专题13 反比例函数中存在性问题与尺规作图专项训练 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题13 反比例函数中存在性问题与尺规作图 题型01 面积存在性问题 题型02 等腰三角形存在性问题 题型03 直角三角形存在性问题 题型04 等腰直角三角形存在性问题 题型05 平行四边形存在性问题 题型06 矩形存在性问题 题型07 菱形存在性问题 题型08 正方形存在性问题 题型09 线段相等问题 题型10 角度存在性问题 题型11 尺规作图 ▌题型01 面积存在性问题 【典例1】如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．是否存在点D，使得，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，3），B （﹣3，n）两点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察反比例函数图象，当y＜3时，请直接写出自变量x的取值范围； （3）在y轴上是否存在一点P，使得△ABP面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，连接OA，OB． （1）求点A，B的坐标． （2）当y1≤y2时，x的取值范围为　 ． （3）y轴上是否存在点P，使得若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型02 等腰三角形存在性问题 【典例1】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+4（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（m为常数，m≠0）在第二，四象限分别交于C，D两点，点D（3，b），OB＝2OA． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P在坐标轴上，以点O，D，P为顶点的等腰三角形有　 个，当点P在x轴负半轴时，求等腰三角形ODP的面积； （3）如图2，已知函数y＝kx的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 【变式1-1】如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，6），B（m，﹣2）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）如图，一次函数y＝ax+b的图象交y轴于点C，交x轴于点D．若以CD为腰的等腰三角形CDF的顶点F是y轴上一点，求点F的坐标． 【变式1-2】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y（x＞0）经过点A（4，m）． （1）求点A的坐标； （2）用等式表示k，b之间的关系（用含k的代数式表示b）； （3）连接OA，一次函数y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B的坐标． 【变式1-3】如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）． （1）求反比例函数与一次函数的函数关系式； （2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）连接AO、BO，求△ABO的面积； （4）在y轴上找一点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出满足条件的点P的坐标． ▌题型03 直角三角形存在性问题 【典例1】一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（2，a）、B（8，﹣1）两点． （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣2． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，连接PA、PB，当△PAB是直角三角形且以AB为直角边时，直接写出点P的坐标． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，﹣2）、B（4，a）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）结合图形，请直接写出关于x的不等式的解集； （3）点P（0，b）是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，请直接写出b的值． 【变式1-3】如图，在▱ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数在第二象限内的图象经过点C． （1）C点坐标为 　 ． （2）求反比例函数的表达式． （3）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标． ▌题型04 等腰直角三角形存在性问题 【典例1】【模型建立】 (1)如图一，在中，，，直线经过点C，过点A作于D，过点B作于E．求证：． 【模型应用】 (2)如图二，直线： 与坐标轴交于点A、B，将直线绕点B顺时针旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 (3)如图三，一次函数 的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数 的图象上，若为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值． 【变式1-1】直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B，交反比例函数y（k≠0）于点P（第一象限）．若点P的纵坐标为2，且∠BAO＝45°． （1）求出反比例函数y（k≠0）的解析式； （2）过线段AB上一点C作x轴的垂线，交反比例函数y（k≠0）于点D，连接PD，当△CDP为等腰直角三角形时，求点C的坐标． 【变式1-3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集________； (3)在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． ▌题型05 平行四边形存在性问题 【典例1】如图所示，直线y1x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC． （1）求点C的坐标和反比例函数y2的解析式； （2）点P在x轴上，反比例函数y2图象上存在点M，使得四边形BPCM为平行四边形，求▱BPCM的面积． 【变式1-1】如图，正方形ABCO和正方形DCEF，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上，点D在CB边上，点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，其中点A（0，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求线段OF的长； （3）点G在反比例函数图象上，它的纵坐标是4，H是坐标平面内一点，O、B、G、H四个点组成一个平行四边形，请直接写出H点坐标． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为n（n＞3），点C的坐标为（3，0），AC⊥BC，AC＝2BC． （1）求点A、B的坐标和反比例函数的表达式； （2）点D、E分别在反比例函数和的图象上，与点A、B构成以AB为边的平行四边形，则点D、E的坐标分别为 　 、　 ． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A、B，点A的坐标为（2，3），点B的横坐标为6． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）如果点C、D分别在x轴、y轴上，四边形ABCD是平行四边形，求直线CD的表达式． ▌题型06 矩形存在性问题 【典例1】如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2，点A的纵坐标为4． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）直线AB交x轴于点D，过点D作直线l⊥x轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形OPAQ是矩形，求出点P的坐标． 【变式1-1】如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【变式1-3】如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型07 菱形存在性问题 【典例1】如图，一次函数y1＝kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数y2的图象于C、D两点，已知：A（﹣2，0），C（1，3）． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）连结DO，CO，求△COD的面积； （3）在一次函数y1＝kx+b上找一点M，在平面上找一点N，使四点O，C，M，N能够组成一个菱形，请直接写出M点坐标． 【变式1-1】如图所示，单位长度为1的网格平面直角坐标系中，y1＝k1x+b与双曲线（x＞0）交于点A（1，3）和点B（3，m）． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）直接写出不等式的解集 　 ； （3）确定格点C，使四边形OACB为菱形，并求出菱形OACB的面积． 【变式1-2】如图，直线y＝kx+b与反比例函数y的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4． （1）试确定反比例函数的关系式； （2）直接写出不等式kx+b的解集． （3）点D是y轴上一点，点E是坐标平面内一点，以点A．B，D，E为顶点的四边形是菱形，请直接写出点E的坐标． 【变式1-3】如图，已知直线yx与双曲线y交于A、B两点，且点A的横坐标为． （1）求k的值； （2）若双曲线y上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积； （3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标． ▌题型08 正方形存在性问题 【典例1】在平面直角坐标系中，如图所示，已知点A在反比例函数y（x＜0）的图象上．过A作AB⊥x轴， 垂足为点B．在AB的右侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再过点B作BP∥AC交反比例函数y（x＜ 0）的图象于点P． （1）当点A的横坐标为﹣4时，求点C的坐标和直线BP的表达式； （2）当四边形ACBP是正方形时，求点A的坐标． 【变式1-1】反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点A（2，0）作x轴的垂线，交反比例函数的图 象于点M，△AOM的面积为2． （1）求反比例函数的解析式； （2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞2．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值． 【变式1-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)①直接写出当时，的取值范围； ②连接和，求的面积； (3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【变式1-3】某数学活动小组在研究反比例函数与几何图形位置关系时，经历了如下过程： 如图1，正方形在平面直角坐标系第一象限中，轴，轴，，．    (1)发现问题：小明说：“对于任意的点一定存在一个反比例函数的图象同时经过点．” 小红说：“这是一个假命题．” 你支持谁的说法，请说明理由． (2)数学思考：若存在一个反比例函数的图象同时经过点，则与之间的数量关系为______________． (3)数学应用：①若点，反比例函数同时经过点，则_____________； ②在①的条件下，如图2，点分别在的延长线上，且，反比例函数的图象同时经过点，则___________； ③在②的条件下，若点在反比例函数上，且四边形是正方形，则____________． ▌题型09 线段相等问题 【典例1】在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+b与y轴交点P，与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是﹣4和3． （1）当y1≥y2时，直接写出x的取值范围； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式； （3）将直线AB向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一、第三象限的图象分别交于点C、D，在直线CD上是否存在一点Q，使PQ＝BC，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，在x轴上，已知，，反比例函数的图象经过点B． (1)求k的值． (2)把沿射线移动，当点D落在图象上时，求点D经过的路径长． (3)如图2，点O与点M关于点A成中心对称，连接把绕点B逆时针旋转得到三角形，所在直线与x轴交点Q，所在直线与反比例函数交于点P，试问，是否存是否存在的一个值，使得，若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． ▌题型10 角度存在性问题 【典例1】如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点，点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标； (3)如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图象上存在一点Q，使得，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【变式1-1】一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标及的面积； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 【变式1-2】如图，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象在第三象限内交于点C，．在x轴的负半轴上有一点D，且，连接． (1)求点C的坐标和反比例函数的解析式； (2)点E是反比例函数上任意一点，满足，求出点E的坐标． (3)在双曲线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点的横坐标． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)连接，，求的面积； (3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型11 尺规作图 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B是一次函数和反比例函数图象的两个交点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，画出一个平行四边形，使点A，B都是该平行四边形的顶点． （2）在图2中，画出一个菱形，使线段AB在该菱形一边所在直线上． 【变式1-1】如图，一次函数y＝2x+2的图象与反比例函数的图象相交于A（1，a），与x轴，y轴分别相交于B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）尺规作图：点P是线段AB上的一个点，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，当时，求点Q的坐标． 【变式1-2】如图，菱形OABC的顶点O为原点，点A在反比例函数的图象上，点B的坐标为（4，8），点C在y轴正半轴上，点M为OA的中点． （1）求反比例函数的解析式； （2）尺规作图：过点M作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点N（保留作图痕迹，不写作法）； （3）求点N的坐标． 【变式1-3】如图，一次函数y＝3x与反比例函数的图象交于点A（1，a），点B在x轴正半轴上． （1）求反比例函数的表达式． （2）请在∠AOB的内部作出满足下列条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ①点P到∠AOB两边的距离相等；②PA∥OB． （3）在第（2）问的条件下，直接写出点P的坐标． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 反比例函数中存在性问题与尺规作图 题型01 面积存在性问题 题型02 等腰三角形存在性问题 题型03 直角三角形存在性问题 题型04 等腰直角三角形存在性问题 题型05 平行四边形存在性问题 题型06 矩形存在性问题 题型07 菱形存在性问题 题型08 正方形存在性问题 题型09 线段相等问题 题型10 角度存在性问题 题型11 尺规作图 ▌题型01 面积存在性问题 【典例1】如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，坐标为或 【分析】（1）首先将点代入一次函数中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式． （2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出、的长，结合点B坐标即可求出的面积，从而根据面积倍数关系得到；以为底，高为点P纵坐标绝对值，根据面积公式即可反推出；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可． 【详解】（1）解：∵是一次函数的图象与反比例函数的图象交点， ∴将代入一次函数得，即， ∴将代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数解析式为． （2）∵一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D， ∴令，得，即点，；令，得，即点，． ∵，即B到y轴距离为1， ∴， ∴． 设点在反比例函数图象上，以为底，则高为， ∴，即或． 当时，由得，此时；当时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．是否存在点D，使得，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点，的坐标分别代入即可求得，的值，将点的坐标代入即可求得的值，从而可得一次函数与反比例函数的表达式． （2）分射线交轴于点和射线交轴于点两种情况进行讨论，结合，即可得到，两点的横（或纵）坐标关系，进而可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入， 得解得 一次函数的表达式为． 将点的坐标代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：分情况讨论： ①当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； ②当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，3），B（﹣3，n）两点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察反比例函数图象，当y＜3时，请直接写出自变量x的取值范围； （3）在y轴上是否存在一点P，使得△ABP面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据反比例函数的解析式，确定A（2，3），B（﹣3，﹣2），再利用待定系数法求一次函数的表达式； （2）根据图象的性质，确定第三象限内的函数值满足，第一象限内的函数值在x＞2时，符合题意； （3）根据题意，确定PC＝2，再根据距离的意义，求解即可． 【解答】解：（1）由条件可得m＝2，n＝﹣2， ∴A（2，3），B（﹣3，﹣2）， 把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入一次函数表达式y＝kx+b，得， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝x+1； （2）根据题意，得x＜0或x＞2； （3）存在， 设直线y＝x+1与y轴相交于点C， 当x＝0时，y＝x+1＝1， ∴C（0，1）， ∵S△ABP＝S△APC+S△BPC， ∴， ∴PC＝2， ∵1+2＝3，1﹣2＝﹣1， ∴P（0，3）或P（0，﹣1）． 【变式1-3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，连接OA，OB． （1）求点A，B的坐标． （2）当y1≤y2时，x的取值范围为x＜0或2≤x≤4　 ． （3）y轴上是否存在点P，使得若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）依据题意，联立方程x，则x＝4或x＝2，从而结合图象可以得解； （2）依据题意，当y1≤y2时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方，又一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（2，﹣3），B（4，），从而结合图象可以得解； （3）依据题意，根据反比例函数的性质可得，S△AOB（3）（4﹣2），则S△AOPS△AOB，设P（0，m），则OP＝|m|，从而S△AOPOP•xA，从而可得m＝±，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，联立方程x， ∴x＝4或x＝2． ∴结合图象可得，A（2，﹣3），B（4，）； （2）由题意，当y1≤y2时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（2，﹣3），B（4，）， ∴结合图象可得，x＜0或2≤x≤4． 故答案为：x＜0或2≤x≤4； （3）由题意，根据反比例函数的性质可得，S△AOB（3）（4﹣2）， ∴S△AOPS△AOB． 设P（0，m）， ∴OP＝|m|． ∴S△AOPOP•xA． ∴2|m|． ∴m＝±， ∴P（0，）或（0，）． ▌题型02 等腰三角形存在性问题 【典例1】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+4（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（m为常数，m≠0）在第二，四象限分别交于C，D两点，点D（3，b），OB＝2OA． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P在坐标轴上，以点O，D，P为顶点的等腰三角形有　8　 个，当点P在x轴负半轴时，求等腰三角形ODP的面积； （3）如图2，已知函数y＝kx的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 【分析】（1）先由一次函数解析式求出OB长度，结合OB＝2OA得A点坐标，求出k；再将D（3，b）代入一次函数得b，最后代入反比例求m即可； （2）分P在x轴，y轴两类，按OD＝OP、DO＝DP，PO＝PD三种等腰情况计数，再单独找出x轴负半轴的P，用底乘高算三角形面积； （3）结合k、m符号，观察函数y＝kx图象， 【解答】解：（1）将x＝0代入y＝kx+4，得y＝4 ∴B（0，4）， ∴OB＝4， ∵OB＝2OA， ∴OA＝2， ∴A（2，0） 将A（2，0）代入y＝kx+4，得k＝﹣2， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4， 将D（3，b）代入y＝﹣2x+4， 得b＝﹣2， ∴D（3，﹣2）， 将D（3，﹣2）代入， 得m＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为． （2）∵D（3，﹣2） ∴， P在x轴上时： ①OP＝OD时，则P1（，0）、P2（，0） ②DO＝DP时，则P3（6，0）， ③PO＝PD：P4（，0）， 共4个点， P在y轴上时： ①OP＝OD时，P5（0，）、P6（0，）， ②DO＝DP时，P7（0，﹣4）， ③PO＝PD时，P8（0，）， 共4个点， ∴8个等腰三角形． P在x轴负半轴只有P（，0）， 由题 ∴； 故答案为：8，． （3）图象的性质：①当x＞0时，y随着x增大而减小； ②当x＜0时y随着x增大而减小； ③函数的图象关于原点对称； ④函数的图象是轴对称图形． 【变式1-1】如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，6），B（m，﹣2）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）如图，一次函数y＝ax+b的图象交y轴于点C，交x轴于点D．若以CD为腰的等腰三角形CDF的顶点F是y轴上一点，求点F的坐标． 【分析】（1）将A代入反比例函数解析式求出解析式，再求出B点的坐标，将A、B代入一次函数解析式，即可求解； （2）先求出点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（12，0），再求出CD，分当点F在点C的上方，时，当点F在点C的下方，DF＝CD时，当点F在点C的下方，时，三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）由条件可得k＝（﹣6）×6＝﹣36， ∴反比例函数的解析式为． 将点B（m，﹣2）代入，得，解得m＝18， ∴点B的坐标为（18，﹣2）． 将点A（﹣6，6），B（18，﹣2）分别代入一次函数解析式，得， 解得， ∴； （2）将x＝0代入，则y＝4； 令，解得：x＝12； ∴点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（12，0）， ∴， 当点F在点C的上方，时， ∴， ∴点F的坐标为； 当点F在点C的下方，DF＝CD时， ∵OD⊥CF， ∴OF＝OC＝4， ∴点F的坐标为（0，﹣4）； 当点F在点C的下方，时， ∴， ∴点F的坐标为． 综上所述，点F的坐标为或（0，﹣4）或． 【变式1-2】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y（x＞0）经过点A（4，m）． （1）求点A的坐标； （2）用等式表示k，b之间的关系（用含k的代数式表示b）； （3）连接OA，一次函数y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B的坐标． 【分析】（1）将点A（4，m）代入y，求得m的值即可； （2）把（4，3）代入一次函数y＝kx+b即可得到b＝﹣4k+3； （3）求得OA＝5，根据等腰三角形的性质即可求得． 【解答】解：（1）∵反比例函数y（x＞0）经过点A（4，m）， ∴m3， ∴A（4，3）； （2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）经过点A（4，3）， ∴3＝4k+b， ∴b＝﹣4k+3； （3）∵A（4，3）， ∴OA5， ∵△AOB是等腰三角形， 当OA是腰时，B点的坐标为（﹣5，0），（5，0），（8，0）， 当OA为底时， ∵A（4，3）， ∴OA的中点（2，），直线OA为yx， 设过OA的中点且存在于OA的直线为yx+n， 把（2，）代入得，n， ∴n， ∴过OA的中点且存在于OA的直线为yx， 令y＝0，则0x， 解得x， ∴B点的坐标为（，0）， 故B点的坐标为（﹣5，0），（5，0），（8，0），（，0）． 【变式1-3】如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）． （1）求反比例函数与一次函数的函数关系式； （2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）连接AO、BO，求△ABO的面积； （4）在y轴上找一点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出满足条件的点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求得一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，当比变量取相同的值时，函数图象对应的点在上边的函数值大，据此即可确定； （3）根据S△ABO＝S△DBO+S△DAO即可求解； （4）求得OA的长度，分O是顶角的顶点，和A是顶角顶点，以及OA是底边三种情况进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）∵A（1，3）在反比例函数图象上，∴k＝3， ∵B在y的图象上， ∴n＝﹣3． ∵A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数图象上， ∴ 解得m＝1，b＝2． ∴两函数关系式分别是：y和y＝x+2． （2）由图象得：当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）设一次函数y＝x+2交y轴于D，则D（0，2），则OD＝2， ∵A（1，3），B（﹣3，﹣1） ∴S△DBO＝0.5×3×2＝3，S△DAO＝0.5×1×2＝1 ∴S△ABO＝S△DBO+S△DAO＝4． （4）由图象得，P（0，6）或P（0，）或 P（0， ）或P（0，）． ▌题型03 直角三角形存在性问题 【典例1】一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（2，a）、B（8，﹣1）两点． （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将B（8，﹣1）代入反比例函数求出m的值即可得出反比例函数的解析式，将A（2，a）代入反比例函数求出a的值即可得出点A的坐标，最后利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得A（2，﹣4），B（8，﹣1），则AB2＝45，设P（m，0），则AP2＝（2﹣m）2+16，BP2＝（8﹣m）2+1，再由勾股定理计算即可得出结果． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点B（8，﹣1）， ∴， ∴m＝﹣8， ∴反比例函数的解析式为， 将A（2，a）代入反比例函数可得：， ∴A（2，﹣4）， 将A（2，﹣4），B（8，﹣1）代入一次函数y＝kx+b（k≠0）可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）由（1）可得：A（2，﹣4），B（8，﹣1）， ∴AB2＝（8﹣2）2+[﹣1﹣（﹣4）]2＝36+9＝45， 设P（m，0）， 则AP2＝（2﹣m）2+（﹣4﹣0）2＝（2﹣m）2+16，BP2＝（8﹣m）2+（﹣1﹣0）2＝（8﹣m）2+1， ∵△ABP是以AB为斜边的直角三角形， ∴AP2+BP2＝AB2， ∴（2﹣m）2+16+（8﹣m）2+1＝45， 整理可得：m2﹣10m+20＝0， 解得，， ∴P或． 【变式1-1】如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣2． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，连接PA、PB，当△PAB是直角三角形且以AB为直角边时，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）根据正比例函数的表达式求出点B的坐标，再将点坐标代入反比例函数表达式求出k的值，即可得出反比例函数的表达式；根据A与B关于原点对称，A点横坐标与纵坐标分别与B点横坐标与纵坐标互为相反数； （2）根据图象分析，不等式即的解集即为一次函数图象位于反比例函数图象上方所对应的x的取值范围； （3）设P（m，0），根据勾股定理表示出PA2，PB2，AB2，进而根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）＝4， ∴点A的坐标为（﹣2，4）， ∵点A（﹣2，4）在反比例函数 的图象上， ∴k＝﹣8， ∴反比例函数的表达式为：， 又∵点A，B关于原点O对称，且点A的坐标为 （﹣2，4）， ∴点B的坐标为（2，﹣4）； （2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜2时，正比例函数y＝﹣2x的图象在反比例函数 的图象上方， ∴不等式的解集为 x≤﹣2或0＜x≤2； （3）点P的坐标为（10，0）或（﹣10，0）． 