专题03 圆的对称性（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

专题03 圆的对称性 1.知道圆既是中心对称图形（圆心为对称中心），又是轴对称图形（过圆心的任意直线是对称轴）。 2.掌握定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.知道圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 4.掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧；会结合勾股定理计算半径、弦长、弦心距。 5.通过折叠、旋转操作探究圆的对称性，感受图形变换研究几何性质的方法。 6.遇到弦的计算，作弦心距，把圆的计算转化为直角三角形问题，体会转化思想。 7.感受圆的对称美；了解古代 “圆材埋壁” 数学史料，体会数学文化；在定理推导与计算中，养成严谨审题的习惯。 中心对称：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 两段能完全重合的弧叫作等弧（equal arc）。（切记在同圆或等圆中才可能出现等弧）。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。圆心角的度数与圆的半径大小无关，圆弧的度数也与圆的半径大小无关。 轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 垂径定理几何关系：设半径r，弦心距d，弦长l； 则弦长公式为： 已知弦长求半径、弦心距：过圆心作弦的垂线（弦心距），连接半径，构造 Rt△，利用勾股求解。 题型01 圆的对称性、等弧的相关概念 【典例】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．经过三点确定一个圆 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【变式1】（25-26九年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弦长相等 D．三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 题型02 利用弧、弦、弦心矩的关系求解 【典例】（2026·江西九江·一模）如图，在中，点是的中点，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）在直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（2026·江西新余·一模）如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 题型03 利用弧、弦、弦心矩的关系证明 【典例】（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)；(2)． 【变式1】（25-26九年级下·广东·校考期中）如图，在中，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·广东佛山·月考）如图，是的直径，为弦，的平分线交于点，过点的的切线交的延长线于点，且．求证：． 【变式3】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，于点，于点，若，求证：． 【变式4】（25-26九年级上·重庆江津·期末）请完成以下作图和填空：如图，在中，为的三条弦，且． 尺规作图：在右侧作，交于点D，连接． （只保留作图痕迹，不写作法） 求证：． 证明：∵，∴① ，∴② ． 又∵，∴③ ，∴，∴④ ，∴． 题型04 求圆弧的度数 【典例】（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 【变式1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·安徽芜湖·校考一模）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型05 垂径定理及推论 【典例】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列说法不正确的是（   ） ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④ 【变式2】（2026·上海松江·二模）已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列关于圆的说法不正确的是（    ） A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．垂直平分弦的直径必定经过圆心 D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 题型06 利用垂径定理求值 【典例】（2026·安徽宿州·一模）如图，已知的半径为10，弦，点C是上一点，且，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】（2026·陕西咸阳·二模）桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（   ） A．米 B．米 C．米 D．5米 【变式3】（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型07 利用垂径定理求平行弦问题 【典例】（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【变式1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3】（25-26九年级下·四川内江·月考）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 题型08 利用垂径定理求同心圆问题 【典例】（25-26九年级上·江苏·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D．(1) 求证：．(2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型09 利用垂径定理求其他问题 【典例】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（北京市昌平区2026年九年级第一次统一练习数学试卷）如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·安徽黄山·月考）如图，在中，，则_____．（填“”“”或“”） 题型10 垂径定理的实际应用 【典例】 （25-26九年级下·广东广州·专题练习）在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦）为，拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为．若点是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【变式3】（25-26九年级上·山东临沂·期末）盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C． D． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·山东滨州·期中）下列命题中，错误的是（   ） A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦 B．平分弦的弦垂直于这条弦 C．垂直于弦的直径平分这条弦 D．弦的中垂线经过圆心 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列说法不正确的是（  ） A．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 C．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴 D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 3．（2026·云南文山·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 4．（25-26九年级下·江苏南通·月考）如图，是的直径，弦，垂足为，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 6．（2026·广西南宁·二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 7．（2026·广西南宁·二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 8．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 9．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的直径，于M，且，则线段的长是________． 10．（25-26九年级上·云南怒江·月考）如图，已知的两条弦相交于点E，连接，且．求证：． 11．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，拱门的上部是一段圆弧，其圆心O在线段上，点E是弧的中点，下部是宽为，高为的长方形，已知拱门最高处E距离地面的高度为，于点P，连接．求上部圆弧的半径的长． 12．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________；(2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）下列命题中，正确的个数是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦：④优弧一定长于劣弧；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形；②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 3．（25-26九年级下·陕西·期中）某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，是外接圆，，若，弦的弦心距为2，则弦的长是（   ） A．10 B． C．12 D．15 5．（25-26九年级上·云南楚雄·期末）如图，是直径，是上的点，于点，于点，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液体的最大深度，当瓶内液体升高，则截面圆中弦的长减少了______． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是_______ 9．（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上．(1)若点B是的中点，求证：；(2)若，，求的半径r． 11．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． (1)求证：；(2)利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分。 12．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：；(2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆的对称性 1.知道圆既是中心对称图形（圆心为对称中心），又是轴对称图形（过圆心的任意直线是对称轴）。 2.掌握定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.知道圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 4.掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧；会结合勾股定理计算半径、弦长、弦心距。 5.通过折叠、旋转操作探究圆的对称性，感受图形变换研究几何性质的方法。 6.遇到弦的计算，作弦心距，把圆的计算转化为直角三角形问题，体会转化思想。 7.感受圆的对称美；了解古代 “圆材埋壁” 数学史料，体会数学文化；在定理推导与计算中，养成严谨审题的习惯。 中心对称：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 两段能完全重合的弧叫作等弧（equal arc）。（切记在同圆或等圆中才可能出现等弧）。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。圆心角的度数与圆的半径大小无关，圆弧的度数也与圆的半径大小无关。 轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 垂径定理几何关系：设半径r，弦心距d，弦长l； 则弦长公式为： 已知弦长求半径、弦心距：过圆心作弦的垂线（弦心距），连接半径，构造 Rt△，利用勾股求解。 题型01 圆的对称性、等弧的相关概念 【典例】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．经过三点确定一个圆 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【答案】D 【详解】解：∵等弧需在同圆或等圆中定义，长度相等的弧不一定重合，故A错误； 三点共线时不能确定圆，故B错误；优弧与劣弧长度比较需在同圆中成立，否则不一定，故C错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，这是圆心角定理，故D正确．故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弦长相等 D．三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵ 不在同一直线上的三点才能确定一个圆，∴ A错误； ∵ 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，长度相等的弧不一定满足条件，∴ B错误； ∵ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦才相等，∴ C错误； ∵ 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，∴ D正确．故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】C 【详解】解：A、半径相等的两个半圆，所在圆是等圆，半圆弧长相等且能重合，原说法正确，不符合题意； B、圆面积相等则半径相等，故是等圆，原说法正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中能够完全重合，长度相等的两条弧不一定满足此条件，原说法错误，符合题意； D、三角形的外心是垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，原说法正确，不符合题意；故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意．故选：D． 题型02 利用弧、弦、弦心矩的关系求解 【典例】（2026·江西九江·一模）如图，在中，点是的中点，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点是的中点，∴，∵，∴． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）在直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接、， ∵的直径为，∴，又∵，∴， ∴是等边三角形，∴即弦所对的圆心角是，故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点是的中点，∴，∴． ∵，∴，∵在中，∴，∴． ∵在中，，∴， ，，．故选：D． 【变式3】（2026·江西新余·一模）如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【详解】解：连接，如下图， ∵，，∴，∴，∴， ∵点为的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴． 题型03 利用弧、弦、弦心矩的关系证明 【典例】（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)；(2)． 【答案】(1)见详解；(2)见详解 【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∴． （2）证明：∵，∴，∵，∴， ∵，∴． 【变式1】（25-26九年级下·广东·校考期中）如图，在中，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，即， 和无法确定相等，无法判断，故选：D． 【变式2】（25-26九年级下·广东佛山·月考）如图，是的直径，为弦，的平分线交于点，过点的的切线交的延长线于点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：过点作于点，连接，如图所示： 平分，， 在和中，，，， ，，， 在和中，，， ，． 【变式3】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，于点，于点，若，求证：． 【答案】见解析 【详解】解：连接，，，， ，，；． 【变式4】（25-26九年级上·重庆江津·期末）请完成以下作图和填空：如图，在中，为的三条弦，且． 尺规作图：在右侧作，交于点D，连接． （只保留作图痕迹，不写作法） 求证：． 证明：∵，∴① ，∴② ． 又∵，∴③ ，∴，∴④ ，∴． 【答案】见解析 【详解】解：所作图形如图： 证明：∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，∴． 题型04 求圆弧的度数 【典例】（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 【答案】55 【详解】解：如图所示，连接， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴的度数为，故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵，∴，∵∴， ∵∴，∴，∴的度数为．故选：B 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 在中，，，，， ，即的度数为，故选：A． 【变式3】（2026·安徽芜湖·校考一模）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴，∴， ∴， ∴，∴的度数为，故选：C． 题型05 垂径定理及推论 【典例】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列说法不正确的是（   ） ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦， ①错误； ∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不平分弦所对的弧， ②错误； ∵ 垂直平分弦的直线必过圆心（垂径定理推论），③正确； ∵ 平分弧的直径必垂直平分弧所对的弦（垂径定理逆定理）， ④正确． ∴ 不正确的是①②，故选C 【变式2】（2026·上海松江·二模）已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 【答案】A 【详解】解：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，因此命题①是真命题； 对于命题②，当被平分的弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不是直径”的条件，因此命题②是假命题，综上，①是真命题，②是假命题． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列关于圆的说法不正确的是（    ） A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．垂直平分弦的直径必定经过圆心 D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 【答案】B 【详解】解：因为平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以A正确； 因为平分弦（不是直径）的直径平分弧所对的弦，所以B不正确； 因为垂直平分弦的直径必定经过圆心，所以C正确； 因为垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以D正确. 故选：B. 题型06 利用垂径定理求值 【典例】（2026·安徽宿州·一模）如图，已知的半径为10，弦，点C是上一点，且，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点O作于点D，连接． ∵，∴．∵，∴． 在中，，∴． 在中，．故选：B． 【变式1】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，∵是的弦，半径，∴， 在中，，∴． 【变式2】（2026·陕西咸阳·二模）桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（   ） A．米 B．米 C．米 D．5米 【答案】D 【详解】解：∵，∴（米）， 设桥洞的半径为r，则：米，根据勾股定理得：， 即，解得：，即桥洞的半径为5米． 【变式3】（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵为的直径，弦于，且，∴，∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴的面积为． 题型07 利用垂径定理求平行弦问题 【典例】（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【答案】C 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，，则，，    ，， ，此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ，此时弦与的距离为7，弦与的距离为17或7．故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图， ∵，，， ∵的直径为，∴的半径为， 在中，，， 在中，，， 当圆心O在与之间时，， 当圆心O不在与之间时，同理可得， 即和之间的距离为或．故选：A. 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵，∴，∴，， 在中，∵，，∴， 在中，∵，，∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或，故选：C． 【变式3】（25-26九年级下·四川内江·月考）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，，，， ，，，； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，，，， ，，， ．与之间的距离为或． 题型08 利用垂径定理求同心圆问题 【典例】（25-26九年级上·江苏·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D．(1) 求证：．(2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，过点 O 作于点E． ∵，∴．∴．∴． （2）解：如图，连接．∵ ∵， 【变式1】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，，∴，，， ∵，∴， ∵，∴，∴故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【答案】 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则，∵，∴， ∴，∴，∴， 解得或r（舍去），即小圆半径是，故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心，∴， ∵，∴， ∴∴（舍去负值），∴故选：C． 题型09 利用垂径定理求其他问题 【典例】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是的直径，是弦，，，故A不符合题意； 连接、，垂直平分，而但不一定平分， ，而与不一定相等，故B符合题意，不符合题意； 、都是的半径，，故C不符合题意，故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A：，，∴，正确，故该选项不合题意； B：根据题目条件无法推出，错误，故该选项符合题意； C：由及可知，垂直平分，∴， D：，，∴平分，∴，正确，故该选项不合题意．故选：B ． 【变式2】（北京市昌平区2026年九年级第一次统一练习数学试卷）如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据作图可知：，，∴，， ∴，，∵不确定大小，∴无法判断得出． 【变式3】（25-26九年级上·安徽黄山·月考）如图，在中，，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，作交于点，交于点， ∴，且，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，即， ∵，∴，∴， 在中，，即，∴，故答案为：． 题型10 垂径定理的实际应用 【典例】 （25-26九年级下·广东广州·专题练习）在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦）为，拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为．若点是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，根据题意得， ∵拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为， ∴，，，，∴点D在上， 设，则，在中，， ∴，解得，∴该圆弧的半径是． 【变式1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作直径，垂足为，设圆的半径为， ∵直径，∴，由题意可知，，∴， 在直角中，，∴，解得，∴圆的半径为． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【答案】A 【详解】解：如图，设拱门的圆心为O，连接， 设拱门的半径为r，由题意可得：米，米，点O，D，C三点共线， 米，，，，． 【变式3】（25-26九年级上·山东临沂·期末）盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接，设，则， ，， 在中，，，解得：，圆的半径为．故选：B． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·山东滨州·期中）下列命题中，错误的是（   ） A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦 B．平分弦的弦垂直于这条弦 C．垂直于弦的直径平分这条弦 D．弦的中垂线经过圆心 【答案】B 【详解】解：选项B中平分弦的弦垂直于这条弦错误，因为平分弦的弦不一定是直径，不一定垂直； 选项A正确：平分弧的直径平分这条弧所对的弦（垂径定理推论）； 选项C正确：垂直于弦的直径平分这条弦（垂径定理）； 选项D正确：弦的垂直平分线必经过圆心（圆的性质）．∴故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列说法不正确的是（  ） A．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 C．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴 D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 【答案】A 【详解】解：A．弦心距与圆的大小有关，不同圆中弦长相等时弦心距可能不相等，故原说法正确； B．不共线的三点确定一个圆，故原说法正确； C．圆关于任意直径所在的直线对称，故原说法正确； D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，故原说法正确．故选：A． 3．（2026·云南文山·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【详解】解：连接，如图， 因为是的直径，且，可得． 由于，所以．在中，，， 根据勾股定理．所以． 4．（25-26九年级下·江苏南通·月考）如图，是的直径，弦，垂足为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，∵，，∴， ∴，∴，在，， ∵是的直径，弦， ∴． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵圆的直径是，，∴，， 在中，∴，故选：A． 6．（2026·广西南宁·二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 【答案】C 【详解】解：∵点M是的中点，且经过点O，， ∴，∴． 设半径为r，则，根据勾股定理，得 ，解得，所以半径为． 7．（2026·广西南宁·二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 【答案】C 【详解】解：∵点M是的中点，且经过点O，， ∴，∴． 设半径为r，则，根据勾股定理，得 ，解得，所以半径为． 8．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，，∴，，， ∴O、D、C共线，设半径，则， 由勾股定理得，即解得，故的半径是5，故答案为：5． 9．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的直径，于M，且，则线段的长是________． 【答案】3 【详解】解：∵是的直径，于M，，∴， ∵,设，则，，， 根据勾股定理得即，解得或（舍去），∴． 10．（25-26九年级上·云南怒江·月考）如图，已知的两条弦相交于点E，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：，，，即，． 11．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，拱门的上部是一段圆弧，其圆心O在线段上，点E是弧的中点，下部是宽为，高为的长方形，已知拱门最高处E距离地面的高度为，于点P，连接．求上部圆弧的半径的长． 【答案】 【详解】解：由题意得圆心O在上，∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，设， ∵，∴， 在中，，∴，∴．∴上部圆弧的半径是． 12．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________；(2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1(2) 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴，∴，故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得，根据勾股定理得， ∴，∴小圆的半径长为． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）下列命题中，正确的个数是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦：④优弧一定长于劣弧；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】①∵ 半圆是圆的一半，属于弧，∴ ①正确； ②∵ 弦是连接圆上两点的线段，而非“部分”，∴ ②错误； ③∵ 半径是从圆心到圆上一点的线段，不是弦（弦需两端点在圆上），∴ ③错误； ④∵ 优弧和劣弧的长度比较取决于圆的大小，不在同圆中不一定成立，∴ ④错误； ⑤∵ 在同一平面内，到定点距离等于定长的点都在同一个圆上，是圆的定义，∴ ⑤正确． ∴ 正确的命题有①和⑤，共2个．故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形；②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上，∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是②③． 对于①：正方形也是轴对称图形，但不会用于当作车轮，故排除； 对于④：该描述为垂径定理的内容，与题干信息无关联，故排除；故答案为：C． 3．（25-26九年级下·陕西·期中）某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：， ∵经过圆心，∴，如图，连接， ， 设，则，由勾股定理可得， ∴，解得，∴的半径是． 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，是外接圆，，若，弦的弦心距为2，则弦的长是（   ） A．10 B． C．12 D．15 【答案】B 【详解】解：如下图，过点作，交于点，连接，过点作于点， ∵，，∴，， ∵，即，∴，∴， 在中，由勾股定理可得， 设半径为，即，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得，∴， ∵弦的弦心距为2，即，∴在中，由勾股定理可得， ∵，∴． 5．（25-26九年级上·云南楚雄·期末）如图，是直径，是上的点，于点，于点，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵，∴点为的中点， ∵是直径，∴点是的中点，∴为的中位线，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 6．（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液体的最大深度，当瓶内液体升高，则截面圆中弦的长减少了______． 【答案】 【详解】解：连接， 当瓶内液体没升高时，∵，球的半径为，∴，， 由题意得，∴点为的中点，∴，∴此时； 当瓶内液体升高时，则，，∴， 同理，得，∴此时； ∴当瓶内液体升高，则截面圆中弦的长减少了． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接，∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得，∴，故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是_______ 【答案】/150度 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E，设圆的半径为， 由题意可得：，∴∴ ∴∴；∴弧的度数是，故答案为： 9．（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 【答案】 【详解】解：如图，过作于点，延长交于点，连接，，， ∴，，， ∵，∴，∴，∴， 设为，则，∵，∴，∴， ∴这座圆形观景台的半径是． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上．(1)若点B是的中点，求证：；(2)若，，求的半径r． 【答案】(1)证明见解析(2)10 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵点是的中点，∴，∴，∴，∴； （2）解：连接,设的半径为r，，则， ∵，，∴， 在中，，∴，解得，∴的半径为． 11．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． (1)求证：；(2)利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分。 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：如图，作，于Q，连接，，， ∵，∴，，∴， ，，， ，．， ，，即； （2）解：作图如下：证明：，，， 是的垂直平分线，，．平分． 12．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：；(2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵，∴，，∴，即； （2）解：如图，连接、， ∵，∴，∵，， ∴，，∴， 设，则，， 在中，∵，∴，解得， ∴，∴，即小圆半径的值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $