数学 专项9 数列（秒解）-【荣恒专项】 2026-2027学年高中数理化公式法 二级结论（高中通用）

专项九数列 专项九 数列 二级结论46数列前n项和的片段和性质 ~适用题型与前n项和有关的等差（等比）数列问题 (1)若数列{an}为等差数列，公差为d,前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm, 数 学 Sm-S2m,…,仍为等差数列，公差为md; 二级结论 (2)若数列{an}为等比数列，公比为q,前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sm, S2m-Snm,S3m-S2m,…,仍为等比数列，公比为q” 以等比数列为例：对任意的正整数k≥2，当q≠1时，设b,=Sm-S(-)m a,(1-g"）a[1-g-m]a1[g-0m-g]_a1g-1(1-g） ,则 推导过程 1-9 1-g 1-g 1-9 k-i g”为常数，则{b}是公比为q的等比数列.当q=1时，数列{b}的每 项均为Sm(m≠0)，也是公比为g"的等此数列，得证 ®快解示例：利用片段和性质求公比 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个 数列的公比为 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：设等比数列为{an},公比为g(q>0), 设该等比数列的前n项和为Sn, 前n项和为Sn,当q=1时，S4=4a1=4,则a1=1,此时 公比为q(q>0), Sg=8a1=8≠68，显然不成立，舍去. 则S4,S8-S4,S12-Sg成等比数列， 第二步：当g41时，5=4(1)-4,5=a(1》 且公比为q,片段和性质 1-g 1-q 68,则-以=17，解得4=2（负值合去）。 故g= &-S4_68-4=16. 4 S41-g4 又q>0,所以g=2 综上，该等比数列的公比为2 【答案】2 【答案】2 47 高中理化公式法二级结论 二级结论47苹果公式 适用题型求等差乘等比型数列的前项和 设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{cn}的前n项和为Sn,当cn= 二级结论 an·bn时，可将{cn}的通项公式整理为cn=(an+b)q-(q≠0，q≠1)的 数 b-A 形式，则S,三(An+B)9=B,其中AgB=, Sn=(a+b)+(2a+b)q+(3a+b)q2+…+(an+b)g-①， gSn=(a+b)q+(2a+b)q2+(3a+b)q3+…+(an+b)g②， ①-②得，(1-q）Sn=a+b+ag+ag2+ag3+…+ag-1-(an+b)g=a+b+a(g+ 推导过程 g+ot)-(antb)-atba--(antb)g. 9-1 两边时袋以1y得-骨仁”1“行 (g-1)2 令A=a,B b q-1 gi则S=(A+B)g-B ②快解示例：利用苹果公式求前n项和 数列{an}的通项公式为an=4n·3"-1,则{an}的前n项和Tn= (用含n的式 子表示). 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：根据an=4n·3-1可得， Tn=4(1×3°+2×3+3×32+…+n·3-1)①， 易知a=4,b=0,9=3, 第二步：3Tn=4(1×3+2×32+3×33++n·3")②， 设Tn=(An+B)q-B, 第三步：①-②得，-2Tn=4(3°+3+32+…+3-1-n·3”)= 则4=32,8 0-2 3-1 =-1, 4作=2-o3-2 所以T.=(2n-1)3"+1. 所以Tn=(2n-1)3"+1. 【答案】(2n-1)3”+1苹果公式 【答案】(2n-1)3"+1 48