设P（m，0）， ∵A（﹣2，4），B（2，﹣4）， ∴AB2＝（2+2）2+（4+4）2＝80， PA2＝（m+2）2+42，PB2＝（m﹣2）2+42， 当△PAB是直角三角形且以AB为直角边时， 则当PA边为斜边时，PA2＝AB2+PB2， 即（m+2）2+42＝80+（m﹣2）2+42， 解得：m＝10； 当PB边为斜边时，PB2＝AB2+PA2， 即（m﹣2）2+42＝80+（m+2）2+42， 解得：m＝﹣10， 故点P的坐标为：P（10，0）或P（﹣10，0）． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，﹣2）、B（4，a）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）结合图形，请直接写出关于x的不等式的解集； （3）点P（0，b）是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，请直接写出b的值． 【分析】（1）根据待定系数法即可得到答案； （2）根据图象和A，B两点坐标可得出不等式的解集； （3）根据直线AB的解析式和题意设出另一条直角边的解析式，然后分两种情况分别讨论即可求得P的坐标． 【解答】解：（1）把 A（﹣2，﹣2）代入，得， ∴k＝4， ∴反比例函数的表达式为， 又∵B（a，1）在反比例函数图象上， ∴a＝4， ∴B（4，1）， 把 A（﹣2，﹣2），B（4，1）代入一次函数 y＝mx+n得， ，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）由图象可知，不等式的解集﹣2＜x＜0或x＞4； （3）∵P（0，b）是y轴上的一点，且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形，AB的解析式为， ∴设另一条直角边的解析式为y＝﹣2x+b， 当直角顶点是A时，则有﹣2＝﹣2×（﹣2）+b， 解得b＝﹣6， 当直角顶点是B时，则有1＝﹣2×4+b， 解得b＝9， 综上所述b＝﹣6或9． 【变式1-3】如图，在▱ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数在第二象限内的图象经过点C． （1）C点坐标为 　（﹣3，2）　 ． （2）求反比例函数的表达式． （3）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标． 【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等，继而求得点C的坐标； （2）由反比例函数图象经过点C，待定系数法即可求解； （3）对直角进行分类讨论，点和线段互相转化即可求解． 【解答】解：（1）在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∵A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0）， ∴点A与点D、点B与点C的纵坐标相同，AD＝1﹣（﹣2）＝3， ∴BC＝AD＝3， ∵点C在点B的左边， ∴点C（﹣3，2）； （2）∵反比例函数在第二象限内的图象经过点C（﹣3，2）， ∴， 解得：k＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为：； （3）设x轴上点E的坐标为（a，0）， ①当∠CED是直角时，CE⊥x轴， 点C与点E的横坐标相同， ∴a＝﹣3， ∴E（﹣3，0）； ②当∠ECD是直角时， 方法一：CE2+CD2＝DE2， ∵点C（﹣3，2），点D（﹣2，0），E（a，0） ∴CE2＝（﹣3﹣a）2+22，CD2＝22+12＝5，DE＝﹣2﹣a， ∴（﹣3﹣a）2+22+5＝（﹣2﹣a）2， 解得：a＝﹣7， ∴E（﹣7，0）； 方法二：设E′（e，0），则EE′＝﹣3﹣e， ∵∠CEE′＝∠DEC＝∠DCE′＝90°， ∴∠CDE+∠DCE＝∠CDE+∠DE′C＝90°， ∴∠DCE＝∠DE′C， ∴△CE′E∽△DCE， ∴，即， ∴EE′＝4， ∴﹣3﹣e＝4， 解得：e＝﹣7， ∴E′（﹣7，0）； 综上，当△DCE是直角三角形时，点E的坐标为（﹣3，0）或（﹣7，0）． ▌题型04 等腰直角三角形存在性问题 【典例1】【模型建立】 (1)如图一，在中，，，直线经过点C，过点A作于D，过点B作于E．求证：． 【模型应用】 (2)如图二，直线： 与坐标轴交于点A、B，将直线绕点B顺时针旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 (3)如图三，一次函数 的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数 的图象上，若为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值． 【答案】(1)解：如图1， ∵， ∴． 又∵，， ∴，， ∴， 在与中 ， ∴ ∴； (2) (3)或或 【分析】（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定，从而得结论； （2）根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式； （3）根据为等腰直角三角形分三种情况：以A，B，C三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全等可得点C的坐标，根据可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵直线的图象与轴分别交于点， ∴当时，，当时，， ∴，， 如图2， 过点作交直线于点，过点作轴， 由（1）知，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 设的解析式为，将，点坐标代入， 得， 解得， ∴的函数表达式为； （3）解：∵一次函数 的图象与坐标轴分别相交于点A、B， ∴当时，，当时，， ∴，， 分三种情况： ①如图3，，过点作轴于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）同理可得， ∴，， ， ∴， ∴； ②如图4，，过点作轴于， 由（1）同理可得， ∴，， ∴， ∴； ③如图5，，过点作轴，过点作轴， 由（1）同理可得， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，k的所有可能的值是或或． 【变式1-1】直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 【变式1-2】如图，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B，交反比例函数y（k≠0）于点P（第一象限）．若点P的纵坐标为2，且∠BAO＝45°． （1）求出反比例函数y（k≠0）的解析式； （2）过线段AB上一点C作x轴的垂线，交反比例函数y（k≠0）于点D，连接PD，当△CDP为等腰直角三角形时，求点C的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）作PF⊥CD，垂足为F，设点C（m，m﹣4），则D（m，），F（m，2），根据等腰三角形性质列出方程求出m值即可得到点C坐标． 【解答】解：（1）直线AB交x轴于点A（4，0），∠BAO＝45°， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣4， 当y＝2时，x＝6， ∴P（6，2）， ∵点P在反比例函数y（k≠0）的图象上， ∴k＝6×2＝12， ∴反比例函数的解析式为y； （2）如图，作PF⊥CD，垂足为F， 设点C（m，m﹣4），则D（m，），F（m，2）， ∵PD＝PC，PF⊥CD， ∴DF＝CF， ∴， ∴m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6（舍去）， ∴当C（2，﹣2）时，△CDP为等腰三角形． 【变式1-3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集________； (3)在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用数形结合思想，根据交点坐标的横坐标，求解即可； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数． ，解得， 故反比例函数的解析式为； ， 故点B的坐标为； 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为； （2）解：根据题意，得不等式的解集或； （3）解：设直线与y轴交于点F， 根据题意，得，， ， ， 过点D作轴于点D， 则， ， ， 故是等腰直角三角形， ， ； 过点A作于点A，交x轴于点， 则， ， ， 故是等腰直角三角形， ， ，， ； 解得， 故； ▌题型05 平行四边形存在性问题 【典例1】如图所示，直线y1x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC． （1）求点C的坐标和反比例函数y2的解析式； （2）点P在x轴上，反比例函数y2图象上存在点M，使得四边形BPCM为平行四边形，求▱BPCM的面积． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）根据S△BPC＝S△APC﹣S△APB，▱BPCM的面积＝2 S△BPC，只要求出△APC，△APB的面积即可； 【解答】解：（1）∵直线y1＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣4，0），B（0，1） 过C作CD⊥x轴于D， ∵AB＝BC， ∴D（4，0），C（4，2）， ∵点C（4，2）反比例函数y2（x＞0）的图象上， ∴k＝8， ∴反比例函数y2的解析式y2； （2）∵四边形BPCM为平行四边形， ∴G为BC、MP的中点， 由BG＝CG，则G（2，）， 设M（m，），P（n，0）， 由MG＝PG， ∴， ∴m，n，即P（，0）， S△APCAP•CD（4）×2，S△ABPAP•OB（4）×1 S△BPC＝S△APC﹣S△APB， ∴▱BPCM的面积＝2 S△BPC． 【变式1-1】如图，正方形ABCO和正方形DCEF，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上，点D在CB边上，点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，其中点A（0，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求线段OF的长； （3）点G在反比例函数图象上，它的纵坐标是4，H是坐标平面内一点，O、B、G、H四个点组成一个平行四边形，请直接写出H点坐标． 【分析】（1）根据点A（0，2）得正方形ABCO的面积为4，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得k＝4，由此即可得出该反比例函数的解析式； （2）设CE＝a，则OE＝a+2，EF＝a，根据反比例函数比例系数k的几何意义得，整理得a2+2a＝4，再由勾股定理即可得出OF的长； （3）先求出点B（2，2），点G（1，4），再分两种情况讨论如下：①当OG是平行四边形OBGH的对角线时，连接BH交OG于点Q，根据点O（0，0），点G（1，4）得点Q，设点H（m，n），则，，由此可得点H的坐标；②当OG是平行四边形OBHG的一边时，连接OH交BG于点P，根据点B（2，2），点G（1，4）得点P，由此可得点H的坐标，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）∵点A（0，2）， ∴OA＝2， ∴正方形ABCO的面积为4， ∵点B在反比例函数（k≠0）第一象限的图象上， ∴根据反比例函数比例系数k的几何意义得：k＝4， ∴该反比例函数的解析式为：； （2）设CE＝a， ∵四边形DCEF是正方形， ∴EF＝CE＝a， ∵四边形ABCO是正方形，OA＝2， ∴OC＝OA＝2， ∴OE＝OC+CE＝a+2， ∴S△OEFOE•EF， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△OEF2， ∴， 整理得：a2+2a＝4， 在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF； （3）依题意得：点B（2，2）， ∵点G在该反比例函数图象上，它的纵坐标是4， ∴点G的坐标为（1，4）， ∵H是坐标平面内一点，O、B、G、H四个点组成一个平行四边形， ∴有以下三种情况： ①当OG是平行四边形OBGH的对角线时，连接BH交OG于点Q，如图1所示： ∴点Q是OG，BH的中点， ∵点O（0，0），点G（1，4）， ∴点Q的坐标为， 设点H的坐标为（m，n）， ∵点Q是BH的中点， ∴，， ∴m＝﹣1，n＝2， ∴点H的坐标为（﹣1，2）； ②当OG是平行四边形OBHG的一边时， 连接OH交BG于点P，如图2所示： ∴点P是BG和OH的中点， ∵点B（2，2），点G（1，4）， ∴点P， ∴点H的坐标为（3，6）， 当OB为对角线时，连接GH，设GH交OB于点R，如图3所示： ∵点R是点O（0，0），点B（2，2）的中点， ∴点R的坐标为（1，1）， 设点H的坐标为（t，h）， ∵点G的坐标为（1，4）， ∴，， 解得：t＝1，h＝﹣2， ∴点H的坐标为（1，﹣2）， 综上所述：H点坐标是（﹣1，2）或（3，6）或（1，﹣2）． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为n（n＞3），点C的坐标为（3，0），AC⊥BC，AC＝2BC． （1）求点A、B的坐标和反比例函数的表达式； （2）点D、E分别在反比例函数和的图象上，与点A、B构成以AB为边的平行四边形，则点D、E的坐标分别为 　（﹣4，﹣2）　 、　（1，﹣2）　 ． 【分析】（1）由AC⊥BC可得△ACF～△CBN，利用对应边成比例及AC＝2BC可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求； （2）由A、B两点坐标可知AB∥x轴，根据点D、E分别在反比例函数和的图象上，设出两点坐标，因为D、E与点A、B构成以AB为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴A（﹣1，2）， 作AF⊥x轴，BN⊥x轴，如图， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACF+∠BCN＝90°， ∵∠CBN+∠BCN＝90°， ∴∠ACF＝∠CBN， ∵∠AFC＝∠BNC＝90°， ∴△AFC～△CNB， ∵AC＝2BC， ∴， ∵A（﹣1，2），点C的坐标为（3，0）， ∴， ∴BN＝2，CN＝1， ∴ON＝OC+CN＝4， ∴B（4，2）， ∵B（4，2）在反比例函数的图象上，代入得： k＝2×4＝8， ∴反比例函数解析式为； （2）设，， ∵A（﹣1，2），B（4，2）， ∴AB∥x轴，且AB＝5， ∵D、E与点A、B构成以AB为边的平行四边形， ∴AB∥DE，且DE＝AB，如图， ∴DE∥x轴，且DE＝5， ∴， 由②得：a＝﹣4b， 代入①得：|﹣4b﹣b|＝5， 解得：b1＝1，b2＝﹣1（舍）， 则a＝﹣4， ∴D（﹣4，﹣2），E（1，﹣2）． 故答案为：D（﹣4，﹣2），E（1，﹣2）． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A、B，点A的坐标为（2，3），点B的横坐标为6． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）如果点C、D分别在x轴、y轴上，四边形ABCD是平行四边形，求直线CD的表达式． 【分析】（1）根据点A（2，3）在y的图象上，得到3，k＝6，求出反比例函数的解析式为y，求出点B的坐标为（6，1），把点A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b即可得到结果； （2）根据两点间的距离公式得到AB的长2，由于四边形ABCD是平行四边形，得到AB∥CD，AB＝CD＝2，直线CD的解析式可设为yx+n，求得D点坐标为（0，n），C点坐标为（2n，0），根据勾股定理列方程得到n＝2或﹣2，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y的图象上， ∴3，k＝6．∴反比例函数的解析式为y 把x＝6代入上式得：y＝1， 即点B的坐标为（6，1）， ∵点A（2，3），B（6，1）在y＝kx+b的图象上， ∴， 解得． ∴一次函数的解析式为yx+4； （2）∵一次函数的解析式为yx+4， AB的长2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝2， 直线CD的解析式可设为yx+n， 则D点坐标为（0，n），C点坐标为（2n，0）， 在Rt△ODC中，OD2+OC2＝DC2， ∴n2+（2n）2＝20，解得n＝2或﹣2（舍去）， ∴直线CD的函数关系式为yx+2． ▌题型06 矩形存在性问题 【典例1】如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2，点A的纵坐标为4． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）直线AB交x轴于点D，过点D作直线l⊥x轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形OPAQ是矩形，求出点P的坐标． 【分析】（1）根据题意得出B点坐标，进而得出反比例函数解析式，再利用待定系数法得出一次函数解析式； （2）设P（﹣1，a），当∠PAO＝90°，如图2，当∠APO＝90°，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵BM＝OM＝2， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）， 设反比例函数的解析式为y， 则﹣2， 得k＝4， ∴反比例函数的解析式为y， ∵点A的纵坐标是4， ∴4， 得x＝1， ∴点A的坐标为（1，4）， ∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2）， ∴， 解得：， 即一次函数的解析式为y＝2x+2； （2）存在， ∵直线AB于x轴交于D， ∴D（﹣1，0）， ∴OD＝1， 设P（﹣1，a）， 如图2，当∠APO＝90°， ∵OP2＝OA2﹣PA2＝PD2+OD2， ∴12+42﹣[（1+1）2+（4﹣a）2]＝12+a2， 解得：a＝2±， ∴P（﹣1，2）或（﹣1，2）， 综上所述，点P的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，2）． 【变式1-1】如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于T，连接，则，可得，进而得到；设，则，解方程即可得到答案； （3）连接交于H，可证明，得到；由对称性可得，且点H为的中点，由等面积法可得，设，则，解方程可得，根据中点坐标公式可得，求出的中点坐标为，则的中点坐标为，即可得到点D的坐标为． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 设， ∴， 解得（已检验符合题意）或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴的中点坐标为， ∴点D的坐标为． 【变式1-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出点B的坐标，可求出反比例函数的解析式，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （2）设，根据四边形是矩形，可得，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴点B的坐标为， 把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的纵坐标是4， ∴，解得：， ∴点A的坐标为， 把点，代入，得： ，解得：， 即一次函数的解析式为； （2）解：存在， 对于，当时， ∴， ∴， ∵直线轴， ∴可设， ∵四边形是矩形， 如图，此时， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式1-3】如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（）；点 (2)①3；存在，点M的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标； （2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，作AE⊥x轴，PF⊥x轴，由此即可得出AE，PF，EF的长度，根据反比例中的模型：三角形的面积公式等于梯形面积，即可得出结论； ②首先，由于四边形是矩形，其邻边必然垂直，即，过作的垂线分别交，于点，，已知点，所以可以求出直线的解析式；接下来，因为点必须落在平行四边形的边上，所以需要分情况讨论：分别令直线与平行四边形的两条边（、）所在的直线方程联立求解，最后，通过验证求出的交点是否在线段范围内，即可筛选出所有符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的关系式为. 四边形为平行四边形，且点，，点， 点，点. （2）解：①作轴于点E，作轴于点F，如图3所示， 点为线段的中点，点、， 点， 令中，则， 点， 根据反比例函数的几何意义得， ， ②假如四边形是矩形，则，过作的垂线分别交，于点，，作轴于点，如下图： 点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的关系式为， 联立， 解得， ； ∴点的坐标为或． ▌题型07 菱形存在性问题 【典例1】如图，一次函数y1＝kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数y2的图象于C、D两点，已知：A（﹣2，0），C（1，3）． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）连结DO，CO，求△COD的面积； （3）在一次函数y1＝kx+b上找一点M，在平面上找一点N，使四点O，C，M，N能够组成一个菱形，请直接写出M点坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得C、D的坐标，然后利用△COD的面积＝S△OBC+S△OBD即可求解； （3）分两种情况，①当OC为菱形的边时，OM＝OC，②当OC为菱形的对角线时，OM＝MC，分别求解可得． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），C（1，3）代入一次函数表达式得：， 解得：， 故一次函数表达式为：y1＝x+2， 将点C（1，3）代入y2得：3， ∴m＝3， 故反比例函数表达式为：y2； （2）联立一次函数和反比例函数可得：， 解得或， 故点C、D的坐标分别为（1，3）、（﹣3，﹣1）， 当x＝0时，y1＝0+2＝2， ∴B（0，2）， ∴△COD的面积＝S△OBC+S△OBDOB×（xC﹣xD）2×4＝4； （3）∵O（0，0），C（1，3）， ∴OC， ∵点M在直线y1＝x+2上， ∴设M（m，m+2）， ①当OC为菱形的边时，OM＝OC， ∴m2+（m+2）2＝10，即m2+2m﹣3＝0， 解得m＝﹣3或1， ∴M（﹣3，﹣1）； ②当OC为菱形的对角线时，OM＝MC， 即OM2＝MC2， ∴m2+（m+2）2＝（m﹣1）2+（m+2﹣3）2， 整理得8m＝﹣2， 解得m， ∴M（，）， 综上所述，M的坐标为（﹣3，﹣1）或（，）． 【变式1-1】如图所示，单位长度为1的网格平面直角坐标系中，y1＝k1x+b与双曲线（x＞0）交于点A（1，3）和点B（3，m）． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）直接写出不等式的解集 　1＜x＜3　 ； （3）确定格点C，使四边形OACB为菱形，并求出菱形OACB的面积． 【分析】（1）将点A（1，3）坐标代入反比例函数解出k2，再将B（3，m）坐标代入反比例函数解析式得到B的坐标，待定系数法得到一次函数解析式即可； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）先根据网格图特征，确定点C，使四边形OACB为菱形，再利用勾股定理和菱形的面积公式求解即可． 【解答】解：（1）把点A（1，3）代入H函数解析式可得k2＝3， ∴， 将点B（3，m）代入， 得3m＝3， 解得m＝1， 把A（1，3）和B（3，1）分别代入y1＝k1x+b， 得， 解得， 故一次函数解析式为y1＝﹣x+4，反比例函数解析式为； （2）的解集为1＜x＜3； 故答案为：1＜x＜3； （3）格点C如图所求． 菱形OACB的边长都为． 故点C即为所求． 由格点可知． ∴． ∴菱形OACB的面积为8． 【变式1-2】如图，直线y＝kx+b与反比例函数y的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4． （1）试确定反比例函数的关系式； （2）直接写出不等式kx+b的解集． （3）点D是y轴上一点，点E是坐标平面内一点，以点A．B，D，E为顶点的四边形是菱形，请直接写出点E的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求得点B坐标，观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上的部分即为符合题意部分，对照图象直接写出即可； （3）利用分类讨论的方法分当以AB为一边时和当以AB为一条对角线时两种情况，分别画出图形，依据菱形的性质和对称性直接写出即可． 【解答】解：（1）将点A的坐标（﹣2，4）代入反比例函数y中得： k1＝﹣2×4＝﹣8， ∴反比例函数的关系式为y； （2）∵点B的横坐标为﹣4， ∴y2， ∴B（﹣4，2）． 由图象可知，不等式kx+b的解集为﹣4≤x≤﹣2或x＞0； （3）①当以AB为一边时，如图， 则E（﹣2，0）； ②当以AB为一条对角线时，如图， 此时点D与原点重合，E（﹣6，6）， 综上，以点A．B，D，E为顶点的四边形是菱形，点E的坐标为（﹣2，0）或（﹣6，6）． 【变式1-3】如图，已知直线yx与双曲线y交于A、B两点，且点A的横坐标为． （1）求k的值； （2）若双曲线y上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积； （3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标． 【分析】（1）把点A的横坐标为代入yx求出其纵坐标，然后把A点的坐标代入y求出k即可． （2）根据纵坐标为3，求出横坐标，再求出过A，C两点的直线方程，然后根据△AOC的面积＝S△AOD﹣S△COD求解即可． （3）作点A关于直线y＝x的对称点N（1，）．作NP∥x轴交AB于P，作PM∥ON交x轴于M，此时四边形ONPM是菱形．作NP′∥y轴交OA于P′，作NM∥OA交y轴于M′，此时四边形OP′NM′是菱形，分别求出P，P′的坐标，再根据对称性即可解决问题． 【解答】解：（1）把点A的横坐标为代入yx， ∴其纵坐标为1， 把点（，1）代入y，解得：k． （2）∵双曲线y上点C的纵坐标为3， ∴横坐标为， ∴过A，C两点的直线方程为：y＝kx+b，把点（，1），（，3），代入得： ， 解得：， ∴yx+4，设yx+4与x轴交点为D， 则D点坐标为（，0）， ∴△AOC的面积＝S△AOD﹣S△COD31． （3）作点A关于直线y＝x的对称点N（1，）．作NP∥x轴交AB于P，作PM∥ON交x轴于M，此时四边形ONPM是菱形． 可得：P（3，）． 作NP′∥y轴交OA于P′，作NM∥OA交y轴于M′，此时四边形OP′NM′是菱形，可得P′（1，）， 根据对称性可知：（﹣1，）或（﹣3，）也满足条件． ▌题型08 正方形存在性问题 【典例1】在平面直角坐标系中，如图所示，已知点A在反比例函数y（x＜0）的图象上．过A作AB⊥x轴，垂足为点B．在AB的右侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再过点B作BP∥AC交反比例函数y（x＜0）的图象于点P． （1）当点A的横坐标为﹣4时，求点C的坐标和直线BP的表达式； （2）当四边形ACBP是正方形时，求点A的坐标． 【分析】（1）如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，首先求出A（﹣4，2），得到AB＝2，B（﹣4，0），然后根据等腰直角三角形的性质得到，即可求出点C的坐标为（﹣3，1）；然后利用待定系数法求解即可； （2）首先画出图形，设，根据题意得到△ABP是等腰直角三角形，点P和点C关于AB对称，表示出，然后代入求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB于点D， ∵当点A的横坐标为﹣4时，， ∴A（﹣4，2）， ∴AB＝2，B（﹣4，0）， 由条件可知， ∴点C的横坐标为﹣4+1＝﹣3， ∴点C的坐标为（﹣3，1）； 设AC所占直线表达式为y＝kx+b，由条件可得： ， 解得， ∴y＝﹣x﹣2， 设直线BP的表达式为y＝﹣x+b1， 将B（﹣4，0）代入得，0＝4+b1， 解得b1＝﹣4， ∴直线BP的表达式为y＝﹣x﹣4； （2）如图所示，当四边形ACBP是正方形时， 设， ∵以AB为斜边作等腰直角三角形ABC， ∴， ∵四边形ACBP是正方形， ∴△ABP是等腰直角三角形， ∵AB⊥x轴， ∴点P和点C关于AB对称， ∴， ∵点P在反比例函数（x＜0）的图象上， ∴， 解得a＝﹣2或a＝2（舍去）， ∴A（﹣2，4）． 【变式1-1】反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点A（2，0）作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，△AOM的面积为2． （1）求反比例函数的解析式； （2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞2．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值． 【分析】（1）根据点A（2，0）、△AOM的面积为2，可求出点M的坐标，即可求解． （2）分情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵点A（2，0）、△AOM的面积为2． ∴OA＝2，OA•AM＝2， ∴AM＝2． ∴M（2，2）． 将M坐标代入反比例函数解析式得：k＝4． ∴反比例函数的解析式y． （2）分类讨论： ①如图： 此时顶点C在反比例函数上时， ∵B（t，0），t＞1． ∴OB＝t．OA＝2． ∴BC＝AB＝OB﹣OA＝t﹣2． ∴C（t，t﹣2）． 将点C坐标代入y ∴t•（t﹣2）＝4， ∴t＝1，或1（舍去）． ②如图： 此时顶点与M重合时，AB＝AM＝6． ∴OB＝7． ∴t＝7． 综上：t＝1或7． 【变式1-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)①直接写出当时，的取值范围； ②连接和，求的面积； (3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②4 (3)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）①根据的横坐标，结合函数图象，即可求解； ②根据一次函数求得的坐标，进而根据，即可求解； （3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为，     将代入， 得解得， 一次函数的表达式为，     联立方程组消得， 即， 解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3， 点的坐标为 （2）①∵，， 根据函数图象可得当时，或；     ②由得点为， 即的面积为4； （3）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上， ∴点的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得，且满足分式方程， ∵， ∴， ∴， 综上，点的坐标为，或． 【变式1-3】某数学活动小组在研究反比例函数与几何图形位置关系时，经历了如下过程： 如图1，正方形在平面直角坐标系第一象限中，轴，轴，，．    (1)发现问题：小明说：“对于任意的点一定存在一个反比例函数的图象同时经过点．” 小红说：“这是一个假命题．” 你支持谁的说法，请说明理由． (2)数学思考：若存在一个反比例函数的图象同时经过点，则与之间的数量关系为______________． (3)数学应用：①若点，反比例函数同时经过点，则_____________； ②在①的条件下，如图2，点分别在的延长线上，且，反比例函数的图象同时经过点，则___________； ③在②的条件下，若点在反比例函数上，且四边形是正方形，则____________． 【答案】(1)支持小红的说法，理由见解析 (2) (3)①3；②12；③6或20 【分析】（1）函数 的图象同时经过点，，得到，即可求解； （2）由题意知：，即可求解； （3）①由题意得，点，用待定系数法即可求解； ②由题意得，点，则点，再用待定系数法即可求解； ③当在的上方时，求出点，即可求解；当在下方时，同理可得，点的坐标为，进而求解． 