精品解析：山东省烟台市莱州市第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2022级高三数学收心考试数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 命题“，”的否定是（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知偶函数满足，且当时，，则值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，若函数在内有4个零点，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. （多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 11. 定义在上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的可以是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若,,,则的最小值为________. 13. 已知函数f(x)满足：f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x＞y时，f(x)＞f(y)，请你写出符合上述条件的一个函数f(x)＝_______． 14. 如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结论： ①函数存在“线性覆盖函数”； ②对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个； ③为函数一个“线性覆盖函数”； ④若为函数的一个“线性覆盖函数”，则 其中所有正确结论的序号是___________ 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知函数，其中． (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求使成立的的集合． 16. 已知函数，函数． （1）求函数的值域； （2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 17. 已知函数为R上的偶函数． （1）求实数k的值； （2）若方程在恰有两个不同实根，求实数a的取值范围． 18. 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1000万元，每生产x台，需另投入生产成本万元.当年产量不足25台时，；当年产量不小于25台时，且当年产量为10台时需另投入成本1100万元；若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完. （1）求k的值； （2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量x（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）； （3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润. 19. 若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”. （1）写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由; （2）若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围; （3）若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022级高三数学收心考试数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的定义即可求解. 【详解】，所以. 故选：C. 2. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断 详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确， 故选：D 3. 命题“，”的否定是（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 【答案】C 【解析】 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题. 【详解】依题意全称量词命题“，”的否定为： 存在量词命题“，”. 故选：C 4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可. 【详解】由题意得，函数为奇函数，且定义域为， 由奇函数的性质得，，解得，经过检验符合题意， 所以当时，， 所以. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将分别化为，利用对数函数单调性比较可得. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，所以， 综上，. 故选：C 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除选项C；利用特殊值排除选项A，利用导数判断函数的零点和单调性，排除选项B，可得答案． 【详解】，则是偶函数，图象关于轴对称，排除C， 当且，，排除A， 当时，，则， ∵，，，则有两个不同的零点， 即当时，函数至少有三个单调区间，排除B， 故选：D． 7. 已知偶函数满足，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数满足，可得函数是以为周期的周期函数，再根据函数的周期性求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 又，所以，即， 所以函数是以为周期的周期函数， 因为， 所以 . 故选：D. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 8. 设，，若函数在内有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于不是函数的零点，则，令，将零点个数问题转化为函数与函数的交点个数问题，结合图象，即可得出实数的取值范围. 【详解】很明显不是函数的零点 令函数，则 则 令 则函数的图象与在内有个交点 函数的图象如图所示： 由图可得：. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求参数的范围，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. （多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】令，求得，进而得到的解析式可判断B，C；进而可求得可判断A，D. 【详解】解析 由，令，可得，可得， 即，故B正确，C不正确； 可得，故A正确； 1，故D不正确. 故选：AB. 10. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】借助基本不等式逐项判断即可得. 【详解】对A：由，得，所以， 当且仅当时取等号，故A正确； 对B：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故B错误； 对C：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对D：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故D错误. 故选：AC. 11. 定义在上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的可以是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，一步步转化到时，， 则，作函数的图象，结合图象可求出的最大值. 【详解】由题意可知，如图所示 当时，， 即； 当时，， 故； 当时，， 故； 令， 解得或， 所以或， 所以的最大值为. 即. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若,,,则的最小值为________. 【答案】9 【解析】 【分析】 由对数的运算法则,可以化简等式,用的代数式表示,最后利用基本不等式求出的最小值. 【详解】, 所以(当且仅当 时取等号,即时取等号）. 故答案为：9 【点睛】本题考查了对数的运算公式,考查了基本不等式,考查了代数式恒等变形能力. 13. 已知函数f(x)满足：f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x＞y时，f(x)＞f(y)，请你写出符合上述条件的一个函数f(x)＝_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由f(x＋y)＝f(x)f(y)，可得指数函数具有此性质，从而可得函数 【详解】对于函数， ， 且当x＞y时，f(x)＞f(y)， 所以函数满足条件， 故答案为：（答案不唯一） 14. 如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结论： ①函数存“线性覆盖函数”； ②对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个； ③为函数的一个“线性覆盖函数”； ④若为函数的一个“线性覆盖函数”，则 其中所有正确结论的序号是___________ 【答案】②③ 【解析】 【详解】对①：由函数的图象可知，不存在“线性覆盖函数”故命题①错误 对②：如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1）就是“线性覆盖函数”，且有无数个，再如①中的函数就没有“线性覆盖函数”，∴命题②正确； 对③：设 则 当 时，在（0，1）单调递增 当 时，在单调递减 ，即 为函数的一个“线性覆盖函数”；命题③正确 对④，设 ，则，当b=1时，也为函数的一个“线性覆盖函数”，故命题④错误 故答案为②③ 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中． (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求使成立的的集合． 【答案】（1） （2）奇函数 （3） 【解析】 【详解】(本小题满分14分) (1)由，得 ∴函数的定义域为． …………………4分 （2）函数的定义域为关于原点对称， ∵ ∴是奇函数．……………………………………………………………8分 (3)由，得. …10分 ∴， 由得， ∴…………………12分 得，解得. ∴使成立的的集合是．……………………………………14分 16. 已知函数，函数． （1）求函数的值域； （2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】（1）[－4，﹢∞)；（2）． 【解析】 【分析】（1）将原函数转化为二次函数，根据求二次函数最值的方法求解即可．（2）由题意得，求得，然后通过解对数不等式可得所求范围． 【详解】（1）由题意得 ， 即的值域为[－4，﹢∞)． （2）由不等式对任意实数恒成立得， 又， 设，则， ∴， ∴当时，=． ∴，即， 整理得，即， 解得， ∴实数x取值范围为． 【点睛】解答本题时注意一下两点： （1）解决对数型问题时，可通过换元的方法转化为二次函数的问题处理，解题时注意转化思想方法的运用； （2）对于函数恒成立的问题，可根据题意转化成求函数的最值的问题处理，特别是对于双变量的问题，解题时要注意分清谁是主变量，谁是参数． 17. 已知函数为R上的偶函数． （1）求实数k的值； （2）若方程在恰有两个不同实根，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）运用偶函数定义即可； （2）将表示成的函数，运用数形结合即可. 【详解】（1）由题意得， 即， 化简得， 从而，此式在上恒成立， ∴； （2）由（1）得恰有两个不同实根， 即在恰有两个不同实根，等价转化为在恰有两个不同实根， 设，所以，所以在单调递减，在单调递增， 当时，有最小值2，当或时，有最大值. 所以， 在恰有两个不同实根，所以在上有2个解， 所以， 即方程在恰有两个不同实根，实数的取值范围. 【点睛】含参方程有解的问题，可以分离参数，然后运用数形结合的方法求解. 18. 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1000万元，每生产x台，需另投入生产成本万元.当年产量不足25台时，；当年产量不小于25台时，且当年产量为10台时需另投入成本1100万元；若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完. （1）求k的值； （2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量x（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）； （3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2） （3）20台，200万元 【解析】 【分析】（1）将代入即可求解， （2）根据销售额减去成本，即可得利润， （3）利用二次函数的性质以及基本不等式可分别求得相应范围上的最大值，进而比较求解. 【小问1详解】 当，代入，得； 【小问2详解】 由题意可得：当时，， 当时， 所以年利润（万元）关于年产量x（台）的函数关系式为： ； 【小问3详解】 由（1）得时，， 此时（台）时，（万元） 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，（万元） 而，故（台）时，利润最大，最大利润是200万元， 综上所述：年产量为20台时，该企业所获利润最大，最大利润是200万元. 19. 若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”. （1）写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由; （2）若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围; （3）若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围. 【答案】（1），，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）假设其存在，则为方程的两根，解方程即可； （2）假设其存在，则为方程的两根，令，则问题转化为一元二次方程在有两个不等的实根，利用和韦达定理即可； （3）由题意得，可得，再代入原方程组中化简，转化为一元二次方程有两个不等的正实数根． 【小问1详解】 因为函数单调递增， 若在定义域区间上存在，使得的值域， 则，，即为方程的两根，又，得，， 又在区间上值域为，故，符合题意. 【小问2详解】 因为函数为递增函数， 要使在定义域区间上存在，使得的值域， 则只需有两个不等的非负实根， 令，，则在有两个不等的实根， 故，即，得， 即t的取值范围是. 【小问3详解】 函数在定义域内单调递减， 依题意得，两式相减，得， 则， 得① 将①式代入方程组得，则是方程的两根， 令，则在上有两个不同的实根， 则，解得， 故实数m的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$