专题04 圆周角（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

专题04 圆周角 1.理解圆周角定义、圆周角定理，能运用他们解决相关问题； 2.掌握圆周角的推论（直径对直角、直角对直径）、圆内接四边形的性质（对角互补）； 3.识别同弧、等弧；灵活运用直径构造直角；圆内接四边形外角等于内对角的综合应用； 4.通过分类讨论圆心在圆周角内部、外部、边上三种情况，完成定理探究，体会分类讨论； 5.看到直径主动构造直角，实现角度转化，体会转化思想； 6.体会分类证明数学定理的严谨逻辑；能利用圆周角解释生活中的射门角度等实例。 圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角（angle in a circular segment）。 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上圆心角的一半。 推论 ：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补；四边形外角等于它的内对角。 解题技巧： 1）角度计算：找角所对的同弧，圆周角↔圆心角互相转换。 2）条件有直径：连接弦，得到 90° 直角；出现直角，思考对应的弦是否为直径。 3）圆内接四边形：优先对角互补；出现外角，直接用外角等于内对角。 题型01 圆周角的辨别 【典例】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）图中是圆周角的是（    ） A． B．C．D． 【答案】A 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合，故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是或，故选：C． 【变式2】（25-26九年级下·河北张家口·开学考试）判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项D中的角是圆周角． 【变式3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：弧所对的圆周角是：或，故选：B． 题型02 圆周角定理的相关概念辨析 【典例】（25-26九年级上·广东·期中）下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 【答案】D 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故选项错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； D、等弧一定是在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，故选项正确，符合题意；故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·河北·期末）下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 【答案】B 【详解】解：、 圆心角的度数等于其对应弧的度数，原选项说法正确，不符合题意； 、 圆周角定义要求顶点在圆上且两边与圆相交，原选项说法错误，符合题意； 、同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，原选项说法正确，不符合题意； 、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，原选项说法正确，不符合题意；故选：． 【变式2】（2026九年级·广西防城港·专项训练）一条弧所对的圆周角等于它所对的________角的一半．同弧或等弧所对的圆周角________；半圆（或直径）所对的________角是直角． 【答案】 圆心 相等 圆周 【详解】解：根据圆周角定理可得，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 根据圆周角定理的推论可得，同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角． 题型03 圆周角定理的相关运算（圆周角等于同弧所对的圆心角的一半） 【典例】（2026·河南周口·二模）如图，，是的半径，点在上，连接，．若，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，∵，是的半径，点在上，∴， ∴和是等腰三角形，∴， ∴，∴． 【变式1】（2026·云南昭通·模拟预测）如图，是的直径，是上一点．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴． 【变式2】（25-26九年级下·重庆万州·期中）如图，是的外接圆，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，∵，∴， 又∵，∴是等边三角形，∴． 【变式3】（2026·山西临汾·模拟预测）如图，在中，是的中点，点是上一点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， 是中点，，，． 题型04 圆周角定理的相关运算（同弧所对的圆周角相等） 【典例】（2026·江苏扬州·一模）如图，是的内接三角形，作直径．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，， 是的直径，，． 【变式1】（2026·山西阳泉·一模）如图，四边形内接于，为的直径，，以下说法一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，∴，故选项正确； ∵为的直径，∴，∵，∴， ∵不一定是的直径，∴不一定等于， ∴不一定等于，即和不一定相等，∴不一定等于，故选项错误； 由已知条件无法得出，故无法得到，故选项错误； ∵不一定是的直径，∴不一定等于， ∴和不一定互补，∴无法得出，故选项错误． 【变式2】（2026·湖北襄阳·一模）如图，内接于，且圆心O在上，以点A为圆心，任意长为半径作弧分别交，于E，F两点，再以F为圆心，长为半径作弧，交于另一点G，连接并延长交于D，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，, ,,,∴， ∵圆心在上，即为直径，,,． 【变式3】（2026·四川绵阳·一模）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，的斜边与半圆的直径重合，∴点在以点为圆心的圆上， ∵，∴，∵，∴． 题型05 圆周角定理的推论的相关运算 【典例】（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，弦与直径相交，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，则， 是的直径，，， 故选：D ． 【变式1】（2026·宁夏银川·一模）如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴． 【变式2】（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，为的直径，弦，的延长线交于圆外一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴∴， ∵为的直径，∴∴ 【变式3】（2026·浙江丽水·一模）如图，四边形内接于，是直径，连接，若，，，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点D作于点H，连接，∵是直径，∴， ∵，，∴，∴； ∵，，∴，； 又∵，∴，∴O、D、H三点共线， 在中，由勾股定理得， 又∵，∴，∴， ∴，∴． 题型06 圆的内接四边形的性质 【典例】（2026·山西·一模）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是直径，∴，∵，∴， ∵四边形为的内接四边形，∴． 【变式1】（2026·山西忻州·一模）如图，在正方形网格里，点O，B，D在格点上，四边形是的内接四边形，观察图形，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接， 根据勾股定理，得， 则，∴是直角三角形，则，∴． ∵四边形是圆内接四边形，∴，∴． 【变式2】（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的直径，∴； ∵，，∴， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∴，∴． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，，∵四边形是圆内接四边形，，∴， ∵，∴， ∵，，∴． 【变式4】（25-26九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【详解】解：∵、、、都在圆上，，∴， ∵，∴是的直径，， ∵，∴，∴，∴的半径为4，故选：A． 题型08 圆周角定理实际应用 【典例】（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，在足球比赛中，从，，，四个位置向球门射门，其中，点，，，在上，点在外，点在内．设射门角度为射门位置与球门两端，所连线段的夹角，则射门角度最大的位置是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】D 【详解】解；如图所示，设与圆交于，延长交圆于，连接，，则， ，， ，，， 射门角度最大的位置是点处．故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图①，是折叠状态下的可折叠圆桌，将其展开就是一个直径为米的圆形桌面，其示意图如图②所示，、为可折叠部分，，在劣弧上取一点，连接、，用量角器测得，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：如图，连接、，过点作于点，则， ，，， 米，，米， 米，米，米，故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·陕西安康·期末）【问题提出】（1）如图，内接于，，过作于点．    ①如图1，求证：；②如图2，当圆心恰好落在上时，求的度数； 【问题解决】（2）如图3，在某城市公园的规划中，设计了一个圆形人工湖，湖边设有多个观景台与休息点，公园主入口与湖边的观景台、可通过步道、直接到达，点、、在上，且米，石板小路是一条从观景台出发的内部通道，其延长线与人工湖交于点，点为公园出口，于点，沿铺设石子小路，在道路上设置一个休息点，其中，（观景区）的面积为平方米，试求步道段的长．（景观台、休息点的大小及步道、石板小路、石子小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①见解析；②；（2）步道段的长为米 【详解】（1）①证明：，， ，． ，，，． ②解：，经过点O，，． ，，，即为等边三角形，． （2）解：如图，在上取一点G，连接，使得，． ，同（1）得，，． 如图，过点G作于点I，于点J，    ，，．，． 在和中，， ，， ，． ，，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，，即步道段的长为200米． 题型08 圆周角定理与垂径定理综合 【典例】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的直径，，点C为上一点，连接，，点D是线段延长线上一点，且，连接并延长交于点P．当点C绕运动一周时，点P运动的路径长为_________． 【答案】 【详解】解：如图，过O点作于E，过A点作交的延长线于E，取的中点Q，连接， ∵是的直径，∴，∴，∴∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵∴，∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴， ∴点P的运动轨迹为以为直径，的中点为圆心的圆上， 又∵，∴当点C绕运动一周时，点P在直径为的圆周上面运动一周，运动的路径长为．故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，，如图，∵，∴为圆的直径， ∵点和点，即，，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， ∴．故选：D ． 【变式2】（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）如图，点A、B、C均在坐标轴上，，，过A、O、C作，E是上任意一点，连接、，则的最大值是___________． 【答案】12 【详解】解：连接， 设，，∴是的直径， ，，，， ，，， ，∴当为的直径时，最大，的值最大， ，的最大值，故答案为：12． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形内接于，连接，，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则四边形是平行四边形你 D．若四边形是平行四边形，则 【答案】D 【详解】解：A、由圆周角定理得，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵四边形内接于，∴，故本选项说法正确，不符合题意； C、时，，则， ∴，∵与不一定相等，则不一定都等于， ∴四边形不一定是平行四边形，故本选项说法错误，符合题意； D、∵四边形是平行四边形，∴，由圆周角定理得， ∵四边形内接于，∴，∴， ∴，故本选项说法正确，不符合题意．故选：D． 题型09 圆周角定理的综合运用（解答题） 【典例】（2026·安徽铜陵·二模）如图，的半径为3，为的直径，点C为上一点，于点E，的平分线交于点D，连接．(1)求的大小；(2)若弦的长为2，求弦的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，连接， ∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：如图，过点A作于点F，由（1）知， ∴∴，∴，∴ ∵，∴，∴（负值舍去）， ∵，∴， ∴，∴． 【变式1】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知：内接于，，点E是上的一个动点．(1)如图1，若，的半径为2，求的长； (2)如图2，点E在劣弧上（不与点A、C重合），连接．若，求的度数；(3)如图3，已知，，点E在劣弧上（不与点B、C重合），与交于点D，在延长线上取一点G，连接，交于点H，．请判断的结果是否为定值，若是请求出其定值，若不是请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)，理由见解析 【详解】（1）解：连接，如图，∵，，， ∵的半径为2，∴，∴在等腰中，； （2）解：在上截取，连接，如图，∵，∴， 在和中，，∴，， ∵，，∴， ∴为等边三角形，∴，， ，即； （3）解：结论：，理由如下：连接，并延长交于点N． 设，∵，∴，， 在中，， ，∴， 在中， ，∴， ①若与不共线时，在中， ∵∴，过点C作于点Q，于点H，∴， ∴，∴，∴，即， ∴，∴， 又，∴，∴； ②若与共线时，同理，∴，∴， ∴，解得（舍），， ∴，∴；综上，． 【变式2】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）（1）如图1，已知是等边三角形，为它的外接圆，点是上任一点．①求的度数；②求证：； （2）根据上面的解答，完成下列作图探究．如图2，，，请在上找一点使得，保留作图痕迹，不写作法，简单说明理由． 【答案】（1）①；②见解析；（2）见解析 【详解】（1）①∵是等边三角形，∴，∵，∴； ②证明：∵是等边三角形，∴，， ∵，，∴，， ∴，∵，∴， 如图，延长至点，使得，连接， ， 则，∴为等边三角形，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）如图，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧在边的下方交于点，作直线，交边上方圆弧于点，连接，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点、，作直线交边下方的圆弧于点，连接、、，则， 理由如下：由作法可得：垂直平分、垂直平分，连接、、， 由线段垂直平分线的性质可得：，， ∵，∴，∴为等边三角形， 由（1）②可得：，∵，∴． 【变式3】（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】如图①，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接、、．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵、、、四点共圆，∴． ∴．∴、、三点共线． 证明过程缺失 请你补全余下的证明过程． 【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． （1）将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）若的半径为，则四边形周长的最大值为_____ 【答案】问题解决：见解析；拓展应用：（1）见解析；（2）． 【详解】问题解决：解：由题意可知，． ∵、、、四点共圆，∴． ∴．∴、、三点共线． ∵绕点顺时针旋转至，∴，．∴是等边三角形．∴． ∵、、三点共线，∴．∵，∴． 拓展应用：解：（1）作射线交于点．以为一边，在外作，在上取，连接、，则此时、、三点共线，为所求； 证明：过点作于点．∵，是等边三角形，∴， ∵，∴是等边三角形，∵，∴，， 在中，，∵，， ，∴， ∵，为定值，∴当取最大值时，取最大值． ∵是的弦，∴当为直径时，取得最大值． ∵当为直径时，，∴．∴当时，的面积最大． （2）解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 由问题解决可知．∴四边形． ∵为的弦，∴当为直径时，最大，最大值为．∴． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；故选：B． 2．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：是所对的圆周角，是所对的圆周角， 是所对的圆周角，是所对的圆周角，不是圆周角，故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列有关圆的一些结论： ①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的选项是（   ） A．①④⑤ B．③④⑤ C．③④ D．④⑤ 【答案】D 【详解】解：①若三点共线，则不能确定一个圆，此结论错误； ②相等的圆心角，需在同圆或等圆中所对的弧才相等，此结论错误； ③被平分的弦若为直径，则直径不一定垂直于弦，此结论错误； ④圆内接四边形的对角互补，此结论正确； ⑤三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，此结论正确； 综上，正确的是④⑤，对应选项D．故选：D． 3．（25-26九年级下·西藏·月考）如图，是的直径，若，，则的长等于（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ， 由圆周角定理可得：，∴， ∵是的直径，，∵，∴为等边三角形，∴． 4．（2026·北京通州·一模）如图，内接于，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线交于点D，连接并延长交于点E，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可得垂直平分，∴，∴， ∵，∴． 5．（2026·广西·一模）如图，是的外接圆，已知的半径为，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，取优弧上任意一点，连接、，， 在中，， ，，， ，，，， ，． 6．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵是的直径，． ∵和都是所对的圆周角，∴，． 7．