精品解析：山东省烟台市莱州市第一中学等三校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

三校联考高二数学月考试题 注意事项： 1.本试卷共19小题，满分150分.考试时间为120分钟. 2.答案写在答题卡上的指定位置，考试结束后，只将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直线的斜率定义即可求得m值. 【详解】由题知，，解得. 故选：A. 2. 在四面体中，，，，G为三角形的重心，P在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点D，根据向量的线性运算法则再结合重心的性质求解即可； 【详解】 延长交于点D，则点D为的中点， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 因为，，， 所以. 故选：C. 3. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 4. 已知A（2，3），B（﹣1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则的最大值为（　　） A. 1 B. C. D. ﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】设Q（3,0），利用斜率计算公式可得：kQA，kQB．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设Q（3，0），则kAQ3，kBQ， ∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点， ∴的取值范围是[﹣3，]， 故则的最大值为， 故选C． 【点睛】本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5. 如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】表达出，计算出，，利用空间向量夹角余弦公式计算出，得到直线与所成角的余弦值. 【详解】， ， 而 ， 故， 所以， 设直线与所成角的大小为，则. 故选：D 6. 过定点A的直线与过定点B的直线交于点P（P与A，B不重合），则周长的最大值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两直线经过的定点的坐标，判断两直线的垂直关系，求得为定值8，再利用基本不等式即可求得周长的最大值. 【详解】由题意可知，直线经过定点， 直线即，经过定点， ∵过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直， P又是两条直线的交点，则有，∴. 因， 故的周长为，（当且仅当时等号成立） 即周长的最大值为. 故选：B. 7. 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题. 【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意； 所以直线斜率存在设为， 则直线方程为， 联立直线得： ， 联立直线得：，， 所以直线与直线，直线的交点为： ， 又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分， 所以， 解得：， 所以直线的方程为：， 故选：B. 8. 如图所示，四面体的体积为V，点M为棱的靠近B的三等分点，点F分别为线段的中点，点N为线段的中点，过点N的平面与棱，，分别交于O，P，Q，设四面体的体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，令，得到，根据N，O，P，Q四点共面，结合基本不等式，求得，设点到平面的距离为，得到点到平面的距离为，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，连接，可得， ； 令，则，所以， 因为N，O，P，Q四点共面，可得， 当且仅当时取等号，所以； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又因为，， 所以，即的最小值为. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系及三角函数的性质即可判断A选项，利用两直线的垂直及充要条件的定义即可判断B选项，利用空间向量的基本定理可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的倾斜角为，则，因为，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为直线与直线互相垂直，所以，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故B错误； 对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，设这两个非零向量为，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量，使得为空间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故C正确; 对于D选项，因为向量，所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（   ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A可由含参直线的定点坐标求法可得；选项B当时，，重合；选项C由一般方程垂直时系数关系可得；选项D化为斜截式后，由斜率和和轴上的截距可判断. 【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确； 选项B：当时，，重合，故B错误； 选项C：当时，由，得或2，故C正确； 选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则平面 C. 若，，则平面 D. 若，时，直线与平面所成的角为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，得到，由，得到P点与C点重合，结合体积公式，可得判定A错误；求得平面的法向量，根据，可判定B正确；由，求得，可判定C正确；利用向量的夹角公式，求得，结合函数的单调性，可判定D正确. 【详解】连接，，，，，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，， 则，即， 对于A中，若，则，则P点与C点重合， 可得，所以A错误； 对于B中，若，则，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 由于，可得， 因为平面，所以平面，所以B正确； 对于C中，若，则，， 由于，所以平面，所以C正确； 对于D中，若时，可得，所以， 则， 设，，则，，， 则， 由于函数（）在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以，所以，，，，， 所以，所以，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在x轴上的截距为1且方向向量为的直线的方程是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量得出斜率，再点斜式写出直线方程，最后转化为一般式即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，在x轴上的截距为1， 则直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求向量，，，的坐标，利用向量方法求点到直线的距离. 【详解】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 取，，则，， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 14. 如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，，证得平面，设，且，由，求得，得到，求得，结合，即可求解. 【详解】取中点O，连接，可则,， 因为且平面，所以平面， 设，且， 因为正方形的边长为，可得且， 又由， 因为，可得， 解得，所以， 所以， 所以三棱锥的体积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边的高所在直线过点，且直线的一个方向向量为. （1）求顶点C的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据求得的斜率，再求其方程，将其与的方程联立求解即得C的坐标； （2）设点，求得，利用点在上和的方程联立求出点坐标，最后结合点C即可求得直线的方程. 【小问1详解】 因为，由，则， 又，利用直线的点斜式方程，可得直线的方程为：， 即， 由解得，故得点； 【小问2详解】 设点，因点是的中点，则， 又点在上，即，即， 因的方程为，故有， 由，可得， 又，故直线的方程为: ， 即直线的方程为：. 16. 如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，. （1）证明：； （2）已知点B到平面的距离为，求. 【答案】（1）证明：因为，， 所以， 所以, 因为为直四棱柱， 所以，因为，，面，所以面, 因为，所以面, 又因为面，所以, （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知的线段长结合勾股定理证明一个垂直关系，再结合已知条件，问题即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设定参数来表示各点坐标，然后通过空间向量解法即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）及题意知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 因为，，，设. 所以，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即 令，解得，，∴， 所以点B到平面的距离为 解得（舍负）， ∴. 17. 如图，在正四棱锥中，各棱长均为，为侧棱上的点，是中点. （1）若是中点，求直线与平面所成角的正弦值； （2）是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设，得到，求得平面的法向量为，根据平面，利用，列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：如图所示，设， 以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 在正方形中，由，可得， 又因为，所以，所以，可得， 则， 因为分别为中点，可得， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值. 【小问2详解】 解：因为， 可得， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 若平面，可得， 即可得，解得，所以， 即存在点，使得平面，此时的值为. 18. 平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B. （1）求的面积； （2）如图2，直线交y轴负半轴于点C，，P为射线（不含A点）上一点，过点P作y轴的平行线交射线于点Q，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点N，使是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）6 （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）由于交x轴于点，解方程和利用三角形面积公式，即可得到结论； （2）利用勾股定理得出长度，进而求得点坐标和直线解析式，即可求解； （3）利用等腰直角三角形的性质，分类讨论即可得到结论. 【详解】（1）把代入得：， ∴一次函数解析式为，令，得，∴ ∴，， ∴的面积； （2）①设， ∵P为射线上一点，∴， 在中，，，， ∴， ∵，∴， 设直线的解析式为，代入，得， ∴，∴， 又∵轴，则， ∴； ∴； （3）设，过点N作于点M， ∵是等腰直角三角形，轴，点N在y轴上， 当N为直角顶点时，，， ∴， ∵，，，解得或， ∵， ∴， ∴或，∴或， 当P为直角顶点时，， ∴，，解得， ∴， ∴. 当Q为直角顶点时，， ∴，，解得， ∴， ∴. 综上所述：或或 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.平面内任一点在面的两侧分别对应和. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，点与点在平面外的同侧，点B在平面内的投影点为，且，点C为平面内任意一点，求的最小值； （3）若平面为，平面与平面的交线为，且平面与平面所成面面角余弦值大小为，求平面的点法式方程. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）会借助公式，从条件中得到直线的方向向量和平面的法向量，即可求解； （2）会利用将军饮马问题的解法，来求对称点坐标，从而计算两点间距离即可； （3）利用方程组求解思想来求法向量，然后通过取一个点来写出平面的点法式方程. 【小问1详解】 由直线的标准式方程为可知，直线的一个方向向量坐标为， 由平面的点法式方程为可知，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以有， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由平面的点法式方程为可知，平面的法向量为， 设点在平面内的投影点为，易知与共线， 故，又由点在平面上，则满足， 令，则把代入可得： ，解得， 再代入，即可得， 由点A及点B在平面外的同侧，点C为平面内任意一点，要求的最小值， 利用将军饮马问题，可设点关于平面的对称点为， 则为中点，故由中点公式可得， 所以由两点间距离公式可得， 因为，所以， 由几何关系可知. 【小问3详解】 由平面为可知，平面的法向量， 由交线方程为可知，的方向向量， 设平面的法向量，则有， 整理得，不妨设，解得或； 故平面的法向量或 又直线在平面内，不妨取其上一点， 若，则平面为； 若，则平面为 综上，平面的点法式方程为： 或 【点睛】关键点点睛：根据题干知识点求相关平面方程及其法向量，结合空间向量的坐标运算求线面角、面面角和距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三校联考高二数学月考试题 注意事项： 1.本试卷共19小题，满分150分.考试时间为120分钟. 2.答案写在答题卡上的指定位置，考试结束后，只将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 2. 在四面体中，，，，G为三角形的重心，P在上，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知A（2，3），B（﹣1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则的最大值为（　　） A. 1 B. C. D. ﹣3 5. 如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 过定点A的直线与过定点B的直线交于点P（P与A，B不重合），则周长的最大值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 7. 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，四面体的体积为V，点M为棱的靠近B的三等分点，点F分别为线段的中点，点N为线段的中点，过点N的平面与棱，，分别交于O，P，Q，设四面体的体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 10. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（   ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则平面 C. 若，，则平面 D. 若，时，直线与平面所成的角为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在x轴上的截距为1且方向向量为的直线的方程是_____________. 13. 已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ___________． 14. 如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边的高所在直线过点，且直线的一个方向向量为. （1）求顶点C的坐标； （2）求直线的方程. 16. 如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，. （1）证明：； （2）已知点B到平面的距离为，求. 17. 如图，在正四棱锥中，各棱长均为，为侧棱上的点，是中点. （1）若是中点，求直线与平面所成角的正弦值； （2）是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B. （1）求的面积； （2）如图2，直线交y轴负半轴于点C，，P为射线（不含A点）上一点，过点P作y轴的平行线交射线于点Q，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点N，使是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.平面内任一点在面的两侧分别对应和. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，点与点在平面外的同侧，点B在平面内的投影点为，且，点C为平面内任意一点，求的最小值； （3）若平面为，平面与平面的交线为，且平面与平面所成面面角余弦值大小为，求平面的点法式方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $