专题03 反比例函数中“k”的几何意义的十类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“k”的几何意义为核心，通过“解题通法+题型归纳+压轴挑战”三阶体系，系统构建从单点到双点、从三角形到四边形的解题方法，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|4核心知识点+6易错点|矩形/三角形面积结论、k的绝对值应用、跨分支面积拆分|从概念本质（k与面积关系）到易错规避，构建基础认知| |题型归纳|10类题型（每类1典例+3变式）|“一点一垂”“两点双垂”等构造法、双函数面积转化、规律探究策略|从单反比例到双反比例，从静态图形到动态规律，形成递进逻辑链| |压轴挑战|15道综合题|复杂图形面积计算、多函数综合应用、分类讨论思想|对接中考高频考点，提升综合解题与模型构建能力|

专题03 反比例函数中“k”的几何意义的十类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单反比例函数—“一点一垂”构造三角形 题型二、单反比例函数—“两点单双垂”构造三角形 题型三、单反比例函数—“一点一垂”构造四边形 题型四、单反比例函数—“两点双垂”构造四边形 题型五、双反比例函数—“同侧”构造三角形 题型六、双反比例函数—“同侧”构造四边形 题型七、双反比例函数—“异侧”构造三角形 题型八、双反比例函数—“异侧”构造四边形 题型九、反比例函数中的规律问题 题型十、反比例函数中的解析式 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分类 具体内容 要点说明 核心知识点 矩形面积结论 过反比例函数 图象上任意一点，分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为 三角形面积结论 过反比例函数 图象上任意一点作一坐标轴的垂线，该点、垂足与原点围成的三角形面积为 k的符号与面积无关 无论k是正数还是负数，围成图形的面积始终为非负数，仅和k的绝对值相关 同支多点面积性质 反比例函数同一分支上任意一点按上述规则得到的矩形/三角形面积都相等，均为或 常见易错点 忽略k的绝对值，直接把面积等于k 当时，直接用面积等于k会得到负数结果，错误，面积一定是非负的，应为 混淆矩形和三角形的面积公式 错把三角形面积记成、矩形面积记成，二者比例关系记错 跨分支图形面积计算错误 当点分别在反比例函数的两个分支上，组合形成图形时，不会拆分计算，错误直接套用单点面积公式；如两个分支各一点分别作垂线形成的矩形面积，实际应为，而非 误判图形与k的对应关系 将不是由反比例函数上一点作坐标轴垂线围成的图形，强行套用结论，导致计算错误 由面积反求k时遗漏符号 只根据面积算出，忽略反比例函数所在象限对k符号的要求，漏解或符号错误 动点问题中误用面积定值结论 点在反比例函数图象上运动时，错误认为任意位置围成的相关图形面积都等于，实际仅由双垂线或单垂线围成的标准图形面积才是定值，非标准图形面积会随动点位置改变 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单反比例函数—“一点一垂”构造三角形 典例1 如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接．将线段绕点A逆时针旋转，当点O的对应点落在x轴上时，的面积是（    ） A．2.5 B．5 C．10 D．12 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，过点作轴于点，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得出，再利用反比例函数的几何意义求出即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由旋转的性质可得， 是等腰三角形， ， ， ， 反比例函数的图象经过点， ， ． 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 变式1-2如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 【答案】 【分析】设，根据为的中点，得到，则，再根据的面积为，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵为的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 变式1-3如图，的直角顶点在轴上，函数的图象经过边的中点，且交于点，连接，则______． 【答案】9 【分析】设，得到，求出，即，然后得到，求出，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过边的中点 ∴设 ∴ ∵的直角顶点在轴上 ∴轴 ∴点D的横坐标为 将代入 ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴． 类型二、单反比例函数—“两点单双垂”构造三角形 典例2 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中错误结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴点与点关于原点对称，故①正确； ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故②正确； ∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小，对任意，不满足，故③错误； ∵轴， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵点是的中点， ∴，故④正确； ∴错误结论有1个， 故选：A． 变式2-1如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象性质可知点关于点O对称，由的面积是4，说明，再根据反比例函数比例系数的几何意义结合图象位置即可求解． 【详解】解：是反比例函数图象上的两点，且过原点O， 根据反比例函数的对称性得：点关于点O对称， ， 的边上的高与的边上的高相同，的面积是4， ， 轴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 该反比例函数的图象在第二、四象限， ． 变式2-2如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，轴于点C，连接，若的面积为6，则k的值为______． 【答案】 【分析】由正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，则点与点关于原点对称，所以，根据反比例函数比例系数的几何意义结合的面积为6，即可解答． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点， 点与点关于原点对称， ， 轴于点， 的面积， 解得， ∵反比例函数的图象位于二、四象限， ∴， ∴． 变式2-3如图，点A，B在反比例函数的图象上，且关于原点对称，过点A作轴于点C，连接，．则的面积是________．    【答案】6 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，设点B坐标为，且，根据A、B关于原点对称，得，再根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设点B坐标为：，且， ∵A、B关于原点对称， ∴点A坐标为：， ∵过点A作轴于点C， ∴点C坐标为：，， ∴， 故答案为：6． 题型三、单反比例函数—“一点一垂”构造四边形 典例3 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数系数的几何意义可得，即，再根据为中点可得，进而求出矩形面积． 【详解】解：设点的坐标为 ∵点在反比例函数的图象上 ∴ 由图可知， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴． 变式3-1如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由四边形的面积可求得，又因反比例函数的图象在第一象限，即可得，写出的值即可． 【详解】解：点P是反比例函数图象上的一点，分别过点P作轴于点A，轴于点B，若四边形的面积为2， 矩形的面积， ， 又反比例函数的图象在第一象限， ， ． 变式3-2如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的“”的几何意义求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 又∵双曲线在第三象限， ∴． 变式3-3如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 【答案】3 【分析】将点代入反比例函数解析式即可求出值，即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式， 得：， 解得：， 则反比例函数的解析式为：， ∴ 设点， ∴，， ∴矩形的面积为：． 题型四、单反比例函数—“两点双垂”构造四边形 典例4 如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数的中心对称性可得点的坐标，再设点的坐标为，利用平行四边形的性质，表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到与的关系，最后根据三角形面积公式和平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵ 四边形是平行四边形，且边经过原点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且为的中点， ∴ ， ∴ ， 设， ∵ 四边形是平行四边形，且设点， ， 整理得：， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 整理得：，即， ∴，即． ∵在轴负半轴， ∴，符合题意． ∴． ∴． 故选：C． 变式4-1如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】首先求出，然后由对称性得到，求出，然后将代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形，且正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，， ∴ ∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称 ∴图中阴影部分的面积等于正方形的面积 ∴ ∴ 将代入得， ∴． 变式4-2如图，平行四边形的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B、D均在y轴上，轴，与x轴交于点E，连接，若的面积为6，则k的值为________． 【答案】 【分析】连接，根据平行四边形的性质得出，根据中心对称的性质得出，然后利用双曲线上的点和坐标轴构成的直角三角形的面积与系数的关系求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵双曲线和平行四边形都是中心对称图形， ∴点和点关于原点对称， ∴， 则， ∴， 又该双曲线位于第二、四象限， ∴． 变式4-3如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 题型五、双反比例函数—“同侧”构造三角形 典例5 如图，点A是函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与函数的图象分别交于点B，C，OA与BC交于点D．下列结论中正确的是（     ） A．AB与AC一定相等 B．△AOB与△AOC的面积一定相等 C．OB与OC一定相等 D．△BOC与△ABC的面积一定相等 【答案】B 【分析】根据反比例函数中的几何意义与方程思想将点的坐标设出来，利用点与点之间的距离求线段进行求解． 【详解】解：如图所示，延长交轴于点，延长交轴于点， ∵点在反比例函数图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，轴， ∴， ∵， ∴； 设点，则点， A，，不确定， ∴之间的关系无法确定，不符合题意； B，，符合题意； C，∵， ∴， ∵不确定， ∴之间的关系无法确定，不符合题意； D，∵， ， ∴不符合题意． 变式5-1如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，若的面积为2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据轴可知轴，利用平行线间的距离相等可得，再根据反比例函数系数的几何意义，利用建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 轴，为轴上一点， 轴， 点、点到直线的距离相等， ， ， ， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且图象在第四象限， ，， 由图可知， ， 解得． 变式5-2如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式5-3如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为， 轴，轴， 点的坐标为，点的坐标为， 的长度为， 点在线段上，且， ， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同， 点的坐标为， ， 整理得：， 解得：， ， ， 为直角三角形， ， ， ． 题型六、双反比例函数—“同侧”构造四边形 典例6 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 变式6-1反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，当点P在反比例函数的图象上运动时，轴于点C，交反比例函数的图象于点A，轴于点D，交反比例函数的图象于点B．下列结论：①；②与始终相等；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键． 利用反比例函数系数的几何意义即可得，故①正确；设点P的坐标为，则，，可得，故②错误；，故③正确；连接，利用反比例函数系数的几何意义可得，从而得到，故④正确． 【详解】解：∵是反比例函数上的点，轴，轴， ∴，故①正确； 设点P的坐标为，则，， ∴， ∴无法确定和的大小关系，故②错误； 根据题意得：长方形的面积是k， ∴，故③正确； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：C． 变式6-2如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出，根据反比例函数k的几何意义求出，进而求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点D，连接， ∵平行四边形的面积是6， ∴．， ∴， ∴． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 变式6-3如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，若四边形的面积为，则的值为_____． 【答案】 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于得到方程，求解即可． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由图可知函数的图象位于第四象限， ∴． 题型七、双反比例函数—“异侧”构造三角形 典例7 根据图1所示的程序框图，得到了与的函数图象如图2所示，若是轴正半轴上任意一点，过点作轴交函数图象于点，，连接，，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．时， C．时，随的增大而增大 D．可能等于 【答案】D 【分析】根据程序框图确定和时的函数解析式，利用反比例函数的性质判断选项B、C；利用反比例函数的几何意义计算的面积判断选项A；设点、的坐标，利用勾股定理构建方程判断选项D． 【详解】解：由程序框图可知：当时，；当时，．选项B错误； 当时，，， 随的增大而减小，选项C错误； 设，，其中， 点在上，点在上， ，， ，选项A错误 设，()， 若， 则， 即， 整理得：， ， ， ， ，方程有解， 可能等于， 选项D正确．故选：D． 变式7-1已知反比例函数与的图象如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M，N两点，A是x轴上的任意一点，连结，，若的面积为8，则k的值为    （   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据轴，可得，再根据k的几何意义，即可求解． 【详解】解：连接，， 点N在的图象上，轴， ， 轴，A是x轴上的任意一点，， ， ， 点M在的图象上，轴， ， ，解得， 的图象在第二象限，即， ． 变式7-2如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 【答案】 【分析】利用中心对称性质得出为中点，从而将的面积转化为的面积；再根据轴，将分割为 和 ，结合反比例函数的几何意义建立方程求解． 【详解】解：连接， 设交轴于点， ∵点与点关于原点对称， ∴为的中点，即， ∴， ∵， ∴ ， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴． 变式7-3如图，与轴平行的直线与反比例函数和的图象分别交于两点，若是轴上任意一点，则的面积为________． 【答案】3 【分析】连接，记直线与轴交于点，根据反比例函数的几何意义得，由直线与轴平行得． 【详解】解：如图，连接，记直线与轴交于点， 根据的几何意义，得， 直线与轴平行， 与同底等高， ． 题型八、双反比例函数—“异侧”构造四边形 典例8 如图，四边形是平行四边形，对角线在轴上，位于第三象限的点和第四象限的点分别在反比例函数和的图象上，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为点，．下列结论：①；②；③阴影部分面积是；④若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数与几何综合、矩形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，则，作轴于点，轴于点，证明，得出，证明四边形、均为矩形，得出，，即可判断①；由题意可得，，即可判断②③；由菱形的性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 如图，作轴于点，轴于点， ， 则， ∴， ∴， ∵过点，分别作轴的垂线，垂足分别为点，． ∴，， ∴四边形、均为矩形， ∴，， ∴，故①正确； 由题意可得：，， ∴， ∴，故②正确； 阴影部分面积是，故③错误； 若四边形是菱形，则，， ∴若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 变式8-1如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为，矩形的面积为，由矩形的面积为6建立方程求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 四边形是矩形，点、在轴上， 轴，轴，轴， 四边形和四边形均为矩形． 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限， ， ． ， ， ． 变式8-2如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为_____，的值为_____． 【答案】 24 【分析】本题考查反比例函数的性质以及与几何综合，设，由关于原点对称，得，由轴，则，由轴，得，，可分别得B、C、D、E的坐标，再根据条件中的面积关系列出方程即可． 【详解】解：由题意知，关于原点对称， 设，则， 轴， ， 轴， ，，即，， 又五边形的面积为56，四边形的面积为32， ， 解得， 如图，延长、交于点G，则， ， ， ， 又，即， ，即， 解得， ， ． 变式8-3如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ，， 点坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为， 把代入得：，结论符合题意 点在双曲线的一支上，点在双曲线的一支上， ，， ，， 阴影部分的面积为，结论不符合题意． 当时，是矩形， 不一定等于, 与不一定全等， 不一定等于，结论不符合题意． 连结交轴于点， 四边形是菱形， ，， 点、关于轴对称， 如图所示的两个图像关于轴对称， 双曲线和各自关于原点对称， 两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称，结论符合题意． 题型九、反比例函数中的规律问题 典例9 如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 变式9-1如图，在轴的正半轴依次截取，过点，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，若，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键． 连接，再根据反比例函数中k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵点，，，是反比例函数的图象上的点， 都垂直于x轴， ∴， ∵， ∴，，． 以此类推，解得． 故选：A． 变式9-2如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【答案】 【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 变式9-3如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，，则____________． 【答案】 【分析】根据题意阴影矩形的一边长都为，将面积为的矩形向左平移到下方，则有：，最后利用计算即可． 【详解】解：等点，它们的横坐标依次为，，，…，n，， 阴影矩形的一边长都为，如图： 由题意得：轴，轴，轴，交于点， 将面积为的矩形向左平移到下方， ∴， 当时，，即， ， 根据反比例函数值的几何意义得：， ． 题型十、反比例函数中的解析式 典例10 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连结、．四边形的面积为8． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）可证明四边形是平行四边形，则，，则题目可解； （2）观察图像得不等式的解集； 【详解】（1）解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴点A与点B关于原点中心对称． ∴． ∵轴于点C，轴于点D， 又∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴反比例函数的解析式为 （2）解：由图象可知或． 变式10-1如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解； （2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为，面积为6 ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ∵，在图像上， ∴，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴ ∴ 变式10-2如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：延长 交轴于点，由题意得轴， 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得． 变式10-3如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，． (1)求k的值； (2)若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键． (1) 设， 分别交y轴于点E，F，连接，，，由点O 是平行四边形的中心， 得，证明，得进而可求k． (2) 根据点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心，分别求得点A 、点 B 的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，设， 分别交y轴于点E，F，连接，，， 轴， 轴， ∴由平移知轴， 则 ．                                由平移可知四边形是平行四边形， ∵点O 是平行四边形的中心，      ∵点O 是平行四边形的中心， ，， ， ， ， ．     ∵函数 的图象在第四象限， ， ． （2）解：∵点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心， ∴点A 的纵坐标为， ∴ 点 B 的纵坐标为1．     将代入 得， ． 将代入 得， ． 设直线的解析式为， 将，分别代入， 得 解得 ∴直线的解析式为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 2．如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】延长交y轴于E，则轴，推出四边形和四边形都是矩形，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴，如图： ∵四边形为矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴矩形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴矩形的面积为12， ∴矩形的面积为． 3．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（     ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】设，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， 点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，只有符合题意． 4．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 5．在平面直角坐标系中，、两点关于轴对称，以为边在轴上方作平行四边形，点恰好落在轴上，反比例函数交边于点，交边于点．点是平行四边形内任一点，连接、、、、．若，且，则的值为（     ） A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点，先求出平行四边形得面积，再求出的面积，根据反比例函数的几何意义即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点， ∵、两点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴． 6．如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 【答案】8 【分析】根据矩形的性质与三角形中线的性质解得，再根据四边形的面积为求出，直接根据反比例函数“”的几何意义求解即可． 【详解】解：连接、，如图所示： 四边形是矩形， ，， 、在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵图象在第一象限，即， ． 7．反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 【答案】6 【分析】作交于点D，根据等腰三角形三线合一得到，根据三角形面积公式求出，根据k的几何意义及反比例函数所在象限作答即可． 【详解】解：如图，作交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， 即． 8．如图，在平面直角坐标系中，曲线C关于原点O成中心对称，点A的对称点是点，轴，轴，点A在反比例函数的图象上，则阴影部分的面积之和为____________． 【答案】2026 【分析】将第三象限的阴影部分绕着点O旋转后与第一象限的阴影部分拼成矩形，然后根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：如图，将第三象限的阴影部分绕着点O旋转后与第一象限的阴影部分拼成矩形． 点A在反比例函数的图象上， ∴， 阴影部分的面积之和为2026． 9．对于反比例函数和，平行于x轴的直线与两个反比例函数的图象的交点分别为A，B．若，则的面积为______． 【答案】3 【分析】设直线交轴于点，根据反比例函数系数的几何意义，将的面积转化为与的面积之和，即可得出结果. 【详解】解：设直线交轴于点， 轴， 轴， ∴，， ，， ，， ； ， . 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 【答案】 【分析】作，连接，根据等腰直角三角形的性质得，再设点，则点，即可求出，，同理，最后根据求出答案． 【详解】解：过点D作，交x轴于点E， ∵等腰直角，， ∴，则点D是的中点． ， ， ∵， ∴． 设点， , ， ∴， ∴，，同理， ∴， 即， 解得． 11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数上，且，．点是轴的正半轴上一点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (3)若（2）中所作的角平分线分别交的图象，射线于点，，当时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)以原点为圆心，以适当长为半径作弧交角的两边，再分别以两个交点为圆心，以大于两个交点之间的距离一半的长为半径作弧，两弧相交于一点，连接原点与该交点并延长，即为角平分线．如图所示 (3)点的坐标为 【分析】（1）因为，所以的面积等于，结合面积值和的范围确定，即可得到反比例函数解析式． （2）以为圆心作弧交角的两边，再分别以两个交点为圆心，以大于两个交点之间的距离一半的长为半径作弧得到交点，连接与该交点并延长，即为角平分线． （3）首先根据得到点的纵坐标，代入反比例函数解析式求出点的坐标，求出长，再利用角平分线和平行线的性质证明是等腰三角形，得到的长；即可得到的长，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：，， ， ， 反比例函数的解析式为； （2）略 （3）解：轴，， 点的纵坐标为3， 将代入， 得， ， 在中，，， ， 平分， ， 轴， ， ， ， ， 点的坐标为． 12．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点． (1)若点A的横坐标为3，，直接写出的值______； (2)若，求出此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的横坐标求出其纵坐标，结合已知条件即可求出点的横纵坐标，从而求出值． （2）利用点和点与各自函数的关系可求出其横纵坐标的乘积，将其转化成线段关系，利用三角形的面积公式，表示出和的面积，利用等底关系和结合，将其面积比转化为线段比，即可求出的值． 【详解】（1）解：横坐标是3，在反比例函数上， 的纵坐标为， ， ， 在第四象限， 的纵坐标为， ， 和的横坐标相等， 的横坐标为3， ， ． （2）解：连接，，如图所示， 轴，在反比例函数上， ， ， ， 同理，， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数中点的坐标和值的关系，以及反比例函数中三角形面积问题，解题的关键在于点的坐标的乘积结果可以转化成面积的线段乘积关系． 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义求解即可； （2）设，根据矩形与矩形不重合部分的面积为6列方程求解即可． 【详解】（1）解：矩形的长和宽分别为4，3， ， 点B在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设， 则，， ，， 矩形与矩形不重合部分的面积为6， ， 解得， ， 点P的坐标为． 14．如图，点A、B分别是双曲线和上的两个动点，轴，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为D、C，连接、． (1)四边形的面积为 ； (2)设点C的坐标为． ① 当 时，四边形为正方形； ② 当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1)5 (2)①；②的值为 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）由反比例函数系数的几何意义即可求解； （2）由四边形为正方形可得，则点的纵坐标为，利用函数解析式即可求得点的横坐标，即可得的值； 由点，可得点，点，当是直角三角形时，利用即可求解． 【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得：． 故答案为：5． （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴，即点的横坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标为，即． 故答案为：． ∵轴，， ∴点，点， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴的值为． 15．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴，顶点在轴正半轴，，点分别在上，且，反比例函数的图象经过两点，连接，四边形的面积为24． (1)求反比例函数解析式； (2)如图2，点、分别为、的中点，点在该反比例函数的图象上，且点的横坐标大于点的横坐标，连接并延长交反比例函数图象于点，过点作直线于点，过点作直线于点． ①请探究与的数量关系，并说明理由； ②若，试判断的值是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；理由见解析；②是定值； 【分析】（1）设，则，得出，根据，得出，求出，得出点D的坐标，代入求出反比例函数解析式即可； （2）①点、分别为、的中点，得出，，求出直线的解析式为：，过点H作，交于点K，过点G作于点J，根据勾股定理和等腰三角形的判定和性质得出，设，则，求出，，得出，即可得出答案； ②过点I作轴，交于点M，过点I作于点N，证明，设，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， 设，则， ∴， ， ∵四边形的面积为24， ∴， 解得：，负值舍去， ∴，， ∴， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：①∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴，， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点H作，交于点K，过点G作于点J，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵点H在反比例函数图象上，K在直线上， ∴，， 即，， 则， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴，，， ∴ ， ∴， ∴； ②过点I作轴，交于点M，过点I作于点N，如图所示： 则，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点I的坐标为，则， ∵点I在反比例函数图象上，K在直线上， ∴，， 即，， 则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 4 / 67 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数中“k”的几何意义的十类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单反比例函数—“一点一垂”构造三角形 题型二、单反比例函数—“两点单双垂”构造三角形 题型三、单反比例函数—“一点一垂”构造四边形 题型四、单反比例函数—“两点双垂”构造四边形 题型五、双反比例函数—“同侧”构造三角形 题型六、双反比例函数—“同侧”构造四边形 题型七、双反比例函数—“异侧”构造三角形 题型八、双反比例函数—“异侧”构造四边形 题型九、反比例函数中的规律问题 题型十、反比例函数中的解析式 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分类 具体内容 要点说明 核心知识点 矩形面积结论 过反比例函数 图象上任意一点，分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为 三角形面积结论 过反比例函数 图象上任意一点作一坐标轴的垂线，该点、垂足与原点围成的三角形面积为 k的符号与面积无关 无论k是正数还是负数，围成图形的面积始终为非负数，仅和k的绝对值相关 同支多点面积性质 反比例函数同一分支上任意一点按上述规则得到的矩形/三角形面积都相等，均为或 常见易错点 忽略k的绝对值，直接把面积等于k 当时，直接用面积等于k会得到负数结果，错误，面积一定是非负的，应为 混淆矩形和三角形的面积公式 错把三角形面积记成、矩形面积记成，二者比例关系记错 跨分支图形面积计算错误 当点分别在反比例函数的两个分支上，组合形成图形时，不会拆分计算，错误直接套用单点面积公式；如两个分支各一点分别作垂线形成的矩形面积，实际应为，而非 误判图形与k的对应关系 将不是由反比例函数上一点作坐标轴垂线围成的图形，强行套用结论，导致计算错误 由面积反求k时遗漏符号 只根据面积算出，忽略反比例函数所在象限对k符号的要求，漏解或符号错误 动点问题中误用面积定值结论 点在反比例函数图象上运动时，错误认为任意位置围成的相关图形面积都等于，实际仅由双垂线或单垂线围成的标准图形面积才是定值，非标准图形面积会随动点位置改变 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单反比例函数—“一点一垂”构造三角形 典例1 如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接．将线段绕点A逆时针旋转，当点O的对应点落在x轴上时，的面积是（    ） A．2.5 B．5 C．10 D．12 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 变式1-2如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 变式1-3如图，的直角顶点在轴上，函数的图象经过边的中点，且交于点，连接，则______． 类型二、单反比例函数—“两点单双垂”构造三角形 典例2 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中错误结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 变式2-2如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，轴于点C，连接，若的面积为6，则k的值为______． 变式2-3如图，点A，B在反比例函数的图象上，且关于原点对称，过点A作轴于点C，连接，．则的面积是________．    题型三、单反比例函数—“一点一垂”构造四边形 典例3 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 变式3-1如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3-2如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________． 变式3-3如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 题型四、单反比例函数—“两点双垂”构造四边形 典例4 如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 变式4-1如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 变式4-2如图，平行四边形的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B、D均在y轴上，轴，与x轴交于点E，连接，若的面积为6，则k的值为________． 变式4-3如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 题型五、双反比例函数—“同侧”构造三角形 典例5 如图，点A是函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与函数的图象分别交于点B，C，OA与BC交于点D．下列结论中正确的是（     ） A．AB与AC一定相等 B．△AOB与△AOC的面积一定相等 C．OB与OC一定相等 D．△BOC与△ABC的面积一定相等 变式5-1如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，若的面积为2，则的值为（　　） A． B． C． D． 变式5-2如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 变式5-3如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 题型六、双反比例函数—“同侧”构造四边形 典例6 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 变式6-1反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，当点P在反比例函数的图象上运动时，轴于点C，交反比例函数的图象于点A，轴于点D，交反比例函数的图象于点B．下列结论：①；②与始终相等；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式6-2如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 变式6-3如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，若四边形的面积为，则的值为_____． 题型七、双反比例函数—“异侧”构造三角形 典例7 根据图1所示的程序框图，得到了与的函数图象如图2所示，若是轴正半轴上任意一点，过点作轴交函数图象于点，，连接，，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．时， C．时，随的增大而增大 D．可能等于 变式7-1已知反比例函数与的图象如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M，N两点，A是x轴上的任意一点，连结，，若的面积为8，则k的值为    （   ） A．6 B．12 C． D． 变式7-2如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 变式7-3如图，与轴平行的直线与反比例函数和的图象分别交于两点，若是轴上任意一点，则的面积为________． 题型八、双反比例函数—“异侧”构造四边形 典例8 如图，四边形是平行四边形，对角线在轴上，位于第三象限的点和第四象限的点分别在反比例函数和的图象上，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为点，．下列结论：①；②；③阴影部分面积是；④若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②④ 变式8-1如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式8-2如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为_____，的值为_____． 变式8-3如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 题型九、反比例函数中的规律问题 典例9 如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式9-1如图，在轴的正半轴依次截取，过点，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，若，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-2 D．4 变式9-2如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 变式9-3如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，，则____________． 题型十、反比例函数中的解析式 典例10 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连结、．四边形的面积为8． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 变式10-1如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 变式10-2如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 变式10-3如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，． (1)求k的值； (2)若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 2．如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（     ） A． B．4 C． D．5 4．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．在平面直角坐标系中，、两点关于轴对称，以为边在轴上方作平行四边形，点恰好落在轴上，反比例函数交边于点，交边于点．点是平行四边形内任一点，连接、、、、．若，且，则的值为（     ） A．10 B．20 C． D． 6．如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 7．反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 8．如图，在平面直角坐标系中，曲线C关于原点O成中心对称，点A的对称点是点，轴，轴，点A在反比例函数的图象上，则阴影部分的面积之和为____________． 9．对于反比例函数和，平行于x轴的直线与两个反比例函数的图象的交点分别为A，B．若，则的面积为______． 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数上，且，．点是轴的正半轴上一点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (3)若（2）中所作的角平分线分别交的图象，射线于点，，当时，求点的坐标． 12．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点． (1)若点A的横坐标为3，，直接写出的值______； (2)若，求出此时的值． 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 14．如图，点A、B分别是双曲线和上的两个动点，轴，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为D、C，连接、． (1)四边形的面积为 ； (2)设点C的坐标为． ① 当 时，四边形为正方形； ② 当是直角三角形时，求的值． 15．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴，顶点在轴正半轴，，点分别在上，且，反比例函数的图象经过两点，连接，四边形的面积为24． (1)求反比例函数解析式； (2)如图2，点、分别为、的中点，点在该反比例函数的图象上，且点的横坐标大于点的横坐标，连接并延长交反比例函数图象于点，过点作直线于点，过点作直线于点． ①请探究与的数量关系，并说明理由； ②若，试判断的值是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $