专题10 一次函数与几何的四类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦一次函数与特殊三角形存在性、全等综合，以“解题通法+题型模版”构建分类讨论体系，通过典例变式实现能力迁移，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|围绕特殊三角形存在性、全等综合，贯穿“利用性质解决问题”底线原则|从一次函数基础到几何综合，构建“性质应用-分类讨论”逻辑链| |题型归纳|4题型（各含1典例+3变式）|等腰/直角/等腰直角三角形存在性问题均以“性质分类讨论”为关键；全等综合结合函数交点、勾股定理|按图形复杂度递进，从单一存在性到综合全等，形成“典例示范-变式巩固”训练路径| |压轴挑战|7道综合题|含绝对值函数、折叠等进阶考法，强化复杂情境下的模型构建与推理|衔接中考高频考点，提升空间观念与创新意识，突破思维上限|

专题10 一次函数与几何的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等腰三角形存在性问题 题型二、直角三角形存在性问题 题型三、等腰直角三角形存在性问题 题型四、一次函数与全等三角形综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数图像与几何综合是初中函数基础，所有题型均围绕特殊三角形存在性问题、全等三角形综合展开，其中压轴题还涉及到含绝对值的一次函数图像与性质关系，解题贯穿基本底线原则：利用其性质解决问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等腰三角存在性问题 典例 1如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与轴交于点，且正比例函数的图象向下平移个单位长度后经过点，求的值； (3)坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）先将点B代入正比例函数解析式，求出a的值，再将点A和点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）先求出点C坐标，再将点C坐标代入，即可求出m的值； （3）为等腰三角形，分情况讨论：当点E在x轴上，设点E坐标为；当点E在y轴上，设点E坐标为，根据分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入正比例函数， 得，解得， ∴点B坐标为， 将点，点代入一次函数， 得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点C坐标为， ∵正比例函数的图象向下平移个单位长度后经过点C， ∴将点代入， 得，解得； （3）解：为等腰三角形，分情况讨论： 当点E在x轴上， 设点E坐标为， ∵， ∴， ， ， 当时， ， 解得或（不合题意，舍去）； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得, 当点E在y轴上， 设点E坐标为， ∵, 当时， ，n无解， 当时，     ， 解得， 当时， ，n无解， 综上所述，满足条件的点E坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数与平移，等腰三角形的判定等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 题型模版 1.特征：等腰三角形存在性问题. 2.方法：根据等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键. 变式1-1如图所示，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点，且．    (1)直接写出正比例函数的解析式为：______； (2)求出直线的解析式； (3)求的面积； (4)在轴上存在一点，使是等腰三角形，请你求出所有符合要求的点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或或或． 【分析】（1）利用待定系数法，将代入求出即可； （2）利用待定系数法，将A，B两点分别代入求出即可； （3）的高是点A的横坐标3，底边是线段的长，所以利用函数解析式求出与y轴交点坐标，从而求出面积； （4）已知等腰三角形中的一边，分①当是底边；②当为底边，且A是顶角的顶点；③当为底边，且O是顶角的顶点，三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为， 点在正比例函数上， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴根据勾股定理得，， ∵， ∴， 设直线为， ∵经过，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：， （4）解：∵在x轴上，所以设， ①当是底边时，， ，根据题意得：，解得，则的坐标是； ②当为底边，时； 是顶角的顶点时，，则或者， 所以的坐标是或； ③当为底边，时； 则与关于对称，则，的坐标是． 综上，则的坐标是：或或或． 【点睛】此题主要考查了用待定系数法解函数解析式和一次函数图象的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分类讨论得出是解题关键． 变式1-2直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 且 ．点A是直线上的一个动点． (1)求的长和k的值； (2)当的面积是12时， 求出点A的坐标． (3)若点A的横坐标为6，x轴上是否存在点P，使是等腰三角形?若存在．直接写出出点 P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，点 P的坐标或或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式中参数，一次函数点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，用方程的思想和分类思想解决问题是解本题的关键．解题的关键在于（3）根据等腰三角形的不同分情况讨论． （1）由得到，进而得到，以及点，将其代入解析式求解，即可解题； （2）利用的面积是12，得到，解出，将其代入一次函数求解，即可得到点A的坐标； （3）利用勾股定理得到，根据x轴上存在点P，使是等腰三角形分以下三种情况讨论①当时，点 P在、处，②当时，点 P在处，③当时，点 P在处，结合等腰三角形性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：与x轴、y轴分别交于B、C两点， ，即， ， ，即， 有，解得， ，； （2）解：的面积是12， ， 即，解得， 或， 由（1）知， 当时，，解得，有； 当时，，解得，有； 点A的坐标是或； （3）解：存在， 点A的横坐标为6， 点A的坐标是， x轴上是存在点P，使是等腰三角形，且， ①当时，点 P在、处， 点 P的坐标为或； ②当时，点 P在处， 点 P的坐标为； ③当时，点 P在处， 设点 P的坐标为，， 则，解得； 综上，点 P的坐标或或或． 变式1-3如图，直线与轴、轴分别交于点，，． (1)求点的坐标和的值． (2)若是第一象限内的直线上的一个动点，当的面积是时，轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，的坐标为或或或． 【分析】（1）先求得直线与轴的交点，即可求出点的坐标，从而得到的长度；结合已知可得，进而求得点的坐标，将点的坐标代入解析式中，即可求得的值； （2）以、、分别是等腰三角形的顶角顶点分三种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 点的坐标为， ． ， ， 点的坐标为． 把代入，得， 解得． （2）解：存在． 由题意，得点的坐标为， ，解得，此时， 点的坐标为， 由勾股定理，得． 分以下三种情况讨论： ①当是等腰三角形的顶角顶点时，， 点的坐标为或； ②当是等腰三角形的顶角顶点时，，点与点关于过点且与轴垂直的直线对称， 点的坐标为； ③当是等腰三角形的顶角顶点时，． 设点的坐标为． ， 由勾股定理，得， 解得，则点的坐标为． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用、解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键． 类型二、直角三角形存在性问题 典例2如图，一次函数的图象分别与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)点为线段上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)点B的坐标为，点A的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理； （1）在函数解析式中分别令和，解相应方程，可求得A、B的坐标； （2）勾股定理求得，进而根据折叠的性质得出，分，，两种情况分别讨论，分别画出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令可得，解得， 令，解得， ∴，B． （2）解：∵，B ． ∴， ∴， 设，则，， 如图，当时， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴ ∴ 解得：， ∴； 如图，当时，则在轴的负半轴， 同理可得，， ∴ ∴中， ∴ 解得： ∴， 综上所述，或 题型模版 1.特征：直角三角形存在性问题. 2.方法：根据直角三角形性质分类讨论是解决问题的关键.. 变式2-1如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．    (1)在轴上存在点，使得，求点的坐标； (2)在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为或； (2)存在，点的坐标或． 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，以及勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）根据已知求得、坐标，由重点坐标公式求坐标，根据三角形面积公式建立方程，求解即可； （2）设点坐标，当是直角三角形分两种情况：或时求解即可． 【详解】（1）解：与轴交于点，与轴交于点， 当时，，则， 当时，，，则， ，， ∴， ∵点是的中点， ， ， 设， 则， ， 当时，， 解得：或， ∴点的坐标为或； （2）解：设轴存在一点，使得是直角三角形， ，，， 根据勾股定理可得：， ， ，， 是直角三角形，分两种情况： ①时，与原点重合，此时； ②时，则， ， 解得：，此时， 综上所述：点的坐标或． 变式2-2已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)3 (3)或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）令和令，可求、两点的坐标； （2）由勾股定理求出的长，再由轴对称的性质，用含的式子分别表示、的长，在中根据勾股定理列方程求出的长； （3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别相交于点和点 时；时 点坐标为，点坐标为． （2）解：由折叠得，，，， ，， ， ， ， ， 解得：； 故长为． （3）解：当时，则点； 当时，， 如图，设， ∴ 解得： ∴点； 当时， 如图，设， ∴ 解得： ∴点， 综上所述：点E的坐标为或或． 题型三、等腰直角三角形存在性问题 典例3如图，已知直线交轴于点，交y轴于点． (1)直接写出 ； (2)直线与轴，轴分别相交于点，，与直线相交于点，若，求的值； (3)点在直线上，若，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，学会数形结合的解题思路． （1）根据点在函数图象上，把点代入函数解析式，即可； （2）根据函数解析式，求出的面积，根据，等量代换，则，根据三角形的面积公式，求出点的横坐标，根据点在直线上，即可； （3）在线段上取点，过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据全等三角形的判定和性质，则，，设，，根据点在函数上，求出，得到点的坐标；在的延长线上取点，使，过点作轴于点，交的延长线于点，根据全等三角形的判定和性质，可得，；设，，根据点在函数上，求出，得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线交轴于点， ∴ 解得：． （2）解：由（1）可得，直线的解析式为： ∴， ∵直线与轴，轴分别相交于点，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：在线段上取点，过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，． 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 在的延长线上取点，使，过点作轴于点，交的延长线于点， ， ∵，， ∴， ∴； 设， ∴， 直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． 综上，或． 题型模版 1.特征：等腰直角三角形存在性问题. 2.方法：根据等腰直角三角形性质分类讨论是解决问题的关键.. 变式3-1直线分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x 轴正半轴于点C，且．    (1)直接写出点A、B、C 的坐标； (2)在线段上存在点P， 使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标： (3)在第一象限内是否存在一点E，使得为等腰直角三角形，若存在，直接写出E点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】（1）把代入求出x的值，即可得出点A的坐标； 把代入求出y的值，即可求出B的坐标；根据，求出，即可求出点C的坐标； （2）连接，设，则，在中，根据勾股定理可得：，据此列出方程求出x的值，进而得出，即可求出点P的坐标； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，过点E作轴于点F，通过证明，得出，即可得出点E的坐标；②当时，过点E作轴于点G，和①同理可证：，，即可求出点E坐标；③当时，过点E作轴于点N，过点E作轴于点M，通过证明，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵点P到B，C的距离相等， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴；    （3）解：①当时，过点E作轴于点F， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴；    ②当时，过点E作轴于点G， 和①同理可证：， ∴， ∴    ③当时，过点E作轴于点N，过点E作轴于点M， ∵，， ∴， 根据勾股定理可得：， 解得：， ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴，， 则， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴或（舍）， ∴；    综上：或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，构造全等三角形和直角三角形求解是解题的关键． 变式3-2如图，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_______三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①直角；②或；③存在，或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及其逆定理等知识． （1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可； ②根据求出长即可求解； ③先排除和的情况，然后根据，分两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角； ②∵， ∴， ∴， ∴或即或； ③∵当时，则，不符合题意， 当时，则，不符合题意， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， 如图，当点D在点B的左边时，过点作于点E，设，则，． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 当时，， ∴； 当点D在点B的右边时，过点作于点F，设，则，． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 当时，， ∴； 综上可知，点的坐标为或． 变式3-3如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）由题知，设，则． 在中，， 即：， ， ∴， 又， ∴． （2）设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴． （3），，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立解得：， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立解得：， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． 题型四、一次函数与全等三角形综合 典例4如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点是直线上与A、B不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)当点C运动到什么位置时的面积是6； (3)过点C的另一直线与y轴相交于D点，是否存在点C使与全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线解析式为 (2)点C的坐标为或； (3)存在，、或时，与全等 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题． （2）利用三角形的面积关于y的方程，再求出点C的坐标即可； （3）利用勾股定理列式求出，然后根据，然后分三种情况：当与是对应边时，利用全等三角形对应边相等求出，再写出点C的坐标即可；②与是对应边时，过点C作轴于E，利用面积法求出，再分点C在y轴的左边与右边两种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）得：， ∵点，的面积是6， ∴， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； （3）解：存在， 在中，∵， ∴， ∵点C是直线上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线与y轴相交于点D， ∴， 当与是对应边时，    ∵， ， ∴， ∴点； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：，    ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为、或． 【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，勾股定理，全等三角形的性质，关键在于根据题意得到，从而确定出三角形的对应边，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 题型模版 1.特征：一次函数与全等三角形综合. 2.方法：根据一次函数与坐标轴的交点的求解，勾股定理，全等三角形的性质即可. 变式4-1如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点，且． (1)的长为______，的长为______； (2)求m的值及正比例函数的表达式； (3)若点P在该正比例函数的图象上，Q是x轴正半轴上一动点，若以O、P、Q为顶点的三角形与全等，求点P的坐标． 【答案】(1)4；2 (2)； (3)或 【分析】（1）求出时的函数值和时的自变量的值，则可得到点A和点B的坐标，进而可得答案； （2）把点C的坐标代入一次函数解析式求出点C的坐标，即可得到m的值，再利用待定系数法求出正比例函数的表达式即可； （3）可证明，则或，据此分别画出对应的示意图，结合全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴； （2）解：在中，当时，，解得， ∴点C的坐标为，即， 把点C的坐标代入得，解得， ∴正比例函数的表达式为； （3）解：∵点P在正比例函数图象上， ∴与一定不垂直，即， ∵以O、P、Q为顶点的三角形与全等，且， ∴或， 如图所示，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 设点P的坐标为， ∴， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为； 如图所示，当时，同理可证明， ∴此时， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（1）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，在轴上找一点，连接，使得是等腰三角形，直接写出此时点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点，交轴于点，是射线上一点．若存在点，使得恰为等腰直角三角形，求的值． 【答案】（1）或或或；（2）或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，两点距离计算公式，一次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数解析式可得，则可利用勾股定理求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可； （2）根据一次函数解析式可得，则，由点C坐标可得；再分，和三种情况，利用一线三垂直模型求解即可． 【详解】解：（1）在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，则点P的纵坐标为或， ∴点P的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，则 设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或； （2）在中，当时，，当时，， ∴， ∴； ∵， ∴； 当时，则， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当时，如图所示，过点A作于F，则， 同理可证明， ∴， ∵， ∴（平行线间间距相等），， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示，过点D作轴于F，则， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 综上所述，b的值为或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与，交于点，与y轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)若第二象限有一点，使得，请求出点P的坐标； (3)线段上是否存在一个点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)或 (3)存在， 【分析】（1）根据，则，，即点A、的坐标分别为、，即可求解； （2）根据，可得点在过点和与点B关于x轴对称点且平行于的直线上，即可求解； （3）作直线关于y轴的对称直线，过点B作直线，交直线于点G，过点G作轴，垂足为Q，将线段绕点逆时针旋转到，并延长交直线于点，过点作轴，轴，垂足分别为H，E，证是等腰直角三角形，得到，推出，由旋转的性质得：，证，求出，进而求得，，从而得到，求出，得，求直线解析式为，联立直线与直线，求出，由对称可求，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ，， ∴、， 设直线的解析式为，将点、，代入得 ， 解得，， 即直线的解析式为； （2）解：①当点在上方时， ∵，则点在过点且平行于的直线上， 该直线的表达式为：， 将点坐标代入上式得：， 解得：， 故点； ②当点在下方时，设B关于x轴对称点， ∵，则点在过点且平行于的直线上， 该直线的表达式为：， 将点坐标代入上式得：， 解得：， ∴点； 故点的坐标为或； （3）解：存在，的坐标为，理由如下： 作直线关于y轴的对称直线，过点B作直线，交直线于点G，过点G作轴，垂足为Q，将线段绕点逆时针旋转到，并延长交直线于点，过点作轴，轴，垂足分别为H，E， 由题意得：， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 同理，得， 点在直线上， ， ， 由旋转的性质得：，， 即此时点符合条件， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得：， 直线解析式为， 联立， 解得：， ， 关于y轴对称， ． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，旋转的性质，对称的性质，矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等，要注意分类求解，避免遗漏． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求的面积； （2）点是直线上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为点，，若，请求出点的坐标； （3）点在直线上，坐标轴上存在动点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）6；（2）或；（3）点的坐标为或或 【分析】（1）利用一次函数的解析式分别求解的坐标，再利用三角形的面积公式即可得到答案； （2）设，再分别表示，，利用列方程解方程可得答案； （3）分三种情况讨论，当在轴上时，设 当在轴上时，设 当在轴上时，设 再分别利用勾股定理列方程解方程即可得到答案. 【详解】（1）解：∵ ∴当时，，即， 当时，，即， ∴ （2）设 由题意得，，， ∴或 ∴或 ∴或． （3）如图，当在轴上时，设 则 而 解得： 如图，当在轴上时，设 同理可得： 解得： 当在轴上时，设 同理可得： 解得： 综上：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查的一次函数的图象与性质，坐标与图形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解题的关键. 4．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或． 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解； （3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，也是有关关联点和关联直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解关联点和关联直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键． 5．直线与x轴、y轴分别交于两点，且． (1)求的长和k的值： (2)若点A是第一象限内直线上的一个动点，当它运动到什么位置时，的面积是？ (3)在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程） 【答案】(1)，； (2)当点A运动到时，的面积是； (3)，，，． 【分析】（1）根据题意求出点C的坐标和点B的坐标，运用待定系数法求出k的值； （2）根据三角形的面积公式求出点A的纵坐标，根据函数解析式求出点A的坐标； （3）分（两种情况）、和分析，根据等腰三角形的性质和勾股定理性质解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 又， ∴，即点B的坐标为， 将代入 得：， 解得，； 综上所述：，． （2）作于D， 由题意得，， 解得，，即点A的纵坐标为4， ， 解得，， ∴当点A运动到时，的面积是； （3）在（2）成立的情况下，y轴上存在一点P，使是等腰三角形， 分四种情况考虑： 当时，； 当时，； 当时，作，， 为线段垂直平分线与轴的交点， ，， 设，则， 在中，，即 在中，，即 当时，； 综上，P的坐标为，，，． 【点睛】本题考查的是一次函数知识的综合运用，掌握坐标与图形的性质、一次函数图象上的坐标特点、等腰三角形的判定和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 6．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上，当，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；，，， 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、三角形面积关系的应用以及平面直角坐标系中等腰三角形的存在性问题；解题的关键是熟练运用待定系数法、理解同高三角形面积比等于底边比的性质，以及分类讨论等腰三角形的不同构成情况；易错点是计算过程中的符号与准确性，以及在讨论等腰三角形时可能遗漏其中一种情况． （1）利用待定系数法，将已知点，的坐标代入一次函数解析式，建立方程组求解即可； （2）由​且两三角形有公共高，可得，即点是线段的中点，据此利用中点坐标公式求解； （3）等腰三角形的存在性问题，需分类讨论，分别以点为顶点或点为顶点的三种情况，进行讨论，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：∵点，， ∴设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：直线解析式中， 令，， 则点， ∵​， 且与有公共顶点和公共边所在的直线（即它们的高相等）， ∴， ∴点为线段的中点， ∵点，点，由中点坐标公式得点的坐标为： ∴ （3）解：设点的坐标为，已知点，点， 由勾股定理得： ， ， ， 分三种情况讨论： 情况一：以为顶点，， 即，解得或. 此时点坐标为，. 情况二：以为顶点，，， 两边平方得， 即， 或， 或， 当，点与点重合，故舍去. ∴点. 情况三：以为顶点，， ， 两边平方得， 即， 整理得， 解得 ∴点． 综上所述，在轴上存在点，使得是等腰三角形， 其坐标共有4个，分别为：，，，． 7．【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 【答案】 模型呈现：证明：在中，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中，， ； 模型应用：；； 深入探究： 【分析】模型呈现：先根据直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的判定即可证明结论； 深入探究：过点C作轴于点H，先证明，可得，，则点，再用待定系数法求直线的解析式即可； 深入探究：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，同样先证明，可求得，再用待定系数法求直线的解析式，进一步求出，的长，即可求得答案． 【详解】模型呈现：略 模型应用： 解：令，则， 令，则， 则点A，B的坐标分别为：、， 过点C作轴于点H，如图所示： ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 则点， 设直线的解析式为， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 故直线的表达式为； 深入探究： 解：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，如图： 把代入得， 解得， 把代入得， ，， ，， 直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令得， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，求一次函数的解析式，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数与几何的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等腰三角形存在性问题 题型二、直角三角形存在性问题 题型三、等腰直角三角形存在性问题 题型四、一次函数与全等三角形综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数图像与几何综合是初中函数基础，所有题型均围绕特殊三角形存在性问题、全等三角形综合展开，其中压轴题还涉及到含绝对值的一次函数图像与性质关系，解题贯穿基本底线原则：利用其性质解决问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等腰三角存在性问题 典例 1如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与轴交于点，且正比例函数的图象向下平移个单位长度后经过点，求的值； (3)坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 题型模版 1.特征：等腰三角形存在性问题. 2.方法：根据等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键. 变式1-1如图所示，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点，且．    (1)直接写出正比例函数的解析式为：______； (2)求出直线的解析式； (3)求的面积； (4)在轴上存在一点，使是等腰三角形，请你求出所有符合要求的点的坐标． 变式1-2直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 且 ．点A是直线上的一个动点． (1)求的长和k的值； (2)当的面积是12时， 求出点A的坐标． (3)若点A的横坐标为6，x轴上是否存在点P，使是等腰三角形?若存在．直接写出出点 P的坐标：若不存在，请说明理由． 变式1-3如图，直线与轴、轴分别交于点，，． (1)求点的坐标和的值． (2)若是第一象限内的直线上的一个动点，当的面积是时，轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、直角三角形存在性问题 典例2如图，一次函数的图象分别与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)点为线段上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 题型模版 1.特征：直角三角形存在性问题. 2.方法：根据直角三角形性质分类讨论是解决问题的关键.. 变式2-1如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．    (1)在轴上存在点，使得，求点的坐标； (2)在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-2已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 题型三、等腰直角三角形存在性问题 典例3如图，已知直线交轴于点，交y轴于点． (1)直接写出 ； (2)直线与轴，轴分别相交于点，，与直线相交于点，若，求的值； (3)点在直线上，若，求点坐标． 题型模版 1.特征：等腰直角三角形存在性问题. 2.方法：根据等腰直角三角形性质分类讨论是解决问题的关键.. 变式3-1直线分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x 轴正半轴于点C，且．    (1)直接写出点A、B、C 的坐标； (2)在线段上存在点P， 使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标： (3)在第一象限内是否存在一点E，使得为等腰直角三角形，若存在，直接写出E点坐标；若不存在，说明理由． 变式3-2如图，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_______三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 变式3-3如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 题型四、一次函数与全等三角形综合 典例4如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点是直线上与A、B不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)当点C运动到什么位置时的面积是6； (3)过点C的另一直线与y轴相交于D点，是否存在点C使与全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：一次函数与全等三角形综合. 2.方法：根据一次函数与坐标轴的交点的求解，勾股定理，全等三角形的性质即可. 变式4-1如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点，且． (1)的长为______，的长为______； (2)求m的值及正比例函数的表达式； (3)若点P在该正比例函数的图象上，Q是x轴正半轴上一动点，若以O、P、Q为顶点的三角形与全等，求点P的坐标． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（1）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，在轴上找一点，连接，使得是等腰三角形，直接写出此时点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点，交轴于点，是射线上一点．若存在点，使得恰为等腰直角三角形，求的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与，交于点，与y轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)若第二象限有一点，使得，请求出点P的坐标； (3)线段上是否存在一个点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求的面积； （2）点是直线上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为点，，若，请求出点的坐标； （3）点在直线上，坐标轴上存在动点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 4．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 5．直线与x轴、y轴分别交于两点，且． (1)求的长和k的值： (2)若点A是第一象限内直线上的一个动点，当它运动到什么位置时，的面积是？ (3)在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程） 6．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上，当，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $