精品解析：上海市闵行区七宝文来学校2026-2027学年九年级上学期数学9月学情自测试卷

2026学年第一学期九年级数学9月学情检测数学学科试卷 （测试时间：90分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 将抛物线向右平移个单位后所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得原抛物线的顶点，根据点平移的规律可得新抛物线的顶点，利用顶点式及平移不改变二次项的系数可得新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向右平移个单位， ∴新抛物线的顶点为， 设新抛物线的解析式为：，代入得：． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图像的平移．二次函数图像的平移，看顶点的平移即可，二次函数的平移不改变二次项的系数．得到平移前后的顶点是解题的关键．也考查了二次函数的顶点式，点的坐标平移变化规律：（1）将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变；（2）将点向右（或向上）)平移几个单位长度横坐标（或纵坐标）就增加几个单位长度；将点向左（或向下）平移几个单位长度横坐标（或纵坐标）就减少几个单位长度． 2. 如图所示的抛物线是二次函数的图像，且图像经过原点，那么下列结论错误的是（ ） A. 上述抛物线可由抛物线平移得到 B. 当时， C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数的图像开口向下，且图像经过原点，可得二次函数的解析式为，再根据二次函数的图象与性质，即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，且图像经过原点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， A、∵抛物线可由抛物线平移得到，故选项正确，不符合题意； B、令，， ∴，， ∴抛物线与轴的交点为，， ∵抛物线开口向下， ∴当时，，故选项正确，不符合题意； C、∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项正确，不符合题意； D、∵抛物线与轴的交点为，，开口向下， ∴当时，或，故选项错误，符合题意． 3. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，相似三角形的判定，先根据直角三角形的两锐角互余得到，进而得到，即可得到，代入解题即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 4. 如图，中，点、分别是边、上的点，且，下列结论不一定能得出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可判断A、B选项正确，根据得出，根据相似三角形的性质可判断C选项正确，D选项不一定能得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，故B选项正确，不符合题意； ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定能得出，故D选项符合题意． 5. 如图，已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件得出对应边成比例，结合公共角证明三角形相似，利用相似三角形的性质逐一判断选项． 【详解】解：，， ， ， ， ，故A正确； ，故B正确； ， ，故D正确； 由可知，仅当时，，题目未给出与的数量关系，故C错误． 6. 如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（ ）个 ①与 ②与 ③与 ④与 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形性质，可以得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到；利用，，，得到，用两边对应成比例，且夹角相等证明；用得到，两直线平行，内错角相等得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ； ，，， ， ，， ， 又， ； ， 即， ， ， 又， ． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得到与的数量关系，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 将代入， 可得． 8. 如果的图像是抛物线，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质与图像，根据二次函数的性质得出，且，再求解即可． 【详解】解：∵的图像是抛物线， ∴且， 解得：； 故答案为： 9. 抛物线的对称轴是直线________． 【答案】 【解析】 【分析】已知抛物线为交点式，先求出抛物线与轴的两个交点横坐标，再利用抛物线的轴对称性计算中点横坐标，即可得到对称轴. 【详解】解：令，得， 解得，， 抛物线与轴两个交点的横坐标为和． 抛物线是轴对称图形，对称轴垂直于轴且经过两个交点的中点， 对称轴的横坐标为， 抛物线的对称轴是直线． 10. 已知抛物线与x轴没有交点，则实数c的取值范围是 ________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴没有交点，则，进而求解，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】∵抛物线与x轴没有交点， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 抛物线与轴的交点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，令即可求出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 故答案为：． 12. 如图，抛物线的部分图象交坐标轴于点，，对称轴为．则当时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，根据图象及对称轴求出的对称点，结合图象x轴上方即为的部分求解即可得到答案． 【详解】解：∵，对称轴为直线， ∴与x轴另一个交点为， ∴当时，， 故答案为：． 13. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由抛物线开口方向确定的符号，由对称轴可得的关系确定的符号，由与轴的交点确定的符号，可判断①；利用时的函数值，可判断②；利用时的函数值，可判断③；结合关系及时的不等式，可判断④ ． 【详解】解：①由图像可知，抛物线开口向下， ∴，  ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∵ 抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴，故①错误； ②由图象可知，当时，， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，，故③正确； ④由①可知，则， 由②可知，， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④． 14. 抛物线绕原点旋转得抛物线_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，根据绕原点旋转的性质，得到旋转后新抛物线的顶点坐标和二次项系数，进而写出新抛物线的表达式． 【详解】解：∵原抛物线表达式为， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点对称，开口方向相反， ∴关于原点的对称点为，二次项系数变为， ∴旋转后得到的抛物线表达式为． 15. 已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到与的关系，先求出的长度，再计算的长. 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 把代入得：， 解得， . 16. 如图，在中，F在的延长线上，，那么________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的平行线，交于点，证明，得到；证明，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作的平行线，交于点， ∵与平行， ∴， ∴； ∵，在中，对角线交于点， ∴； ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“倍值点”，如：，，都是“倍值点”．若关于的二次函数（为常数）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是________________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据新定义得到“倍值点”都在直线上，联立二次函数与直线方程，结合二次函数（为常数）总有两个不同的“倍值点”得出方程有两个不相等的实数根，根据二次函数的定义及一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“倍值点”， ∴所有“倍值点”都在直线上， ∵关于的二次函数（为常数）总有两个不同的倍值点， ∴方程组有两个不同的解，且， ∴，， 整理得， ∵方程组有两个不同的解， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上所述：且． 18. 如图，中，，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是，点A的对应点落在中线AD上，且点是△ABC的重心，与BC相交于点E．那么________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用重心性质和直角三角形斜边中线性质表示出的长；作，利用勾股定理求出和的长；利用面积法求出点到的距离，进而求出的长；证明，求出的长，最后计算比值． 【详解】设． 点是的重心，且在上， ，． ，是的中线， ，． 旋转， ，． ． 过点作于． ，， ． ． 在中，． 在中，． 过点作交的延长线于． ， ， ． 在中，． ，， ． ，即． ． ． ． 故答案为：． 三．解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 已知抛物线的顶点为，且经过点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）抛物线上的一点的横坐标是，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，设顶点式代入点坐标求解系数即可得到解析式； （2）先求出点坐标，再利用、纵坐标相同的特点计算底长和对应高，进而求三角形面积． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为（）， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为，即； 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上，且横坐标为， ∴将代入，得， ∴ 点的坐标为， ∵，， ∴线段平行于轴，， ∵点的坐标为， ∴点到直线的距离为， ∴． 20. 如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，已知，． （1）求的长； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）9 （2）4 【解析】 【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． (2) 利用平行线性质得到,则，即，可求得的长，然后可求得的长，然后再利用求得的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理与相似三角形的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． 21. 试求二次函数的图像与x轴两交点间的最短距离． 【答案】 二次函数的图像与轴两交点间的最短距离为． 【解析】 【分析】将两交点距离转化为对应一元二次方程两根差的绝对值，利用根与系数的关系表示距离，通过配方法求最小值． 【详解】解：∵在关于的一元二次方程中，， 且， ∴，即方程总有两个不相等的实数根； 设二次函数的图像与轴两交点的横坐标为，， 则，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系，得 ，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴当时，取得最小值， 此时的最小值为； 综上所述，二次函数图像与轴两交点间的最短距离为． 22. 如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质、对顶角相等和三角形内角和即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一即可得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，根据等式的性质和等量代换即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 2023年5月8日，国产大飞机商业首航完成，12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 【答案】消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米 【解析】 【分析】本题考查二次函数与实际问题，根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式，再利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题． 【详解】解：设经过点A，B，H的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得：，解得， ， 经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入，得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米． 24. 如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． （1）求a、c的值； （2）证明：为直角三角形； （3）若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）证明：由（1）得， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （3）存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意，得， 解得， 故，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，     ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，     ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或． 25. 如图，矩形中，，，在边上取一点E，将翻折，使点C落在点P处，折痕为，交于点Q． 【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边上，求证：； 【变式求异】（2）如图2，若点E是的中点，点P落在矩形内部，求点P到的距离； 【化归探究】（3）如图3，若，交于点F，求的长． 【答案】 （1）∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，证明是解题的关键． （1）先证明，再由，即可证明． （2）如图，作于点H，同理可证明，则可推出，设，，则，由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）如图，作交于点H，连接，先求出，，同理可证明，得到，设，，则，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，解方程求出，再证明，即，可得． 【详解】解：（1）略 （2）如图，作于点H， 同理可证明， ∴， ∴， 设，， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴（舍）， ∴， ∴点P到的距离为； （3）如图，作交于点H，连接， ∵， ∴，， 同理可证明， ∴， ∴， 设，， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴（舍），． ∴， ∵平行， ∴，， ∴，即 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学9月学情检测数学学科试卷 （测试时间：90分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 将抛物线向右平移个单位后所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示的抛物线是二次函数的图像，且图像经过原点，那么下列结论错误的是（ ） A. 上述抛物线可由抛物线平移得到 B. 当时， C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 3. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，点、分别是边、上的点，且，下列结论不一定能得出的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（ ）个 ①与 ②与 ③与 ④与 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么__________． 8. 如果的图像是抛物线，那么_________． 9. 抛物线的对称轴是直线________． 10. 已知抛物线与x轴没有交点，则实数c的取值范围是 ________． 11. 抛物线与轴的交点坐标是_______． 12. 如图，抛物线的部分图象交坐标轴于点，，对称轴为．则当时，的取值范围是________． 13. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 14. 抛物线绕原点旋转得抛物线_____________． 15. 已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 16. 如图，在中，F在的延长线上，，那么________________． 17. 若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“倍值点”，如：，，都是“倍值点”．若关于的二次函数（为常数）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是________________． 18. 如图，中，，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是，点A的对应点落在中线AD上，且点是△ABC的重心，与BC相交于点E．那么________． 三．解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 已知抛物线的顶点为，且经过点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）抛物线上的一点的横坐标是，求的面积． 20. 如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，已知，． （1）求的长； （2）当，时，求的长． 21. 试求二次函数的图像与x轴两交点间的最短距离． 22. 如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 23. 2023年5月8日，国产大飞机商业首航完成，12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 24. 如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． （1）求a、c的值； （2）证明：为直角三角形； （3）若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，矩形中，，，在边上取一点E，将翻折，使点C落在点P处，折痕为，交于点Q． 【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边上，求证：； 【变式求异】（2）如图2，若点E是的中点，点P落在矩形内部，求点P到的距离； 【化归探究】（3）如图3，若，交于点F，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $