精品解析：山东威海市乳山市银滩高级中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

9月考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 若复数 满足 ，则 （　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ，故 . 亦可由 . 2. 在四面体中，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作出符合题意的图形，再利用空间向量的加法、减法和数乘运算法则求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，所以， 由空间向量的加法、减法和数乘运算法则得 ，故A正确. 故选：A 3. 在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 4. 已知平面，的法向量分别为，，若，则k=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据法向量定义，把平面平行转化为法向量共线，即可求解. 【详解】根据题意那么它们的法向量，是共线向量， 于是，即解之可得. 故选：D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 6. 如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 7. 在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以. 8. 在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 二、多选题 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 的共轭复数 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，，虚部为，故A正确； 对于B，在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限，故B错误； 对于C，的共轭复数，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 在以下命题中，正确的命题有（ ）， A. 若，则是钝角 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A考虑共线反向的情况；选项B考虑有一个向量是零向量的情况；选项CD利用向量共面的条件证明即可. 【详解】对于A，若共线且反向时，，但是平角，故A错误； 对于B，若，则，但不存在实数，使，故B错误； 对于C，对空间任意一点和不共线的三点，，，若，，，四点共面，可设， 则 整理 因为， 所以，，，四点共面，故C正确； 对于D，假设共面，设 因为为空间的一个基底，可得，该方程组无解， 假设不成立，故D正确 故选：CD 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A：利用异面直线的夹角定义求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可,选项C：利用等体积法求解即可，选项D：建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出线面角正弦值的表示式，再运用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面，, 平面，又因为平面，， 同理可得平面，又因为平面，， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面, 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，， 从而，， 由正方体的性质知：平面， 即平面，故平面的法向量可取为， 直线与平面所成角正弦值为，, 因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12. 若 是纯虚数，则________. 【答案】 【解析】 【详解】， 因为是纯虚数， 故且，即. 13. 已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间点到线距离公式进行求解即可. 【详解】已知，，， 所以，. 进而，. ，进而. 则点到的距离. 14. 棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，先求，再求，最后利用二次函数即可求解. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由棱长为，所以， 所以， 设， 所以， 所以， 所以当时，的最小值为. 四、解答题 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，，，， 又，，. 因此，，. 【小问2详解】 ，. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. 【小问3详解】 在上的投影向量为. 16. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，,，设 （1）用表示，并求； （2）求AC1与BD所成角的大小. 【答案】（1） （2）90° 【解析】 【分析】（1）（2）问均用作为向量把其他向量表示出来，再代入对于公式计算即可. 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 ∵ ∴，因此AC1与BD所成角的大小为90° 17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且. （1）求证平面； （2）求与平面所成角的大小． 【答案】（1） 因为是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由，因为平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）连接，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求得与平面所成的角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，因为平面，所以为与平面所成的角， 因为，所以， 在直角中，， 所以，即与平面所成的角为. 18. 如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【答案】（1） 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． （2）1； 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 19. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面. （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，利用线面角的向量法求解. （3）假定存在并求出平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为． 20. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】（1）因为，，，易得，所以，即， 又因为平面，平面，所以， ，平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理证明，再通过线线垂直证明线面垂直. （2）通过二面角的定义找出二面角所对应的夹角，并通过勾股定理求解线段长度，进而求解余弦值. （3）通过建立空间直角坐标系求解平面法向量，利用法向量表示出二面角余弦值并求解范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接如图所示， 因为，，，平面，所以平面， 又因为，所以，为二面角的平面角. ，得，， 因为平面，所以，，. 【小问3详解】 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， ，，，，， 设，，，， 设平面法向量，满足，解得. 因为平面，所以平面法向量， ， 所以时，，时，， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9月考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 若复数 满足 ，则 （　） A. 1 B. C. 2 D. 2. 在四面体中，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面，的法向量分别为，，若，则k=（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 7. 在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（ ） A. B. C. D. 8. 在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 的共轭复数 D. 10. 在以下命题中，正确的命题有（ ）， A. 若，则是钝角 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 三、填空题 12. 若 是纯虚数，则________. 13. 已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 14. 棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 四、解答题 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 16. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，,，设 （1）用表示，并求； （2）求AC1与BD所成角的大小. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且. （1）求证平面； （2）求与平面所成角的大小． 18. 如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 19. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $