数学 专项8 圆锥曲线（秒解）-【荣恒专项】 2026-2027学年高中数理化公式法 二级结论（高中通用）

高中理化公式法二级结论 专项 八 圆锥曲线 级结论37极点极线法求切线方程 论 ~适用题型求圆锥曲线在某点处的切线方程 若P(xo,y)为圆锥曲线上一点，则在点P处的切线方程如下： 学 (1)圆(x-a)2+(y-b)2=2(r>0):(x-a)(xo-a)+(y-b)(y。-b)=2. 二级结论 2)椭听-1(a0, xx00=1. a62 (3)双曲线。 x y xxo yyo=1. =1(a>0,b>0):28 (4)抛物线y2=±2px(p>0):yyo=p(x+xo) 以(2)为例： a2 2=1(a>b>0) 对x求导2x2y=0→y= b2x切点P(xyo →切线 推导过程 a2 a'y xo 2 斜率k= 切线方程y-y= b(x-人 化简6=1 ayo ayo a2 b2 a2b2 类推结论 (2)(3)(4)焦点在y轴上时，同理可得 ②快解示例：利用切线方程结论求离心率 包知0为坐标原点过双骏C(Q>0,6>0上一点P作双线C的物线，者直 2 线0P与直线1的斜率均存在，且斜率之积为亏，则双曲线C的离心率为 30秒结论快解 设双曲线C: -1(a>0,6>0)上点P的坐标为(，o),≠0，%≠0，则直线OP的斜率 为.因为1是双曲线C在点P处的切线，所以切线1的方程为。 a262 =1,所以切线1的斜 bxo 率为6y0 b2√35 叉直线0P与直线L的斜率之积为，所以 /1+ a 【答案3 双曲线的切线方程 38 专项公圆锥曲线 二级结论38圆锥曲线焦半径的坐标公式 适用题型与圆锥曲线的焦半径有关的问题 设P(xo,yo)为焦点在x轴上的圆锥曲线上一点，F,F2分别为椭圆或 双曲线的左、右焦点，F为抛物线的焦点： (1)椭圆：IPF,I=a+exo,IPF2I=a-exo 二级结论 数 (2)双曲线：lPF1I=Ia+exol,PF2I=Ia-exol. 根据P点在双曲线的 学 左支或右支去绝对值 (3)抛物线：开口向右，则1PF1=+,开口向左，则PF1=? 以焦点在x轴上的椭圆为例： 1PE,1=√(xo+c)+6 2 用x0 代换y PFI= xp+2cxo+c2+( 0 12 62 推导过程 xo+2cxo+b2+c2 a2=b2+c2 IPF,I= 化简 1/2x0+2Cx0+22 得出 同理 xo+a a PF,I=a+exo可得 结论 PF,I=a-exo 类推结论 同理，焦点在y轴上时，将式子中的x变为y。即可 ®快解示例：利用双曲线的焦半径公式求三角形面积 包知双曲线C:=1的左右焦点分别为F,上若点P在C上，且1P听，1=5，则 △PFF2的面积为 30秒结论快解 由题意得a=1,b=√3，c=2,e=2, 设P(x,yo),则1PF1=12x+11=5,解得x=2或x=-3. 一焦半径的坐标公式1 当，2时，代人双曲线方程可求得3，所以5子·1FF,1·1。=6: 当6=-3时，代入双曲线方程可求得0=±26，所以S6号·F,·=4,6 综上所述，△PFF2的面积为6或46. 【答案】6或46 39 高中理化公式法二级结论 二级结论39圆锥曲线焦半径的角度公式 适用题型与圆锥曲线的焦半径有关的问题 设F为圆锥曲线的一个焦点，直线！过点F,与圆锥曲线有两个交点， 且与x轴的夹角为α b2 b (1)椭圆（双曲线同支）：长焦半径为 ,短焦半径为 学 a-ccos a a+ccos a 2ab2 焦点弦为 用椭圆的定义及余弦定理进行推导即可 二级结论 2-ccos'a b2 b2 (2)双曲线两支：长焦半径为 ,短焦半径为 ,焦点弦为 ccos a-a +ccos 2ab2 c'cos'a-a2 (3)抛物线：长焦半径为 P ，短焦半径为 1-cos a 。,焦点弦为2 +c0s sin'a 类推结论 焦点在y轴上时，将式子中的cosa变为sina,sina变为cosa即可 ®快解示例：利用椭圆的焦半径公式求离心率 已知工E分别是椭圆C。+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线交椭圆C于 P,Q两点，若PF=4F,d,且1P1=1F,1,则椭圆C的离心率为 30秒结论快解 62 62 令∠PFF2=0,由题意可得IPFI= IQF1= a-ccos 0' a+ccos 0 因为PF=4F,衣，所 62 462 焦半径的角度公式 a-ccs93‘a+csg所以cs0=号， b2 所以IPF,I= 7b27a2-c2 a-ccos 66 a 6 a 因为PF,1=1EEL,所以IPF1=2c,所以PF1=2a-2c,所以2a-2c=了.a- a 又a,所以5=6，则e二后弓所以铺圆G的离心率为 1答案月 40 专项公圆锥曲线 二级结论40焦比定理 适用题型与圆锥曲线过焦点的直线斜率有关的问题 已知过圆锥曲线的焦点F的直线I与曲线交于A,B两点，且|AFI= 入IBFI.