【详解】（1）解：支持小红的说法，理由如下： 由题意知，，，． 假设对于任意的点一定存在反比例， 函数 的图象同时经过点，， 则， ， 这与任意的点相矛盾， 假设不成立，故小红说得对； （2）由题意知，，，． ， ， 故答案为：； （3）①由题意得，点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：； ②由题意得，点，则点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：； ③当在的上方时，如图，   以正方形为顶点构建正方形，则， 由②知，点，则点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：； 当在下方时， 同理可得，点的坐标为， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：； 故答案为：①3；②12；③6或20． ▌题型09 线段相等问题 【典例1】在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ． 【分析】（1）由在反比例函数图象上，得出，过点作轴交于，可证明，即可算出面积；②设，，则，，再根据点是线段的中点，得到，即可得解； （2）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式，得到，，可得到，过点作交于，根据，，即可得到． 【详解】（1） 在反比例函数的图象上， ， 过点作轴交于， 平分，， ，，， ， 的面积 的面积； 设，， ，， 点是线段的中点， ， ， ． （2）略 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+b与y轴交点P，与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是﹣4和3． （1）当y1≥y2时，直接写出x的取值范围； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式； （3）将直线AB向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一、第三象限的图象分别交于点C、D，在直线CD上是否存在一点Q，使PQ＝BC，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据图象解题即可； （2）根据待定系数法解题即可； （3）过点P作直线PM⊥CD交CD于点M，交x轴于点N，直线AB与x轴交于点H，结合平行四边形的性质、平移的性质、等腰三角形的性质进行解题． 【解答】解：（1）由图可知，当一次函数的图象在反比例函数图象上方，即y1＞y2时，﹣4＜x＜0或x＞3， 且一次函数的图象与反比例函数的图象的交点横坐标为x＝﹣4和x＝3， ∴当y1≥y2时，﹣4≤x＜0或x≥3； （2）由题意知，A（﹣4，﹣4+b），B（3，3+b），则： ， 解得， ∴一次函数和反比例函数的表达式分别为y1＝x+1，； （3）由条件可知P（0，1），B（3，4）， 直线AB向左平移2个单位长度，得到直线CD：y＝（x+2）+1＝x+3， 联立， 解得， ∵点C在第一象限， ∴xc＞0， 当时，， ∴； 如图，过点P作直线PM⊥CD交CD于点M，交x轴于点N，直线AB与x轴交于点H， 则有∠NPH＝90°， 由条件可知H（﹣1，0）； ∵OP＝OH＝1，∠POH＝90°， ∴， ∵∠NPH＝90°， ∴∠PNO＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵∠PON＝90°， ∴∠OPN＝90°﹣45°＝45°， ∴ON＝OP＝1，即N（1，0）； 设直线yPM＝nx+t，由条件可知： ， 解得， ∴yPM＝﹣x+1； 当PQ1∥CB时， ∵PB∥CQ1， ∴四边形BCQ1P为平行四边形， 设Q1（m，m+3），则有： ， 即， 解得， ∴， ∴； 联立， 解得，即M（﹣1，2）； 当PQ2＝PQ1＝BC时，由对称性可知，点M为Q1Q2的中点， 设Q2的横坐标为a， 则有， 解得， ∴， 即， 综上所述，存在，且或． 【变式1-2】两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，在x轴上，已知，，反比例函数的图象经过点B． (1)求k的值． (2)把沿射线移动，当点D落在图象上时，求点D经过的路径长． (3)如图2，点O与点M关于点A成中心对称，连接把绕点B逆时针旋转得到三角形，所在直线与x轴交点Q，所在直线与反比例函数交于点P，试问，是否存是否存在的一个值，使得，若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据题意求得点B的坐标，再代入求得k值即可； （2）设平移后与反比例函数图象的交点为，由平移性质可知，过作轴于点E，交于点F，设交y轴于点M，根据已知条件可求得点D的坐标为，设横坐标为t，则，即可得，由此可得，解方程求得t值，利用勾股定理求得的长，即可得点D经过的路径长； （3）证明，得出，根据中心对称的性质得出，，求出点P的横坐标为，根据反比例函数的解析式为，得出点P的纵坐标为，作于点H，证明为等腰直角三角形，得出，求出，根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】（1）解：∵和为全等三的等腰直角三角形，， ∴， ∴点B坐标为， 把代入得： ； （2）解：设平移后与反比例函数图象的交点为，由平移性质可知，过作轴于点E，交于点F，设交y轴于点M，如图， ∵，， ∴， ∴D坐标为， 设横坐标为t，则， ∴， ∴， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， 即点D经过的路径长为． （3）解：存在，理由如下： 当，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点O与点M关于点A成中心对称， ∴，， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为， 由（1）可知，反比例函数的解析式为， ∴点P的纵坐标为， ∴点． 【变式1-3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)点坐标为，或 (3)，或， 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，反比例函数中的几何意义，一次函数与反比例函数的图象交点坐标，三角形面积，两点间距离公式等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． （1）运用待定系数法即可求得的值，联立方程组可求得点的坐标； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，则，，分两种情况：当时，当时，分别利用三角形面积建立方程即可求得答案； （3）设直线的解析式为，与反比例函数解析式联立可得，则，，进而可得，根据，建立方程求解可得，即直线的解析式为，联立方程组即可求得答案． 【详解】（1）把代入，得， ， 代入，得， ， 反比例函数的解析式为， 联立方程组得：， 解得：，， ； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、， 则，， 当时，如图1，则， ，，， ， ，即， 解得：（舍去），， ，； 当时，如图2，则， ，，， ， ，即， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，点坐标为，或； （3）存在点使得，点坐标为，或，． ， 设直线的解析式为， 联立，得， 整理得：， 则，， 又，，则， ， ，， ， ， 、均在第一象限， ， ， 直线的解析式为， 联立得， 解得：，， ，或，． ▌题型10 角度存在性问题 【典例1】如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点，点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标； (3)如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图象上存在一点Q，使得，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)最小值为，点F的坐标为 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）由可得两点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；再由点A在反比例函数的图象上，由待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）易得直线的解析式为，作轴于点G，轴于点H，交直线于点，设，则，则可表示出，，，从而求得，则，当A，P，G在同一直线上，且轴时，的值最小，此时最小值为的长．作点A关于y轴的对称点为，连接交y轴于点，则可得，，当三点共线时，的值最小，且可求得最小值；再由待定系数法求得直线的解析式为，即可求得点F的坐标； （3）过点D作y轴的垂线l，过点A，N作直线l的垂线，垂足分别为U，T，则由易证，从而得，从而得到，并求得直线的解析式为，由此可得点R的坐标，待定系数法求得直线的解析式，与反比例函数联立，求得x的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把上述两点坐标分别代入一次函数中，得， 解得：, ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴， 把点A的坐标代入中，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 把点B的坐标代入得：，解得：， ∴直线的解析式为． 如图1，作轴于点G，轴于点H，交直线于点， 设，则，易知所求点P在点B的左侧． ∴，，， ∴， ∴， ∴， 当A，P，G在同一直线上，且轴时，的值最小，此时最小值为的长． ∵， ∴， 如图1，作点A关于y轴的对称点为，连接交y轴于点， 由轴对称的性质可得，， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为． 由待定系数法得直线的解析式为， 当时，， ∴，即此时点F的坐标为． （3）解：如图2，过点D作y轴的垂线l，过点A，N作直线l的垂线，垂足分别为U，T， 则， ∴， ∴， 由旋转知， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 设直线与直线交于点R． ∵，， ∴轴， ∴． 又∵． ∴， ∴， 作于点K，则， ∴点R的横坐标为， 当时，，即， ∴直线的解析式为． 联立解得或， ∴点Q的坐标为或． 【变式1-1】一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标及的面积； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)；面积4 (3)点D的坐标为或 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数解析式即可求出a的值；再将得到的A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值． （2）先设M点坐标为符合一次函数解析式的形式，根据平移规则得到N点坐标，因为N在反比例函数图象上，所以将N点坐标代入反比例函数解析式可求解M点坐标；求面积时可使用割补法、铅垂高法计算． （3）由可先判断与的位置关系，或者分D点在x轴正半轴、负半轴两种情况，结合角度相等的条件，利用平行关系、等腰三角形结合一次函数等方法求解D点坐标． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得：． （2）在中，令，得， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∵M为线段上的点， ∴设，且， ∵将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点N， ∴， ∵点N恰巧在反比例函数上， ∴， 解得：， ∵， ∴， 当时，， ∴； ∵， ∴． （3）解：在x轴上存在点D，使得． 当点D在x轴正半轴上时，如图，过点A作轴交x轴于点， 则， 此时点； 当点在x轴负半轴上时，如图，设与y轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴； 综上所述，点D的坐标为或． 【变式1-2】如图，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象在第三象限内交于点C，．在x轴的负半轴上有一点D，且，连接． (1)求点C的坐标和反比例函数的解析式； (2)点E是反比例函数上任意一点，满足，求出点E的坐标． (3)在双曲线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点的横坐标． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为 (2)点的坐标为或或或 (3)存在，P点的横坐标为或或 【分析】（1）通过一次函数解析式先求A、B坐标，过点C作x轴的垂线构造相似三角形，利用比例关系求出点C的坐标，进而求出反比例函数解析式即可； （2）先求出，从而得到，因为为定值，故点E到直线的距离为定值，求出该定值，并求出与直线平行且距离为该定值的直线的解析式，联立所求直线解析式与反比例函数的解析式，即可求出点E的坐标； （3）先根据题意求出点D的坐标，以为直角边，C为直角顶点作等腰直角三角形，利用一线三垂直全等模型求出点K的坐标，从而确定直线的解析式，联立所求的直线解析式与反比例函数的解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：令，得；令，得，， ∴，， ∴，， 如图，过点C作轴于点M， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：， ∴， ∵， ∴， 分下列两种情况： 第一种：点E在上方，如图，过点E作交y轴于点F，过点F作于点N，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴，直线的解析式为， 联立，得， 解得，或， 当时，； 当时，， ∴或； 第二种：点E在下方，如图，过点E作交y轴于点F， 同第一种情况，可得， ∴， ∴，直线的解析式为， 联立，得， 解得，或， 当时，； 当时，， ∴或， 综上，点的坐标为或或或； （3）解：存在， 由，得， 分下列两种情况： 第一种：点P在的下方，以为直角边，C为直角顶点向下作等腰直角三角形，过点C作轴，其中，， 由作法可知，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，，得 解得 ∴， 联立，得， 解得（由图舍去负值）； 第二种：点P在的上方，以为直角边，C为直角顶点向上作等腰直角三角形，过点C作轴，其中，，则， 同第一种情况，可知， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，，得 解得 ∴， 联立，得， 解得或， 综上，P点的横坐标为或或． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)连接，，求的面积； (3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)15 (3)存在，或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数交点问题，函数与几何结合问题，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式． （1）先将代入中求出，再将代入求出反比例解析式，后将一次函数和反比例函数联立方程组，求出； （2）先求出，再利用，代入数值即可求出本题答案； （3）先在图象上作出，有两种情况，第一种情况点在第四象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标；第二种情况点在第二象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴将代入中得：， ∴， ∴将代入中得：， ∴反比例函数的表达式：， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：连接，，将一次函数与轴交点命名为， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①第一种情况点在第四象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴， ∴联立，解得：或（与重合舍去）， ∴； ②点在第二象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为， 同理可得， ∴ ∴设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴， ∴联立，解得：， ∴， ∴综上所述：或． ▌题型11 尺规作图 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B是一次函数和反比例函数图象的两个交点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，画出一个平行四边形，使点A，B都是该平行四边形的顶点． （2）在图2中，画出一个菱形，使线段AB在该菱形一边所在直线上． 【分析】（1）连接AO、BO并延长，交反比例函数图象于C、D，连接BC、CD、DA即可； （2）设直线AB交坐标轴于E、F，连接AO、BO并延长，交反比例函数图象于C、D，作直线CD，交y轴于H，交x轴于G，然后把E、F、G、H顺次连接即可． 【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD为所求作的四边形． （2）如图2，四边形EFGH为所求作的四边形． 【变式1-1】如图，一次函数y＝2x+2的图象与反比例函数的图象相交于A（1，a），与x轴，y轴分别相交于B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）尺规作图：点P是线段AB上的一个点，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，当时，求点Q的坐标． 【分析】（1）将A（1，a）代入y＝2x+2求出a，再将点坐标代入，求出k即可； （2）根据同位角相等，两直线平行，作∠APQ＝∠ABO即可； （3）求出点B的坐标，设点P（t，2t+2），其中﹣1≤t≤1，则点（，2t+2），由，列式计算，求出t值，继而求出点Q的坐标． 【解答】解：（1）由条件可知a＝2×1+2＝4， ∴点A（1，4）， ∵点A（1，4）在反比例函数的图象上， ∴k＝1×4＝4， ∴反比例函数的表达式为：y； （2）如图所示，PQ即为所求； （3）由条件可得点B的坐标为（﹣1，0）， ∵点P在线段AB上， ∴设点P的坐标为（t，2t+2），其中﹣1≤t≤1， ∵PQ∥x轴， ∴点Q的纵坐标为2t+2， ∴点Q的坐标为（，2t+2）， ∵， ∴t， 整理得：2t2+11t+5＝0，解得：t＝﹣0.5，t＝﹣5（不合题意，舍去）， 当t＝﹣0.5时，4，2t+2＝2×（﹣0.5）+2＝1， ∴点Q的坐标为（4，1）． 【变式1-2】如图，菱形OABC的顶点O为原点，点A在反比例函数的图象上，点B的坐标为（4，8），点C在y轴正半轴上，点M为OA的中点． （1）求反比例函数的解析式； （2）尺规作图：过点M作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点N（保留作图痕迹，不写作法）； （3）求点N的坐标． 【分析】（1）依据题意，延长BA交x轴于点H，由AB∥CO，即AB∥y轴，可得BH⊥x轴，又四边形OABC是菱形，从而可设AB＝OA＝a，结合B（4，8），则OH＝4，AH＝8﹣a，A（4，8﹣a），又在Rt△AHO中，OA2＝AH2+OH2， ∴a2＝（8﹣a）2+42，求出a可得A（4，3），进而可得k的值，故可判断得解； （2）依据题意，根据作一个角等于已知角得∠AMN＝∠AOx，结合同位角相等，两直线平行，即可作图得解； （3）依据题意，由M是OA的中点，A（4，3），则M（2，），又MN∥x轴，可得N的纵坐标为，结合N在反比例函数y，进而代入计算可以得解． 【解答】解：（1）如图，延长BA交x轴于点H， ∵AB∥CO，即AB∥y轴， ∴BH⊥x轴． ∵四边形OABC是菱形， ∴可设AB＝OA＝a． 又∵B（4，8）， ∴OH＝4，AH＝8﹣a，A（4，8﹣a）． 又∵在Rt△AHO中，OA2＝AH2+OH2， ∴a2＝（8﹣a）2+42． ∴a＝5． ∴A（4，3）． ∴k＝4×3＝12． ∴反比例函数的解析式为y． （2）由题意，根据作一个角等于已知角得∠AMN＝∠AOx，结合同位角相等，两直线平行，可以作图如下． （3）由题意，∵M是OA的中点，A（4，3）， ∴M（2，）． 又∵MN∥x轴， ∴N的纵坐标为． 又∵N在反比例函数y， ∴N的横坐标为． ∴x＝8． ∴N（8，）． 【变式1-3】如图，一次函数y＝3x与反比例函数的图象交于点A（1，a），点B在x轴正半轴上． （1）求反比例函数的表达式． （2）请在∠AOB的内部作出满足下列条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ①点P到∠AOB两边的距离相等；②PA∥OB． （3）在第（2）问的条件下，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）将A（1，a）代入y＝3x求出a的值，再将A点坐标代入即可； （2）先作∠AOB的角平分线，再以点A为圆心，AO为半径作弧，与∠AOB的角平分线的交点即为满足条件的点P； （3）延长PA交y轴于点C，根据勾股定理求出AO，进而求出PA，即可得出P的坐标． 【解答】解：（1）由条件可知a＝3×1＝3， ∴A（1，3）， 将A（1，3）代入， 得：k＝1×3＝3， ∴反比例函数的表达式为． （2）如图，点P即为所求； （3）如图，延长PA交y轴于点C，则PA⊥y轴， 由条件可知OC＝3，AC＝1， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $