第2章 分式与分式方程（单元自测卷）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 分式与分式方程 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 2.解分式方程，去分母后正确的整式方程是（     ） A． B． C． D． 3.分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 4.下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 5.“五一”劳动节，某游乐园举行旅游文化节，几个同学合租一辆大巴车去游览，大巴车的租价是1200元．出发时，有6个同学临时有事去不了，结果每名同学比原来多分摊了10元租车费．若由已知信息列出方程，则方程中表示（     ） A．实际参加游览每名同学需要分摊的车费（单位：元） B．实际参加游览的同学人数（单位：个） C．原来每名同学需要分摊的车费（单位：元） D．原来参加游览的同学人数（单位：个） 6.若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（     ） A．4 B． C．3 D． 7.如图是某同学分式化简的部分计算过程，其中“”不小心被老师擦去了，则被擦去的部分是（    ） A． B． C． D． 8.已知，则分式的值为（     ） A．2 B． C． D．8 9.《九章算术》中记载这样一道问题：现将一份文书送往距离里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多天；若用快马递送，所需时间比规定时间少天．已知快马速度是慢马速度的倍，求规定的递送时间．设规定的递送时间为天，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 10.若（且），，，…，，则等于（     ） A．a B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 12.若，则______． 13.若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 _____． 14.已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 15.已知，，，，则______． 16.关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 _______ ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算 (1) (2) 18.（6分）解方程： (1)； (2)5． 19．（8分）先化简，再求值：从0，1，2，3中选一个适当的数x，代入求值． 20.（8分）若关于x的分式方程无解，求参数a的值． 21.（10分）对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 22.（10分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)写出第5个等式； (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的猜想； (3)利用猜想的结论，计算的值． 23.（12分）项目式学习问题：迎接的智能机器人采购与工程规划 背景：2026年亚太经合组织（）非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵2万元．若用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款的采购数量相等． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期10天．若A、B两机器人合作8天，余下工作由B机器人单独完成，可提前2天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为48千米；B款机器人每日巡逻路程为32千米．街道办拟购买两种机器人共8台，要求每日巡逻总路程不低于320千米，且总费用不超过90万元． (1)任务一：机器人单价计算 求A款机器人与B款机器人单价，设B款机器人的单价为万元，请根据素材列出分式方程，不用求解 (2)任务二：巡逻工程规定日期 根据素材二，求该项工程规定日期多少天？ (3)任务三：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A，B款机器人各购买多少台？哪种方案最划算？ 24．（12分）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 分式与分式方程 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，有公因式，不是最简分式． B、，有公因式，不是最简分式． C、的分子分母有公因数，不是最简分式． D、分子无法因式分解，与分母无公因式，是最简分式． 2.解分式方程，去分母后正确的整式方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 两边同乘以，得：． 3.分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 【答案】D 【分析】将扩大3倍后的a、b代入分式，化简后与原分式比较得到倍数关系． 【详解】解：把a、b都扩大为原来的3倍，代入分式得， 故分式的值扩大为原来的3倍． 4.下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式加减法法则分别计算各选项，即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算正确，符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 5.“五一”劳动节，某游乐园举行旅游文化节，几个同学合租一辆大巴车去游览，大巴车的租价是1200元．出发时，有6个同学临时有事去不了，结果每名同学比原来多分摊了10元租车费．若由已知信息列出方程，则方程中表示（     ） A．实际参加游览每名同学需要分摊的车费（单位：元） B．实际参加游览的同学人数（单位：个） C．原来每名同学需要分摊的车费（单位：元） D．原来参加游览的同学人数（单位：个） 【答案】C 【分析】根据方程中常数项6的实际意义，判断分式表示的量，推导x的含义． 【详解】解：方程中常数6为人数，故与均表示人数， 由总费用与每人分摊费用、人数的关系，可知x和表示每人分摊的车费， ∵实际每名同学比原来多分摊10元， ∴为实际每人分摊的车费，x为原来每人分摊的车费． 