；系数和大于1，在底边外侧；系数和小于 口诀记忆 1,在底边内侧 @快解示例：利用等和线定理求入+u的最值 在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 AP=入AB+uAD,则A+μ的最大值为( A.3 B.22 C.√5 D.2 30秒结论快解 设入+u=k.如图，设BD与圆C的切点为P,与BD平行的直线与 圆C的切点为P2,当点P位于点P,处时，B,P1,D三点共线，此时 有AP=AB+(1-t)A,即k=1.当点P位于点P2处时，k的值最 M 大设过点P,的切线与AB,A初的延长线交于点E,F,则kA AE 等和线定理← 过点C作BD的平行线，交AE于点M,易知AB=BM=ME,所以kr= =3,所以入+μ的最 AB 大值为3.故选A. 【答案】A 16 专顶团平面向量及其应用 二级结论6三角形的四心 适用题型平面向量中与三角形四心有关的问题 记△ABC的重心、外心、垂心、内心分别为G,0,H,I,则： (1)C+C屈+G元=0，P心=(Pi+P2+PC)(P为△ABC平面内一点). (2)1Oi1=10i=10元；(0A+0)·AB=(0品+0C)·B元=(OA+0C)· 数 学 二级结论 AC=0. (3).面=H酝.元=HC.d (4)Ai=入 AB AC ,A>0;ali+bB+cl元=0(a,b,c分别为△ABC IABI IAC 的内角A,B,C所对的边 口决记忆重心和为0，外心模相等，垂心点积等，内心单位向 ®快解示例：利用四心结论判断点的位置 0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+ AB AC 入 ,入∈(0，+∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( A.外心 B.内心 C.重心y D.垂心 3分钟常规解析 30秒结论快解 AB AC 第一步：令 IABI IACI =A成，则Ai是以A为起点， 向量与C AB 为邻边的菱形的对角线对应的向 由0-0A=A,得A=入 IABI IACI 量，即AM在∠BAC的平分线上 AC IACI (A∈(0，+∞)， 内心的向量 表达形式 第二步：由0-0=4，得A=入 AB AC 即 所以点P的轨迹一定经过△ABC IABI IACI 的内心 A=入A应，所以A正，A共线，故点P的轨迹一定通 【答案】B 过△ABC的内心 【答案B 17 高中数理化公式法二级结论 二级结论7内角平分线定理 结论推 适用题型条件：已知三角形中角平分线分线段的比例 设问：求边长、角度等 AB BD AB AC 二级结论 在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,则有ACCD或BDCD 数 1 。AB·ADsin a SAABD 2 AB SAACD 24C·ADsin& AC' 设∠BAD=∠CAD=a, AB BD 推导过程 BC边上的高为h 1 AC DC SAABD BD·h 2 BD SAACD DC·h 1 DC 2 ®快解示例：利用内角平分线定理求边长 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠BAC的平分线交BC于点D,且 满足0-∠B16=60=7,则 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：设BC边上的高为h.易知∠BAD=∠CAD. D.h 1 DB AB c 3 。AB·ADsin∠BAD 由 DC-AC-4,得b=3 第二步：SAeD 2 C·h 由∠BAC年60°，a=7, 2AC·ADsin∠CAD b2+c2-a2 则BDAB9=3 得 coS∠BAK= DcAc6,所以6=4 2bc 2 内角平分线定理 第三步：由∠BAC=60°，a=7,得cos∠BAC= 2+c2-a2 3c +c2-49 1 2be 2. 2 = +c2-49 每得0219 13 (负值舍去). 解得c= 21√13 2. 13 （负值舍去）. 21w13 【答案21 【答案】 13 13 18 专顶团平面向量及其应用 二级结论18中线定理 适用题型三角形三边与中线长的“知三求一”问题 二级结论 在△ABC中，若D为BC的中点，则AB+AC2=2(AD2+DC2) 余弦定理AD+BD2-AB2AD2+DC2-AC2 coS∠ADB+coS∠ADC=0 =0 推导过程 2AD·BD 2AD·DC 数 BD=DCAB2+AC2=2(AD+DC2) 学 ®快解示例：利用中线定理求中线最值 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B= 2若a+c=6,则AC边上的中线 BD的最小值为 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：如图，延长中线BD至点E,使得BD= DE,连接AE,CE.不妨设BD=y,则BE=2y 由余弦定理，得b2=a2+c2-2 accos 2T 3 a2+c2+ac. B D为AC的中点，则AB2+BC=2(BD2+ 第二步：易得四边形ABCE是平行四边形，所以 DC2), 中线定理 LBCE-3.CE=AB=c. 所以BD2=。c_&-+e2-ac 24-4 第三步：在△BCE中，由余弦定理得(2y)2=a2+ (a+c)-3ac=9- 3 4c≥9- X c2-2ac·cosT=(a+c)2-2ac-ac=36-3ac≥36- x 3 2 9 3x)=9，所以y≥，当且仅当a=c3时。 =4,当且仅当a=c=3时， 等号成立，故BD的最小值为 3 等号成立，故BD的最小值为2 【答案)号 19 高中理化公式法二级结论 二级结论9张角定理 适用题型三角形中顶角分为两角相关问题 在△ABC中，D为BC边上一点，记∠BAD=a,∠CAD=B,则 sin(a+β) AD sin a sin B 总角正弦比中线，分角正弦比两边 AC AB 学 二级结论 特别地，当AD平分∠BAC,即a=B时，记∠BAC=2a,则 sin 2asin AD AC sin a ,即2cosa·AC·AB=(AC+AB)·AD AB 三角形面积公式1 SAABG=S△ABD+SAACD AB·AC·sin(a+B)= 2AB·AD. 推导过程 1 sina+。AC·AD·sinB 等式两边同除以sin(a+B)sina,sinB 21 24B·AD·AC AD AC AB ②快解示例：利用张角定理求角平分线 在△ABC中，AB=2,∠BAC=60°，BC=√6，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线， 则AD= 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：记AC=b, 由余弦定理，得22+b2-2×2bc0s60°=6， 记AC=b, 即b2-2b-2=0,解得b=1+√3（负值舍去）. 由余弦定理，得22+b2-2× 第二步：由正弦定理，得，6-1+3.2 2bc0s60°=6， sin60°sin B sin C 即b2-2b-2=0, 所以sinB=V6+2 4,sin C=② 解得b=1+√3（负值舍去）. 2 的 in60°sin30°，sin30° 第三步：因为1+√3>√6>2，所以C=45°， AD 1+√/3 2 则B=180°-60°-45°=75°. 得AD=2. 张角定理 又∠BAD=30°，所以∠ADB=75°，所以AD=AB=2. 【答案】2 【答案】2 20 专顶团平面向量及其应用 二级结论20射影定理 适用题型三角形中含余弦边角等式的问题 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a=bcos C+ccos B, 二级结论 b=acos C+ccos A,c=acos B+bcos A 过点A向底边BC作垂线，由图可知a=bcos C+ccos B, 数 学 C 推导过程 ■ ccos B bcos C e 同理可得b=acos C+ccos A,c=acos B+bcos A 口决记忆对边等于两邻边乘夹角的余弦之和，角边交叉要记清 ②快解示例：利用射影定理求角 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b6,c若acos B-bc0sA=c,且C=T,则B= ( A.T B. T 3π 2m 10 5 0.5 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：由正弦定理得 由题意可知，c=acos B+bcos A=acos B- sin Acos B-sin Bcos A=sin C=sin(A+B)= bcos A, sin Acos B+cos Asin B, 射影定理 所以bcos A=0,所以cosA=0. 所以2 cos Asin B=0. 第二步：又B∈(0，T),所以sinB>0,故cosA=0. 又Ae(0,π)，所以A= 2 第三步：又Ae(0,),所以4=受， _T_π-3π 所以B=m-A-C=T2510 则B=m250 TT3π 故选C. 【答案】C 【答案】C 21 高中数理化公式法二级结论 二级结论21正弦恒等式 结论 适用题型求三角形中三个角的正弦值之积 二级结论 在任意△ABC中，sin2A+sin2B+sin2C=4 sin Asin Bsin C sin 2A+sin 2B+sin 2C=sin 2A+sin 2B-sin(2A+2B) 数 =sin 2A+sin 2B-(sin 2Bcos 2A+sin 2Acos 2B) =(1-cos 2A)sin 2B+(1-cos 2B)sin 2A 推导过程 =2sin2A.2sin Bcos B+2sin2B.2sin Acos A =4sin Asin B(sin Acos B+sin Bcos A) =4sin Asin Bsin(A+B)=4sin Asin Bsin C 口诀记忆 三个二倍来相加，四倍正弦连乘它 ②快解示例：利用正弦恒等式求边长之比 在△ABC中，内角A,B,C满足sin2A+sin2B+sin2C 35 AC AB 3分钟常规解析 30秒结论快解 2B, 第一步：C=T-A-B= 由题意得sin2A+sin2B+sin2C= 4sin Asin Bsin C= 33正弦恒等式 2 第二步：sin2A+sin2B+sin2C=sin 2+m28+ 3,所以sin BsinC=3 又A=T 4 sin 2C=sin3 年+sin2B+sin 又B+C=T-A= 2 3,sin Bsin C= 3 +2 sin 28- 2 os2B= 2 tom(B-G)-ww(B4C]. 所以-m(8-G+], 第三步：易知Be(0,号)，则2B-石e(石 即cos(B-C)=1,所以B=C= 3, 6/ 即△ABC为等边三角形，故B 【答案】1 【答案】1 专顶团平面向量及其应用 二级结论22正切恒等式 适用题型求三角形中两角正切值之和或积 二级结论 在任意非直角三角形ABC中，tanA+tanB+tanC=tan Atan Btan C tan A+tan B tan(A+B)= =-tan C 1-tan Atan B 数 推导过程 整理 学 tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C 移项 tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C ▣诀记忆 正切相加等于乘，直角去掉才能成 ②快解示例：利用正切恒等式求两角正切值之和 在△ABC中，C=120,tan Atan B=3,则anA+nB的值为( 4V3 B 23 33 A 3 4 号 3分钟常规解析 30秒结论快解 tan A+tan B 第一步：因为tan(A+B)= 1-tan Atan B' tan(A+B)=tan(180°-C)=tan60°=√3， 所以 =√3. 因为C=120°， 所以tanC=-√3， 第二步：又tan Atan B=】 3, 所以tanA+tanB=tan Atan Btan C-tanC 所以anA+tanB3 -tan A+tan B)=3, ×(-5)+厅-29切应辛我 1 3 【答案B 解得anA+ianB=2 3 【答案】B 23 高中理化公式法二级结论 二级结论23正弦平方差公式 结论推 适用题型条件：已知两角正弦值的平方差或两角和与差的正弦值之积 设问：求三角形中边的关系或角的大小 二级结论 sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B) ..-.-.. sin2A-sin2B=(sin A+sin B)(sin A-sin B) 学 A+BA-B。A+B.A-B =2sin 2 cos 2 ·2c0s 2 sin 2 推导过程 A+B A+B A-BA-B =2sin 2 cos 2 ·2sin 2 cos 2 =sin(A+B)sin(A-B) 口诀记忆 正弦平方作差时，和差正弦积来替 D快解示例：利用正弦平方差公式求正切值之比 在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,且满足a2=362+c2,则anA tan C= 3分钟常规解析 30秒结论快解 第-步：由余弦定理a2=b2+c2-2 becos A, 及a2=3b2+c2,得3b2+c2=b2+c2-2 bccos A, 则b=-ccos A. 由a2=362+c2,得a2-c2=3b2 第二步：由正弦定理 sin Bsin C,则cos4 6 由正弦定理，得sin2A-sin2C=3sin2B, sin B sin(A+C)sin(A-C)=3sin2B. sin Csin B=-cos Asin C. 因为A+C=T-B, 一一正弦平方差公式 所以sin(A+C)=sinB, 第三步：因为A+C=T-B,所以sinB=sin(A+ sin(A-C)=3sin B=3sin(A+C), C)=sin Acos C+cos Asin C, Esin Acos C=-2cos Asin C, 所以sin Acos C+cos Asin C=-cos Asin C, Esin Acos C=-2cos Asin C, 所以1anA=-2anC,即anA-2. tan C 所以tan A=-2tanC,即0C=-2. 【答案】-2 【答案】-2 专顶团平面向量及其应用 二级结论24伪降幂公式 适用题型条件：已知三角形三边的平方关系或三个角的正弦关系式 设问：求三角形中角的大小 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则 二级结论 a2-62 sin(A-B)b2-c2 sin(B-C)c2-a2 sin(C-A) sinC’a sinA’b2 sin B 数 学 口诀记忆平方差比第三边，角差正弦比对角 ②快解示例：利用伪降幂公式判断三角形形状 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+ B),则△ABC的形状是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 3分钟常规解析 30秒结论快解 第-步：由(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2) a2-62 sin(A-B) sin(A+B),展开得a2sin(A-B)+b2sin(A-B)= 由 sin C ,伪降幂公式 a2sin(A+B)-b2sin (A+B),a2[sin(A-B)- (a2-b2)sin C=c2sin(A-B). sin(A+B)]=62[-sin(A-B)-sin(A+B)]. 因为A+B=T-C,所以sin(A+B)=sinC, 第二步：由和差化积公式得a2(-2 cos Asin B)= (a2+62)sin(A-B)=(a2-62)sin(A+ b2(-2sin Acos B),a'cos Asin B=b2sin Acos B. B)=(a2-62)sin C=c2sin(A-B), 第三步：由正弦定理得，sin2 Acos Asin B= (a2+62-c2)sin(A-B)=0. sin2 Bsin Acos B.因为sinA>0,sinB>0,所以 当a2+b2-c2=0,即a2+b2=c2时，△ABC sin Acos A=sin Bcos B.由二倍角公式得，sin2A= sin2B.因为A,B∈(0，T),所以2A,2B∈(0,2r), 为直角三角形，且C= 所以2A=2B或2A=T-2B,即A=B或A+B= T 当sin(A-B)=0时，因为A,B∈(0，m), 所以A-B=0,即A=B, 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.故 所以△ABC为等腰三角形.故选D. 选D. 【答案】D 【答案】D 25