设直线1与x轴的夹角为a,斜率为k,则 (1)焦点在x轴上时，lecos a| 即e=√I+ 数 二级结论 学 (2)焦点在y轴上时，lesin al 即=A 注：本定理适用于椭圆、双曲线（同支）、抛物线.若交于双曲线两支，则 分子分母交换 如图，以焦点在x轴上的椭圆为例： 62 IAFI=- a-ccos a 62 A62 IAFI=入IBFI 6 a-ccos aa+ccos a IBFI= a+ccos a 化简整理 同除以a 推导过程 a+ccos a=入a-入ccos →1+ecos a=入-λecos a 整理 入-1图中A,B位 1-入得出 入-1 ecos a=- ecos a=- lecos al 入+1 置互换 1+入结论 入+1 1 sin'a+cos a =/1+tan2a=1+k cos"a e=√1+k 入-1 λ+1 ®快解示例：利用焦比定理求离心率 b 曲生。>0.D>0的东焦点为P过P且斜率为的直线交双腿 A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<0<x2·若1BF1=31AF1,则双曲线的离心率是 30秒结论快解 1 由题意可知，直线交双曲线的两支，且入= 3, b 则离心率e=√/1+2 入+1 62 /1+ ·2=2/1+ λ-1 4a 16a2=a 所以4e2=16a2+62=16d2+e2-a215a2+c,即c2=5a2,所以e=-5. 【答案】5 焦比定理 41 高中理化公式法二级结论 二级结论41斜率积公式 结论推 适用题型椭圆或双曲线离心率、弦所在直线的斜率问题 (1)A,B是焦点在x轴上的圆锥曲线上关于原点对称的两点，P为曲 线上异于A,B的一点，如图1，图2. 62 2 =e2-1 学 ①椭圆：kp4·kpB= =e2-1;②双曲线：kpM·kpg= a (2)AB是焦点在x轴上的圆锥曲线上不平行于坐标轴的弦，G为AB 的中点，如图3，图4 二级结论 62 ①椭圆：k4B·koc=-2;②双曲线：kAB·koc e e 图1 图2 图3 图4 类推结论 若焦点在y轴上，则将上述结论中的a2与b2交换位置即可 ®快解示例：利用斜率积公式求斜率的范围 已知椭圆C31的左右顶点分别为A,4,点P在C上，且直线PA,斜率的取 值范围是[-2，-1]，则直线PA1斜率的取值范围是() 3 3 184 30秒结论快解 b23 3 由题意得，·k=及子，所以F 斜率积公式 因为kpm,∈[-2，-1]，所以kp4, 「331 84 故选B. 【答案】B 42 专项公圆锥曲线 二级结论42焦点三角形的面积公式 适用题型与焦点三角形的面积相关的问题 F,F2分别为椭圆或双曲线的左、右焦点，P为曲线上任一点（除去长（实） 二级结论 9 62 轴端点).记∠FPF,=0,则椭圆：Sa,=bam2双曲线：Sas% tan 2 数 学 以椭圆为例： 在△PF1F2中，IF1F212=IPF1I2+1PF2I2-21PF1IIPF2Icos0, 4c2=(IPF 1+IPF21)2-21PF IIPF2I(1+cos 0)=4a2-21PF IIPF2 1(1+ cos),则IPF,IPF2I=, 4a2-4c2 2b2 推导过程 2(1+cos0)1+cos0 0 b2·2sin 故SAFPFa,=2 。PF UPF2lsin0= b2sin 0 1+cos 0 2cos2日 2=b'tan 2 ®快解示例：利用焦点三角形的面积公式求方程 知双油线@心06>0的左右焦点分别为R,F,P是双线右支上一点，直 63 线PF2的斜率为2，△PF,F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( A=1 B. 23-1 =1 D. 84 =1 82 28 48 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：易知∠FPF2=90°，则 IPF IPF I 易知∠F,PP2=0,则tan∠PF,=PF, tan LPF2F1=PF21 =2.又IPF1I-IPF2I= 2.又IPFI-IPF2|=2a,则IPFI=4a, 2a,则1PF,I=4a,1PF21=2a,所以S△pr,r,= 所以SArB)PE,: PF,l·lPp,l=42=8,即d=2 2 62 4a2=8,即a2=2.由S△pr,= =8, 第二步：在Rt△PF1F2中，4c2=1F,F212= LF PF2 tan- 1PF112+1PF2I2=20a2=40→c2=10→b2=8, 2 第三步：所以双面线的方程为号苦1 得6=8所以双曲线的方程为。。 28=1 【答案】C 【答案】C 双曲线焦点三角形面积公式 高中理化公式法二级结论 二级结论43离心率的正弦比值定理 适用题型条件：已知焦点三角形的角度大小设问：求离心率 F,F2分别为左、右焦点，P为曲线上任一点（除去长（实）轴端点)， 二级结论 ∠F,PF2=a,∠PF,F2=B,∠PF2F1=y,则椭圆中e= sina一；双曲 sin B+sin y sin a 学 线中e=1sinB-siny 以椭圆为例：离心率e=c=2 IF F2 a 2a IPF 1+IPF,I 在△PF,F2中，根据正弦定理可得， 推导过程 IPFI IPF2I IF F2I IPF 1+IPF2I sin y sin B sin a sin B+sin y IF F2l sin a e=PF+PF2I sin B+sin y ▣诀记忆 顶角正弦作分子，底角正弦和与差；椭圆求和双求差，绝对值号别落下 ②快解示例：利用正弦比值定理求离心率 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点，PF2⊥FF2, ∠PF,F2=30°，则C的离心率为 3分钟常规解析 30秒结论快解 第-步：由PF2⊥F,F2,∠PF1F2=30°可知， PE=mLP,E=月 =sin∠PF,E,=2'FF 由题意可知，∠PF,F1=90°， PF 31 ∠F,PF2=60°，所以离心率 第=步：又1PE,1=2,所以PR,=25。 3 c,PF= 4√3 3 a sin∠F,PF e= sin∠PF,F2tsin∠PF,F 第三步：因为1PFI+1PE,=2a,所以25c+43 3 c=2a, 3c+ sin60° sin30°+sin90° 则a=3c,则e=c-3 a 3 【省案 正弦比值定理 【案得 专项公圆锥曲线 三级结论44抛物线的性质 适用题型条件：直线与抛物线相交 设问：求参数的值、三角形的面积等问题 如图，抛物线y=2px(p>0)的准线与x轴交于点P,过抛物线焦点F 的直线1与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),过点A,B分别作准线的 数 垂线，垂足分别为M,N,0为坐标原点，1的倾斜角为，则 学 ⊙2 (1)x1x2 4y=-p2 二级结论 (2)SAAOB 2sin a (3)以焦点弦AB为直径的圆与准线相切， (4)直线PA,PB的斜率之和为零(kpA+kpg=0), 即∠APF=∠BPF (5)点A,O,N三点共线；点B,0,M三点共线 ②快解示例：利用抛物线的性质求面积 已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F(1,0),过F的直线交C于A,B两点，A在第 一象限，0为坐标原点，若以AF为直径的圆经过(0,2)，则△A0B的面积为 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：由题意知，p=2,则y2=4x, F(1,0),则p=2,则y2=4x,易知以 第二步：易知以AF为直径的圆与y轴相切，则切 AF为直径的圆与y轴相切，则切点 点为(0,2)，故A点的纵坐标为4，故A(4,4),直 为(0,2)，故A点的纵坐标为4，故 线AF的方程为4x-3y-4=0. A(4,4).设直线AF的倾斜角为，则 第三步：与y2=4x联立得4x2-17x+4=0,则x1+ 专、1 sin a= ，1AB1=+t切=翠点0到直线AB的距 25 √32+42 5,故Sa0e= 2sin a 离d=10-0-414 5 性质(2)》 5 2×4×52 2 【答案)月 【管案明 45 高中理化公式法二级结论 二级结论45阿基米德三角形 结论推 适用题型适用于抛物线中求切线的交，点坐标、轨迹等问题 抛物线的弦AB与过弦端点A,B的两条切线所围成 的三角形叫做阿基米德三角形（如图中的△MAB), 数 当弦AB过抛物线焦点F时，有如下性质： (1)两条切线的交点M一定在抛物线的准线上； 二级结论 (2)△MAB为直角三角形，且MA⊥MB; (3)MF⊥AB; (4)IAM|·IBMI=IAB|·IMFI; (5)阿基米德三角形MAB面积的最小值为p 以(2)为例： Mm:yy1=p(x+x1） 设A(x1,y1),B(x2,y2) u=,k=卫弦A LMB:yy2=p(x+x2)」 y y2过焦点 推导过程 设Lew=mr+号与产=联立y2-2mpy-p2=0y,=p-hu·B 2 卫-pP=-1→MA1MB y1 Y2 Yiy2 ®快解示例：利用阿基米德三角形的性质判断线段关系 (多选)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点，过A作 线：x=的垂线垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交1于点E,则 A.IADI=IAFI B.IAEI=IABI C.IABI≥6 D.IAEI·IBE1≥18 30秒结论快解 由抛物线的定义知IAD1=IAFI,A对；由EF⊥AB,且E在准线上，易知△EAB是阿基米德 三角形，则AE⊥BE,所以IAB1>|AE1,B错；通径是抛物线中最短的焦点弦，则IAB1≥6，C 一阿基米德三角形性质(2)】 对；SABB=2 IAE1·IBEI≥p2=9,所以IAE1·IBE1≥18，D对. 【答案】ACD →阿基米德三角形性质(5) 46