3.6 正多边形与圆 教学设计 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦正多边形与圆的核心知识，涵盖正多边形中心、半径定义，圆内接正五边形和正六边形尺规作图，以及周长与面积计算。通过生活实例情景引入，结合正多边形定义、内角及圆心角度数的知识回顾，为新知探究搭建学习支架。 此资料亮点在于注重作图原理推导与实际应用，通过尺规作图步骤分析和证明培养推理意识，例题与练习中的几何计算发展几何直观，拓展提升的栅栏围绿地问题增强应用意识。助力学生深化理解，提升教师教学效率。

3.6 正多边形与圆 【学习目标】 1、理解正多边形的中心、半径的定义； 2、掌握圆内接正五边形、正六边形两种尺规作图方法，知晓作图原理． 3、会求正多边形的外接圆半径，求解正六边形、正方形等正多边形的周长与面积． 【学习重点】掌握圆内接正五边形、正六边形两种尺规作图方法. 【学习难点】会求正多边形的外接圆半径，求解正六边形、正方形等正多边形的周长与面积. 【学习过程】 一、情景引入： 1、生活中，正多边形的形状随处可见. 2、观察这两个物体，表面分别是什么图形？这些图形有什么共同特征？ 二、知识回顾： 1、什么样的多边形叫作正多边形？ 2、判断一个多边形是正多边形的方法是什么？ 3、思考：一个正n边形的每个内角的度数是 ，每条边所对的圆心角的度数是 ？ 三、新知探究 1、提出问题：如何作圆的内接正五边形？ (1)分析：因为圆内接正五边形的各边相等,所以各边所对的圆心角都相等,都等于72°，由此可得画法如下： (2)作法：① 画一个圆和一个72°的圆心角∠AOB，连接 AB； ② 从点B开始，用圆规取AB的长，依次在⊙O上截取得到点 C、D、E， 连接BC、CD、DE、EA，得到五边形ABCDE． (3)思考：为什么这样画出的五边形是正五边形？ (4)理由如下： ∵点A、B、C、D、E把⊙O五等分，∴，，的度数都是72°， ∴ AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝＝108°， ∴ 五边形ABCDE是正五边形． 2、尝试练习(书本第103页尝试)： 类比正五边形的画法，用不同的方法作圆的内接正六边形？ 3、概念讲解： 一般地，正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径． 我们可以通过确定一个正多边形的外接圆来确定正多边形的中心和半径． 三、例题讲解(书本第103页例题)： 1、如图，正六边形ABCDEF的半径为4， 求这个正六边形的周长和面积． 2、尝试练习： (1)填表： 边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 6 (2)(书本第104页练习1)求半径为r的圆内接正方形的边长和面积. (3)(书本第104页练习2)在正六边形中，能否找到两条边和一条对角线，它们互相平行？ (4)(书本第104页练习3)如图，正六边形ABCDEF的边长为5，求对角线AD，AC的长. 四、拓展提升： 1、(书本第104页习题3)用长24m的木栅栏围成正三角形或正方形或正六边形的绿地．这三种围法中，哪一种围成的绿地面积最大？为什么？ 2、如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正八边形的一边. AB是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由． 五、课堂练习： 1、(书本第104页习题1)将一个正十边形绕它的中心至少旋转多少度，就能与它自身重合？正五边形呢？ 2、(书本第104页习题2)如图，把一个边长为a的正三角形纸片剪成正六边形，剪去的三个小三角形的边长应是多少？为什么？ 三、例题讲解(书本第103页例题)： 1、如图，正六边形ABCDEF的半径为4， 求这个正六边形的周长和面积． 解： 如图，连接OA，OB， 根据题意，得∠AOB＝360°÷6＝60°． ∵OA＝OB，∴△OAB为正三角形，AB＝OA＝4． 正六边形的周长l＝4×6＝24． 过点O作OG⊥AB，垂足为G． 在Rt△OAG中，OA＝4，AG＝AB＝2， ∴OG＝＝＝2． ∴正六边形的面积 S＝×4×2×6＝24． 2、尝试练习： (1)填表： (2)(书本第104页练习1)求半径为r的圆内接正方形的边长和面积. (3)(书本第104页练习2)在正六边形中，能否找到两条边和一条对角线，它们互相平行？ 解：能找到．如图， ∵∠AOB＝∠BCO＝60°，∴ BC∥AD． 同理，EF∥AD．∴ EF∥AD∥BC． 同理，DE∥CF∥AB，AF∥BE∥CD． (4)(书本第104页练习3)如图，正六边形ABCDEF的边长为5，求对角线AD，AC的长. 解：∵ AB＝BC＝5，∠B＝120°，∴ ∠ACB＝∠BAC＝ ＝30°， ∵∠BCD＝120°，∴ ∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝120°－30°＝90°， ∵ ∠BAD＝60°，∴ ∠DAC＝∠DAB－∠BAC＝60°－30°＝30°， ∴ AD＝2CD＝2×5＝10，AC＝CD＝5． 四、拓展提升： 1、(书本第104页习题3)用长24m的木栅栏围成正三角形或正方形或正六边形的绿地．这三种围法中，哪一种围成的绿地面积最大？为什么？ 解：正三角形的边长为＝8(m)，面积为 ×8×4＝16(m2)． 正方形的边长为＝6(m)，面积为6×6＝36(m²)． 正六边形的边长为＝4(m)，面积为 6××4×2√3＝24(m²)． ∵ 16＜36＜24， ∴ 正六边形围成的绿地面积最大． 2、如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正八边形的一边. AB是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由． 解：连接OB． ∵ AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC＝60°. ∵ BC是⊙O的内接正八边形的一边，∴∠AOC＝45°. ∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝60°－45°＝15°， ∴ AB是⊙O的内接正二十四边形的一边． 五、课堂练习： 1、(书本第104页习题1)将一个正十边形绕它的中心至少旋转多少度，就能与它自身重合？正五边形呢？ 解：将正十边形绕它的中心至少旋转 36° 就能与它自身重合； 将正五边形绕它的中心至少旋转 72° 就能与它自身重合． 2、(书本第104页习题2)如图，把一个边长为a的正三角形纸片剪成正六边形，剪去的三个小三角形的边长应是多少？为什么？ 解：∵ 剪去三个三角形，得到正六边形， ∴ 剪去的三个三角形是全等的等边三角形． ∵ 被剪的正三角形的边长为 a， ∴ 剪去的三个小三角形的边长应是 a/3． 学科网（北京）股份有限公司 $