专题02 反比例函数的图象与性质（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦初中数学反比例函数的图象与性质，系统梳理描点法作图步骤，图象形状、分布及对称性，增减性（强调“在每个象限内”前提），k的几何意义（含矩形、三角形等图形面积），函数图像上点的坐标特征等核心知识点，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料通过13类题型设计，每类题型配套典例与多个变式，覆盖不同难度与情境，如增减性比较函数值培养推理能力，k的几何意义结合图形面积发展几何直观。课中辅助教师系统教学，课后助力学生强化练习，查漏补缺，提升用数学语言表达数量关系的应用意识。

专题02 反比例函数的图象与性质 1. 会画反比例函数图像（描点法）；步骤：列表、描点、连线； 2. 掌握反比例函数图像形状与分布；反比例与一次函数综合图像判断；图像对称性理解； 3.增减性（核心必考）：利用增减性比较不同象限点的函数值；增减性的前提：“在每个象限内”； 4. k 的几何意义（本节重中之重）：图形含矩形、三角形、梯形、动点； 5. 函数图像上点的坐标特征。 1.反比例函数的图象与性质： 反比例函数（k≠0）具有以下图象特征和性质： 函数表达式 （k>0） （k<0） 函数图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 图象对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象所在的象限 一、三象限 二、四象限 函数变化趋势 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 2.反比例函数的几何意义：过反比例函数图象上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，这两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积不变，如下图所示。 题型01 反比例函数图象上点的特征 【典例】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：，解得，故选：A． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点，在图像上，∴，， ∵点在图像上，∴，∵，，∴，， ∴，，∴，， ∴，∴． 【变式2】（2026·北京·模拟预测）平面直角坐标系中，点和点都在反比例函数的图象上，则________． 【答案】 【详解】解：把点代入得，； 把点代入得，∴，故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ，，且，， ∴． 【变式4】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）已知点，在反比例函数的图象上，且a比b大1，则________． 【答案】6 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得，即，，∴， 由题意得，将代入，得，解得， 将代入，得，∴． 题型02 反比例函数的图象 【典例】（25-26九年级上·河北张家口·月考）反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由知，，∴反比例函数经过第二、四象限，故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·四川巴中·期中）反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵中，∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限， 所以，选项C符合题意，故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 【变式3】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）下列图象与函数图象相符的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，图象在第四象限； 当时，，图象在第三象限；∴与函数图象相符的是： ． 题型03 一次函数与反比例函数图象综合 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题目可知直线过，排除B选项， 当，反比例函数的图像在第一、三象限，直线过第一、三、四象限， 当，反比例函数的图像在第二、四象限，直线过第二、三、四象限，可知只有D符合要求．故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ，的图象在一、 三象限，在一、 二、 四象限，故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·甘肃武威·月考）已知，则函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴的图象经过二、四象限， ∵，∴的图象在一、三象限．故选： D． 【变式3】（25-26九年级下·湖南株洲·月考）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像大致是如图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由得，，∴随的增大而减小， 与轴的交点坐标为，∴一次函数的图像经过一、二、四象限； 由得，，∴反比例函数的图选经过一、三象限；故选：A． 题型04 反比例函数过象限问题 【典例】（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的图象特征是(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．只在第一象限 D．只在第四象限 【答案】B 【详解】解：∵对于反比例函数 ，∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限． 【变式1】（25-26九年级下·重庆·期中）反比例函数的图象所在象限为（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【答案】B 【详解】对于反比例函数，，反比例函数的图象位于第一、三象限． 【变式2】（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知反比例函数（m为常数，）的图像在第一、三象限，写出一个m的可能取值________． 【答案】2025 【详解】解：反比例函数的图像在第一、三象限， 则，解得，因此，m的可能取值为2025． 【变式3】（2026·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴，解得． 题型05 反比例函数图象与性质综合问题 【典例】（25-26九年级上·山西晋中·期末）关于反比例函数的图象和性质，下列说法错误的是（   ） A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称 C．图象关于直线轴对称 D．的值随值的增大而增大 【答案】D 【详解】解：A、当时，，即图象经过点，原说法正确，不符合题意； B、反比例函数图象关于原点中心对称，原说法正确，不符合题意； C、若满足，则交换得满足，即，与原方程一致，即图象关于直线轴对称，原说法正确，不符合题意； D、因为，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，原说法错误，符合题意．故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）关于反比例函数下列说法不正确的是（   ） A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上 【答案】B 【详解】解：反比例函数，，图象位于第一、三象限，A选项是正确的，不符合题意； 根据反比例函数的图象可知，图象与坐标轴无交点，C选项是正确的，不符合题意； 对于B：当时，，增大，减小，随的增大而减小，故B是错误的，符合题意； 对于D：若点在图象上，则，代入点，有， ，成立，故D是正确的，不符合题意．故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·月考）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．该反比例函数图象经过点 B．y随x的增大而增大 C．该反比例函数图象关于原点O成中心对称 D．该反比例函数图象在第一、第四象限 【答案】C 【详解】解：当时，，故该反比例函数图象不经过点，故A说法错误，不符合题意；∵，∴该反比例函数图象在第二和第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，故B和D说法都错误，不符合题意； 该反比例函数图象关于原点O成中心对称，故C说法正确符合题意；故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·山东滨州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 【答案】D 【详解】解：对于A，将代入，得，所以A选项错误，不符合题意； 对于B，因为，所以函数图象的两个分支分布在第一、三象限，所以选项B错误，不符合题意； 对于C，反比例函数的两个分支关于原点中心对称，不关于x轴对称，所以选项C错误，不符合题意； 对于D，由于，当时，图象位于第三象限，y随x的增大而减小，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 题型06 反比例函数的增减性运用（函数值或自变量比大小） 【典例】（2026年天津市和平区中考二模考试数学试题）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中，，∴图象在一、三象限，在各象限，随的增大而减小， ∵，，∴，，∴． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数，∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，， A.若，则，根据增减性得，，故不符合题意； B.若，则，根据增减性得，，即，故符合题意； C.若，则或，根据增减性得，故不符合题意； D.若，则或，根据增减性得或，故不符合题意． 【变式2】（2026·广东广州·一模）已知点和均在反比例函数的图象上，若，，则下列结论一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵反比例函数 中 ∴在每个象限内， 随 的增大而增大，且时，时 对于，，可得当时，，当时，∴ 对于，，可得当时，，当时，∴ 将两范围相加，得：即 ∵ ，∴ A选项符合范围，成立；B选项符合范围，成立； C选项不符合范围，一定不成立；D选项是范围最大值，符合范围，成立． 【变式3】（2026·河南郑州·一模）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上，且， ∴点A和点B在第二象限，点C在第四象限，∴． 【变式4】（2026·浙江舟山·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ， ∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小，∵ ，∴  . 题型07 正比例函数与反比例函数交点坐标（对称性） 【典例】（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【答案】 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称．已知一个交点坐标为，因此另一个交点坐标为． 【变式1】（25-26九年级上·湖南益阳·月考）若正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是，∴另一个交点的坐标是．故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点， ∴点B的横坐标为，将代入中，得，∴点B坐标为， ∵延长，与反比例函数的图象交于点， ∴点P与点B关于原点对称，∴点P的坐标为，故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点在反比例函数上，∴，∴点． ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴点和点关于原点对称，∴点坐标为．故选：A． 题型08 根据已知条件求反比例函数值或自变量的范围 【典例】（25-26九年级上·广东·期中）考察函数的图象，当时，_______；当时，y的取值范围是_______；当时，x的取值范围是_______． 【答案】 或 【详解】解：∵，∴把代入反比例函数解析式得： ∵，∴，；∵，∴，解得y＞-1∴， ∵， ∴， x＞-2，即，解得x≤-2 ∵当x＞0时，y＞0；∴当y＞-1时，或． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·月考）在反比例函数中，若，则x的取值范围为_________. 【答案】 【详解】解：中比例系数大于0，图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， 当时，，当时，， 若，则x的取值范围为，故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·山西·月考）观查反比例函数的图象，当时，x的取值范围是____________． 【答案】x＜﹣1或x＞0/x＞0或x＜-1 【详解】解：∵k＝2＞0，反比例函数图像位于一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∴y=-2时，，解得x=-1，    ∴当y＞-2时x＜﹣1或x＞0，故答案为x＜﹣1或x＞0． 【变式3】（2026·陕西西安·三模）已知反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：对于反比例函数，比例系数， 当时，随的增大而减小，因此当时，取得最大值； 对于反比例函数，比例系数，当时，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值；则． 【变式4】（2025·山东菏泽·模拟预测）已知反比例函数的关系式为． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … … (1)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象； (2)根据图象回答：当时，y的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1)见解析(2)(3)或 【详解】（1）解：表格完成如下： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … 画出函数图象如图所示： （2）解：如图所示： 由图象可得：当时，y的取值范围是，故答案为：. （3）解：如图所示： （3）由图象可得：当时，x的取值范围是或，故答案为：或． 题型09 根据反比例函数的增减性求参数 【典例】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 点，在反比例函数的图象上， ∴ ，，∵ ，∴ ，解得． 【变式1】（2026·四川成都·二模）已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值的增大而减小．则k的取值范围是________． 【答案】 【详解】解： 反比例函数的图象在所在象限内，的值随值的增大而减小， ，解得． 【变式2】（北京市门头沟区2026年九年级综合练数学试卷）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．如果，那么的值可以为______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，任意正数均可） 【详解】解：∵点，的横坐标都大于，两点在同一象限， ∵，∴在该象限内，随的增大而减小，∴由反比例函数的性质可得， 的值可以为，故答案为：．（答案不唯一） 【变式3】（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知点和是反比例函数（为常数，）图象上的两点，当时，，则的值可以是_____．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵当时，，∴ 在时，随的增大而减小， 根据反比例函数的性质，可得反比例函数的比例系数，解得， ∴ 可以取任意小于的数，∴ 的值可以是1（答案不唯一）． 【变式4】（2026·陕西西安·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】解：在反比例函数中，当时，，∴，∴ ． 题型10 待定系数法求反比例函数解析式 【典例】（25-26九年级上·北京·期中）如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 反比例函数图像过点，，反比例函数的表达式为． 【变式1】（2026·河南南阳·一模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和点，与轴交于点和，点A、B的刻度分别为和，直尺的宽度为．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)沿轴正方向平移直尺，当的中点恰好落在双曲线上时，求平移的距离． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：根据题意，得，．∴， ∵双曲线经过点，∴，∴双曲线的表达式为． ∵，则，∴； （2）解：∵．∴中点的纵坐标为， 当时，，解得：，∴平移的距离是． 【变式2】（25-26九年级上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求出它的表达式；(2)画出它在第一象限的图象；(3)当自变量x从2增大到4时，函数值y是怎样变化的？ 【答案】(1)(2)见解析(3)y从6减小到3 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为：， ∵反比例函数的图像经过点，∴， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：当时，则，当时，则， 故反比例函数在第一象限的图象如下图所示： （3）解：反比例函数中，则反比例函数在第一象限内随着x的增大而减小， 当时，，当时，，则当自变量x从2增大到4时，y从6减小到3． 题型11 根据一次函数与反比例函数值的大小求自变量范围 【典例】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：反比例函数是以点O为对称中心的中心对称图形，点B与点A关于原点对称， 点A的横坐标为，点B的横坐标为1， 由图象可知，当时，x的取值范围是或．故选：D． 【变式1】（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式．(2)请直接写出一次函数大于反比例函数时，x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为(2)或 【详解】（1）解：将代入反比例函数可得，∴，∴反比例函数的表达式为； 将代入反比例函数可得，即，∴， 将，代入一次函数的表达式可得，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象可得：一次函数大于反比例函数时，x的取值范围为或． 【变式2】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值时的的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为(2)或 【详解】（1）解：将代入，得，∴反比例函数的表达式为； ∵反比例函数的图象过点，∴，解得，∴点B的坐标为， 将，代入，得，解得，∴一次函数的表达式为． （2）解：根据图象可知，一次函数值小于反比例函数值时的x取值范围：或． 【变式3】（25-26九年级下·江西新余·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图象直接写出不等式时x的取值范围； 【答案】(1)，；(2)或 【详解】（1）解：将代入，得，所以反比例函数的表达式为． 将代入，得，所以． 将，代入，得，解得， 所以一次函数的表达式为； （2）解：，， 由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围为或， 的取值范围为或． 题型12 反比例函数k的几何意义 【典例】（2026·福建莆田·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，∴设， ∵平行 轴，∴， ∴， ∵， ∴，∴， 即 ，只有符合题意． 【变式1】（2026·湖南岳阳·一模）如图，点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，交y轴于点B．则四边形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【详解】解：∵点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A， ∴，，∵，∴四边形为平行四边形，∴四边形的面积. 【变式2】（2026·湖南湘潭·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点， ∴点A与点C关于原点对称，∴， ∵作轴于点，∴，∴的面积． 【变式3】（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴的正半轴上，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【详解】解：如图，连接，∵轴，∴，∴． 【变式4】（2026·安徽·二模）如图，点在双曲线（且）上，作轴于点A，轴于点C，将四边形绕点A顺时针旋转得到四边形，若双曲线经过的中点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得，， ∵将四边形绕点A顺时针旋转得到四边形， ∴，，∴，∴，， ∵点P是的中点，∴， ∵点B和点P都在双曲线（且）上，∴，整理得． 【变式5】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 【答案】 【详解】解：如图，设过点A，B作x轴和y轴的垂线的垂足分别为，与交于点，两个空白的矩形面积分别表示为， ∵点A、B是双曲线上的点，， 即，∴， ∵图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，∴， 又∵反比例函数图象经过第二象限，∴．∴． 【变式6】（2026·安徽亳州·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：如图，延长交y轴于D，则四边形为矩形． ∵点在双曲线上，点在双曲线上，∴，， ∴四边形的面积． 【变式7】（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，若点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为________． 【答案】1 【详解】解：点P在上，轴于点A，交于点B，且是，是， ，，． 题型13 反比例函数中的面积问题 【典例】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴交于点，已知点的横坐标为8，的纵坐标为． (1)求反比例函数的解析式．(2)连接、，求的面积． 【答案】(1)(2)12 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为8，点B的纵坐标为，∴设， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，∴， 解得，∴，∴，∴反比例函数解析式为； （2）解：如图，∵反比例函数解析式为，点的横坐标为8，∴点的纵坐标为2，∴； ∵一次函数的图象与y轴交于点C，∴，∴， ∴的面积． 【变式1】（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)是轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解：将点代入，得，． 将点代入，得，反比例函数的表达式为． （2）解：联立方程组，解得或，∴， 在中，令，解得，∴． 设，如图，∵，即， ，∴或，或． 【变式2】（2026·山东烟台·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B．(1)根据所给条件，请直接写出不等式的解集______；(2)求反比例函数的表达式；(3)轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接、、，当时，求的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：观察函数图象，点A左侧，反比例函数的图象在直线上方，再结合题目给出的条件，所以不等式成立的解集为：； （2）解：过点，代入直线解析式，得：，即点， 反比例函数也过点A，代入得：， 所以反比例函数的表达式为：． （3）解：如图所示，过点P作，垂足为点D， 轴于点C，点A的坐标为，， ，，点P的纵坐标为2， 把代入，解得．，． 在中，当，解得，，， ，． 【变式3】（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)或；(3)或． 【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上， ．．反比例函数的解析式为，． ，两点都在一次函数的图象上， 解得一次函数的解析式为． （2）解：由图可知，当或时，不等式． （3）解：存在．如图，过点B作轴，垂足为D． ，，，．，．． ，．设点P的横坐标为， 则．．或． 当点P在上，则或．点P的坐标为或． 【巩固训练】 1．（2025·河北邯郸·一模）双曲线上横，纵坐标都是整数的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：点的横，纵坐标都是整数，自变量的取值有：共6个．故选：C 2．（25-26九年级下·江苏泰州·月考）已知点，都是反比例函数图象上的点，并且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵反比例函数中，，∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵，∴点A，B都在第三象限，可得，，排除A，B选项； ∵当时，反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小. 又∵，∴，综上可得． 3．（2026·辽宁沈阳·一模）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【详解】解：A选项将代入，得，∴图象不经过点，A选项错误； B选项 ∵ 反比例函数中∴图象位于第二、第四象限，B选项错误； C选项 当时，∵；∴；又∵，得 不等式两边同乘，不等号方向改变，得，即；∴，C选项正确； D选项 ∵，当时，随的增大而增大，不是减小，∴ D选项错误 4．（25-26九年级下·湖南长沙·月考）若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，∴，解得．故选：C． 5．（2026·山东济宁·一模）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，B选项符合； 当时，反比例函数的图象位于二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，没有符合的选项， 综上，符合题意的选项为B． 6．（25-26九年级下·重庆·月考）如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知，，∴， ∵函数图象在第二象限，∴，∴． 7．（25-26九年级下·福建厦门·月考）点在双曲线上，若点B也在此双曲线上，则点B的坐标可以是_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵点在双曲线上，∴，解得， ∵反比例函数中为定值，∴即可，∴点B的坐标可以是． 8．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：设，点与点关于y轴对称，点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， ，解得：，故答案为：． 9．（25-26九年级上·广西北海·期末）反比例函数的图象经过点， (1)求这个函数的解析式；(2)请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)(2)不在，理由见解析(3) 【详解】（1）解：代入到，得，解得，∴这个函数的解析式为； （2）解：不在，理由如下：当时，，∴点不在这个反比例函数的图象上； （3）解：∵，∴在每一个象限内随的增大而增大， 当时，；当时，；∴当时，的取值范围为． 10．（2026·四川南充·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，．(1)求k的值；(2)求的面积；(3)直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：一次函数的图象过， 解得．．把代入，得：，解得； （2）解：一次函数的图象过，，解得．． 一次函数的图象与y轴交于点C，．．． （3）解：由图象得，当时，x的取值范围是或． 11．（25-26八年级下·重庆·期中）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点．(1)求和的值，并画出这个反比例函数的图像；(2)根据反比例函数图像，指出当时，的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：根据题意，将代入，解得， ∴ 交点坐标为，再代入反比例函数中，解得，∴ 反比例函数解析式为， 列出几组、的对应值： 描点连线，即可画出函数图像，如图： （2）当时，，根据图像可知，当时，．故当时，的取值范围是． 12．（2026·广东珠海·二模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为．(1)求一次函数的解析式；(2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 【答案】(1)(2)点C的坐标为或 【详解】（1）解：∵B点在一次函数的图象上，B点坐标为， ∴将B点坐标代入中，可得：，解得：，∴一次函数的解析式为． （2）解：∵B点在反比例函数的图象上，B点坐标为， ∴将B点坐标代入中，可得：，∴反比例函数的解析式为．     ∵点P为线段上的一点，∴设， ∵轴，与反比例函数的图象交于点C，∴， ∵点C为中点，轴，点H在y轴上，∴，∴， ∵点C在反比例函数图象上，∴，即， 解得：，，∴点C的坐标为或． 【强化训练】 1．（2026 天津 模拟预测），，都在反比例函数的图象上，且，则，和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 反比例函数为 ，∴ ， ∴ 反比例函数图象在第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大， ∵ ，∴ 点A、B在第四象限，点C在第二象限，∴ ，，， 又∵ 第四象限内 ，∴ ，综上可得． 2．（2026·浙江舟山·一模）如图，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点．当时，的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵平行于轴的直线交反比例函数的图象于点， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 在第一象限时，当时，，在第三象限时，恒成立，符合题意， ∴当时，的取值范围是或． 3．（25-26九年级下·山东威海·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，连接．若四边形的面积为12，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：如图所示，延长交轴于点， ∵，轴，∴轴，∴四边形为矩形， ∵点在反比例函数的图象上，∴设点，∴，， ∵，∴，∴，∵四边形的面积为12， ∴，∴， 即，解得． 4．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点．点从点出发，沿轴向右以每秒个单位长度的速度运动，以点为顶点作等腰直角三角形，点在反比例函数的图象上，点在轴上且在点的右侧，．则在点运动过程中，时间每增加1秒，四边形的面积都会（    ） A．增加 B．增加 C．增加1 D．增加 【答案】D 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴 ∴，，∴，∴反比例函数的解析式为； 设，则，运动时间为t秒； ∵点B在反比例函数的图象上，∴ ∴； ∵等腰直角三角形中，，∴， ∴，∴，∴， ∵，且， ∴在点运动过程中，时间每增加1秒，四边形的面积都会增加a． 5．（25-26八年级下·海南·期中）已知点与点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：反比例函数中， 函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 点在第一象限，，，∴． 6．（2026·福建福州·二模）如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______． 【答案】12 【详解】正比例函数与反比例函数的交点、关于原点对称，因此设，则（其中）， 由，可知：，解得，，即点的坐标为， 将代入双曲线：,故. 7．（2026·陕西·一模）已知反比例函数，当时，函数的最大值与最小值之差为3，则__________． 【答案】 【详解】解：，在第四象限，随的增大而增大， 当时，函数的最大值为，最小值为， 当时，函数的最大值与最小值之差为3，，解得． 8．（2026年黑龙江省（齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区）校联考中考二模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接交于点E，若，四边形的面积为9，则k的值为______． 【答案】36 【详解】解：∵轴，轴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 9．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点．(1)求双曲线的表达式和a，b的值；(2)请直接写出使得的x的取值范围；(3)若的面积为12，求此时C点的坐标．(4)若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值y的取值范围． 【答案】(1)，(2)或(3)(4)或 【详解】（1）解：双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上， 故，，解得，故点，点，故，解得， 故反比例函数的表达式为． （2）解：根据题意，得，的交点为点，点， ，故x的取值范围为或； （3）解：根据函数的交点分别为点，点，设点，根据题意，得， 由的面积为12，，解得，故点． （4）解：点也在反比例函数的图像上， 当时，；当时，； 根据反比例函数的性质，得y随x的增大而减小，故函数值y的取值范围为或． 10．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式；(2)利用图象，直接写出不等式的解集；(3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在， 【详解】（1）解：将，代入中得，，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ，解得，则一次函数解析式为； （2）解：观察函数图像可知，当时，或； （3）解：对于，当时，，当时，，则，， 设，则，， ，，，则点的坐标为． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数的图象与性质 1. 会画反比例函数图像（描点法）；步骤：列表、描点、连线； 2. 掌握反比例函数图像形状与分布；反比例与一次函数综合图像判断；图像对称性理解； 3.增减性（核心必考）：利用增减性比较不同象限点的函数值；增减性的前提：“在每个象限内”； 4. k 的几何意义（本节重中之重）：图形含矩形、三角形、梯形、动点； 5. 函数图像上点的坐标特征。 1.反比例函数的图象与性质： 反比例函数（k≠0）具有以下图象特征和性质： 函数表达式 （k>0） （k<0） 函数图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 图象对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象所在的象限 一、三象限 二、四象限 函数变化趋势 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 2.反比例函数的几何意义：过反比例函数图象上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，这两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积不变，如下图所示。 题型01 反比例函数图象上点的特征 【典例】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·北京·模拟预测）平面直角坐标系中，点和点都在反比例函数的图象上，则________． 【变式3】（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 【变式4】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）已知点，在反比例函数的图象上，且a比b大1，则________． 题型02 反比例函数的图象 【典例】（25-26九年级上·河北张家口·月考）反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·四川巴中·期中）反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）下列图象与函数图象相符的是（    ） A．B．C．D． 题型03 一次函数与反比例函数图象综合 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B．C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·甘肃武威·月考）已知，则函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级下·湖南株洲·月考）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像大致是如图中的（    ） A． B． C． D． 题型04 反比例函数过象限问题 【典例】（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的图象特征是(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．只在第一象限 D．只在第四象限 【变式1】（25-26九年级下·重庆·期中）反比例函数的图象所在象限为（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【变式2】（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知反比例函数（m为常数，）的图像在第一、三象限，写出一个m的可能取值________． 【变式3】（2026·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 题型05 反比例函数图象与性质综合问题 【典例】（25-26九年级上·山西晋中·期末）关于反比例函数的图象和性质，下列说法错误的是（   ） A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称 C．图象关于直线轴对称 D．的值随值的增大而增大 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）关于反比例函数下列说法不正确的是（   ） A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·月考）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．该反比例函数图象经过点 B．y随x的增大而增大 C．该反比例函数图象关于原点O成中心对称 D．该反比例函数图象在第一、第四象限 【变式3】（25-26九年级上·山东滨州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 题型06 反比例函数的增减性运用（函数值或自变量比大小） 【典例】（2026年天津市和平区中考二模考试数学试题）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（2026·广东广州·一模）已知点和均在反比例函数的图象上，若，，则下列结论一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·河南郑州·一模）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式4】（2026·浙江舟山·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 题型07 正比例函数与反比例函数交点坐标（对称性） 【典例】（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【变式1】（25-26九年级上·湖南益阳·月考）若正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为_________． 【变式2】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______． 【变式3】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型08 根据已知条件求反比例函数值或自变量的范围 【典例】（25-26九年级上·广东·期中）考察函数的图象，当时，_______；当时，y的取值范围是_______；当时，x的取值范围是_______． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·月考）在反比例函数中，若，则x的取值范围为_________. 【变式2】（25-26九年级上·山西·月考）观查反比例函数的图象，当时，x的取值范围是____________． 【变式3】（2026·陕西西安·三模）已知反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则的值为___________． 【变式4】（2025·山东菏泽·模拟预测）已知反比例函数的关系式为． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … … (1)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象；(2)根据图象回答：当时，y的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，x的取值范围是 ． 题型09 根据反比例函数的增减性求参数 【典例】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·四川成都·二模）已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值的增大而减小．则k的取值范围是________． 【变式2】（北京市门头沟区2026年九年级综合练数学试卷）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．如果，那么的值可以为______（写出一个即可）． 【变式3】（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知点和是反比例函数（为常数，）图象上的两点，当时，，则的值可以是_____．（只写一个） 【变式4】（2026·陕西西安·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是______. 题型10 待定系数法求反比例函数解析式 【典例】（25-26九年级上·北京·期中）如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南南阳·一模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和点，与轴交于点和，点A、B的刻度分别为和，直尺的宽度为．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)沿轴正方向平移直尺，当的中点恰好落在双曲线上时，求平移的距离． 【变式2】（25-26九年级上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求出它的表达式；(2)画出它在第一象限的图象；(3)当自变量x从2增大到4时，函数值y是怎样变化的？ 题型11 根据一次函数与反比例函数值的大小求自变量范围 【典例】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式．(2)请直接写出一次函数大于反比例函数时，x的取值范围． 【变式2】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值时的的取值范围． 【变式3】（25-26九年级下·江西新余·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图象直接写出不等式时x的取值范围； 题型12 反比例函数k的几何意义 【典例】（2026·福建莆田·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ） A．1 B． C． D． 【变式1】（2026·湖南岳阳·一模）如图，点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，交y轴于点B．则四边形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【变式2】（2026·湖南湘潭·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3】（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴的正半轴上，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【变式4】（2026·安徽·二模）如图，点在双曲线（且）上，作轴于点A，轴于点C，将四边形绕点A顺时针旋转得到四边形，若双曲线经过的中点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 【变式6】（2026·安徽亳州·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式7】（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，若点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为________． 题型13 反比例函数中的面积问题 【典例】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴交于点，已知点的横坐标为8，的纵坐标为．(1)求反比例函数的解析式．(2)连接、，求的面积． 【变式1】（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)是轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【变式2】（2026·山东烟台·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B．(1)根据所给条件，请直接写出不等式的解集______；(2)求反比例函数的表达式；(3)轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接、、，当时，求的面积． 【变式3】（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集；(3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固训练】 1．（2025·河北邯郸·一模）双曲线上横，纵坐标都是整数的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 2．（25-26九年级下·江苏泰州·月考）已知点，都是反比例函数图象上的点，并且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁沈阳·一模）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而减小 4．（25-26九年级下·湖南长沙·月考）若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 5．（2026·山东济宁·一模）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·重庆·月考）如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·福建厦门·月考）点在双曲线上，若点B也在此双曲线上，则点B的坐标可以是_____（写出一个即可）． 8．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为______． 9．（25-26九年级上·广西北海·期末）反比例函数的图象经过点，(1)求这个函数的解析式；(2)请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．(3)当时，直接写出的取值范围． 10．（2026·四川南充·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，．(1)求k的值；(2)求的面积；(3)直接写出时x的取值范围． 11．（25-26八年级下·重庆·期中）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点．(1)求和的值，并画出这个反比例函数的图像；(2)根据反比例函数图像，指出当时，的取值范围． 12．（2026·广东珠海·二模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为．(1)求一次函数的解析式；(2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 【强化训练】 1．（2026 天津 模拟预测），，都在反比例函数的图象上，且，则，和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·一模）如图，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点．当时，的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 3．（25-26九年级下·山东威海·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，连接．若四边形的面积为12，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点．点从点出发，沿轴向右以每秒个单位长度的速度运动，以点为顶点作等腰直角三角形，点在反比例函数的图象上，点在轴上且在点的右侧，．则在点运动过程中，时间每增加1秒，四边形的面积都会（    ） A．增加 B．增加 C．增加1 D．增加 5．（25-26八年级下·海南·期中）已知点与点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 6．（2026·福建福州·二模）如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______． 7．（2026·陕西·一模）已知反比例函数，当时，函数的最大值与最小值之差为3，则__________． 8．（2026年黑龙江省（齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区）校联考中考二模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接交于点E，若，四边形的面积为9，则k的值为______． 9．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点．(1)求双曲线的表达式和a，b的值；(2)请直接写出使得的x的取值范围；(3)若的面积为12，求此时C点的坐标．(4)若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值y的取值范围． 10．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式；(2)利用图象，直接写出不等式的解集；(3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $