专题10 一次函数与三角形的综合（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10一次函数与三角形的综合 题型一、一次函数背景下的三角形面积计算问题 1.【答案】 4或-4 【详解】解：当x=0时，y=cx+b=b,即一次函数图象与y轴交点为(0，b), 已知一次函数图象过点(2,0)，即与x轴交点为(2,0)， 根据三角形面积公式得：5=分×2x州=4， 化简得b=4, 解得b=4或b=-4 2.【答案】4或5 【详解】解：：y=c-2k+4=k(x-2)+4 .直线y=x+4-2k必经过定点(2,4)， :B(2,4),直线y=x+4-2k将△ABC分成面积为4：1的两部分， 直线BE或BF将△ABC分成面积为4：1的两部分，且A(-1,0),B(2,4),C(9,0),如图所示： B 此时高相等，面积之比等于底之比，即AE:CE=1:4或AF:FC=4:1, :4B=AC=×10=2,4F=4×10=8, ..OE=AE-OA=2-1=1,OF=AF-OA=7, .E(1,0)F(7,0). ∴直线y=c+4-2k为过(1,0)或(7,0)的直线， :.0=k-2k+4或0=7k-2k+4, 解：太=4或=手 1/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 3【答案】S=,1+5a>0) 2 【详解】解：一次函数y=3+1与坐标轴交于M,N两点， 令x=0则y=:令y=0:则3x+1=0,解得：x=-3 M(-3,0),N(0,1) ∴.OM=3,ON=1, 点P是x轴上一点，横坐标为a(a>0), :.OP=a, ..MP=a+3, .5-iP.OW-j(a-3)x1-a+a>. 4.【答案】(4,0)或(-2,0) 【详解】解：点C在x轴上，设点C(m,0), 、.BC=m-, :△ABC的面积是6， 1 ÷S4c=2×BCxy=6, “2×m-x4=6,可得m-=3, 则有m-1=3或m-1=-3, 解得m=4或m=-2, ∴点C(4,0)或(-2,0). 5.【答案】(1)作图见解析，函数图象经过第一、三、四象限 (2)点A(6,)在此函数图象上，点B(-8,5)不在此函数图象上，理由见解析 (3)4 【分析】 【详解】(1)解：列表 -4 -2 0 4 -4 -3 -2 -1 0 2/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 描点、连线如图： y 4 2 -3-2-10 可得：函数图象经过第一、三、四象限： (2)解：点A(6,1)在此函数图象上，点B(-8,5)不在此函数图象上，理由如下： 对于点A(6,1), 当x=6时，y=2×6-2=L, ·点A(6,1)在此函数图象上： 对于B(-8,5), 1 当x=-8时，y=2×(-8)-2=-6≠5， :点B(-8,5)不在此函数图象上： (3)解：由描点可得，直线与坐标轴的交点坐标为(0，-2)，(4,0)， ×4x2=4 1 ..S=- 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为4. 6. 【答案】(1)A(-2,0) (2)D(-4,0)或(0,0) 【分析】 【详解】(1)解：“y=2x+4与x轴交于点A, .当y=0时，0=2x+4, 解得：x=-2, 3/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·A(-2,0): (2)解：A(-2,0) .0A=2, :y=2x+4与y轴交于点B, ∴.当x=0时，y=2×0+4=4 则B(0,4), .0B=4, :点C是OB的中点， .C(0,2). .OC=2,CB=2, 5mC8x04=2 设D(m,0),则AD=m+2, o40xc0=n+22=m+2 当S4cm=Sc时，2=m+2, 解得：m=-4或m=0, ∴.D(-4,0)或(0,0)」 题型二、一次函数与三角形全等的综合问题 7.【答案】C 【详解】解：将y=0代入y=号+4得：号+4=0，解得x-3 4 .A(3,0),0A=3. 将x=0代入y=- x+4得：y=4 .B(0,4),0B=4, ,OA⊥OB .AB=042+OB2=5, .OM⊥AB, 4/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24B-0M=)0A:0B, .S。AOB 0M=0A-0B_3×412 AB 55 :OE是Rt△OME的斜边， :.OE也是以O,E,F为顶点的三角形的斜边， 则分以下两种情况： ①如图1，当△OFE≌aOME时， B 图1 .OF=OM =12 时点标为传0 ②如图2和图3，当△EFO2aOME时， B B M 4 0 F A 图2 图3 ·EF=OM=12 9 1212 ·点ε的纵坐标为5或5， 4 将12代入y=,x+4得：3x+4-② 4 6 5,解得x= 5 比时点p的壁标为名0片 12 4 将y=一 —廷人子×+4寻3+子2 了，解得x=24 9 5/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “此时点F的坐标为 综上，这样的点F有3个. 故选：C 8.【答案】 (-1,0) (4,3)或(3,4) 【分析】 【详解】解：(1)把点A3,0)代入y=-x+b,得0=-3+b, 解得b=3, ∴.直线AB的函数解析式为y=-x+3, .B(0,3), ∴OB=3 .OB:OC=3:1, .0C=1, 点C的坐标为(-1,0)， 故答案为：（-1,0)： (2)当∠ABD=∠BAC时，如图， :点A,B,D为顶点的三角形与△ABC全等，则四边形BDAC为平行四边形， .BD=AC=1+3=4,BD∥x轴， .点D的坐标为(4,3)： 当∠ABD'=∠ABC时，如图， 由A(3,0),B0,3)可知，OA=0B=3,则∠B4AC=45°， :A,B,D'为顶点的三角形与△ABC全等， .BD'=BC,AD'=AC=4,∠BAD'=∠BAC=45°， 即∠D'AC=90° ∴点D'的坐标为(3,4)： 综上，点D的坐标为(4,3)或(3,4)」 6/37 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：(4,3)或3,4)」 9.【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】 _4x+4=0, 【详解】(1)证明：令3入 x=3, .OB=3. 令x=0,y=4, .0A=4, AC=3,BC=4, .AC=OB,BC=0A, 在△ABC和△BAO中， AB=BA AC=OB BC=OA :AABC≌△BAO(SSS)片 (2)解：△ABC≌△BAO, ∴.∠ACB=∠AOB=90°， AC=3,BC=4, 9-2AC-BC=)x3x4=6 1 10.【答案】(1) 解：连接BC 7137 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 次函数 的图象分别与 轴交于 两点 0 A y=-2x+4 X,y A,B 当y=0时，-2x+4=0,解得：x=2 当x=0时，y=4 .A(2,0),B(04) ∴OA=2,OB=4 C(-3,0) .0C=3 .BC=OC2+0B2=5,AC=0A+OC=5 :.BC=AC, :CM⊥AB :AM BM. 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：①当DE在y轴正半轴时 NB M A :CM⊥AB,AM=BM ∴CM是AB的中垂线。 '∴aCNB与△CA关于CM成轴对称，AN=BN. .042+ON2=AN2 .22+0N2=(4-0N)2 8/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ON=3 别 'ACDE≌ACNA. .D与点N重合，E与点B重合 ②当DE在y轴负半轴时，△CDE与△CNB关于x轴成轴对称 E(0,-4)」 11.【答案】(1)A(4,0,B(0,2) [8-2t(0≤t<4) as.ocw-21-8(>4) (3)当△COM≌△AOB时，此时M点的坐标为(2,0)或(-2,0) 【分析】 1 【详解】(1)解：对于直线1B:y=2x+2, 当x=0时，y=2；当y=0时，x=4, 则A、B两点的坐标分别为4(4,0)，B(0,2): (2)解：C(0,4),44,0), ∴0C=0A=4, 当0s1<4时，0M=01-4M=445awx44-)=8-24, 当1>4时，0M=AM-0A=t-4,S,oc4=)×4×t-4)=21-8, 1 2 8-2t(0≤tK4) 综上5.cw21-8(>4) (3)解：M点的坐标为(2,0)或(-2,0)： 理由如下： :OC=OA,∠AOB=∠COM=90°. ∴.只需OB=OM,则△COM≌△AOB, 即OM=2, 9/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为(2,0)： M在x轴的负半轴，则M点的坐标为(-2,0)， 综上，当△COM≌△AOB时，此时M点的坐标为(2,0)或(-2,0)， 12.【答案】(1)4(8,0)：E(0,8) 劉 (3) 证明：，aCOE≌△BOA, .OC=OB,∠OCM=∠OBN, .∠COE=90°，ON⊥OM, ∴.∠MON=∠COE=909 ∴.∠COM+∠MOE=∠MOE+∠BON, ∠COM=∠BON, 在△COM和△BON中， [∠COM=∠BON OC=OB ∠OCM=∠OBN .aCOM≌ABON(ASA). ∴.OM=ON. 【分析】 1 【详解】(1)解：把B(0,4)代入直线y=-2x+(得：1=4： 2 ∴直线B的解析式为y=一2x+4, 把y=0代入y= 2+4得：0=- 2x+4, 解得：x=8, .A(8,0) .OA=8, ,△COE≌△BOA, ..OE=OA=8, .E(0,8): 10137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设直线CE的解析式为y=cr+b(k≠0)，把C(-4,0),E(0,8)代入得： [-4k+b=0 b=8 k=2 解得：1b=8' ∴直线CE的解析式为y=2x+8, y=2x+8 联立 1 y= 2t+4, 8 x5 解得： 24, V= 5 824Y “点D的坐标为55 (3)略 题型三、一次函数与等腰三角形问题 13.【答案】t=-2或t=2-2W5或t=-3 【详解】解：一次函数y=2x+2 2 当x=0时，y=2,当y=0时，x=-4, :点A的坐标为(-4,0)，点B的坐标为(0,2)， ∴OB=2,0A=4, .AB=V22+42=25, 当点C在点B下方时，此时BA=AC=2V5, .OC=√AC2-OA2=2, ∴.t=-2: 11/37 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 3 B 2-10 12 当点C在点B的下方时，此时BA=BC=2W5, t=2-25: 当C,B=C2A时， 42+2=(2-)}, 解得：t=-3, 综上：t=-2或t=2-25或t=-3 14. 【答案】(6,0)或(4v2-2,0)或(-2-42,0） 【详解】解：如图， P BO P户末 :一次函数y=x+b的图象经过点A(2,4), 4=2+b, 解得b=2, .一次函数的解析式为：y=x+2, 当y=0时，x=-2, ·.B(-2,0) ∴AB=V-2-2)}+(0-4)}=4V2, 当AB=BP时，则BR=4V2, .P(4v2-2,0): 12/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当AB=BB时，则BP=4V2, :B(42-2,0）: 当AB=B2时，BP=2×(2+2)=8, .0g=8-2=6 .(6,0) 综上所述，P点坐标为(6,0)或(42-2,0)或(-2-4W2,0) 故答案为(6,0)或(4√2-2,0)或(-2-42,0) 15.【答案】 【分析】 【详解】解：一次函数y=3x-6, 当x=0时，y=-6;当y=0时，x=2, .A(0,-6),B(2,0), ,在y轴上存在一点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形， :设P(0,m）,PA=PB, .PA=m+6,PB=V22+m2, m+6=V22+m2, .(m+6)）=22+m2 解得：加= 3, 点p的坐标为 故答案为： 16. 【答案】(-8,0)少 【详解】解：当x=0时，y=4:y=0时，x=-3, ·4(-3,0),B0,4), A0=3,0B=4, 13137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=OA2+OB2=5, A OC CC ①当AB=BC时，OA=OC, .C(3,0) ②当AB=AC=5时，C2(-8,0),C3(2,0) ③当AC=BC时，即C在线段AB的垂直平分线上，设C,(:,0) 则AC=BC=x+3 在Rt△BOC中，OB2+OC2=BC2 .42+x2=(x+3)2 7 ..x= 6 ). :综上可：点C的坐标为(80(G0 (2,0(,0) 8 17. 【答案】(1)3，(2,0)： (2)14: (3)(7,0)或(-3,0) 【分析】 【详解】(1)解：：y=x+5过点C(m,4) ∴4=m+5,解得：m=-1, .C(-1,4), :直线子+经过方C(1列 代入有4=号(-+6，解得b= 14137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ys-48 3* 3 令y=0,则0=-4x+8 -3x+3,解得：x=2 B(2,0): (2)解：：函数y=x+5的图象与x轴交于点A,令y=0,则x+5=0,解得x=-5, ∴点A的坐标为(-5,0)， :点B的坐标为(2,0)， AB=2-(-5)=7, :点C的纵坐标为4，即△ABC中AB边上的高为4， ∴.S6ABC= 484=7x4=14, (3)解：设点P的坐标为(x,0), 点B(2,0),C(-1,4), .BC=V2-(-1)》2+(0-4)2=5. :△BCP是以CP为底的等腰三角形， .BP=BC=x-2=5, 即x-2=5或x-2=-5, 解得x=7或x=-3, ∴点P的坐标为(7,0)或(-3,0)」 题型四、一次函数与直角三角形问题 18. 【答0威程0 【详解】解：在y=了x+2中，当x=0时，y=2,则A(0,2) 2 ,直线y= x+2与直线y=-2x+10交于点B 2 y=x+2 联立 3 y=-2x+10 15137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=3 解得y=4 .B(3,4), :点P是x轴上的一个动点， 设P(x,0) .AP2=(x-0)2+(0-2)2=x2+4,AB2=(3-0)+(4-2)=9+4=13, PB2=(3-x)}+(4-0)}=9-6x+x2+16=25-6x+x2, :△ABP是以AB为直角边的直角三角形， ∴当AB2+BP2=AP2时，13+25-6x+x2=x2+4, 解得：x= Γ3 当AB2+AP2=BP2时，13+x2+4=25-6x+x2, _4 解得：x=3 综上所述，点p的坐标为： g 故答案为： 〔号 19. 【答案】（-2,0)或(-5,0) 【详解】解：直线：y=-x+1与x轴交于点A, A1,0) y=-x+1 y=-号x+2,解得x=-2 由 1 2 y=3 ·B(-2,3) 当∠ACB=90°时，C点的横坐标与B的横坐标相同， .C(-2,0) 当∠ABC=90°时，则AC2=AB2+BC2, 16/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设C(x,0),则AC2=(x-1),AB=(-2-1)2+32,BC2=(-2-x)}+32, ∴(x-1)2=(-2-1)2+32+(-2-x)2+32, 解得x=-5, .C(-5,0), 综上，点C的坐标为(-2,0)或(-5,0)， 故答案为(-2,0)或(-5,0) 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点，直角三角形的 判定，勾股定理的应用等，分类讨论是解题的关键 20.【答案】(0,0)或(2,2)或(2，-2) 【详解】令x=0,则y=4,令y=0,则x=4, A(-4,0),B(0,4), :点P在一次函数y=x的图象上， 设点P的坐标为区，)， AB2=42+42=32 PB2=x2+(x-4)2=2x2-8x+16, P42=(r+4°+x2=2x2+8x+16, ①当∠ABP-90°时， y=x+4 根据勾股定理得：AB2+PB2=PA2,即32+2x2-8x+16=2x2+8x+16, 解得：x=2 ∴点P的坐标为(2,2)： ②当∠BAP=90°时， 17/37 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,y=x+4 根据勾股定理得：AB2+PA2=PB2,即32+2x2+8.x+16=2x2-8x+16, 解得：x=-2 ∴点P的坐标为(2，-2)： ③当∠APB-90°时，此时点P与点O重合， y=x+4 B V=x A ◇ O(P ∴点P的坐标为(0,0)： 综上，点P的坐标为(0,0)或(2,2)或(2，-2). 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，采用了分类讨论的思想，与方程相结合是解决 问题的关键。 21.【答案】3 【分析】 【详解】OA=4,点A在x轴的负半轴， A(-4,0), 直线y=2x+b过点A 0=。×(-4)+b. 2 b=2, 18137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 y2+2, B(0,2), 当点C在x轴上， 当AC⊥BC,点C与原点0重合，C(0,0): 当AB⊥BC,设C(m,0), A(4,0）B(0,2）C(m,0) .AB2=(-4)+2=16+4=20,BC2=22+m2=4+m2,AC2=(m+4}2, 20+4+m2=(m+4)}2, 解得：m=1, C(1,0): 当点C在y轴上， 当BA⊥AC,设C(0,m), B A A(-4,0)B(0,2）C(0,m AB2=20,AC2=42+m2=16+m2,BC2=(2-m)2, .20+16+m2=4-4m+m2, .m=-8, C(0,-8): :符合条件的点C的坐标是(0,0)或(1,0)或(0，-8)，有3个： 故答案是：3. 19137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、一次函数与等腰直角三角形问题 22. 【答案】(-1,0)或 【详解】解：如图，过点P作PE⊥MN于点E,则PE=NE, =2x+4 M 设点M的型标为m2m+4则点6的婴标为2m+4,p的坐标为0当，=0时 2x+4=0. 解得：x=-2, .直线y=2x+4与x轴的交点坐标为（-2,0) 当m<-2时1m=-2m-4, 2 解得：m=-3, --1, 2 2 ∴此时点P的坐标为（1,0)： 当2<m<1时，1-=2m+4,解得：= 2 5 7 m+15+1 2 2 5 此时点p的坐标为兮0。 当m>1时， m+1-1=2m+4, 解得：m=-3(不符合题意，舍去)， 20137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，符合条什的点p的整标为-10或兮】 故答案为： （-1,0)或 23.【答案】 (2,2) 2或44或2 1 【详解】(1)由 2+3 y=- ,得x=2 y=x y=2 .C(22) (2)如图1，当∠C00=90°，CQ=00. B 图1 C(22) :.00=C9=2, ..1=2; 如图2，当4C00=90°，0C=C9, O M 图2 过C作CM⊥OA于M C(22) ∴.CM=OM=2, ..OM =OM=2. t=2+2=4, 即t的值为2或4， 21137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：(2,2)，2或4. 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组、等腰直角三角形等知识，综合性比较强，熟练掌握相关 知识、运用分类讨论以及数形结合思想是解题的关键， 24.【答案】(3,3)或(4.5,6)或(5,7) 【详解】设A(6,m).分以下三种情况讨论： ①当∠AB0=90°时，如图①，此时OB=AB,∠B0A=45°. .0A=6, ..OB =32 B(3,3) 将x=3代入y=2x-3,得y=3,符合题意： ②当∠AOB=90°时，如图②，过点A,B作y轴的垂线，垂足为C,D. 易证△AOC≌△OBD ...AC=OD=6,0C=BD=-m, ∴.B(-m,6) :点B在射线y=2x-3(x≥0)上， ∴.6=-2m-3, 解得m=-4.5,即B(4.5,6)； ③当∠OAB=90°时，如图③，过点B作EF1y轴，分别交直线x=6和y轴于点E,F,则EF⊥AE.易 证△ABE≌△OAD ∴.BE=AD=m,AE=OD=6, .BF=6-m,DE=6+m, .B(6-m,6+m 点B在射线y=2x-3(x之0)上， 6+m=2(6-m）-3,解得m=1,即B(5,7). 综上，点B的坐标为(3,3)或(4.5,6)或(5,7) 22137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y个 B Dr Fer..B B A D 图① 图② 图③ 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，掌握几何模型一一一线三直角是解题的关键. 25.【答案】)A(10,0),B(0,5):AB=5V5 (2) 解：，点F是线段AB上的一个动点（不与A,B重合）， 设△OAF的面积S,过点F作FE⊥x轴， B F 0 E :点F的横坐标为x, P点坐标为x2x+5: 5o=25.0=2*2 11 2x+25= 解得：x=5, P点业标为5》 2 :AB=V102+52=55, .OF-74B, 23137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)存在，点P的坐标为 》 【分析】 【详解】()解：y=2+5,， :当x=0时，y=5当)=0时，+5=0，解得：X=10 .A(10,0).B(0,5). .OA=10,OB=5, ∴.AB=VOA2+0B2=V102+52=5√5 (2)略 在在，点P喻标空小支货》。 1515 过点F作FE⊥x轴交x轴于点E,过点P作PG⊥OA于点G,过点P'作PH⊥FE于点H,分两种情况： YA B E 情况一：，△AFP是等腰直角三角形， AF=PA,∠FEA=∠FAP=∠PGA=90°， ∴.∠AFE+∠FAE=∠FAE+LPAG=90°， .∠AFE=∠PAG, 在△FAE和△PAG中， 「∠FEA=∠AGP ∠AFE=∠PAG AF=PA .△AFE≌aPAG(AAS), FE=AG-AE=PG=04-0F-5 24137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 情况二：，△AFP是等腰直角三角形， 同理△P'HF≌aFEA(AAS). FH=AE=5 HP-FE= P得》 综上所述，点P的坐标为 26.【答案】)(3,3)，(0，-3) .15 22 1011 ③(2,1)或33 【分析】 【详解】(1)解：由题意得，BA上y轴， 点B的坐标为(4,3)， ∴点D的纵坐标为3， 在y=2x-3中，当x=0时，y=-3,当y=3时，2x-3=3,解得x=3, ·点D(3,3),点E(0,-3): (2)解：设DE与x轴的交于点F, D/B A 在)=2x-3中，当y=0时，2x-3=0解得=3 点F 由题意得，BC⊥x轴， 25137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ~点B的坐标为(4,3)， .C(4,0), CF=4-3=5 229 .S.CDE=S.CFD+S.CFE 23*5 15 221 315 2: (3)解：设(m,2m-3), ①若点Q在点D下方， 如图，过点作QG1y轴于点G,延长G0交直线BC于点H,则GH∥OC, D/B(P) G- E .∠AGQ=∠QHP=90° 又：点Q是等腰直角三角形APQ的直角顶点， ∴QA=QP,∠AQP=90°， .∠AQG+∠PQH=90°， 又'∠AQG+∠QAG=90° ∴.∠QAG=∠PQH, ∴△AQG≌△QPH(AAS). .AG=OH; GH∥OC, .G(0,2m-3)、H(4,2m-3) .AG=3-(2m-3)=6-2m,QH=4-m, 6-2m=4-m, 解得m=2. .2m-3=1, 26137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0(2,1): ②若点Q在点D上方， 如图，过点2作QG1y轴于点G,延长QG交直线BC于点H, 同理可证△AQG≌aQPH, ..AG=OH G H B 同理可得4G=2m-3-3=2m-6,QH=4-m, ∴.2m-6=4-m, 解得mI0 3 2m-3= 3 》 综上所述，点0的@标为2)支代背》 27.【答案】1)(8,0)：(0,6)； (②)点M的坐标为(0,33)或(0，-2)： (③)存在，点P的坐标为14,8)或(6,14)或(7,7). 【分析】 【详解】(1)解：令x=0得：y=6, B(0,6), 令y=0得：0=子+6，解利：X=8 A80) 27137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)由(1)得0A=8,0B=6 .AB=10 由折叠的性质可知BC=CD,AB=AD=I0 ∴OD=OA+AD=8+10=18」 设OC=x,则CD=CB=x+6 在RtAOCD中，CD2=OC2+OD2, .(x+6)2=x2+182, 解得：x=24, 0C=24, .C(0,-24): :.Sn-x24x18=216. 1 1 ∴.SaMB=5×216=108, 2 设点M的坐标为(O,y), ÷5,us=2×8×6-=108, 解得y=-21或y=33 ∴点M的坐标为(0,33)或(0，-2)： (3)存在，理由如下： ①若∠BAP=90,AB=AP,如图，过点P作PG⊥OA交0A于点G, B ∠BAP=90°，AB=AP .∠OAB+∠PAG=90°，∠OAB+∠OBA=90° 28137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠PAG=∠OBA, :∠AOB=∠PGA=90°，AB=AP, .△AOB≌aPGA(AAS) 、.OB=AG=6,OA=PG=8, ..OG=04+AG=14 ∴此时点P的坐标为14,8)： ②若∠ABP=90°，AB=BP,如图，过点P作PH⊥OB交OB点H, /h A 同理可得，此时点P的坐标为(6,14)： ③若∠APB=90,BP=AP,如图，过点P作PM⊥OA交OA于点M,PN⊥OB交OB于点N, B D/ OMA :∠BPA=90°， ∴.∠BPN+∠BPM=90°， :∠BPM+∠APM=90°. .∠BPN=∠APM, .△BPN≌△APM(AAS). .PN=PM,BN=AM. 设点P的坐标为(a,a), .a-6=8-a, 解得：a=7, 29137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴此时点P的坐标为(7,7)， 综上所述，点P的坐标为14,8)或(6,14)或(7,7) 题型六、一次函数中的折叠变换综合问题 28.【答案】B 【分析】 【详解】解：直线y=3x+4与x轴、y轴分别交于点A、B, 令x=0y=4,令y=0,则0= 3x+4,解得x=3 .A(3,0),B(0,4) .AB=VOA+0B2=V32+42=5, 设OM=m, 由折叠知，AC=AB=5,CM=BM,BM=OB+OM=4+m .OC=8,CM=4+m. 根据勾股定理得，64+m2=(4+m), .m=6, ·.M(0,6), 故选：B. 29.【答案】C 【分析】 【详解】解：由折叠知，AB=AD,BC=CD, 3 把x=0代入y=4x+6,得y=6, 30137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 3 把y=0代入y=4x+6,得x+6=0,解得x=-8 4 ∴点A的坐标为(-8,0)，点B的坐标为(0,6)， .OA=8,OB=6 ∴.AB=VOA2+OB2=10, AD=10 ..OD=AD-OA=2. .0C=n, ∴.CD=BC=OB-OC=6-n, 在R1a0CD中，由勾股定理，得CD2=OC2+0D2,即(6-n)=n2+2, 解得-多 8 “点c的坐标为03)月 故选：C 30.【答案】B 【详解】解：对于函数y= 3x+4, 令x=0,则y=4:令y=0,则x=3, .A(3,0),B(0,4), ..OA=3,0B=4,AB=V0A2+OB2=5, 由折叠可知：AD=AB=5,BC=CD, ..OD=0A+AD=8. 设点C(0,m),则0C=-m,CD=BC=0B+0C=4-m, :0D2+0C2=CD2, .82+(-m)}=(4-m)2, 解得m=-6, .0C=6, 故选：B 31137 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 31. 【详解】解：点A(0,4),B(-3,0) ∴OA=4,OB=3 根据勾股定理：AB=VOA+OB2=5 根据折叠的性质：AC=A'C,AB=AB=5 ∴，A'O=AB.OB=2 设OC=x,则AC=A'C=OA-OC=4-x 根据勾股定理：A'C2=AO2+OC2 即：(4-x)2=22+x2 3 解得：x=2 :C点坐标为 ,3 2 故答案为： 32. 【答案】（6-62,0)或(62-6,0） 【分析】 【详解】解：，y=-x+6 当x=0时，y=6, 当y=0时，x=6, .A6,0),B(0,6). 0A=6,0B=6, AB=V6+62=6N2, 设C(m,0), 如图1，当A点落在y轴正半轴上A处时，连结A4,AC, 32137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 珠 B 图1 A与A关于BC对称， .AC=C,AB=AB=6V2」 :.0A=6+62 .AC=6-m,AC=A'C=6-m 在Rta4co中，(6-m}=(6+62+m2, .m=-6-62, .C(-6-6W2,0): 如图2，当A点落在y轴负半轴上A处时，连结A4,A'C, B A' 图2 由对称可得，AC=AC=6-m,AB=AB=6V2, ..O4'=A'B-OB=62-6, 在Rta4C0中，(6-m}=(62-6+m2, .m=62-6, ÷C(62-6,0): 综上所述：C点坐标为(-6-6N2,0)或(62-6,0)， 故答案为： (-6-62,0)或62-6,0 33137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33.【答案】 【详解】解：如图，过点D作DNLy轴于点N, E 、 两点分别在轴、轴上， 轴， 点的坐标为 0 A A C BC⊥y ∠B=90°B (（1,3) .04=BC=10=AB=3, .A1,0) 由翻折的性质得：∠CDE=∠B=90,CD=BC=1AD=AB=3, ..CD=0A, 在△CDE和△AOE中， :∠CDE=∠ACE=9O，°∠CED=∠AEO,CD=AO :.△CDE≌aAOE(AAS) ..CE=AE,DE=OE 设DE=OE=x,则AE=CE=OC-OE=3-x, 在Rt△AOE中，OA2+OE2=AE2, 即2+x2=(3-x), 4 解得：=3， .OE=DE= 4 点E的坐标为 0,3 CE-0c-OE-3 45DN, ∴2CDDE=2CE-DN,即：1×3-3 :DW=4 , 设直线4E的解析式为y=:+ 3 34137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把40)代入，得+了=0，解得k=- 4 3 44 . 3x+3 当x= 5时，少=-4x4）+412 Γ3535， 故答案为： 34.【答案】1)C(2,-10) (2)80 3)5V2 【分析】 y=-9x+8 【详解】(1)解：由题意可得： y=-x-8 x=2 解得： y=-10' .C(2,-10) (2)解：记4：y=-x-8与y轴的交点为0，如图， D C 当x=0时，y=-8,当y=-x-8=0,解得：x=-8, .B(-8,0),Q(0,-8), ,4:y=-9x+8 当x=0时，y=8,即A(0,8), ∴.S.ABC=SAB0+S4cg 35137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8+88++8列x2 =64+16 =80 (3)解：如图，∠DAB'=90°， B A(0,8),B(-8,0),Q(0,-8) ..OA=OB=00=8 ,∠A0B=∠BOQ=90° .∠BAO=∠AB0=∠BQ0=∠OBQ=45°，AB=V82+82=82, .∠ABC=90°， 过B作BF⊥BC于F,则AB∥B'F,∠B'FC=90°， 而∠ABC=∠DAB'=90°， .AB∥BC, 由平行线间的距离相等可得：AB=B'F=8V2,BF=AB, .CF=82-BF=82-AB' B(-8,0),C(2,-10), .B'C=BC=V-8-2)}'+(0+102=10W2, (&2j+02-AB=(02, :.(10W2-AB=72, 解得：AB'=42,(AB=16V2舍去)， 由对折可设BD=B'D=m, .AD=8v2-m, 36137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m2=(82-m+(42. 解得：m=5√2， BD=52 【点睛】本题考查的是平行线间的距离，求解一次函数图象的交点坐标，坐标与图形面积，轴对称的性质， 勾股定理的应用，二次根式的乘法与除法运算，利用平方根的含义解方程，作出合适的辅助线是解本题的 关键 37137 专题10 一次函数与三角形的综合 题型一、一次函数背景下的三角形面积计算问题 题型二、一次函数与三角形全等的综合问题 题型三、一次函数与等腰三角形问题 题型四、一次函数与直角三角形问题 题型五、一次函数与等腰直角三角形 题型六、一次函数中的折叠变换综合问题 题型一、一次函数背景下的三角形面积计算问题 1．一次函数的图象过点(2，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，则的值是_____． 2．平面直角坐标系中有三点，，，若直线（为非零常数）将分成面积为的两部分，则的值是__________． 3．如图，已知一次函数图象与坐标轴交于M，N两点．点P是x轴上一点，其横坐标为，若△MNP的面积为S，则S与a的函数关系式为______． 4．如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 5．已知一次函数． (1)用五点作图法画出函数的图象．并指出图象经过哪几个象限？ (2)试判断点，是否在此函数的图象上，并说明理由． (3)求此直线与坐标轴围成的三角形面积． 6．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求点坐标； (2)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型二、一次函数与三角形全等的综合问题 7．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．    （）点的坐标为______； （）若在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为______． 9．如图，已知中，，，直线的函数解析式是． (1)求证：； (2)求的面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，点，过点作于点，交轴于点． (1)求证：； (2)连接，在轴上确定点和点，使得（点和点对应），分别求点，点的坐标． 11．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，两点，过点作直线CE，交AB于点D，交y轴于点E，且． (1)求点A及点E的坐标； (2)求点D的坐标； (3)如图2，M是线段CD上一动点（不与点C，D重合），，ON交AB于点N，连接MN，求证：． 题型三、一次函数与等腰三角形 13．已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点为轴负半轴上一点，且点的坐标为，若以点为顶点的三角形为等腰三角形，则的值为___________． 14．如图，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，若点是轴上的一点，且满足三角形是以为腰的等腰三角形，则点的坐标是___________． 15．如图，一次函数与坐标轴的交点为A，B，在y轴上存在一点P，使得是以为底边的等腰三角形，则点P的坐标为_____． 16．分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使为等腰三角形，求出所有符合条件的点C的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点B，与直线交于点．             (1)求的值和点B的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 题型四、一次函数与直角三角形问题 18．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，且与直线：交于点，若点是轴上的一个动点，当是以为直角边的直角三角形时，点的坐标为：___________． 19．如图，已知直线l1：y＝-x+1与x轴交于点A，与直线l2：y＝-x+2交于点B，点C为x轴上的一点，若ABC是直角三角形，则点C的坐标为_______． 20．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，点在一次函数 的图象上，则当为直角三角形时，点的坐标是___________． 21．如图，直线交轴于点，交轴于点，，点是坐标轴上一点，且是直角三角形，满足这样条件的点有___________个． 题型五、一次函数与等腰直角三角形 22．如图：点是直线上的动点，过点作直线于点，轴上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，请你写出所有符合条件的点的坐标______． 23．如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，与直线交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从O点出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ． （1）求出点C的坐标______； （2）若是等腰直角三角形，则t的值为______．    24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在直线和射线上运动．若是等腰直角三角形，则点B的坐标为_____________________________． 25．综合与探究 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标及的长度； (2)当时，求点的坐标，并判断此时线段与的数量关系（需说明理由）； (3)在（2）的条件下，第一象限内存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 26．如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)点的坐标为___________；点的坐标为___________． (2)求的面积； (3)若动点在直线上，点在第一象限，且在直线上，若点是等腰直角三角形的直角顶点，求点的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线与相交于点E． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)点M是y轴上一点，若．求点M的坐标． (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型六、一次函数中的折叠变换综合问题 28．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上的点（不与点B重合），若将沿直线翻折，点B恰好落在x轴正半轴上，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于两点，点是轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点刚好落在轴正半轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D． 31．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕所在的直线交轴正半轴于点，则点的坐标为__________． 32．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为____． 33．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 34．如图， 已知直线与y轴交于点A，直线与x轴交于点B，且两直线交于点C． (1)求C的坐标； (2)连接，求的面积； (3)点D是线段上的一个点，将沿直线翻折，点B的对应点为，若为直角三角形且，求线段的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10一次函数与三角形的综合 题型归纳 题型一、一次函数背景下的三角形面积计算问题 题型二、一次函数与三角形全等的综合问题 题型三、一次函数与等腰三角形问题 题型四、一次函数与直角三角形问题 题型五、一次函数与等腰直角三角形问题 题型六、一次函数中的折叠变换综合问题 题型专练 题型一、一次函数背景下的三角形面积计算问题 1.一次函数y=kx+b的图象过点(2,0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，则b的值是一. 【答案】 4或-4 【详解】解：当x=0时，y=a+b=b,即一次函数图象与y轴交点为(0，b), 已知一次函数图象过点(2,0)，即与x轴交点为(2,0)， 根据三角形面积公式得：S-分×2x州=4， 化简得b=4, 解得b=4或b=-4 2.平面直角坐标系中有三点A(-1,0),B(2,4),C(9,0),若直线y=ac+4-2k(k为非零常数)将 △ABC分成面积为4：1的两部分，则k的值是 【答案】4或5 【详解】解：y=ax-2k+4=k(x-2)+4. ∴直线y=x+4-2k必经过定点(2,4)， 1/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :B(2,4),直线y=x+4-2k将△ABC分成面积为4：1的两部分， 直线BE或BF将△ABC分成面积为4：1的两部分，且A(-1,0),B(2,4),C(9,0),如图所示： B E 此时高相等，面积之比等于底之比，即AE:CE=1:4或AF:FC=4:1, 4=写4c=g0=2,4-10=8， ..OE=AE-OA=2-1=1,OF=AF-OA=7, .E(1,0)F(7,0) 直线y=c+4-2k为过(1,0)或(7,0)的直线， .0=k-2k+4或0=7k-2k+4, 解得：=4或=-4 5 3.如图，已知一次函数y=3x+1图象与坐标轴交于M,N两点.点P是x轴上一点，其横坐标为a(a>0), 若△WP的面积为S,则S与a的函数关系式为一· y M 【答案】5=a+(a>0) 1 2 2 【详解】解：一次画数y行+1与坐标转交于M,V两点， 令x=0则y=1:令y=0:则3x+1=0,解得：x=-3 .M(-3,0).N(0,1) ∴.OM=3,ON=1, ~点P是x轴上一点，横坐标为a(a>0), ∴.OP=a, 2/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MP=a+3, .5-iMP.OW-j(a-3)x1-a+(a>0. 4.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在正比例函数y=2x的图像上，点B(,0)和点C都在x轴上， 当△ABC的面积是6时，点C的坐标是 【答案】(4,0)或(-2,0) 【详解】解：点C在x轴上，设点C(m,0), :.BC=m-1 :△ABC的面积是6， .SABc=5×BC×yA=6, 2 小×m-4=6,可得风-小=3 则有m-1=3或m-1=-3, 解得m=4或m=-2, “点C(4,0)或(-2,0) 5.已知一次函数y 2-2 y 、、 4 -L 3 -5-4-3-2-1O 2345x “4 3/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)用五点作图法画出函数的图象.并指出图象经过哪几个象限？ (2②)试判断点A(6,1),B(-8,5)是否在此函数的图象上，并说明理由. (3)求此直线与坐标轴围成的三角形面积. 【答案】(1)作图见解析，函数图象经过第一、三、四象限 (②)点A(6,)在此函数图象上，点B(-8,5)不在此函数图象上，理由见解析 3)4 【分析】 【详解】(1)解：列表 -4 -2 0 .2 -4 -3 -2 -1 0 描点、连线如图： 5 4 3 2 -5-4-3-2-10 可得：函数图象经过第一、三、四象限： (2)解：点A(6,)在此函数图象上，点B(-8,5)不在此函数图象上，理由如下： 对于点A(6,), 当x=6时，y= ×6-2=1, 2 ·点A(6,1)在此函数图象上： 对于B(-8,5), 当x=-8时，y=2×(-8)-2=-6≠5， :.点B(-8,5)不在此函数图象上： 4/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：由描点可得，直线与坐标轴的交点坐标为(0，-2)，(4,0)， 、。5—4×24 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为4. 6.如图，直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C是OB的中点， B (1)求A点坐标： (2)在x轴上是否存在点D,使得S4cD=SBc,若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)A(-2,0) (②D(-4,0)或(0,0) 【分析】 【详解】(1)解：“y=2x+4与x轴交于点A, .当y=0时，0=2x+4, 解得：x=-2, .A(-2,0): (2)解：：A(-2,0) ∴0A=2, y=2x+4与y轴交于点B, ∴当x=0时，y=2×0+4=4, 则B(0,4), .0B=4, :点C是OB的中点， .C(0,2), OC=2,CB=2, 5/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 S.uwe-xCBxOA-2 设D(m,0),则AD=m+2, 5o号4Dxc0-m+22=m+2, 当SAcn=SAc时，2=m+2, 解得：m=-4或m=0, .D(-4,0)或(0,0)」 题型二、一次函数与三角形全等的综合问题 7.如图，直线4，y=一3x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，OM1AB于点M,点E为直线I上不与 点A、B重合的一个动点.在x轴正半轴上存在点F,使得以O、E、F为顶点的三角形与△OME全等，这 样的点F有()个. O A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解1解：将，-0f代入y=手4得：音+4=0，解得=3 .A(3,0),OA=3 4 将x=0代入y=3x+4得：y=4 .B(0,4),0B=4 .OA⊥OB, .'AB=V042+0B2=5, OM⊥AB, Sm4B.0M=0108, 6/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :0M=04-0B-3x412 AB 55 :OE是Rt△OME的斜边， ∴OE也是以O,E,F为顶点的三角形的斜边， 则分以下两种情况： ①如图1，当aOFE≌aOME时， M E 0 FAx 图1 ∴OF=OM=12 12 “此时点万的坐标为5 0 ②如图2和图3，当△EFO2△OME时， B M 图2 图3 “EF=OM=12 12 12 “点E的纵坐标为5或-5， 将y号代入少=+4得：4 5,解得x=6 六此时点r的坐标为0月 将y=号代入=4得：分4= 12 5,解得x=24 5 7/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 240 “此时点F的坐标为5， 综上，这样的点F有3个 故选：C 8.如图，一次函数y=-x+b的图象分别与x,y轴交于A,B两点，点A的坐标为(3,0)，过点B的直线 交x轴负半轴于点C,且OB:OC=3:1, (1)点C的坐标为 (2)若在x轴上方存在点D,使以点A,B,D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 【答案】 (-1,0) (4,3)或(3,4) 【分析】 【详解】解：(1)把点A3,0)代入y=-x+b,得0=-3+b, 解得b=3, ∴直线AB的函数解析式为y=-x+3, 、B0,3), .OB=3, 0B:OC=3:1, 0C=1, ∴点C的坐标为(-1,0)， 故答案为：(-1,0)： (2)当∠ABD=∠BAC时，如图， :点A,B,D为顶点的三角形与△ABC全等，则四边形BDAC为平行四边形， ∴BD=AC=1+3=4,BD∥x轴， 点D的坐标为(4,3) 当∠ABD'=∠ABC时，如图， 由A(3,0),B(0,3)可知，OA=OB=3,则∠BAC=45°， 8/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :A,B,D为顶点的三角形与△ABC全等， .BD'=BC,AD'=AC=4,∠BAD'=∠BAC=45°， 即∠D'AC=90°， .点D的坐标为(34)： 综上，点D的坐标为(4,3)或(3,4). 故答案为：(4,3)或(3,4) 9,如图，已知△ABC中，4C=3”BC=4直线4B的函数解析式是y= 3x+4 0 B (1)求证：△ABC≌△BAO: (2)求△ABC的面积. 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】 4 【详解】（山证明：令3x+4=0, x=3, .OB=3 令x=0,y=4 .OA=4. AC=3,BC=4, ∴AC=OB.BC=OA, 9/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABC和△BAO中， (AB=BA AC=OB BC=OA aABC≌aBAO(SSS)片 (2)解：△ABC≌△BAO, .∠ACB=∠AOB=90°， :AC=3,BC=4, SBc=AC·BC=X3×4=6 10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+4的图象分别与。y轴交于4，B两点，点C(-3,0), 过点C作CM⊥AB于点M,交y轴于点N. B A (1)求证：AM=BM: (2)连接AN,在y轴上确定点D和点E,使得△CDE≌△CNA(点D和点N对应)，分别求点D,点E的 坐标. 【答案】(1) 解：连接BC 次函数 的图象分别与 轴交于 两点 0 A y=-2x+4 X,y A,B 当y=0时，-2x+4=0,解得：x=2 当x=0时，y=4 .A(2,0),B(0,4), 10146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OA=2,OB=4 C(-3,0) ∴.0C=3 .BC=OC2+0B2=5,AC=0A+OC=5 :BC=AC, .CM⊥AB ∴.AM=BM E(0,-4) 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：①当DE在y轴正半轴时 M D E .:CM⊥AB,AM=BM .CM是AB的中垂线。 .△CNB与△CNA关于CM成轴对称，AN=BN, .042+ON2=AN2 ∴.2+0W2=(4-0N)月 ov 引 'ACDE≌ACNA, ∴.D与点N重合，E与点B重合. E(0,4). ②当DE在y轴负半轴时，△CDE与△CNB关于x轴成轴对称 11/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E(0,-4) 1.如图。直线y=+2与x轴、y轴分别交于4、8两点，在y轴上有一点C0,利动点从4点 以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动. B (1)求A、B两点的坐标： (2)求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式： (3)在M运动过程中，当△COM≌△AOB时，直接写出此时M点的坐标. 【答案】()4(4,0)，B(0,2): 8-2t(0≤t<4) (2)S.ocu= 2t-8(t>4) (3)当△COM≌△4OB时，此时M点的坐标为(2,0)或(-2,0). 【分析】 【详解】(1)解：对于直线4B:y- 2r+2, 当x=0时，y=2;当y=0时，x=4, 则A、B两点的坐标分别为A(4,0),B(0,2): (2)解：C(0,4),A(4,0), .0C=0A=4, 当0s1<4t,0M=0A-4M=4-Saw44-)=8-2 1 当1>4时，0M=4M-01=1-4SoCw=2×4x-4)=21-8, 8-2t(0≤tK4) 综上，S.ocw 2t-8(t>4): (3)解：M点的坐标为(2,0)或(-2,0)： 12146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由如下： .OC=OA,∠AOB=COM=90°， ∴只需OB=OM,则△COM≌△AOB, 即OM=2, 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为(2,0)； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为(-2，O), 综上，当△COM≌△A0B时，此时M点的坐标为(2,0)或(-2,0) 12.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+1与坐标轴交于A,B(0,4)两点，过点C(4,0)作直线 CE,交AB于点D,交y轴于点E,且△COE≌△BOA. E E B D BN M 0 A 图1 图2 (1)求点A及点E的坐标： (2)求点D的坐标： (3)如图2，M是线段CD上一动点（不与点C,D重合），ON⊥OM,ON交AB于点N,连接MN,求证： OM=ON 【答案】I)A(⑧，0)：E(0,8) 824 ②D55 3) 证明：aCOE≌△BOA, .OC=OB,∠OCM=∠OBN, .∠COE=90°，ON⊥OM, ∴∠MON=∠COE=90° ∴.∠COM+∠MOE=∠MOE+∠BOW, .∠COM=LBON, 在△COM和△BON中， 13146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠COM=∠BON OC=OB ∠OCM=∠OBN .ACOM≌△BON(ASA), ∴.OM=ON. 【分析】 1 【详解】(1)解：把B(0,4)代入直线y=-2x+t得：t=4 直线AB的解析式为y=一2x+4, 1 把y=0代入y=2+4得：0= 2x+4, 解得：x=8, .A(8,0): OA=8, :△COE≌△BOA, ..OE=0A=8, .E(0,8): (2)解：设直线CE的解析式为y=c+b(k≠0)，把C(-4,0),E(0,8)代入得： [-4k+b=0 b=8 k=2 解得： b=8 ∴.直线CE的解析式为y=2x+8, y=2x+8 联立 2+4, 1 y= ts、 8 5 解得： 24 y= 5 824 点D的坐标为 55 14146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)略 题型三、一次函数与等腰三角形问题 13.己知一次函数y2+2的图象与，轴、y轴分别交于点4，B,点C为y轴负半轴上一点，且点C的坐 标为(O,),若以点A,B,C为顶点的三角形为等腰三角形，则1的值为， 【答案】t=-2或t=2-2W5或t=-3 【详解】解：一次函数y=2x+2, 当x=0时，y=2,当y=0时，x=-4, ·点A的坐标为(-4,0)，点B的坐标为(0,2)， ∴.OB=2,OA=4. AB=V22+42=25, 当点C在点B下方时，此时BA=AC=2V5, ..OC=AC2-042=2, .t=-2: 4 3 B 12 当点C在点B的下方时，此时BA=BC=2V5, t=2-25; 当CB=CA时， 42+2=(2-}2, 解得：1=-3， 综上：t=-2或t=2-2V5或t=-3 14.如图，一次函数y=x+b的图象经过点A(2,4),且与x轴相交于点B,若点P是x轴上的一点，且满 15146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 足三角形APB是以AB为腰的等腰三角形，则点P的坐标是 A(2,4) B 0 【答案】(6,0)或(42-2,0)或-2-4W2,0) 【详解】解：如图， BO P2 P :一次函数y=x+b的图象经过点A(2,4), 4=2+b, 解得b=2, .一次函数的解析式为：y=x+2, 当y=0时，x=-2, .B(-2,0) AB=V-2-2}+(0-42=42, 当AB=BP时，则BP=4V2, .R(42-2,0）; 当AB=BP时，则BP=4V2, B(4W5-2,0: 当AB=BP时，BR=2×(2+2)=8, .0R=8-2=6, .B(6,0): 综上所述，P点坐标为(6,0)或(4W2-2,0)或(-2-42,0) 故答案为：(6,0)或(4√2-2,0)或(-2-42,0 16/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.如图，一次函数y=3x-6与坐标轴的交点为A,B,在y轴上存在一点卫，使得△ABP是以AB为底边 的等腰三角形，则点P的坐标为一· Ay y=3x-6 【答案】 0,3 【分析】 【详解】解：，一次函数y=3x-6, .当x=0时，y=-6；当y=0时，x=2, .A(0,-6),B(2,0), :在y轴上存在一点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形， 设P(0,m),PA=PB, ∴PA=m+6,PB=V22+m2, .m+6=√22+m2, ∴(m+6)2=22+m2 解得：加= 3, 点p的坐标为0-》 故答案为： 4 16.y=3x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C,使。4BC为等腰三角形，求出所有符合 3 条件的点C的坐标. 【客案180(g-e0y0y 【详解】解：当x=0时，y=4;y=0时，x=-3, .A(-3,0),B0,4). 17146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .A0=3,0B=4, AB=042+OB2=5, B C2 A OCa CC ①当AB=BC时，OA=OC, .C(3,0) ②当AB=AC=5时，C2(8,0),C(2,0) ③当AC=BC时，即C在线段AB的垂直平分线上，设C,(x,O) 则AC=BC=x+3 在Rt△BOC中，OB2+OC2=BC2 ∴.42+x2=(x+3)2 7 ..x= 6 :综上可得：点C的坐标为(-8,0) 1.如图，在千面直角坐标系中，函数=文+5的图家与能交于点有直线=号+b与（轴交于点 B,与直线y=x+5交于点C(m,4) B八 (1)求b的值和点B的坐标： (2)求△ABC的面积： (3)点P是x轴上一点，且△BCP是以CP为底的等腰三角形，求点P的坐标. 18146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(03，(2,0)： (2)14: 3)(7,0)或(-3,0). 【分析】 【详解】(1)解：：y=x+5过点C(m,4). ∴.4=m+5,解得：m=-1, C(1,4), :直线号+0经过点C(1): 代入相4=子(-)+，解得6 48 ..y=- 3 48 令y=0,则0=- +3,解得：x=2 B(2,0): (2)解：：函数y=x+5的图象与x轴交于点A,令y=0,则x+5=0,解得x=-5, ·点A的坐标为(-5,0)， ,点B的坐标为(2,0)， .AB=2-(-5)=7, :点C的纵坐标为4，即△ABC中AB边上的高为4， .5.w-xAx4-x7x4-14 1 2 (3)解：设点P的坐标为(x,0), 点B(2,0),C(-1,4), ∴BC=V(2-(-1)2+(0-4)2=5. :△BCP是以CP为底的等腰三角形， .BP=BC=x-2=5, 即x-2=5或x-2=-5, 19146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=7或x=-3, ∴点P的坐标为(7,0)或(-3,0) 题型四、一次函数与直角三角形问题 18.如图，在平面直角坐标系中，直线：y=行x+2与y轴交于点4”且与直线：y=-2x+10交于点B 若点P是x轴上的一个动点，当△ABP是以AB为直角边的直角三角形时，点P的坐标为： B 3x+2 y=-2x+10 【路（信0x仔0 2 【详解】解：在y=x+2中，当x=0时，y=2,则4(0,2)， :直线号+2与直线，=-2x+10交于点B 32 y= ∴联立 y=-2x+10 x=3 解得1y=4' .B(3,4). :点P是x轴上的一个动点， 设P(x,0), .AP2=(x-0)2+(0-22=x2+4,AB2=(3-0)2+(4-2)}=9+4=13, PB2=(3-x)2+(4-0)=9-6x+x2+16=25-6x+x2, :△ABP是以AB为直角边的直角三角形， 当AB2+BP2=AP2时，13+25-6x+x2=x2+4, 17 解得：x= 3 20146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当AB2+AP2=BP2时，13+x2+4=25-6x+x2, 解得： 综上所述， 点p的坐标为： 〔ogo 故答案为： 〔 19.如图，已知直线h1:y=x+1与x轴交于点A,与直线h:y=-2+2交于点B,点C为x轴上的一点， 若△ABC是直角三角形，则点C的坐标为 B A 【答案】(-2,0)或(-5,0) 【详解】解：直线：y=-x+1与x轴交于点A, .A(1,0) y=-x+1 由 、x+2·解得x=-2 y=3 .B(-2,3), 当∠ACB=90°时，C点的横坐标与B的横坐标相同， .C(-2,0) 当∠ABC=90°时，则AC2=AB2+BC2, 设C(x,0),则4C2=(x-),AB2=(-2-12+32，BC2=(-2-x2+32, (x-102=(-2-102+32+(-2-x)2+32, 解得x=-5, 21/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C(-5,0)」 综上，点C的坐标为(-2,0)或(-5,0)， 故答案为(-2,0)或(-5,0) 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点，直角三角形的 判定，勾股定理的应用等，分类讨论是解题的关键。 20.在平面直角坐标系中，一次函数y=x+4的图象分别与x轴，Y轴交于点A,B,点P在一次函数 y=x的图象上，则当△ABP为直角三角形时，点P的坐标是 【答案】(0,0)或(2,2)或(2，-2) 【详解】令x=0,则y=4,令y=0,则x=-4, .A(-4,0),B(0,4), ,点P在一次函数y=x的图象上， ,设点P的坐标为(，)， AB2=42+42=32 PB2=x2+(x-4)=2x2-8x+16, P4=(x+4)+x2=2x2+8x+16, ①当∠ABP-90°时， y=x+4 B A 根据勾股定理得：AB2+PB2=PA,即32+2x2-8x+16=2x2+8x+16, 解得：x=2 .点P的坐标为(2,2)： ②当∠BAP-90°时， 22146 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x+4 V-x O 根据勾股定理得：AB2+PA2=PB2,即32+2x2+8x+16=2x2-8x+16, 解得：x=-2 ∴.点P的坐标为(2，-2)： ③当∠APB-90°时，此时点P与点0重合， y=x+4 B V=x O(P) ∴点P的坐标为(0,0)： 综上，点P的坐标为(0,0)或(2,2)或(2，-2) 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，采用了分类讨论的思想，与方程相结合是解决 问题的关键 2L.如图，直线y=2r+b交x轴于点A,交y轴于点B,OA=4:点C是坐标轴上一点，且△ABC是直角 三角形，满足这样条件的C点有 个 A 【答案】3 【分析】 23146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】：OA=4,点A在x轴的负半轴， A(4,0), 1 直线y=2+b过点A .0=2×(4)+b, b=2, 1 y=5x+2, 2 .B(0,2) 当点C在x轴上， 当AC1BC,点C与原点O重合，C(0,0): 当AB⊥BC,设C(m,O), A(-4,0)B(0,2)C(m,0) AB2=(-4)+2=16+4=20,BC2=22+m2=4+m2,AC2=(m+4), 20+4+m2=(m+4)2, 解得：m=1, c1,0): 当点C在y轴上， 当BA⊥AC,设C(0,m), y B C A(-4,0)B(0,2）C(0,m) AB2=20,AC2=42+m2=16+m2,BC2=(2-m), 24146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .20+16+m2=4-4m+m2, ∴.m=-8, C(0,-8): :符合条件的点C的坐标是(0,0)或(1,0)或(0，-8)，有3个： 故答案是：3. 题型五、一次函数与等腰直角三角形问题 22.如图：点M是直线y=2x+4上的动点，过点M作MN1直线x=1于点N,x轴上是否存在点P,使 △MNP是以MN为斜边的等腰直角三角形，请你写出所有符合条件的点P的坐标一· y=2x+4 【答案】(-1,0)或 【详解】解：如图，过点P作PE⊥MN于点E,则PE=NE, y=2x+4 设点y的壁标为m2m+则点E的标为2m+4p的坐标为.当，=0时。 2x+4=0, 解得：x=-2, ∴直线y=2x+4与x轴的交点坐标为(-2,0)， 25/46 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当m<-2时，1-m=-2m-4, 2 解得：m=-3, ,m+1=3+1=-1, 22 ∴此时点P的坐标为（-1,0)： 当-2<m<1时。1-"生-2m+4,解得：0？ 2 5 7 .m+1 -=- 2 2 比时点p的坐标为兮0 当m>1时， m+1-1=2m+4, 解得：m=-3(不符合题意，舍去)， 综上所述，行合条件的点p的坐标为10或号0 故答案为：（-1,0)或 23.如图，直线y=-x+3与坐标轴分别交于点A,B,与直线y=x交于点C,线段OA上的点以每秒 2 1个长度单位的速度从O点出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ (1)求出点C的坐标一： (2)若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 B 0 Q→A、 【答案】 (2,2) 2或4/4或2 1 【详解】(1)，由 y=2x+3 ,得r=2 y=x y=2 26146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C(22): (2)如图1，当∠C00=90°，C0=00, y 70 图1 :C(2,2) .00=C0=2, t=2: 如图2，当∠CQ0=90°，0C=C0 B O M 图2 过C作CM⊥OA于M, C(2,2) ∴.CM=OM=2, ..OM=OM=2. .t=2+2=4. 即t的值为2或4， 故答案为：(2,2)，2或4. 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组、等腰直角三角形等知识，综合性比较强，熟练掌握相关 知识、运用分类讨论以及数形结合思想是解题的关键， 24.如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在直线x=6和射线y=2x-3(x≥0)上运动.若△OAB是等 腰直角三角形，则点B的坐标为 27/46 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】(3,3)或(4.5,6)或(5,7) 【详解】设A(6,m).分以下三种情况讨论： ①当∠AB0=90°时，如图①，此时OB=AB,∠B0A=45° .OA=6, ..OB=32 B(3,3). 将x=3代入y=2x-3,得y=3,符合题意： ②当∠AOB=90°时，如图②，过点A,B作y轴的垂线，垂足为C,D. 易证△AOC≌△OBD, ∴.AC=OD=6,OC=BD=-m. ∴.B(-m,6) :点B在射线y=2x-3(x≥0)上， ∴.6=-2m-3, 解得m=-4.5,即B(4.5,6): ③当∠OAB=90°时，如图③，过点B作EFLy轴，分别交直线x=6和y轴于点E,F,则EF⊥AE.易 证△ABE≌△OAD .'BE=AD=m,AE =OD=6. ∴.BF=6-m,DE=6+m, .B(6-m,6+m) 点B在射线y=2x-3(x≥0)上， 6+m=2(6-m)-3,解得m=1,即B(5,7). 综上，点B的坐标为(3,3)或(4.5,6)或(5,7) 28146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D八r B r.B E B D 图① 图② 图③ 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，掌握几何模型一一一线三直角是解题的关键. 25.综合与探究 如图，平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+5的图象与r轴、y轴分别交于点A'B,点F是线段AB 上的一个动点（不与A,B重合），连接OF,设点F的横坐标为x. 备用图 (I)直接写出A,B两点的坐标及AB的长度： ②)当S.or=2S,o时，求点F的坐标，并判断此时线段OF与AB的数量关系（需说明理由）： (3)在(2)的条件下，第一象限内存在一点P,使△APF是以AF为直角边的等腰直角三角形，请直接写 出点P的坐标， 【答案】()A(10,0),B(0,5):AB=5√5 (2) 解：：点F是线段AB上的一个动点（不与A,B重合）， 设△OAF的面积S,过点F作FE⊥x轴， E A ,点F的横坐标为x, 29146 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ∴F点坐标为玉，2x+5: 11 S.OAF= S.OAB- 22 2x+25=2×x10x5, 5 11 22 解得：x=5, ∴F点坐标为52 2 :AB=V102+52=5√5， OF-24B: (3)存在，点P的坐标为 【分析】 1 【详解】()解：y=2+5, 当0时y5当0t, x+5=0,解得：x=10' .A10,0),B(0,5), .OA=10,OB=5, ∴.AB=VOA2+0B2=V102+52=5√5 (2)略 25 ）1515 (3)存在，点P的坐标为2,5或22) 过点F作FE⊥x轴交x轴于点E,过点P作PG⊥OA于点G,过点P'作PH⊥FE于点H,分两种情况： D 30146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 情况一：：△AFP是等腰直角三角形， .AF=PA,∠FEA=∠FAP=∠PGA=90°， .∠AFE+∠FAE=∠FAE+∠PAG=90°， ∴.∠AFE=∠PAG. 在△FAE和△PAG中， ∠FEA=∠AGP ∠AFE=∠PAG AF=PA .△AFE≌aPAG(AAS) :FE-AG- 5 2'AE=PG=0A-OE=5' 情况二：，△AFP是等腰直角三角形， 同理△P'HF≌aFEA(AAS), FH=AE=5' HP=FE= 2 P》 25 (1515 综上所述，点P的坐标为 25或22 26.如图，在长方形ABC0中，点O为坐标原点，点B的坐标为(4,3)，点4、C在坐标轴上，直线 y=2x-3与AB交于点D,与y轴交于点E, (备用图) (1)点D的坐标为 ；点E的坐标为 31146 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求△CDE的面积： (3)若动点P在直线BC上，点Q在第一象限，且在直线y=2x-3上，若点O是等腰直角三角形APQ的直 角顶点，求点Q的坐标. 【答案】(1)3,3)，(0，-3) .15 ②2 1011 ③(2,1)或33 【分析】 【详解】(I)解：由题意得，BALy轴， :点B的坐标为(4,3)， 点D的纵坐标为3， 在y=2x-3中，当x=0时，y=-3,当y=3时，2x-3=3,解得x=3, 点D(3,3),点E(0,-3): (2)解：设DE与x轴的交于点F, B 在y=2x-3中，当)=0时，2x-30解得x 2, 由题意得，BC⊥x轴， :点B的坐标为(4,3)， .C(4,0)」 CF=4-3=5 22 32146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -x5x3+Ix .S.CDE=S.CFD+S.CFE=2 22 *315 2: (3)解：设(m,2m-3), ①若点Q在点D下方， 如图，过点作QG1y轴于点G,延长GO交直线BC于点H,则GH∥OC, D/B(P) A G ∴.∠AGQ=∠QHP=90° 又：点Q是等腰直角三角形AP№的直角顶点， ∴QA=QP,∠AQP=90° .∠A0G+∠PQH=90°， 又∠AQG+∠QAG=90° ∴∠QAG=∠PQH. ∴.△AQG2△QPH(AAS), ..AG=OH .GH∥OC, .G(0,2m-3、H(4,2m-3) 、.AG=3-(2m-3)=6-2m,0H=4-m, 6-2m=4-m, 解得m=2 .2m-3=1, 0(2,1): ②若点Q在点D上方， 如图，过点Q作QG1y轴于点G,延长QG交直线BC于点H, 同理可证△AQG≌△QPH. 33146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ...AG=OH A B E 同理可得AG=2m-3-3=2m-6,QH=4-m, .2m-6=4-m, 10 解得m=3: 2m-3= 3 》 1011 综上所述，点0的坐标为(2，)或33月 27.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6与x轴、y轴分别交于点A、B,点C在y轴的负半轴上， 若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线AB与CD相交于点E. O A 7 (1)点A的坐标为_，点B的坐标为_： 1 ②点M是y轴上一点，若S.us=2S.ocD,求点M的坐标. (3)在第一象限内是否存在点P,使△PAB为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在， 请说明理由. 【答案】(1)(8,0)；(0,6)： 34146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②点M的坐标为(0,33)或(0，-21)： (3)存在，点P的坐标为14,8)或(6,14)或(7,7) 【分析】 【详解】(1)解：令x=0得：y=6, .B(0,6) 令y=0得：0=- 4x+6,解得：x=8 A(8,0) (2)由(1)得0A=8,0B=6. AB=10 由折叠的性质可知BC=CD,AB=AD=I0 ∴.OD=OA+AD=8+10=18, 设OC=x,则CD=CB=x+6 在RtAOCD中，CD2=OC2+OD2, .(x+6)2=x2+182, 解得：x=24, ∴.0C=24, .C0,-24): 1 .S.ocp=5×24×18=216, 2 1 ÷5.4a-2×216=108, 设点M的坐标为(O,), ÷S.s=2x8x6-=108。 解得y=-21或y=33 ∴.点M的坐标为(0,33)或(0，-2)： (3)存在，理由如下： ①若∠BAP=90°，AB=AP,如图，过点P作PG⊥OA交OA于点G, 35146 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A ∠BAP=90°，AB=AP ∴.∠0AB+∠PAG=90°，∠0AB+∠0BA=90° ∴.∠PAG=∠OBA. :∠AOB=∠PGA=90°，AB=AP, ·△AOB≌aPGA(AAS). .OB=AG=6,0A=PG=8 ..OG=0A+AG=14 ∴此时点P的坐标为14,8)： ②若∠ABP=90°，AB=BP,如图，过点P作PH⊥OB交OB点H, 同理可得，此时点P的坐标为(6,14)： ③若∠APB=90°，BP=AP,如图，过点P作PM⊥OA交OA于点M,PN⊥OB交OB于点N, B OMA C :∠BPA=90° 36146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BPN+∠BPM=9O°， ,∠BPM+∠APM=90°. .∠BPN=∠APM. ∴.△BPN≌△APM(AAS). .PN PM,BN =AM. 设点P的坐标为(a,a), ∴.a-6=8-a, 解得：a=7, ∴此时点P的坐标为(7,7)， 综上所述，点P的坐标为(14,8)或(6,14)或(7,7). 题型六、一次函数中的折叠变换综合问题 4 28.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=一3x+4与x轴、y轴分别交于点A、B,M是y轴上的点 (不与点B重合)，若将△ABM沿直线AM翻折，点B恰好落在x轴正半轴上，则点M的坐标为() y A.(0,-5) B.(0,-6) C.(0,-7) D.(0,-8) 【答案】B 【分析】 【详解】解：直线y三一3x+4与x轴、y轴分别交于点4、B 令x=0:y=4,令y=0:则0=青+4，解得3 .A(3,0),B(0,4) .AB=VOA+0B2=V32+42=5, 设OM=m, 由折叠知，AC=AB=5,CM=BM,BM=OB+OM=4+m, 37146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OC=8,CM=4+m, 根据勾股定理得，64+m2=(4+m), .m=6, M(0,-6), 故选：B B 29.如图，在平面直角坐标系中，已知直线y= 4x+6与x轴、y轴分别交于A,B两点，点C(0,n)是y轴 上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴正半轴上，则点C的坐标是() 0 D A.(0,3) B. c. D.(0,4) 【答案】C 【分析】 【详解】解：由折叠知，AB=AD,BC=CD, .3 把x=0代入y=4+6,得y=6 把y=0代入y=x+6,得子x+6=0,解得x=-8, 3 “点A的坐标为(-8,0)，点B的坐标为(0,6)， .OA=8,OB=6 ..AB=V042+OB2 =10, 38146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=10. ..OD=AD-OA=2. .OC=n. .CD=BC=OB-OC=6-n, 在R1△0CD中，由勾股定理，得CD2=0C2+0D2,即(6-n)}=n2+2, 解彩多》 “点c的坐标为0， 3 故选：C 图，在平面直角坐标系O中，直线y+4与x抽、y轴分别交于点4、点B,点C在型 半轴上，将△ABC沿AC翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则OC的长为() B D衣 4 18 A.5 B.6 C.5 D.5 【答案】B 【详解】解：对于函数y= 3+4, 4 令x=0,则y=4:令y=0,则x=3, A(3,0),B(0,4) ..OA=3,0B=4,AB=VOA2+OB2=5, 由折叠可知：AD=AB=5,BC=CD, ..OD=0A+AD=8. 设点C(0,m）,则OC=-m,CD=BC=OB+OC=4-m, ,0D2+0C2=CD2, .82+(-m)=(4-m), 39146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得m=6, .0C=6, 故选：B 31.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,4),B(-3,0),连接AB.将△A0B沿过点B的直线折叠， 使点A落在x轴上的点A处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C,则点C的坐标为 B A 【0 【详解】解：点A(0,4),B(-3,0) ∴.OA=4,OB=3 根据勾股定理：AB=VOA+OB2=5 根据折叠的性质：AC=A'C,AB=A'B=5 ∴.A'O=AB.OB=2 设OC=x,则AC=A'C=OA-OC=4-x 根据勾股定理：AC2=A02+0C2 即：(4-x)2=22+x2 3 解得：x=2 :C点坐标为 故答案为： 02) 32.如图，一次函数y=-x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,C是x轴上一动点，连接BC,将 △ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为一 40146 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 【答案】（6-62,0)或(62-6,0) 【分析】 【详解】解：，y=-x+6, 当x=0时，y=6, 当y=0时，x=6, .A(6,0),B0,6), .0A=6,0B=6, .AB=V6+6=6W2, 设C(m,0), 如图1，当4点落在y轴正半轴上A处时，连结A4,AC, A B .C 图1 :A与A关于BC对称， .AC=A'C,AB=A'B=62. .0A=6+6V2, AC=6-m,AC=A'C=6-m. 在Rta4C0中，(6-m)=(6+62+m2, .m=-6-62, :C(-6-6W2,0) 如图2，当A点落在y轴负半轴上处时，连结A4,A'C, 41146 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YA B OCA 图2 由对称可得，AC=AC=6-m,AB=AB=6N2, ..OA'=A'B-OB=6V2-6, 在RaAC0中，(6-m=(62-6+m2 .m=6√2-6， :C(62-6,0): 综上所述：C点坐标为(-6-6W2,0)或(62-6,0)， 故答案为：（6-6√2,0)或(62-6,0)】 33.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，A,C两点分别在x轴、y轴上，∠B=90°，B点 的坐标为(L,3).将△ABC沿AC翻折，B点落在D点位置，AD交y轴于点E,则点D的坐标为 A 412 【答案】55 【详解】解：如图，过点D作DN⊥y轴于点N, 42146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、 两点分别在轴、轴上， 点的坐标为， E 轴， A衣 A C x y BC⊥y ∠B=90°B (（1,3) ..OA BC =10C AB =3. “A(1,0), 由翻折的性质得：∠CDE=∠B=90,CD=BC=1AD=AB=3. ..CD=OA. 在△CDE和△AOE中， :LCDE=∠ACE=90,∠CED=∠AEO,CD=A0, 、.ACDE≌△AOE(AAS), .CE=AE,DE=OE. 设DE=OE=x,则AE=CE=OC-OE=3-x, 在Rt△AOE中，OA+OE2=AE2, 即P+x2=(3-x, 4 解得：x=。 3· .OFDE CDDE=,CEDN,即：I :.2 2 45DN, 33 .DN= 59 设直线AE的解析式为y=:+ , 把A0)代入，得+了=0，解得k=-4 4 3 ..y=- 4.4 3x+3 43146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 44.4_12 412 :.D55)月 故答案为： 34.如图，己知直线：y=-9x+8与y轴交于点A,直线：y=-x-8与x轴交于点B,且两直线交于点 C (1)求C的坐标： (2)连接AB,求△ABC的面积； (③)点D是线段AB上的一个点，将△BCD沿直线CD翻折，点B的对应点为B',若△ADB为直角三角形且 ∠DAB'=90°，求线段BD的长. 【答案】(1)C(2,-10) (2)80 (3)5V2 【分析】 y=-9x+8 【详解】(1)解：由题意可得： y=-x-8· /x=2 解得： y=-10: ∴.C(2,-10) (2)解：记：y=-x-8与y轴的交点为2，如图， 44/46 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 当x=0时，y=-8,当y=-x-8=0,解得：x=-8, B(-8,0),Q(0,-8) .1:y=-9x+8 当x=0时，y=8,即A(0,8), ∴.SABc=S.ABQ+S.ACe 8+8x8+8+8x2 =64+16 =80 (3)解：如图，∠DAB=90°， D B B e A(0,8),B(-8,0),Q(0,-8), 0A=0B=00=8, :∠AOB=∠BO0=90° .∠BAO=∠ABO=∠BQ0=∠OBQ=45°，AB=V82+82=82, .∠ABC=90°， 过B'作B'F⊥BC于F,则AB∥B'F,∠B'FC=9O°， 而LABC=∠DAB=90°， 45146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB'∥BC 由平行线间的距离相等可得：AB=B'F=8V2,BF=AB, ∴.CF=8V2-BF=8√2-AB', B(-8,0),C(2,-10) :.B'C=BC=V(-8-2}+(0+10)}=10W2, (82)+(02-ABy=(102, :.(102-AB'=72, 解得：AB=4V2,(AB=16N2舍去)， 由对折可设BD=B'D=m. .AD=8V2-m, m2=(82-m+(42, 解得：m=5V2, .BD=5√2 【点睛】本题考查的是平行线间的距离，求解一次函数图象的交点坐标，坐标与图形面积，轴对称的性质， 勾股定理的应用，二次根式的乘法与除法运算，利用平方根的含义解方程，作出合适的辅助线是解本题的 关键 46146