（25-26九年级下·福建漳州·月考）如图，四边形内接于圆O，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形内接于圆，∴， ∵，∴，∴． 8．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，设的半径为，则，， ，，，是的中点，，， 在中，，解得，即的半径为，故选：C． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）已知四边形中，，，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      【答案】在，见解析 【详解】连接，在中，，∴，    在中，， ∴∴，∴A、B、C、D四点在同一个圆上． 10.（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图，为锐角三角形．请用尺规作图法，在平面内求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图： 【详解】解：根据题意，作的外接圆，在上取一点P，则． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点．已知A，B，C三个格点恰好在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中的弧上找一个格点M，使． (2)在图2中标出圆心O，并在上找一个点N，使． 【答案】(1)点M即为所求： (2)圆心O和点N即为所求： 【详解】（1）解：根据圆周角定理可知，同弧所对的圆周角相等， 要使，需让和对应同一段弧， ∵对应弧，∴也需对应弧，∴在弧上任取一格点，连接，，即为所求． （2）解：∵为圆内接三角形，∴圆心O为的外心， 结合网格图特征，分别作，，的垂直平分线，，，三条垂直平分线的交点即为圆心O， ∵，∴为的角平分线，在直线上取格点K，L，连接交圆于点N，连接， ∵四边形是正方形，∴是线段的垂直平分线， ∴N是的中点，即，∴． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）小明用一把含角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法：①如图1，角的顶点在圆上，弦的长即为圆的半径长，②如图2，直角顶点在圆上，弦长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】C 【详解】解：设圆的圆心为点，连接，，， 角的顶点在圆上，，即为等边三角形， ，的长即为圆的半径长，故①正确； 直角顶点在圆上，为圆的直径，长的一半即为圆的半径长，故②正确；故选：C． 2．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图1，筒车是我国古代的灌溉工具，筒车上均匀分布着若干盛水筒，其核心部件可看作圆O．如图2，圆O与水面交于A、B两点，点P是筒车上的一个盛水筒，是圆O的直径，连接、，已知，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，，． 是圆O的直径，．． ，．，．故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，与的两边相交于点 ，，，（均不与点重合），若，则的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，，， ，，， ∴的度数不可能，故选：A． 4．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，量角器的直径与含30°角的直角三角板的斜边重合，D为上一点，作射线交于点．若，则点E在量角器上所对应的读数为（   ） A．20°，160° B．30°，150° C．40°，140° D．50°，130° 【答案】C 【详解】解：取的中点，连接， ，，， ，点在上，∴， ．则点在量角器上所对应的读数为，．故选：C． 5．（2026·浙江杭州·校考二模）如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接、、， ∵、分别是、中点，，，， ，，， ，，，，， 在中，，， 在中，， ，，，故选：B． 6．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在矩形中，，，点是矩形内部的一个动点，且，则线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴点是在以为直径的圆上运动，如图，连接，， ∵，∴当三点共线时，最小，如图， 由勾股定理得，，∴，故选：． 7．（2026·山东聊城·一模）如图，在中，，是的外接圆，为的中点，为延长线上一点，若，则________． 【答案】/37度 【详解】解：设，，∵，∴，， ∵为的中点，∴，∴，∴， ∵四点共圆，∴，，∴，即， ∵，∴，解得：，∴． 8．（2025·陕西西安·三模）如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 【答案】/75度 【详解】解：如图所示，连接， ． ∵半径长，∴，∵，∴， ∴是直角三角形，且，∴，连接， ∵点A、B、C是三等分点，∴, ∴，∴． 9．（2026·江西赣州·模拟预测）已知是的内接三角形，且，点D是上除A，B，C之外的任意一点，直线与直线相交于点E，则当为等腰三角形时，的度数可能为__________． 【答案】或或 【详解】解：，，，. ①如图所示，当，且在劣弧上时， ，， ， 由三角形外角性质得； ②如图所示，当，且在劣弧上时， ，，， 由三角形外角性质得； ③如图所示，当，且在优弧上时， 四边形是圆内接四边形，， ，， 由三角形外角性质得； 综上，的度数为或或． 10．（25-26九年级上·广西钦州·期末）（1）【知识储备】如图，四边形是的内接四边形，则 ；（2）【初步探索】如图，内接于，将绕点顺时针旋转，得到，并使点的对应点落在上，求证：点在同一条直线上； （3）【类比迁移】如图，等边内接于，点是上任一点（不与重合）．连接，，，猜想，，的数量关系，并进行证明． 【答案】（）；（）见解析；（），证明见解析． 【详解】（）解：∵四边形是的内接四边形，∴，故答案为：； （）证明：如图，连接， ∵将绕点顺时针旋转，得到，∴， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∴，∴点在同一条直线上； （）解：，证明：如图，在上截取， ∵是等边三角形，∴，， ∴，，即， ∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∵四边形是的内接四边形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆周角 1.理解圆周角定义、圆周角定理，能运用他们解决相关问题； 2.掌握圆周角的推论（直径对直角、直角对直径）、圆内接四边形的性质（对角互补）； 3.识别同弧、等弧；灵活运用直径构造直角；圆内接四边形外角等于内对角的综合应用； 4.通过分类讨论圆心在圆周角内部、外部、边上三种情况，完成定理探究，体会分类讨论； 5.看到直径主动构造直角，实现角度转化，体会转化思想； 6.体会分类证明数学定理的严谨逻辑；能利用圆周角解释生活中的射门角度等实例。 圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角（angle in a circular segment）。 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上圆心角的一半。 推论 ：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补；四边形外角等于它的内对角。 解题技巧： 1）角度计算：找角所对的同弧，圆周角↔圆心角互相转换。 2）条件有直径：连接弦，得到 90° 直角；出现直角，思考对应的弦是否为直径。 3）圆内接四边形：优先对角互补；出现外角，直接用外角等于内对角。 题型01 圆周角的辨别 【典例】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）图中是圆周角的是（    ） A． B．C．D． 【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·河北张家口·开学考试）判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 题型02 圆周角定理的相关概念辨析 【典例】（25-26九年级上·广东·期中）下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 【变式1】（25-26九年级上·河北·期末）下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 【变式2】（2026九年级·广西防城港·专项训练）一条弧所对的圆周角等于它所对的________角的一半．同弧或等弧所对的圆周角________；半圆（或直径）所对的________角是直角． 题型03 圆周角定理的相关运算（圆周角等于同弧所对的圆心角的一半） 【典例】（2026·河南周口·二模）如图，，是的半径，点在上，连接，．若，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（2026·云南昭通·模拟预测）如图，是的直径，是上一点．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·重庆万州·期中）如图，是的外接圆，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·山西临汾·模拟预测）如图，在中，是的中点，点是上一点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型04 圆周角定理的相关运算（同弧所对的圆周角相等） 【典例】（2026·江苏扬州·一模）如图，是的内接三角形，作直径．若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山西阳泉·一模）如图，四边形内接于，为的直径，，以下说法一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北襄阳·一模）如图，内接于，且圆心O在上，以点A为圆心，任意长为半径作弧分别交，于E，F两点，再以F为圆心，长为半径作弧，交于另一点G，连接并延长交于D，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·四川绵阳·一模）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型05 圆周角定理的推论的相关运算 【典例】（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，弦与直径相交，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·宁夏银川·一模）如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，为的直径，弦，的延长线交于圆外一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·浙江丽水·一模）如图，四边形内接于，是直径，连接，若，，，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 题型06 圆的内接四边形的性质 【典例】（2026·山西·一模）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山西忻州·一模）如图，在正方形网格里，点O，B，D在格点上，四边形是的内接四边形，观察图形，的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 题型08 圆周角定理实际应用 【典例】（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，在足球比赛中，从，，，四个位置向球门射门，其中，点，，，在上，点在外，点在内．设射门角度为射门位置与球门两端，所连线段的夹角，则射门角度最大的位置是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【变式1】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图①，是折叠状态下的可折叠圆桌，将其展开就是一个直径为米的圆形桌面，其示意图如图②所示，、为可折叠部分，，在劣弧上取一点，连接、，用量角器测得，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（25-26九年级上·陕西安康·期末）【问题提出】（1）如图，内接于，，过作于点．    ①如图1，求证：；②如图2，当圆心恰好落在上时，求的度数； 【问题解决】（2）如图3，在某城市公园的规划中，设计了一个圆形人工湖，湖边设有多个观景台与休息点，公园主入口与湖边的观景台、可通过步道、直接到达，点、、在上，且米，石板小路是一条从观景台出发的内部通道，其延长线与人工湖交于点，点为公园出口，于点，沿铺设石子小路，在道路上设置一个休息点，其中，（观景区）的面积为平方米，试求步道段的长．（景观台、休息点的大小及步道、石板小路、石子小路的宽度均忽略不计） 题型08 圆周角定理与垂径定理综合 【典例】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的直径，，点C为上一点，连接，，点D是线段延长线上一点，且，连接并延长交于点P．当点C绕运动一周时，点P运动的路径长为_________． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）如图，点A、B、C均在坐标轴上，，，过A、O、C作，E是上任意一点，连接、，则的最大值是___________． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形内接于，连接，，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则四边形是平行四边形你 D．若四边形是平行四边形，则 题型09 圆周角定理的综合运用（解答题） 【典例】（2026·安徽铜陵·二模）如图，的半径为3，为的直径，点C为上一点，于点E，的平分线交于点D，连接．(1)求的大小；(2)若弦的长为2，求弦的长． 【变式1】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知：内接于，，点E是上的一个动点．(1)如图1，若，的半径为2，求的长； (2)如图2，点E在劣弧上（不与点A、C重合），连接．若，求的度数；(3)如图3，已知，，点E在劣弧上（不与点B、C重合），与交于点D，在延长线上取一点G，连接，交于点H，．请判断的结果是否为定值，若是请求出其定值，若不是请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）（1）如图1，已知是等边三角形，为它的外接圆，点是上任一点．①求的度数；②求证：； （2）根据上面的解答，完成下列作图探究．如图2，，，请在上找一点使得，保留作图痕迹，不写作法，简单说明理由． 【变式3】（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】如图①，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接、、．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵、、、四点共圆，∴． ∴．∴、、三点共线． 证明过程缺失 请你补全余下的证明过程． 【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． （1）将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）若的半径为，则四边形周长的最大值为_____ 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列有关圆的一些结论： ①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的选项是（   ） A．①④⑤ B．③④⑤ C．③④ D．④⑤ 3．（25-26九年级下·西藏·月考）如图，是的直径，若，，则的长等于（    ） A． B． C．5 D． 4．（2026·北京通州·一模）如图，内接于，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线交于点D，连接并延长交于点E，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广西·一模）如图，是的外接圆，已知的半径为，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·福建漳州·月考）如图，四边形内接于圆O，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）已知四边形中，，，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      10.（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图，为锐角三角形．请用尺规作图法，在平面内求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点．已知A，B，C三个格点恰好在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中的弧上找一个格点M，使． (2)在图2中标出圆心O，并在上找一个点N，使． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）小明用一把含角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法：①如图1，角的顶点在圆上，弦的长即为圆的半径长，②如图2，直角顶点在圆上，弦长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 2．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图1，筒车是我国古代的灌溉工具，筒车上均匀分布着若干盛水筒，其核心部件可看作圆O．如图2，圆O与水面交于A、B两点，点P是筒车上的一个盛水筒，是圆O的直径，连接、，已知，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，与的两边相交于点 ，，，（均不与点重合），若，则的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，量角器的直径与含30°角的直角三角板的斜边重合，D为上一点，作射线交于点．若，则点E在量角器上所对应的读数为（   ） A．20°，160° B．30°，150° C．40°，140° D．50°，130° 5．（2026·浙江杭州·校考二模）如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在矩形中，，，点是矩形内部的一个动点，且，则线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山东聊城·一模）如图，在中，，是的外接圆，为的中点，为延长线上一点，若，则________． 8．（2025·陕西西安·三模）如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 9．（2026·江西赣州·模拟预测）已知是的内接三角形，且，点D是上除A，B，C之外的任意一点，直线与直线相交于点E，则当为等腰三角形时，的度数可能为__________． 10．（25-26九年级上·广西钦州·期末）（1）【知识储备】如图，四边形是的内接四边形，则 ；（2）【初步探索】如图，内接于，将绕点顺时针旋转，得到，并使点的对应点落在上，求证：点在同一条直线上； （3）【类比迁移】如图，等边内接于，点是上任一点（不与重合）．连接，，，猜想，，的数量关系，并进行证明． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $