数学 专项3 函数（秒解）-【荣恒专项】 2026-2027学年高中数理化公式法 二级结论（高中通用）

高中理化公式法二级结论 专项 函数 级结论7函数图象的对称性 论 推 适用题型条件：已知函数的对称轴或对称中心 设问：求函数值 (1)轴对称 学 ①函数y=f(x+a)是偶函数台f(a+x)=f(a-x)台函数y=f(x)的图象 关于直线x=a对称；x的“±”号相反，广的“士”号相同，得对称轴 ②函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)台函数y=f(x)的图象关于直线 (a+x)+(b-x）a+b 2 2 对称 二级结论 (2)中心对称 ①函数y=f(x+a)是奇函数台f(a+x)=f(a-x)台函数y=f(x)的图象 关于点(a,0)对称； x与∫的“土”号均相反，得对称中心 ②函数y=f(x)满足f(a+x)=-fb-x)+2t台函数y=f(x)的图象关于 点(”对称 易错提醒 注意等号前后∫的符号，用于区别是关于点对称或者直线对称 ®快解示例：利用对称性求值 设)是定义域为R的奇函数，且1+x)=-.若f）3,则f(3）= 30秒结论快解 因为)为奇函数，所以x)=-),所以（兮）=号）=子由1+）=-)， 得)的图象关于直线=对称，所以？)f号)=寸)=行）子 【答案写 对称性结论(1) 8 专项目函数 二级结论8函数图象的周期性 适用题型抽象函数求值、判断周期、奇偶性等问题 (1)f(x+a)=f(x+b)(a≠b)→周期T=1b-al; (2)f(x+a)=-f(x+b)(a≠b)→周期T=21b-al; (3)x+a）=代x)≠0)→周期T=2a: 数 二级结论 学 (4)图象关于直线x=a与直线x=b(a≠b)对称-周期T=21b-al； (5)图象关于点(a,0)和点(b,0)(a≠b)对称→周期T=21b-al; (6)图象关于直线x=a和点(b,0)(a≠b)对称→周期T=41b-al 以结论(4)为例： 关于直线x=a对称→f(x)=f(2a-x) 推导过程 关于直线x=b对称→f(x)=f(2b-x)」 →f(2a-x)=f(2b-x)→f(2a- (2a-x))=f(2b-(2a-x))-f(x)=f(2b-2a+x)-T=2Ib-al 口诀记忆两轴两心差2倍，一轴一心差4倍 ®快解示例：利用对称性与周期性求值 设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时， f)=ar2+6.若0)+3)=6，则f2）=( A.、9 B.2 3 7 C. D. 4 4 2 30秒结论快解 由f(x+1)为奇函数，得f八x)关于点(1,0)对称. 由f(x+2)为偶函数，得f(x)关于直线x=2对称 故f(x)的周期为4×(2-1)=4，且f(1)=0,则a+b=0. 又f0)+f(3)=f(2)+f(1)=3a=6,故a=-2,b=2, 放3)分)= 周期性结论(6) 【答案D 9 高中数理化公式法二级结论 二级结论9三次函数图象的对称中心 结论推 适用题型条件：已知函数为三次函数 设问：求与其图象对称中心有关的问题 函数f(x）=ax+bx2+cx+d(a≠0)的图象的对称中心为 0 数 二级结论 易错提醒 注意任意实系数三次函数都有且仅有一个对称中心 ®快解示例：利用三次函数的对称中心求值 已知函数f(x)=x3-9x2+29x-30,实数m,n满足f(m)=-12,f(n)=18,则m+n= 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：易知f(x)的图象是中心对称图形，所以可 设其对称中心为(a,c),则f(x)=x3-9x2+29x-30=(x- a)3+b(x-a)+c=x3-3ax2+(3a2+b)x-a3-ab+c, -3a=-9, ra=3, 由f(x)=x3-9x2+29x-30, 第二步：所以3a2+b=29, 解得b=2,所以f(x)的 得(x)关于点(3,3)对称 -a3-ab+c=-30, c=3, 因为f(m)+f(n)=十12+18=6= 图象关于点(3,3)中心对称 2×3, 三次函数的对称中心 第三步：又f(m)=-12fn)=18,fm)n）-12+18 所以m+n=2×3=6. 2 2 【答案】6 3,所以”-3，即m+n6 【答案】6 10