6.若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴满足 解得： 故选：D． 7.如图是某同学分式化简的部分计算过程，其中“”不小心被老师擦去了，则被擦去的部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解：被擦去的部分是 ， 故选B． 8.已知，则分式的值为（     ） A．2 B． C． D．8 【答案】A 【分析】将待求分式的分子分母同除以，转化为含已知式的形式，整体代入求值． 【详解】解：由题意得，， 将的分子、分母同时除以，得， ∵， ∴原式． 9.《九章算术》中记载这样一道问题：现将一份文书送往距离里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多天；若用快马递送，所需时间比规定时间少天．已知快马速度是慢马速度的倍，求规定的递送时间．设规定的递送时间为天，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别表示出快、慢马的速度，再根据快马速度是慢马速度的倍列方程即可． 【详解】解：∵规定时间为天，慢马所需时间比规定时间多2天，快马所需时间比规定时间少3天， ∴慢马走完全程的时间为天，快马走完全程的时间为天， ∵总路程为900里， ∴慢马速度为，快马速度为， ∵快马速度是慢马速度的2倍， ∴． 10.若（且），，，…，，则等于（     ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】计算数列前几项确定循环周期，结合余数求解对应项． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ......， ∴这列数每3个数为一个循环，依次为，，， ∵， ∴等于． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】 【分析】根据分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，分别求出和的值，再计算． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴，解得 ． ∵时，分式的值为， ∴， 解得 ． ∴． 12.若，则______． 【答案】3 【分析】将等式右侧通分，再比较等式的两边，得出分子相等，利用多项式对应系数相等列方程组，解方程组即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得． ∴． 13.若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 _____． 【答案】或/或 【分析】先确定分式方程可能的增根，将分式方程化为整式方程，再分别代入增根计算得到的值. 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令，得分式方程可能的增根为 或， 方程两边同乘 ，得， 展开整理得， 将 代入上式，得，解得 ； 将代入上式，得，解得； 综上所述，的值为或. 14.已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 【答案】且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为负数，结合分式方程有意义的条件（分母不为0）求解k的取值范围即可． 【详解】解：给分式方程两边同乘， 化为整式方程得 ， 展开整理得 ，解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，得， 又∵分式方程中分母不为0，即， ∴，得， ∴k的取值范围为且． 15.已知，，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质与化简求值，熟练掌握分式的性质是解题的关键，根据分式的性质得到，，，整理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 16.关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 _______ ． 【答案】19 【分析】本题考查根据不等式组的解集确定参数范围，根据分式方程解的情况求参数，掌握解不等式组与解分式方程的方法是解题关键，先解不等式组得到的取值范围，再解分式方程，结合解为非负数且分母不为零进一步确定的范围，最后找出所有符合条件的整数求和即可． 【详解】解： ， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 根据“同小取小”可得， 解分式方程， 解得， 分式方程的解为非负数， 且，即，且， 解得，且， 综上可得，且， 则满足条件的整数为， 所有满足条件的整数的和为． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算 (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18.（6分）解方程： (1)； (2)5． 【详解】（1）解： ， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的增根， 所以原分式方程无解. （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 19．（8分）先化简，再求值：从0，1，2，3中选一个适当的数x，代入求值． 【分析】先根据分式运算法则、完全平方公式和平方差公式化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的的值，代入计算得到结果． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件，得，，， ∴只能选取， 将代入得，原式． 20.（8分）若关于x的分式方程无解，求参数a的值． 【分析】本题考查了解分式方程；先按照解分式方程的过程求出x，再根据方程无解的情况即可求得a的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得：， 当时，方程无解，从而分式方程无解， 解得：； 当时，方程解为， 分式方程的增根为或， 当时，解得； 当时，解得； 综上，分式方程无解时，a的值为． 21.（10分）对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)， ， (2)的值为或 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）仿照例题得到，则可推出是整数，结合x为正整数得到或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∵分式的值为正整数， ∴为正整数， ∴一定是整数， ∵x为正整数， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去，此时的值为负数）, ∴的值为或. 22.（10分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)写出第5个等式； (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的猜想； (3)利用猜想的结论，计算的值． 【分析】本题考查了数字变化类，找出变化规律是解题的关键． （1）根据题中的式子得出规律求解； （2）根据题中的式子得出规律，写出一般通式； （3）利用（2）中的规律，化简求值即可． 【详解】（1）解：第5个等式为：， 故答案为：， （2）解：第个等式为：， 证明：右边 左边； 故答案为：； （3）解：∵ ． 23.（12分）项目式学习问题：迎接的智能机器人采购与工程规划 背景：2026年亚太经合组织（）非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵2万元．若用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款的采购数量相等． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期10天．若A、B两机器人合作8天，余下工作由B机器人单独完成，可提前2天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为48千米；B款机器人每日巡逻路程为32千米．街道办拟购买两种机器人共8台，要求每日巡逻总路程不低于320千米，且总费用不超过90万元． (1)任务一：机器人单价计算 求A款机器人与B款机器人单价，设B款机器人的单价为万元，请根据素材列出分式方程，不用求解 (2)任务二：巡逻工程规定日期 根据素材二，求该项工程规定日期多少天？ (3)任务三：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A，B款机器人各购买多少台？哪种方案最划算？ 【分析】（1）设B款机器人的单价为x万元，则A款机器人的单价为万元，根据“用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款的采购数量相等”即可列出方程； （2）设该项工程规定日期天，则A机器人单独完成需要天，B机器人单独完成需要天，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （3）设A款机器人购买台，则B款机器人购买台，根据题意列出关于的一元一次不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：设B款机器人的单价为x万元，则A款机器人的单价为万元， 由题意可得； （2）解：设该项工程规定日期天，则A机器人单独完成需要天，B机器人单独完成需要天， ∴A机器人的工作效率为，B机器人的工作效率为， 由题意可得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴该项工程规定日期天； （3）解：解方程，得 ， 经检验，是原分式方程的解， ∴（万元） 即A款机器人的单价为12万元，B款机器人的单价为10万元， 设A款机器人购买台，则B款机器人购买台，由题意可得 ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∵为整数， ∴或， 方案一：当时，购买A款机器人台，购买B款机器人台，所花费用为（万元）， 方案二：当时，购买A款机器人台，购买B款机器人3台，所花费用为（万元）， ∵， ∴有两种购买方案，方案一：购买A款机器人台，购买B款机器人台；方案二：购买A款机器人台，购买B款机器人3台；方案一更划算． 24．（12分）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． （1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式的值为正整数．为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， ， 与B是互为“和整分式”，“和整数值”； （2）解：①∵， ∴ ， ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴， ∴； ②∵，且分式的值为正整数为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）解：由题意可得：， ， ， ， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 当时， 解得：， 当，方程有增根， ， 解得：， 综上：的值为：1或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 分式与分式方程（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D B C D B A A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．3 13．或/或 14．且 15． 16．19 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）（1）解： （2分） ；（3分） （2）解： （4分） （5分） ．（6分） 18．（6分）（1）解： ， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得，（1分） 检验：当时，， 所以是分式方程的增根，（2分） 所以原分式方程无解.（3分） （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得，（4分） 检验：当时，，（5分） 所以原分式方程的解是．（6分） 19．（8分）解： （2分） （3分） ，（5分） 根据分式有意义的条件，得，，， ∴只能选取，（7分） 将代入得，原式．（8分） 20．（8分）解：方程两边同乘，得， 整理得：，（1分） 当时，方程无解，从而分式方程无解， 解得：；（3分） 当时，方程解为， 分式方程的增根为或， 当时，解得；（5分） 当时，解得；（7分） 综上，分式方程无解时，a的值为．（8分） 21．（10分）（1）解：，（2分） ∴；（4分） （2）解：，（5分） ∵分式的值为正整数， ∴为正整数， ∴一定是整数，（7分） ∵x为正整数， ∴或，（8分） 解得或（舍去）或或（舍去，此时的值为负数）, ∴的值为或.（10分） 22．（10分）（1）解：第5个等式为：， 故答案为：，（2分） （2）解：第个等式为：，（4分） 证明：右边 左边；（7分） （3）解：∵ （9分） ．（10分） 23．（12分）（1）解：设B款机器人的单价为x万元，则A款机器人的单价为万元， 由题意可得；（3分） （2）解：设该项工程规定日期天，则A机器人单独完成需要天，B机器人单独完成需要天， ∴A机器人的工作效率为，B机器人的工作效率为， 由题意可得，（5分） 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，（6分） ∴该项工程规定日期天；（7分） （3）解：解方程，得 ， 经检验，是原分式方程的解， ∴（万元） 即A款机器人的单价为12万元，B款机器人的单价为10万元，（8分） 设A款机器人购买台，则B款机器人购买台，由题意可得 ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∵为整数， ∴或，（10分） 方案一：当时，购买A款机器人台，购买B款机器人台，所花费用为（万元）， 方案二：当时，购买A款机器人台，购买B款机器人3台，所花费用为（万元）， ∵， ∴有两种购买方案，方案一：购买A款机器人台，购买B款机器人台；方案二：购买A款机器人台，购买B款机器人3台；方案一更划算．（12分） 24．（12分）（1）解：， ， 与B是互为“和整分式”，“和整数值”；（3分） （2）解：①∵， ∴ ，（5分） ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴， ∴；（6分） ②∵，且分式的值为正整数为正整数， ∴或， ∴（舍去）；（9分） （3）解：由题意可得：， ， ， ， 整理得：，（10分） ∵方程无解， ∴或方程有增根， 当时， 解得：， 当，方程有增根， ， 解得：， 综上：的值为：1或．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 分式与分式方程 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 2.解分式方程，去分母后正确的整式方程是（     ） A． B． C． D． 3.分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 4.下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 5.“五一”劳动节，某游乐园举行旅游文化节，几个同学合租一辆大巴车去游览，大巴车的租价是1200元．出发时，有6个同学临时有事去不了，结果每名同学比原来多分摊了10元租车费．若由已知信息列出方程，则方程中表示（     ） A．实际参加游览每名同学需要分摊的车费（单位：元） B．实际参加游览的同学人数（单位：个） C．原来每名同学需要分摊的车费（单位：元） D．原来参加游览的同学人数（单位：个） 6.若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（     ） A．4 B． C．3 D． 7.如图是某同学分式化简的部分计算过程，其中“”不小心被老师擦去了，则被擦去的部分是（    ） A． B． C． D． 8.已知，则分式的值为（     ） A．2 B． C． D．8 9.《九章算术》中记载这样一道问题：现将一份文书送往距离里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多天；若用快马递送，所需时间比规定时间少天．已知快马速度是慢马速度的倍，求规定的递送时间．设规定的递送时间为天，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 10.若（且），，，…，，则等于（     ） A．a B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 12.若，则______． 13.若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 _____． 14.已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 15.已知，，，，则______． 16.关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 _______ ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算 (1) (2) 18.（6分）解方程： (1)； (2)5． 19．（8分）先化简，再求值：从0，1，2，3中选一个适当的数x，代入求值． 20.（8分）若关于x的分式方程无解，求参数a的值． 21.（10分）对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 22.（10分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)写出第5个等式； (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的猜想； (3)利用猜想的结论，计算的值． 23.（12分）项目式学习问题：迎接的智能机器人采购与工程规划 背景：2026年亚太经合组织（）非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵2万元．若用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款的采购数量相等． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期10天．若A、B两机器人合作8天，余下工作由B机器人单独完成，可提前2天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为48千米；B款机器人每日巡逻路程为32千米．街道办拟购买两种机器人共8台，要求每日巡逻总路程不低于320千米，且总费用不超过90万元． (1)任务一：机器人单价计算 求A款机器人与B款机器人单价，设B款机器人的单价为万元，请根据素材列出分式方程，不用求解 (2)任务二：巡逻工程规定日期 根据素材二，求该项工程规定日期多少天？ (3)任务三：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A，B款机器人各购买多少台？哪种方案最划算？ 24．（12分）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $