第十章 分式（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北京版八年级上册

**基本信息** 八年级上册数学第十章分式单元自测卷，以基础通关为定位，覆盖分式概念、运算及应用，融合文化传承（如《九章算术》问题）与实际情境（节能灯用电问题），适配单元复习，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式变形、有意义条件等|如第1题考查分式变形，夯实基础| |填空题|6/18|分式值为整数、约分等|11题设计开放题，培养创新意识| |解答题|8/52|新定义“和谐分式”、实际应用|24题引入新定义，21题结合节能情境，提升推理与应用能力|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十章 分式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．分式的值为，则（   ）． A． B． C． D． 4．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 5．计算的结果是（   ） A．a B． C． D． 6．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 7．若代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且且 8．已知关于x的分式方程，则x的值为（　　） A．2 B． C．不存在 D．0 9．下列分式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 10．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．请写出一个的整数值，使得分式的值为整数，那么的值可以是__（写出一个即可）． 12．若，则______． 13．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_____． 14．计算：___________． 15．、、的公分母是____________． 16．填空：①，②，括号内依次填入_____，_____． 三、解答题（共8小题，共52分） 17．（12分）用分式表示下列各式的商，并约分 (1) (2) (3) (4) 18．（5分）解方程：． 19．（5分）解分式方程． 20．（5分）化简：． 21．（5分）某公司为节能环保，购进了相同数量的A，B两种型号的节能灯．已知所有A型节能灯一年共用电15000度，所有B型节能灯一年共用电9000度，一台A型节能灯的平均年用电量比一台B型节能灯的平均年用电量的2倍少30度．求一台A型节能灯的平均年用电量． 22．（5分）已知：，求代数式的值． 23．（5分）化简：，再从的整数中选取一个数代入求值． 24．（10分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 2/3 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十章 分式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】A选项：，变形错误； B选项：，变形错误； C选项：分式中b作为分母，隐含，分子分母同乘，符合分式基本性质，可得，变形正确； D选项：，变形错误， 只有选项C正确． 2．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 3．分式的值为，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为，需分子的值为且分母的值不为，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得， 故选：． 4．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分子和分母同时扩大相同的倍数（非零），分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵原分式为，当和都扩大3倍时，新分式为 ， ∴分式的值不变． 故选C． 5．计算的结果是（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘法运算，以及积的乘方运算，先计算平方部分，再与分式相乘，约分后即可得到结果． 【详解】解：， 故选：A． 6．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A，∵，分子分母含有公因式，可以约分，∴A不是最简分式； 选项B，与没有公因式，无法约分，∴B是最简分式； 选项C，∵，分子分母含有公因式，可以约分，∴C不是最简分式； 选项D，∵，分子分母含有公因式，可以约分，∴D不是最简分式． 7．若代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】代数式有意义需分母不为零且除数不为零，列不等式组求解即可；本题主要考查了分式有意义的条件是分母不为零，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵原式为有意义， ∴， 解得； ∴的取值范围为且且． 8．已知关于x的分式方程，则x的值为（　　） A．2 B． C．不存在 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解，即x的值为不存在． 故选：C． 9．下列分式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的运算进行排除选项即可． 【详解】解：A、，计算正确，故不符合题意； B、，原计算错误，故符合题意； C、，计算正确，故不符合题意； D、，计算正确，故不符合题意； 故选B． 10．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．请写出一个的整数值，使得分式的值为整数，那么的值可以是__（写出一个即可）． 【答案】答案不唯一，如0． 【分析】要想使得分式的值为整数，分子必须是分母的倍数，因此，m-1只能是1,2,4或-1，-2，-4，分别计算，选择一个即可． 【详解】分式的值为整数，也是整数， ∴m-1只能是1,2,4或-1，-2，-4， 的值可以是，，0，2，3，5． 故答案为：0．答案不唯一． 【点睛】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值为整数的条件是分母是分子的约数，这是解题的关键． 12．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，将方程左边分式拆分为两个分式之和，再通过移项求解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【详解】解： 故答案为：． 14．计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘方和乘法运算，需熟练掌握相关运算法则．运用分式的运算法则进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15．、、的公分母是____________． 【答案】 【分析】此题考查了最简公分母的取法，确定最简公分母的方法有三步，分别为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，三步得到的因式的积即为最简公分母．根据确定最简公分母的方法进行解答即可． 【详解】解：、、， 系数的最小公倍数是12； x的最高次数是2； y与的最高次数是1； 所以最简公分母是． 故答案为：． 16．填空：①，②，括号内依次填入_____，_____． 【答案】 / 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：①； ②． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共52分） 17．（12分）用分式表示下列各式的商，并约分 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的约分，解题的关键是找出公因式而约去． （1）写成分式的形式，再约分即可； （2）写成分式的形式，再约分即可； （3）写成分式的形式，再对分子、分母因式分解，约分即可； （4）写成分式的形式，再对分子、分母因式分解，约分即可； 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶ ； （3）解∶ 原式 ； （4）解∶原式 ． 18．（5分）解方程：． 【答案】原方程无解 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19．（5分）解分式方程． 【答案】原分式方程无解 【分析】先整理方程，将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得根是否为增根，判断原方程的解的情况． 【详解】解： 整理原方程得， 方程两边同乘最简公分母得，， 展开整理得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：把代入最简公分母，得， 因此是原分式方程的增根，原分式方程无解． 20．（5分）化简：． 【答案】 【分析】本题先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，利用完全平方公式因式分解后约分，即可得到化简结果． 【详解】解：原式 ． 21．（5分）某公司为节能环保，购进了相同数量的A，B两种型号的节能灯．已知所有A型节能灯一年共用电15000度，所有B型节能灯一年共用电9000度，一台A型节能灯的平均年用电量比一台B型节能灯的平均年用电量的2倍少30度．求一台A型节能灯的平均年用电量． 【答案】一台A型节能灯的平均年用电量为150度 【分析】根据两种节能灯数量相等列出分式方程求解即可． 【详解】解：设一台B型节能灯的平均年用电量为度． 由题意，得, 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：一台A型节能灯的平均年用电量为150度. 22．（5分）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据，再得出，然后根据分式混合运算法则，将化简为，整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 23．（5分）化简：，再从的整数中选取一个数代入求值． 【答案】，时，原式 【分析】先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再结合不等式与分式有意义的条件代入计算即可． 【详解】解： ， 分式有意义， ， ， 原式． 24．（10分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)化简：， 【分析】（1）根据定义，化简计算再判定即可． （2）根据定义求解即可； （3）根据分式的混合运算，化简，然后利用整数的条件，分式有意义的条件，求解即可． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是分式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”． （2）解：． （3）解：原式 ， 当，时，该式的值为整数， 解得或或或， 根据分式有意义的条件，得， 解得， 故． 12/12 1/12 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十章分式·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 0 C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.答案不唯一，如0. 2 3x-10 13.2x+20 4 15 12x2y(x-y) 16. 6a2 a-2/-2+a 三、解答题（共8小题，共52分） 17.(12分) Aa'b 【详解】(1)解：原式= 6ab2 2a 3b: 4m3n2 (2)解：2mn 、2 n2; 3x2+x (3)解：原式x2-x 14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x(3x+1) x(x-1) =3x+1 x-1: x2-9 (4)解：原式=-2x2+6x =（x+3x-3) -2x(x-3) =、x+3 2x· 18.(5分) 【详明1解：号 方程两边同时乘以(x-(x+1)得（x+-4=(x-1(x+1） 去括号得x2+2x+1-4=x2-1. 移项，合并同类项得2x=2, 系数化为1得x=1, 检验：当x=1时x-x+)=(1-01+1)=0 ∴x=1是原方程的增根， 原方程无解。 19.(5分) 【详解】解： 整理原方程得2+3， x-2, 方程两边同乘最简公分母x-2得，1+3(x-2)=x-1, 展开整理得1+3x-6=x-1, 移项合并同类项得2x=4, 解得x=2, 检验：把x=2代入最简公分母x-2，,得x-2=0, 因此x=2是原分式方程的增根，原分式方程无解. 214 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(5分) x+21 x+1 【详解】解：原式 (x+2x+2 x2+4x+4 =+2-1） x+1 (x+2(x+2 =x+1×x+2)2 x+2x+1 =x+2 21.(5分) 【详解】解：设一台B型节能灯的平均年用电量为x度. 150009000 由题意，得2x-30x’ 解得x=90 经检验，x=90是原分式方程的解，且符合题意. ∴.2x-30=150 答：一台A型节能灯的平均年用电量为150度. 22.(5分) y2 x2-6y 3+ 【详解】解：x-3y 3y2 =3y+.2-6 x-3y x-3y 3y2 =3y2+x2-6y x-3y'3(x-3y) 9y2 x2-6xy =3x-3)3(x-3列 -9y2+x2-6y 3(x-3y) =-3y2 3(x-3y) 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =t-3y 3’ .x-3y-5=0, .x-3y=5, 5 原式3 23.(5分) （x+4-2 2x-x2 【详解】解： (x+12 (2-x)x =x-1 分式有意义， ∴.x≠±l,x≠0，x≠2 x=-2, -2-13 原式22. 24.(10分) x+1+=1+ 【详解】(1)解：①xxx x,是“和谐分式”： 2+x ②2是整式，不是分式，不是“和谐分式”： +2_+1+1x+1+1=1+1 ③x+1=x+1=x+1x+1+x+,是“和谐分式”： y,是“和谐分式” ，d-2a3a-2o=+己-a-2. (2)解：a-1a-1a-1a-1 4/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3(x+1)+3x-1.（x-1)(x+1) (3)解：原式x+1x(x+2)x =3x+)+3-x-1x(x+2)x x+1x+1x(x-I0(x+) =3+3_x+2 x+1x+1 =3+3-x-2=3+1-x_3x+3+1-x_2x+4 x+1 x+1x+1 x+1 2品品 当x+1=±1，x+1=+2时，该式的值为整数， 解得x=0或x=-2或x=1或x=-3, 根据分式有意义的条件，得x+1≠0，x≠0，x-1≠0，x+2≠0， 解得x≠-山，x≠0，x≠1，x≠-2. 故x=-3 5/4 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十章 分式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．分式的值为，则（   ）． A． B． C． D． 4．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 5．计算的结果是（   ） A．a B． C． D． 6．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 7．若代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且且 8．已知关于x的分式方程，则x的值为（　　） A．2 B． C．不存在 D．0 9．下列分式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 10．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．请写出一个的整数值，使得分式的值为整数，那么的值可以是__（写出一个即可）． 12．若，则______． 13．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_____． 14．计算：___________． 15．、、的公分母是____________． 16．填空：①，②，括号内依次填入_____，_____． 三、解答题（共8小题，共52分） 17．（12分）用分式表示下列各式的商，并约分 (1) (2) (3) (4) 18．（5分）解方程：． 19．（5分）解分式方程． 20．（5分）化简：． 21．（5分）某公司为节能环保，购进了相同数量的A，B两种型号的节能灯．已知所有A型节能灯一年共用电15000度，所有B型节能灯一年共用电9000度，一台A型节能灯的平均年用电量比一台B型节能灯的平均年用电量的2倍少30度．求一台A型节能灯的平均年用电量． 22．（5分）已知：，求代数式的值． 23．（5分）化简：，再从的整数中选取一个数代入求值． 24．（10分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第2页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $