数学 专项2 不等式（秒解）-【荣恒专项】 2026-2027学年高中数理化公式法 二级结论（高中通用）

高中理化公式法二级结论 专项 不等式 二级结论3基本不等式链 结论推导 ~适用题型分式型不等式比较大小或求最值问题 数 2 a2+b2 二级结论 若a>0,b>0,则 a+6 ≤√ad≤ 11 2 2 ,当且仅当a=b时，等号成立 a b →调几算平，从左到右，依次增大 如图，0D=0F=a 2,故CF=V0r+0C= 2,0c=a D=/OD-0C=/ab,DE-CD_2ab_2 a2+62 DO a+b1 1 推导过程 a b 又DE≤0≤0n=0r≤,所以≤s生 a2+b2 52≤√2 ,当且仅 a b 当a=b时，等号成立 ②快解示例：利用基本不等式链比较大小 对于a>0,b>0,下列不等式中不正确的是( A.vab 1 1 一十 2a b B.abatb? C.ab≤ 2 2 2 3分钟常规解析 30秒结论快解 第-步：取-6=之得受-1 =1,A错误； 2 ≤√ad≤ tb a2+b2 由 11 2+b2 2≤√2 第二步：a2+b2≥2ab两边同除以2得 2≥ab,B正确； a b 第三步：“瓜两边平方符()广≥6，C止确： 知，2 ≤1+ ab≤ √ab e b 第四步：()广 2-a2+2a6+6 a2+b2 a+b)2 _a2+b2 2 4 2 2,故A错误， ≤2，D正确 B,C,D正确. 基本不等式链 4 【答案】A 【答案】A 专项日不等式 二级结论4柯西不等式 适用题型已知两个（或三个）变量的一次式为定值，求平方之和的最小值； 或已知两个（或三个）变量平方和为定值，求一次式的最大值 (1)二维柯西不等式： (a2+b2)(c2+d)≥(ac+bd)2(a,b,c,deR),当且仅当ad=bc时， 等号成立。 +方和积≥积和方 数 学 二级结论 (2)三维柯西不等式： (ai+az+a)(bi+b2+b3)=(abi+a2b2+a3b3)2(a1,a2,a3,b1,b2,b3E R),当b:=0(i=1,2,3)或存在一个实数k,使得a,=b(i=1,2,3) 时，等号成立 以二维柯西不等式为例： (a2+b2)(c2+d2)-a2c2+b2d2+a"d2+b2c2-ra2c2+2abcd+b"d2+a2d2- 推导过程 2abcd+b2c2—→(ac+bd)2+(ad-bc)2→(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+ bd)2 等号成立条件，ad=bc 易错提醒 注意等号成立的条件是ad=bc,而不是ac=bd ②快解示例：利用柯西不等式求最值 若正数a,b满足2a+b=3,则a2+b2的最小值为 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：由2a+b=3,得b=3-2a. 第二步：所以a2+b2=a2+(3-2a)2=5a2-12a+ aW=5(aw)(2+1)≥5(2ab)2= 9 柯西不等式 第三步：当且仅当a= 56=时，等号成立，所 6 3 当且仅当a=2b,即a= ，6=时，等 3 5 9 号成立，所以a2+b2的最小值为 9 以a2+6的最小值为 【答案号 【答案】 5 高中理化公式法二级结论 二级结论5权方和不等式 结论推 适用题型条件：已知两数的和或倒数和设问：求分式和的最值 二级结论 若0,6，20，则≥ab,当且仅当=时，等号成立 x y xty 数 a2b2(a+b)2通分a2y(x+y)+b2x(x+y）-xy(a+b)2化简a2y2+b2x2-2aby y xty xy(x+y) xy(x+y) 推导过程 完金平方公式，@-b)°≥0一，+公≥（a+b2 等号成立条件，(ay xy(x+y) x y x+y 、ab bx)2=0→ay=bx→0= x Y 口诀记忆 分母相加仍分母，分子开根和平方 ®快解示例：利用权方和不等式求最值 已知正数，y满足+y=1,则上+9的最小值为 x Y 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：因为y=1,所以》（士号）(） 1923≥1+3)2=16， 1049y x y x y x+y 当且仅当1-3 权方和不等式 第二步：又x,y均为正数，所以匙之≥2，.立=6， y x y x 第三步：当且仅当告兰，即=好)子时，等号成立， 即 3时，等号成立， Y x 19 故二+一的最小值为16 19 所以+一的最小值为10+6=16. 【答案】16 【答案】16 6 专项日不等式 二级结论6对数糖水不等式 适用题型对数式比较大小 (1)设n∈N*,且n>1,则有logn+1n<logn+2(n+1); 二级结论(2)设a>b>1,m>0,则有logb<logm(b+m),当b>a>1时，不等号反向； (3)设a>b>1,m>1,则有log.b<clogan bm,当b>a>1时，不等号反向 数 学 换底lnn 利用糖水nn In ntin In(n+1) login 推导过程 公武ia(n+)不等式放缩n(n+)n(+1）+nn 之 n(2) ln(n+-logv2(n+1)-logon<logo2(n+l1） In(n+2) 巴快解示例：利用对数糖水不等式比较大小 已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则( A.a>O>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a 3分钟常规解析 30秒结论快解 第一步：因为9m=10,所以m=1ogg10. 因为9m=10,所以m=1ogg10, 令10"-11=0，即n=log1o11, 510xg10→9>10即og,10>10g1山所以 所以1ogg10>log1(10+1),即m>n, a=10m-11=10,10-11>1001-11=0,所以a>0. 则10m-11>10-11=0, 即a>0. 对数糖水 第三步：104g8<生108-（生0） 令8”-9=0，则p=log89, 不等式 所以log9>log8+1(9+1),卸p>m, 881g9xg9→g9gg即1g70<og9 2 则8m-9<8”-9=0, 所以b=8m-9=80-9<89-9=0,所以b<0.综 即b<0.故a>0>b. 上a>0>b. 【答案】A 【答案】A 7