专题05 一元二次方程中的十大综合压轴问题（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理一元二次方程核心内容，涵盖韦达定理、判别式、实际应用及几何综合等，并用思维导图呈现十大压轴题型的逻辑关系，突出参数问题、根的分布等重难点，直观展现知识内在联系与递进结构。 讲义亮点在于分层设计典例与变式，如“幸运方程”新定义问题、几何动点求运动时间等题型，培养推理意识与模型意识。方法指导强调分类讨论、整体代入等技巧，基础学生可掌握通法，优秀学生能深化思维，配套巩固训练支持自主复习，助力教师实施精准分层教学。

专题05 一元二次方程中的十大综合压轴问题 1. 熟练运用韦达定理（根与系数关系），处理两根之和、两根之积、两根的代数式变形求值。 2. 能解决一元二次方程与代数式、不等式、函数、几何、实际应用题的综合压轴，会分类讨论，检验根的实际意义；训练从复杂题干提取等量关系，处理含参数问题，学会检验解是否符合题意。 3. 掌握十大压轴题型的解题思路，能识别题目隐藏限制条件，排除无效解，规范书写解题步骤。 4. 体会转化、分类讨论、整体代入、建模思想，把综合问题转化一元二次方程求解。提高综合分析能力，能处理多问压轴，前一问结论用于后一问的题型。 5. 克服参数多、条件复杂的畏难情绪，养成做题先看二次项系数、解完检验的习惯。 6. 一元二次方程实际应用：增长率、利润、面积问题，建立方程模型。求出方程的解后，舍去不符合现实意义的根。 7. 一元二次方程与几何综合：面积、勾股定理、动点几何列方程求解。几何动点压轴：从动态图形中找出等量关系，建立一元二次方程，处理取值范围。 8. 新定义、阅读理解压轴：迁移一元二次方程知识解决陌生问题。 1. 新定义阅读理解压轴：自定义运算、新概念，转化一元二次方程解题。 2. 韦达定理综合求值：利用整体变形求代数式的值，求出参数必须回代检验()。 3. 方程与代数式、不等式综合：结合非负数、不等式，限定参数范围。 4. 公共根、同根综合压轴：两个方程有公共根，联立求参数。 5. 配方法综合压轴：利用配方法求代数式最值、比较大小。 6. 实际应用压轴：增长率、销售利润、围栏面积，方程解需要取舍。 7. 几何动点压轴：动点运动，利用面积、勾股定理列一元二次方程，求运动时间。 题型01 高次方程相关综合压轴问题 高次方程的主要考向：一元三次方程的根的情况（类比韦达定理）、一元三次方程的整数解问题等。 【典例】（2026·江苏·模拟预测）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·校考期中）阅读下列材料，按要求解答问题： 阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 有整数解c， 则将c代入方程得：,移项得：，即有： ， 由于与c及m都是整数，所以c是m的因数． 上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数． 例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解． 解决问题：①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？ ②方程 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由. 【变式2】（2026·四川成都·校考二模）在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，；设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，，则 ；若，则 ． 【变式3】（2026·湖北·模拟预测）若关于x的方程有三个不同的实数解，则k的个数为 ． 题型02 一元二次方程的新定义压轴问题 【典例】（2026·成都·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______；②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”；(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】（1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为__________． 【尝试应用】（2）若关于x的一元二次方程为．①求出该方程的衍生点M的坐标．②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式__________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解：． ∵，∴；∴的最小值是4． 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】（3）是否存在b，c，使得不论k（）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【变式2】（2026·福建·模拟预测）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，(1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【变式3】（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 题型03 配方法求值或最值（范围）综合压轴问题 【典例】（25-26·广东·九年级上期中）定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“平和数”． 解决问题：(1)请你再写一个小于5的“平和数”_____；判断29是否为“平和数”____（填“是”或“否”）； (2)若二次三项式（是整数）是“平和数”，可配方成（，为常数），则_____． (3)已知“平和数”（，是整数）的值为0，则的值为_____； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“平和数”，请写出符合条件的的值_____；(5)已知实数，满足，求的最小值． 【变式1】（2025·成都·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 【变式2】（2025·绵阳·校考一模）已知x，y，z为实数，满足，那么的最小值是 【变式3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 题型04 判别式的综合压轴问题 【典例】（25-26九年级下·江苏南通·阶段练习）已知实数a，b满足，则的最小值为 【变式1】（2026·浙江·模拟预测）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·成都·二模）若a，b，c均为正实数，且，则a的最小值为 ． 【变式3】（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 题型05 构造一元二次方程求代数式的值 【典例】（2025·湖北·模拟预测）阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为_______________________； (2)间接应用：已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造． 例如，如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造． 例如，如果实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题：(1)已知实数m、n满足，，且，求值． (2)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 【变式2】（2026·湖南·校考一模）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 题型06 一元二次方程根的分布综合压轴问题 【典例】（2026·成都·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏·月考）已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，则a的取值范围 ． 【变式2】（25-26九年级上·山东·月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 题型07 韦达定理与判别式的综合压轴问题 【典例】（25-26八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解；②若c是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，．④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数根一定互为相反数．其中，正确的有几个（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型08 一元二次方程中的几何压轴问题 【典例】（2026·四川成都·二模）某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为 ；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为 ． 【变式1】（2026·浙江·校考二模）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，则m的值为 ． 【变式2】（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【变式3】（25-26九年级上·江苏·校考期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 题型09 一元二次方程中的几何动态压轴问题 【典例】（2026·四川绵阳·模拟预测）定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为 ． 【变式1】（25-26九年级上·北京·校考期末）如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 【变式2】（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动．①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 题型10 一元二次方程的其他综合压轴问题 【典例】（25-26九年级上·四川成都·校考期中）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为 ． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·校考期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 【变式2】（2026·河北·校考一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 【巩固训练】 1．（2026·重庆·模拟预测）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东·校考二模）已知实数a，b满足，，且，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 4．（25-26九年级上·重庆·专题练习）关于的一元二次方程的两个实数根，，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.（2026·福建·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述：对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（ ） （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 A．甲乙皆正确 B．甲乙皆错误 C．甲正确乙错误 D．甲错误乙正确 6．（2025·四川德阳·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 7．（2026·广东·校考一模）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”．(1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 8．（2025·四川自贡·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为 9．（25-26九年级上·江苏·期中）定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则 ． 10.（2026·江苏·校考一模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_；(2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【强化训练】 1．（2026·湖北·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得．其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 3．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级·浙江·培优）已知实数分别满足和，那么的值是 ． 5．（2026.成都市九年级上八区联考）定义：如果两个实数m，n满足，均为整数，则称m，n为一组“齐整数”．现有一组“齐整数”，且x，y满足，则的值为 ． 6．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1，7和1，8和1，9和1时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为10和1时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为______． 7．（25-26·四川绵阳·校考模拟预测）已知m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则实数a的值是______． 8．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，．(1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围．(3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 10．（25-26八年级下·福建厦门·期末）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题：(1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程中的十大综合压轴问题 1. 熟练运用韦达定理（根与系数关系），处理两根之和、两根之积、两根的代数式变形求值。 2. 能解决一元二次方程与代数式、不等式、函数、几何、实际应用题的综合压轴，会分类讨论，检验根的实际意义；训练从复杂题干提取等量关系，处理含参数问题，学会检验解是否符合题意。 3. 掌握十大压轴题型的解题思路，能识别题目隐藏限制条件，排除无效解，规范书写解题步骤。 4. 体会转化、分类讨论、整体代入、建模思想，把综合问题转化一元二次方程求解。提高综合分析能力，能处理多问压轴，前一问结论用于后一问的题型。 5. 克服参数多、条件复杂的畏难情绪，养成做题先看二次项系数、解完检验的习惯。 6. 一元二次方程实际应用：增长率、利润、面积问题，建立方程模型。求出方程的解后，舍去不符合现实意义的根。 7. 一元二次方程与几何综合：面积、勾股定理、动点几何列方程求解。几何动点压轴：从动态图形中找出等量关系，建立一元二次方程，处理取值范围。 8. 新定义、阅读理解压轴：迁移一元二次方程知识解决陌生问题。 1. 新定义阅读理解压轴：自定义运算、新概念，转化一元二次方程解题。 2. 韦达定理综合求值：利用整体变形求代数式的值，求出参数必须回代检验()。 3. 方程与代数式、不等式综合：结合非负数、不等式，限定参数范围。 4. 公共根、同根综合压轴：两个方程有公共根，联立求参数。 5. 配方法综合压轴：利用配方法求代数式最值、比较大小。 6. 实际应用压轴：增长率、销售利润、围栏面积，方程解需要取舍。 7. 几何动点压轴：动点运动，利用面积、勾股定理列一元二次方程，求运动时间。 题型01 高次方程相关综合压轴问题 高次方程的主要考向：一元三次方程的根的情况（类比韦达定理）、一元三次方程的整数解问题等。 【典例】（2026·江苏·模拟预测）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【详解】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，，，∴①③正确，②不正确； ∵，∴④不正确，故答案为：①③． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·校考期中）阅读下列材料，按要求解答问题： 阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 有整数解c， 则将c代入方程得：,移项得：，即有： ， 由于与c及m都是整数，所以c是m的因数． 上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数． 例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解． 解决问题：①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？ ②方程 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由. 【答案】①1、－1、7、－7；②该方程有整数解， x=3是该方程的整数解 【详解】解：①由阅读理解可知： 该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1，-1，7，-7这四个数． ②该方程有整数解． 方程的整数解只可能是3的因数，即1，-1，3，-3，将它们分别代入方程x3-2x2-4x+3=0 进行验证得：x=3是该方程的整数解． 【变式2】（2026·四川成都·校考二模）在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，；设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，，则 ；若，则 ． 【答案】 14 【详解】解：关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，， 方程可以写成，即：， ，， ，，即：， 即：，，或或， ，，，，故答案为：；14． 【变式3】（2026·湖北·模拟预测）若关于x的方程有三个不同的实数解，则k的个数为 ． 【答案】4 【详解】解：方程，解得或． 因为方程有三个不同实数解，方程的根需满足以下情况之一：1. 有一个不等于或的实数根（）；2. 有两个相等的实数根，且该根不等于或（）；3. 有两个不等的实数根，其中一根为或，另一根不为或。据此解答即可． 当时，方程变为，解得， 此时方程有三个不同实数解，，． 当时，方程是一元二次方程． 若方程有两个相等的实数根，则，解得，此时方程的根为，与，不同，方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 综上，的值有个．故答案为：． 题型02 一元二次方程的新定义压轴问题 【典例】（2026·成都·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______；②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”；(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1)；或；(2)，该方程的“幸运数”为(3)或 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即，故答案为：； 依题意，， 整理得，，解得，，故答案为：或； （2）解：∵，∴， ∵，∴，∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数，即是完全平方数，∴或或，解得或或， ∵为整数，∴，当时，方程化为， ∴；∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程”∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴∴∴，∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时，综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时，∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为：解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为：解得：综上所述，或 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】（1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为__________． 【尝试应用】（2）若关于x的一元二次方程为．①求出该方程的衍生点M的坐标．②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式__________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解：． ∵，∴；∴的最小值是4． 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】（3）是否存在b，c，使得不论k（）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；③7；（3）存在， 【详解】解：（1），∴，解得：，（满足）， ∴这个方程的衍生点M的坐标为，故答案为：； （2）①∵，∴， ∴，解得，（满足），∴该方程的衍生点M的坐标为； ②∵该方程的衍生点M的坐标为， ∴所有衍生点M都在同一条直线上，这条直线的解析式为，故答案为：； ③∵，， ∴， ∵，∴，∴，∴的最大值为7； （3）将代入直线得：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上， 则关于x的方程的两个根为，，∴，解得：， 故存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，此时 【变式2】（2026·福建·模拟预测）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，(1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)①(2)的值为18(3)代数式的值为或 【详解】（1）的根为，，，是“倍根方程”； 的根为，，，不是“倍根方程”；故答案为：①； （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ，解得；经检验，符合题意，的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”，或，即或， 当时，；当时，；代数式的值为或． 【变式3】（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程；故是同族方程的是①④； (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即．∵ 有意义，∴ ．∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 （3）由一元二次方程得：，，解得：， ∵一元二次方程属于同族方程，∴是整数，∴正整数k的值为1或3． 题型03 配方法求值或最值（范围）综合压轴问题 【典例】（25-26·广东·九年级上期中）定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“平和数”． 解决问题：(1)请你再写一个小于5的“平和数”_____；判断29是否为“平和数”____（填“是”或“否”）； (2)若二次三项式（是整数）是“平和数”，可配方成（，为常数），则_____． (3)已知“平和数”（，是整数）的值为0，则的值为_____； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“平和数”，请写出符合条件的的值_____；(5)已知实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)4；是(2)12(3)(4)(5)当时，的最小值为9 【详解】（1）4是“平和数”， 理由：因为；29是“平和数”， 理由：因为．故答案为：4(答案不唯一)，是； （2）故答案为：12； （3） ．故答案为：； （4）；由题意得：， （5），∴当时，的最小值为9． 【变式1】（2025·成都·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 【答案】(1)见解析(2)当时，y有最大值，最大值为(3)见解析 【详解】（1）解：． （2）解：，，当时，y有最大值，最大值为． （3）证明：， 则不论，取何值，多项式的值总为正数． 【变式2】（2025·绵阳·校考一模）已知x，y，z为实数，满足，那么的最小值是 【答案】14 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得，； ∵，∴的最小值是14，故答案为14． 【变式3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1)(2)常数的值为或(3)最大值为 【详解】（1）解：， ，，的最小值是． （2）解：， ，， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ，，即， 解得，，常数的值为或； （3）解：，， ， ，，，当时，有最大值，最大值为． 题型04 判别式的综合压轴问题 【典例】（25-26九年级下·江苏南通·阶段练习）已知实数a，b满足，则的最小值为 【答案】-3 【详解】解：设，则，∴，整理，得：． ∵存在实数a，b满足，∴关于b的一元二次方程有解， ∴，∴，解得：， ∴，即的最小值为．故答案为：-3． 【变式1】（2026·浙江·模拟预测）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别是， ∴，，，∴，， ∴， ∵，∴，∴，∴，则的最大值是，故选：B 【变式2】（2025·成都·二模）若a，b，c均为正实数，且，则a的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵a，b，c均为正实数，且， ∴，，∴b，c是方程的两根， ∵方程有两个实数根，∴，即 ∵，∴，即， ∵，∴，即，即正实数a的最小值为．故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，为方程的的两实根， ∴，∴，，， ∴，即，解得：，∴，∴． 题型05 构造一元二次方程求代数式的值 【典例】（2025·湖北·模拟预测）阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为_______________________； (2)间接应用：已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值． 【答案】(1)，，，(2)或(3)15 【详解】（1）解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0，∴=2，=3，∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵，∴或 ①当时，令，，∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴，此时； ②当时，，此时； 综上：或 （3）解：令，，则，， ∵，∴即，∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴，故． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造． 例如，如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造． 例如，如果实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题：(1)已知实数m、n满足，，且，求值． (2)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 【答案】(1)(2)2 【详解】（1）解：，实数m、n满足，， ∴、 可看作方程的两根，， ； （2）解：∵、， ∴将，看作是方程得两实数根； ， 而，，即c的最大值为2． 【变式2】（2026·湖南·校考一模）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵实数m，n满足， ∴m，是方程的实数根，解方程得， ∴分情况讨论：①若，则； ②若，则若，，，不合题意，舍去； 若，，，不合题意，舍去． 综上所述，．故答案为：． 题型06 一元二次方程根的分布综合压轴问题 【典例】（2026·成都·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴且， ∴，解得， ∵，，又∵，∴，， ∴，∴，即，解得， ∴a的取值范围是．故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏·月考）已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，则a的取值范围 ． 【答案】 【详解】解：令方程的两根为，则， 根据题意，若，则，∴． ∴，，解得故答案为： 【变式2】（25-26九年级上·山东·月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时， 则，解得：，此时， ∴，解得：，∴， 当一元二次方程有两个不相等的实数根，且只有一个在的范围内时， ，解得：，或， 当时，，∵，设，则不在的范围内， ∴，解得， 当时，原方程为：，解得，，， 两个根都在的范围内，不符合题意； 当时，原方程为：，解得，，， 不在的范围内，符合题意；因此， 当时，，∵，∴不在的范围内， ∴，解得无解， ∴的取值范围为或，故答案为：或． 题型07 韦达定理与判别式的综合压轴问题 【典例】（25-26八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①若，则是方程的根，方程有实根，因此判别式，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，则该方程判别式，即； 对于方程，其判别式， ，，因此方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的一个根，代入得，整理得； 当时，等式成立，但不一定等于，故③错误； ④若是方程的根，则，两边同乘得， 配方整理得，故④正确； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则； 当时，方程变为，是一元一次方程，只有一个实数根，故⑤错误； 综上，正确的说法共个． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解；②若c是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，．④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数根一定互为相反数．其中，正确的有几个（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①将代入方程，得左边， 因此是方程的根，方程一定有解，故①正确； ②是方程的一个根，代入得，提取公因式得， 当时，不一定等于，故②错误； ③是的两根，且，对两边同除以，得，同理也满足该等式，因此是方程的根，故③正确； ④，，判别式， ，，又，因此，方程必有两个不相等的实数根，故④正确； ⑤，，得或， ，异号，因此，可得，方程化为，判别式， 异号，，，方程有两个实数根，两根之和为， 因此两实数根互为相反数，故⑤正确；综上，正确的结论共个． 题型08 一元二次方程中的几何压轴问题 【典例】（2026·四川成都·二模）某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为 ；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为 ． 【答案】 【详解】解：设所求的矩形的两边分别是和，由题意得方程组 解得：或 这个矩形较短边的长为 当已知矩形的长和宽分别为和时，由题意得方程组 ∴ 即 ∵存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的， ∴方程有实数根，∴ 即∴故答案为：． 【变式1】（2026·浙江·校考二模）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，四边形是边长为5的菱形，对角线交于O， ∴，， 设，在中，由勾股定理得，∴， ∵菱形的对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍， ∴分别是关于x的一元二次方程的两根，∴，， ∵，∴， ∴，即，解得或； 又∵，即，∴故答案为：． 【变式2】（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即，解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm，故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏·校考期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意知，这个矩形周长为，面积为， 设矩形的一边长为，则另一边为，则，整理得：， 由题意得原方程有实数根，，． 又，，即的取值范围为：． 题型09 一元二次方程中的几何动态压轴问题 【典例】（2026·四川绵阳·模拟预测）定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为 ． 【答案】 【详解】解：，． ①如图1，设，则， 可得方程组，解得（不成立）或（不成立）． ②如图2，设，则， ∵，∴，即，可得方程组，无解； ③如图3，设，则， ∵，∴，即.可得方程组 解得或（不成立）． ， ∴；综上所述，的长为．故答案为：. 【变式1】（25-26九年级上·北京·校考期末）如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 【答案】10 【详解】解：当运动时间为时，，， 根据题意得：，即，整理得：， 解得： 不符合题意，舍去，，的值为．故答案为：． 【变式2】（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动．①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又，∴，根据题意，得，解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据题意，得，整理得， ∴，∴方程无解，∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，，由题意，得，解得：，； ②当时，，由题意，得，解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 题型10 一元二次方程的其他综合压轴问题 【典例】（25-26九年级上·四川成都·校考期中）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴之间共有个或个整数， ∵6个连续的整数满足， ∴， 当时，间有个整数， 则之间的3个整数设为，之间的个整数为，∴，解得：或 当时，上有个整数， 则之间的3个整数设为，之间的3个整数为，，无整数解； 当时，间有个整数， 则之间的4个整数设为，之间的个整数为，∴，解得：或， 当，间有个整数， 则之间的4个整数设为，之间的个整数为，∴，无整数解； 当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为， ∴，无整数解 或，无整数解 当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为， ∴，无解， 综上所述，或或，则或或， ∴，或；∵是正整数，∴故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·校考期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 【答案】3 【详解】解：，一组数的积要小于， ，，相乘的这一组数最多只能有个， ，相乘的这一组数最少有2个， ①若这一组数有2个，当两个数连续时，设较小的数为，则另一个为， 分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和， ，整理得，解得，（不合题意，舍去）， 符合条件的完美分割为和； 当两个数不连续时，， 两个数的乘积不小于，分别讨论、、、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和，当两个数不连续时，没有符合条件的完美分割， ②若这一组数有3个，当三个数连续时，设中间的数为，则另两个为，， ，整理得，即， 为1到10的整数，没有符合条件的， 当三个数不连续时，设其中最大的数为，分别讨论、、）其中始终大于组合内第二个数、以及、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和，其中符合条件的完美分割有和； ③若这一组数有4个，当四个数连续时，、均不符合，后面的皆不符合， 当四个数不连续时，设其中最大的数为，，，解得， 、、均不符合，后面的皆不符合； 可得符合条件的完美分割就是题干中的完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有3种， 故答案为：3． 【变式2】（2026·河北·校考一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 【答案】A 【详解】解：设三个连续正整数，，为三角形的三边长， ∴，∴，，且为正整数， 若所构成的三角形是钝角三角形，当且仅当， 即，，，又，，，， 即至多存在一个钝角三角形，三边长为，，，故选项A符合题意，选项D不符合题意； 若所构成的三角形是直角三角形，当且仅当， 即，解得：，不符合题意，舍去，，， 即至多存在一个直角三角形，三边长为，，，故选项B不符合题意； 若所构成的三角形是锐角三角形，此时，即，，， 又，的最小值为，即至少存在一个锐角三角形，故选项C不符合题意；故选：A． 【巩固训练】 1．（2026·重庆·模拟预测）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴，∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴，∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴，∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，．∵，，∴，，∴， ∵，∴，选项D结论错误，符合题意．故选：D． 2．（2026·山东·校考二模）已知实数a，b满足，，且，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵①，②， 由②得③，得，， ，，， ∵，∴，∴．故选：C． 3．（2026·广东·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【详解】解：①当时：∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时：∵a和b是方程的两个根，∴，， 原式， ∵，∴分子，分母， ∴原式，综上所述，原式的值为2或．故选：C． 4．（25-26九年级上·重庆·专题练习）关于的一元二次方程的两个实数根，，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程的根为，，由根与系数关系，，， 代入不等式，得，化简得，，， 又方程有实根，判别式，．综上，，故选． 5.（2026·福建·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述：对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（ ） （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 A．甲乙皆正确 B．甲乙皆错误 C．甲正确乙错误 D．甲错误乙正确 【答案】D 【详解】解：假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得： ，整理得：， ∴，∴原方程没有实数根，∴假设不成立，即甲叙述错误； 假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得：，解得：， ∴当女性的身高为1.5公尺时，使用算法②与算法③算出的理想体重会相同， ∴假设成立，即乙叙述正确；故选：D． 6．（2025·四川德阳·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：是方程的根，，即， ，故答案为：． 7．（2026·广东·校考一模）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”．(1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)②③(2)或． 【详解】（1）解：①， ∵，∴，则方程不是“完美方程”； ②， ∵，∴，则方程是“完美方程”； ③，∵，∴，则方程是“完美方程”； 故答案为：②③； （2）解：∵是关于的“完美方程”，∴，∴原方程为． ∵是此“完美方程”的一个根，∴，即，解得：或． 8．（2025·四川自贡·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为 【答案】5或-1 【详解】解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∴异号， 当时，∵ ，∴，即，∴，解得：， 此时原方程为，解得：， 经验证， ，成立，故符合题意； 当时，∵ ，∴，即，∴，解得：， 此时原方程为，解得：， 经验证， ，成立，故符合题意．综上所述，或． 9．（25-26九年级上·江苏·期中）定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则 ． 【答案】或 【详解】根据题意，得，整理得， 解得．经检验，是原方程的根，故答案为：或． 10.（2026·江苏·校考一模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_；(2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)；(2)的值为． 【详解】（1）解：故答案为：； （2）解：由题意得，，整理得：， 解得：，（舍去），∴的值为． 【强化训练】 1．（2026·湖北·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和， ∴，∴，∴故A错误，不符合题意； B、取，符合题干条件，但故B错误，不符合题意； C、取，符合题干条件，但故C错误，不符合题意； D、，∵，∴ ∵，∴，∴，故D正确，符合题意；故选：D． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得．其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：①方程有两个不相等的实根，，， 则方程的判别式，方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则，， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根，则由求根公式得或， 或，，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即，因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即，∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即，∴的取值范围为， ∴ ∵，∴原式随k的增大而减小，且，∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 4．（25-26九年级·浙江·培优）已知实数分别满足和，那么的值是 ． 【答案】2或16 【详解】解：分两种情况：当时，，，， 又，，a和b是方程的两个根， ，，， 当时，； 故答案为：2或16． 5．（2026.成都市九年级上八区联考）定义：如果两个实数m，n满足，均为整数，则称m，n为一组“齐整数”．现有一组“齐整数”，且x，y满足，则的值为 ． 【答案】14或8或18或9 【详解】解：∵，∴ ，，， ①当时，是方程的两根，，方程无解； ②当时，是方程的两根，，方程有解； ③当时，是方程两根，，方程无解； ④当时，是方程的两根，，方程有解； ⑤当时，是方程两根，方程有解； ⑥当时，是方程两根，，方程有解； 综上可知：或或或 ∴当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 综上可知：的值为14或8或18或9．故答案为：14或8或18或9． 6．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1，7和1，8和1，9和1时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为10和1时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为______． 【答案】 【详解】解：原矩形的相邻两边分别为和，则周长为，面积为． 新矩形的周长为，面积为．设新矩形的两边长分别为和， 则．以、为根的一元二次方程为，解得，． 即：新矩形的两边长分别为和，较短边的长为，故答案为：． 7．（25-26·四川绵阳·校考模拟预测）已知m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则实数a的值是______． 【答案】或 【分析】先根据根与系数的关系得到，再根据完全平方公式得到，再根据已知条件得到，解方程即可． 【详解】解：∵m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，解得或， ∵， ∴当或都满足判别式大于0，故答案为：或． 8．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)①(2)(3) 【详解】（1）解：①解得：或，，是“差根方程”； ② 解得：，，，②不是“差根方程”； （2）解：方程因式分解得：，解得：，， 方程是“差根方程”，，，或，解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为，，， 、是“差根方程”的两个实数根，，，， ，，， 、是三角形的边长，均为正数，， 方程二次项系数为1，所求差根方程为． 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，．(1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围．(3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵，∴， ，，，解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，，∴， ∵，，∴，即， ∵，，∴，∴，∴，∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根，又∵，，∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大，∴， 把代入中，， 整理得：， ∵，则，∴的最大值为． 10．（25-26八年级下·福建厦门·期末）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题：(1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 【答案】(1)(2)满足条件的一个的值为（答案不唯一，也符合要求） 【详解】（1）解：，，解得方程的两个根为和， 特征数对为，，由得， 当时，，符合条件，当时，，舍去，故； （2）解：对方程：，，解得方程的两根为和， ∴方程的特征数对：，， 对于方程：，由根与系数的关系得，， ，，∴， ∵两个方程互为“关联全整根方程”，∴， ∵，∴，∴，∴， 设方程两根为（为正整数），则，， 代入得，∴， 将分解为两个大于1的正整数乘积，得： ， ∴或；∴一个满足条件的为或12. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $