精品解析：河北唐山市丰南区银丰镇中学2026-2027学年九年级上学期数学第一次学业测评

九年级数学第一次学业测评 一、选择题（每小题2分，共24分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程是只有一个未知数且未知数次数为2的整式方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐项判断即可． 【详解】解：A： 含有分式，不是整式方程，不符合题意； B： 中，若，则方程变为一次方程，因此不一定是二次方程，不符合题意； C： 展开后为，是整式方程且最高次数为2，符合定义． D：，展开右边得合并后方程为，化简得，为一次方程，不符合题意． 故选C． 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根． 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 5. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 24或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高=，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：， ， 或， 所以，， 当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积， 当第三边长为10时，∵, ∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积． 故选C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直角三角形的判定和勾股定理的应用． 6. 方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法解答即可． 【详解】解：∵x2+5x+=0， ∴x2+5x=-， ∴x2+5x+=-+， ∴（x+）2=6； 故选B． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，属于基础题目，掌握求解的方法是关键． 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 8. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 9. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 10. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 11. 已知是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2029 B. 2028 C. 2027 D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 12. 对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 14. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 16. 已知a，b，4分别是一个等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程的两个根，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：一是腰长为，即或；二是，即腰长为，底边为，分别计算的值并验证三角形是否成立即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系得， 分两种情况计算： 当为腰长，即或时， 将代入方程得：， 解得， 此时方程为，解得另一个根为， 三角形三边长为，符合三角形三边关系，满足题意； 当，即为腰长时， 此时方程有两个相等的实数根，判别式， 解得， 此时方程为，解得， 三角形三边长为，符合三角形三边关系，满足题意； 综上，的值为或． 三、解答题 17. 解下列方程 （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ， ， ，； 【小问3详解】 解： 或 ，； 【小问4详解】 解： 或 ，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 【答案】（1）k＜；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； （2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值． 【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得：k＜； （2）∵k为正整数， ∴k=1或2． 当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意； 当k=2时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意． ∴k的值为2． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 20. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 【答案】（1）三边长分别为，， （2）不能，理由如下： 假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 化简得， ∵， ∴该方程没有实数根． 故假设不成立，即不能围成面积为的长方形围栏． 【解析】 【分析】（1）设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，然后利用面积公式列出方程即可； （2）假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，根据“围栏的面积围栏长宽”即可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， ∴三边长分别为，，； 【小问2详解】 略 21. 我们在八年级学过多边形的对角线． （1）若一个多边形有条对角线，求它的边数； （2）是否存在一个多边形，它有条对角线？若存在，求出它的边数；若不存在，说明理由． 【答案】（1）该多边形的边数为 （2）不存在这样的多边形， 理由：设多边形的边数为，由多边形对角线总数公式得， 整理得， 解得， 多边形的边数为正整数，而均不是正整数， 不存在有条对角线的多边形． 【解析】 【分析】（1）设多边形的边数为，根据多边形对角线总数公式列方程即可求解； （2）设多边形的边数为，由多边形对角线总数公式列方程求出，结合多边形的边数为正整数，即可判断． 【小问1详解】 解：设多边形的边数为， 根据题意可得， 解得，， 多边形的边数为正整数， ， 答：它的边数是8； 【小问2详解】 略 22. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次学业测评 一、选择题（每小题2分，共24分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 24或 D. 6. 方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 6 10. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2029 B. 2028 C. 2027 D. 2026 12. 对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 14. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 16. 已知a，b，4分别是一个等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程的两个根，则______． 三、解答题 17. 解下列方程 （1）． （2）． （3）． （4）． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 20. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 21. 我们在八年级学过多边形的对角线． （1）若一个多边形有条对角线，求它的边数； （2）是否存在一个多边形，它有条对角线？若存在，求出它的边数；若不存在，说明理由． 22. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $